第2讲 数学建模初等模型优秀课件
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数学建模之初等模型市公开课金奖市赛课一等奖课件
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
第17页
系别 人数 席位数 每席位代表 人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
丙 34 3 普通地,
34/3=11.33
单位 人数 席位数 每席位代表
A
p1 n1
人p1数
n1
B p2 n2
p2 n2
公平程度
中 好 差
当
p1 p2 n1 n2
席位分派公平
第18页
但通常不一定相等, 席位分派不公平程度用下列原则来判 断。
1) p1 p2 称为“绝对不公平”标准。 n1 n2
此值越小分派越趋于公平, 但这并不是一个好衡量原则。
单位
人数p 席位数n 每席 位代 表人 数
n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p2n1 1 p1n2
对B 相对不公 平值；
建立了衡量分派不公平程度数量指标 rA , rB
制订席位分派方案标准是使它们尽也许小。
3 建模
若A.B两方已占有席位数为 n1, n2 , 用相对不公平值
讨论当席位增长1 个时, 应当给A 还是B 方。
不失普通性, 若 p1 p2 ， 有下面三种情形。 n1 n2
v
能够看出: 淋雨量与降雨方向和行走速度相关。
问题转化为给定 ，如何选择 v 使得 C 最小。
情形1 90
C 6.95 104 (0.8 1.5) v
结果表明: 淋雨量是速度减函数，当速度尽也许大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒速度在雨中猛跑，则计算得
第2章初等模型精品PPT课件
Qk1T 1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 2d 1T2k1d2T 1k 1lT2k2d
室
f(h)
1
内
室
外
0.9
T1
T2
0.8
0.7
0.6
0.5
d
d 0.4
0.3 记h=l/d并令f(h)=
0.2
类似有
Q
k1
T1 T2 2d
Q
2
Q 2(k1l)/(k2d)
一般 k1 16 ~ 32 故 k2
O B(0,-b)
令：
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
汇合点由p此必关位系于式此即圆可上求。出P点的坐标和
θ2 的值。
y(ta)nxb（航母的路线方程） 本模型虽简单，但分析极清晰且易
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回 来的时间记 为t2，还得解一个方程组：
h
g k
( t1
1 k
e kt 1
)
g k2
h 340 t2
这一方程组是非线性 的，求解不太容易， 为了估算崖高竟要去 解一个非线性主程组 似乎不合情理
t1
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。 如果建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利 用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成 立，但我们希望
第二章初等模型.ppt
1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3
342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
感谢你的欣赏
21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
感谢你的欣赏
28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
感谢你的欣赏
14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
感谢你的欣赏
29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb
【教学课件】第二讲 初等模型
38km
3 Q3=5
• 污水处理，排入河流 •三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 送)
Q~污水量，L~管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L
假
联合建厂的话，污水处理厂建在下游城镇
设
记号
C(i):第i城镇建厂的费用（i=1,2,3）
C(i,j):第i、j城镇联合在j处建厂由于费用 （i、j=1,2,3）
模
mi n ( xi xi )2
i
型 s.t. xi B
xi xi
若令 xi Bbi
第i 方的边际效益
xi xi 1n(xi B)
xi 1nbi bi B n
例 .b(4,5,7),B11 4）最小距离解
x (7 ,6 ,4 ),x i B 6 , 2）协商解
xx(2 ,2 ,2 )(5 ,4 ,2 )
城1 C(1)-x1=210.3, 城2 C(2)-x2=127.9, 城3 C(3)-x3=217.8
合作对策的应用 例 派别在团体中的权重
90人的团体由3个派别组成，人数分别为40, 30, 20人。 团体表决时需过半数的赞成票方可通过。
若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley 合作对策计算各派别在团体中的权重。
Shapley合作对策小结
优点：公正、合理，有公理化基础。
缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I={1,2,…n}的所有 子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。
如n个单位治理污染, 通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共 同治理的投资Y, 及第i方不参加时其余n-1方的投资zi (i=1,2, …n). 确定共同治理时各方分担的费用。
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
第二章初等模型.ppt
pB nA
pA nB
上式等价于
p
2 A
pB2
.
nA nA 1 nB nB 1
⑺
引入
Qi
ni
pi2
ni 1
,
i A, B,
⑻
2019-8-29
谢谢您的观赏
18
则在⑵⑶的情况下，席位应分配给Qi 值大的那一方。
在情况⑴，由于
所以，
pA pB , nA 1 nB
QA
Q1 / Q2
0.06 0.03 0.02
24
6h
2019-8-29
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35
模型应用
该模型具有一定的应用价值。尽管双层玻璃窗会增加 制作工艺上的成本，但它在降低热量流失上的功效是相
当可观的。通常，建筑规范要求 h l / d 4，按照该
模型，Q1 / Q2 3% ，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材
k1 4103 8103 J / cm s kw h,
2019-8-29
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33
不流动、干燥空气的热传导系数为
k2 2.5104 J / cm s kw h,
所以
k1 16 32. k2
取最保守的估计，即取 k1 / k2 16,由⑷，⑹得
2019-8-29
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28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-8-29
第2讲 初等数学模型
Matlab求解如下 Matlab求解如下
A=[1/4,1/3;3/4,2/3]; x0=[3/5;2/5]; x2=A^2*x0 x5=A^5*x0 x10=A^10*x0
设a,b为R公司和S公司的初始市场份额,则有 a+b=1 1 1 为了使以后每年的市场份额不变,有 A = 4 3 a = a 3 2
解法2 解法2
利用求一元函数极小值的函数fminbnd,求出 p(x)的极小点值即可.
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
功能:在区间[x1,x2] 内求函数fun的极小值点. 命令:[xmin,fmin]=fminbnd(‘fun’,x1,x2) 说明:fun为函数，x1，x2 为x 的取值范围， xmin为极（或最）小点，fmin为极小值 注意:Matlab 7.0以上fmin函数改为fminbnd
问题分析及模型建立
a b + L( x ) = cos x sin x L' ( x ) = 0
b x = arctan , a
3
Lmin = a + 3 b
3 2
(
3 2 2
)
Matlab求解 Matlab求解
syms x; f='2/cos(x)+3/sin(x)'; %直接求函数的极小值 [xmin,fmin]=fminbnd(f,0,pi/2) 梯子最少7.0235米
作业
问题:外科手术室 往往需要 将病人安置到活动病床上,沿走廊 将病人安置到活动病床上 沿走廊 推到手术室或送回病房.然而有的 推到手术室或送回病房 然而有的 医院走廊较窄,病床必须沿过道推 医院走廊较窄 病床必须沿过道推 过直角拐角(如图所示 如图所示). 过直角拐角 如图所示 设标准病床长2米 宽 米 设标准病床长 米,宽1米，拐弯 前的过道宽1.5米， 拐弯后的过道 前的过道宽 米 宽 1.2米， 问标准的病床能否安适 米 的推过拐角? 的推过拐角
《初等模型》课件
根据收集到的数据，估计模型的参数，使模型能够更好地拟合实际数据。
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
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SUMMAR Y
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
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CATALOG
DATE
ANALYSIS
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SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
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ANALYSIS
SUMMAR Y
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2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
解相应方程组，求得：
a
b
y
n i 1
(xi
n
i1
x)( (xi
yi x)
2
ax
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
§2.4 经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很
A(0,b)
θ1
x2 (y b) 2 a2 [x2 (y - b)2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2
y
a a
2 2
2
1 1
b
4a 2b 2 (a 2 1)2
令：
h
a2 a2
1b, r 1
2ab a2 1
则上式可简记成 ：
x2 ( y - h)2 r2
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而
利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的
如则关y果可系建作式模变，者量故y判替=断ya换ix-(变+使abx量i之+间b转)=的化0关一为i系n般线1 并[不性y此非成关i 式线立系对性，(或aa关但用和xi系我类b的而们似b偏是希方)导]其望2数法他均拟类最合型为小。的0，函数，
Q' 2 (k1l) /(k2d )
0.5 d 0.4d
一般 k1 16 ~ 32 k2
故 Q 1 Q' 1 8l / d
0.3
1
记h0=.2l/d并令f(h)= 8h 1 此函数的图形为
0.1
考虑到美00观和1 使2用上3的方4 便，5 h不6必取7 得过8 大9，例1如0h，可
取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗
θ2 的值。
y (tan1 )x b（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y (tan2 )x b（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
令k=K/m，解得
v
dt
cekt
g
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
v g g ekt
kk
再积分一次，得：
h g t g ekt c
k k2
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
h
g k
t
g k2
ekt
g k22
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
方程组：相用对方thh于法1 石二t3块先kg24速求(0tt度一132.，次91k声h，e音令速kt1t度2=) 要h/3快k4g02得，多校这非解为竟非似，正一线不了要线乎我t方性太估去性不，们的程容算解主合求可，组易崖一程情石求是，高个组理
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
h 1 gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻
力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
F m dv mg Kv
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个
第2讲 数学建模初等模型
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 | BP |2 a2 | AP |2 即：
时的 3% 。
§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
解相应方程组，求得：
a
b
y
n i 1
(xi
n
i1
x)( (xi
yi x)
2
ax
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
§2.4 经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很
A(0,b)
θ1
x2 (y b) 2 a2 [x2 (y - b)2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2
y
a a
2 2
2
1 1
b
4a 2b 2 (a 2 1)2
令：
h
a2 a2
1b, r 1
2ab a2 1
则上式可简记成 ：
x2 ( y - h)2 r2
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而
利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的
如则关y果可系建作式模变，者量故y判替=断ya换ix-(变+使abx量i之+间b转)=的化0关一为i系n般线1 并[不性y此非成关i 式线立系对性，(或aa关但用和xi系我类b的而们似b偏是希方)导]其望2数法他均拟类最合型为小。的0，函数，
Q' 2 (k1l) /(k2d )
0.5 d 0.4d
一般 k1 16 ~ 32 k2
故 Q 1 Q' 1 8l / d
0.3
1
记h0=.2l/d并令f(h)= 8h 1 此函数的图形为
0.1
考虑到美00观和1 使2用上3的方4 便，5 h不6必取7 得过8 大9，例1如0h，可
取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗
θ2 的值。
y (tan1 )x b（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y (tan2 )x b（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
令k=K/m，解得
v
dt
cekt
g
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
v g g ekt
kk
再积分一次，得：
h g t g ekt c
k k2
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
h
g k
t
g k2
ekt
g k22
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
方程组：相用对方thh于法1 石二t3块先kg24速求(0tt度一132.，次91k声h，e音令速kt1t度2=) 要h/3快k4g02得，多校这非解为竟非似，正一线不了要线乎我t方性太估去性不，们的程容算解主合求可，组易崖一程情石求是，高个组理
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
h 1 gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻
力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
F m dv mg Kv
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个
第2讲 数学建模初等模型
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 | BP |2 a2 | AP |2 即：
时的 3% 。
§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式