量子力学试卷
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学导论考试题及答案
量子力学导论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中，波函数的模平方代表什么？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的概率密度D. 粒子的能量2. 海森堡不确定性原理中，哪两个物理量不能同时准确测量？A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度3. 薛定谔方程是量子力学的哪个基本方程？A. 描述粒子运动的方程B. 描述粒子能量的方程C. 描述粒子自旋的方程D. 描述粒子相互作用的方程4. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒5. 量子力学中的“量子”一词意味着什么？A. 一个基本粒子B. 一个基本的物理量C. 一个离散的量D. 一个连续的量6. 波粒二象性是量子力学中的一个基本概念，它指的是什么？A. 粒子同时具有波和粒子的特性B. 粒子只能表现为波或粒子C. 粒子在宏观尺度下表现为波，在微观尺度下表现为粒子D. 粒子在宏观尺度下表现为粒子，在微观尺度下表现为波7. 量子纠缠是什么现象？A. 两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互作用B. 两个或多个粒子的波函数是相互独立的C. 两个或多个粒子的波函数是相互关联的D. 两个或多个粒子的动量是相互关联的8. 量子隧道效应是指什么？A. 粒子在没有足够能量的情况下也能通过势垒B. 粒子在有足够能量的情况下不能通过势垒C. 粒子在有足够能量的情况下更容易通过势垒D. 粒子在没有足够能量的情况下不能通过势垒9. 以下哪个实验验证了量子力学的波粒二象性？A. 光电效应实验B. 双缝实验C. 康普顿散射实验D. 光电效应实验和康普顿散射实验10. 量子力学中的“叠加态”指的是什么？A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子的状态是随机的D. 粒子的状态是确定的二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
2. 解释什么是量子力学的测量问题。
《量子力学》试卷一
一、判断题（共10分，每题2分）1．在量子力学中，粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。
( ) 2．若，则的本征函数必定也是的本征函数。
( ) 3．力学量算符，，则和必相互对易。
( )4．若力学量算符不显含时间，则力学量必为运动恒量。
( )5．在任意态中，力学量x 和必定满足下述关系式。
( )二、填充题（共10分，每题2分）1．德布罗意关系式是 和 。
2．称 等固有性质 的微观粒子为全同粒子。
2．质量，电荷，自旋；完全相同 3．下列算符①；②；③；④；⑤是线性算符的是 。
4．有一势场为，如图所示，当粒子处于束缚态时，E 的取值范围为 。
4．20u E <<5．已知体系的哈密顿算符为，下列算符 ①x ；②y ；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧与对易的有。
三、说明题（共8分）试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
四、证明题（共24分，每题8分）1．设、、…、、…是厄密算符的本征函数，它们所属的本征值、、…、、…都不相等，试证当时，有。
2．已知，试证：。
3．设为算符属于本征值的本征函数，且，，试证是算符属于本征值的本征函数。
五、计算题（共48分，每题12分）1．一粒子在一维势场中运动，其中，求束缚态能级所满足的方程。
2．设氢原子处于状态，求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值及其相应的几率，并求这些力学量的平均值。
3．转动惯量为I，电矩为的平面转子处在均匀电场中，电场是在转子运动的平面上，用微扰法求转子能量至二级修正。
4．设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是 ，如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
《量子力学》试卷答案一一、判断题 每小题2分，共10分。
（在每小题后的括号内对的打“√”，错的打“×”） 1．×2．×3．×4．×5．√二、填空题 每小题2分，共10分1．ων ==h E ，kn h P==λ2．质量，电荷，自旋；完全相同 3．（1），（3），（5） 4．20u E << 5．（3），（4），（5）三、说明题 每小题8分，共8分 粒子：共同点：颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体 不同点：经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动； （4分） 波：共同点：遵循波动规律，具有相干迭加性不同点：经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的 量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
量子力学期末试题及答案
（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子的什么物理量？A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案：D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程描述的是：A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案：C4. 泡利不相容原理适用于：A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\)，其中 \(x\) 代表粒子的________，\(t\) 代表时间。
答案：位置2. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出________的性质，也表现出粒子的性质。
答案：波动3. 量子力学中，一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\)，其中 \(p\) 代表粒子的________。
答案：动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。
答案：经典物理认为不可能三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。
答案：德布罗意波是指物质粒子（如电子）具有波动性，其波长与粒子的动量成反比。
在量子力学中，这一概念是波函数理论的基础，它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述，而是需要用波动方程来描述。
2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。
答案：量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，直到进行测量时，系统才会坍缩到其中一个特定的状态。
这一原理是量子力学的核心特征之一，它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。
3. 解释什么是量子纠缠，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。
量子力学试卷
模拟试卷一一、名词解释（本题40分，每小题5分）1．波粒二象性 2、测不准原理 3、定态波函数 4、算符 5、隧道效应 6、宇称 7、Pauli 不相容原理 8、全同性原理二、问答题（本题28分，每小题7分） 1、波函数有哪些性质？2、变分法求能量的步骤有哪几步？3、对称波函数和反对称波函数有何区别，举例说明。
4、以两个相同粒子（a ,b ）分配给3种状态为例，说明三种统计方法的不同。
三、计算题（本题32分，每小题8分）1、试将笛卡尔坐标转化为球极坐标，写出推导过程。
2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x ax x x U ，，，0 00)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
3、试根据热力学公式推导出麦氏关系。
4、根据公式∑∂∂-=lll V a P ε证明，对于非相对论粒子：)()2(21222222z y x n n n Lm m p s ++== π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，…，有V U p 32=上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
答案：一、名词解释（本题40分，每小题5分）1．波粒二象性 ：一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E =（1分），λhP =（1分），其中E 为能量，ν为频率，P 为动量，λ为波长（1分）。
2、测不准原理 ：微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x ≥∆∆，2/P y y ≥∆∆，2/P z z ≥∆∆（2分），式中 （或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1分）。
3、定态波函数 ：在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r ( ψ可写成r函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。
4、算符使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
量子力学试题含答案
量子力学试题含答案1. 选择题a) 以下哪个说法正确？A. 量子力学只适用于微观领域B. 量子力学只适用于宏观领域C. 量子力学适用于微观和宏观领域D. 量子力学不适用于任何领域答案：A. 量子力学只适用于微观领域b) 以下哪个量不是量子力学的基本量？A. 质量B. 电荷C. 动量D. 能量答案：D. 能量c) 下面哪个原理是量子力学的基础？A. 相对论B. Newton力学定律C. 不确定性原理D. 统计力学答案：C. 不确定性原理2. 填空题a) 波粒二象性指的是在特定条件下，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种相互转化的现象称为________。
答案：波粒二象性的相互转化b) ____________________是描述微观粒子运动的方程。
答案：薛定谔方程c) Ψ(x, t)代表粒子的波函数，那么|Ψ(x, t)|^2表示__________________。
答案：粒子在坐标x处被测量到的概率密度3. 简答题a) 请简要说明波粒二象性的原理和实验观察。
答案：波粒二象性原理指出，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这意味着微观粒子的行为既可以用波动的方式来描述（例如干涉和衍射现象），也可以用粒子的方式来描述（例如在特定的位置进行观测）。
实验观察可以通过使用干涉仪和双缝实验等经典实验来验证波动性质。
当光或电子通过干涉仪或双缝实验时，会出现干涉和衍射现象，这表明了粒子具有波动性。
同时，通过探测器对光或电子的位置进行测量，可以观察到粒子的粒子性。
b) 请解释量子力学中的不确定性原理及其意义。
答案：不确定性原理是由德国物理学家海森伯提出的，它指出在测量某个粒子的某个物理量的同时，不可避免地会对另一个物理量的测量结果带来不确定性。
不确定性原理的意义在于限制了我们对微观世界的认知。
它告诉我们，粒子的位置和动量无法同时被精确地确定。
这是由于测量过程中的不可避免的干扰和相互关联性导致的。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 在量子力学中，一个粒子的状态用波函数表示。
波函数的物理意义是：A. 粒子的位置概率分布B. 粒子的运动速度C. 粒子的自旋状态D. 粒子的能量2. 量子力学的基本假设之一是：A. 粒子的能量是离散的B. 粒子在空间中的轨道是连续的C. 粒子的位置可以同时确定D. 粒子的自旋是固定的3. 哪个原理用于解释原子光谱的发射和吸收现象？A. 波粒二象性原理B. 测不准原理C. 泡利不相容原理D. 量子力学随机性原理4. 薛定谔方程描述了：A. 粒子的位置和动量之间的关系B. 粒子在空间中的运动轨迹C. 粒子的能量和自旋状态D. 粒子波函数随时间的演化5. 量子力学波函数的归一化条件是：A. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于1B. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于0C. Ψ(x, t)在无限远处趋于零D. Ψ(x, t)的真实部分等于虚部的共轭6. 两个可观测量的对易关系表示为：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示两个算符的对易子。
这意味着：A. A和B的本征态可以同时存在B. A和B的本征值可以同时测量得到C. A和B的测量结果彼此独立D. A和B的测量结果存在不确定性7. 量子力学中的不确定性原理指出，以下哪一对物理量不能同时精确确定：A. 位置和动量B. 能量和时间C. 自旋在X方向和自旋在Y方向D. 角动量在X方向和角动量在Y方向8. 箱中有一自由粒子，其波函数为：Ψ(x) = A sin(kx)其中A和k为常数，该波函数代表：A. 粒子在箱中处于能量本征态B. 粒子在箱中处于动量本征态C. 粒子在箱中处于位置本征态D. 粒子在箱中处于叠加态9. 双缝干涉实验中，当缝宽减小时，干涉图案的特征是：A. 条纹的间距增大B. 条纹的间距减小C. 条纹的亮度增强D. 条纹的亮度减弱10. 量子隧穿现象解释了：A. 电子在金属中的传导现象B. 光子在光学纤维中的传播现象C. 电子在势垒中的穿透现象D. 光子在介质中的反射现象二、填空题（每题6分，共30分）1. 德布罗意波假设将粒子的运动与________联系起来。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中，描述一个量子态最基本的方法是（）。
A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的（）和（）不能同时被精确测量。
A. 位置，速度B. 能量，时间C. 动量，位置D. 时间，动量答案：C3. 波函数的绝对值平方代表的是（）。
A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案：C4. 薛定谔方程是一个（）。
A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案：A5. 在量子力学中，泡利不相容原理指的是（）。
A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案：A二、填空题1. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足__________方程，才能保证波函数的归一化条件。
答案：连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应，即观测过程会影响被观测的__________。
答案：系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联，以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态，这种现象被称为__________。
答案：非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。
德布罗意假说提出了物质波的概念，即所有物质都具有波粒二象性。
这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象，而且为量子力学的发展奠定了基础，使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中，从而推动了波函数理论的发展。
2. 什么是量子隧穿效应？请给出一个实际应用的例子。
量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时，即使其能量低于势垒高度，也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。
这一效应是量子力学中特有的，与经典物理学预测的结果不同。
一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管，它利用量子隧穿效应来实现电流的传导，具有非常快的开关速度和低功耗的特性。
量子力学试题
量子力学试题一、选择题1. 量子力学中的波函数描述了什么？A. 粒子的运动轨迹B. 粒子的概率分布C. 粒子的质量D. 粒子的电荷2. 海森堡不确定性原理表明了哪两者之间存在不确定性关系？A. 粒子的位置和速度B. 粒子的动能和势能C. 粒子的自旋和宇称D. 粒子的质量和能量3. 薛定谔方程是量子力学中的哪个基本方程？A. 能量守恒方程B. 波动方程C. 动力学方程D. 热力学方程4. 泡利不相容原理指的是什么？A. 两个相同的粒子不能处于同一个量子态B. 两个不同的粒子不能处于同一个量子态C. 所有的粒子都不能处于相同的量子态D. 电子不能处于相同的能级5. 量子纠缠是指什么现象？A. 两个粒子间存在即时的作用，无论距离多远B. 两个粒子间不存在任何相互作用C. 两个粒子间的作用受到速度的限制D. 两个粒子间的作用受到距离的限制二、填空题6. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足________方程，才能保证物理现象的预测与实验结果相符。
7. 量子力学中的“观测者效应”表明，观测本身会对________产生影响，从而改变其状态。
8. 双缝实验展示了粒子的________和________的双重性质，这是量子力学区别于经典力学的重要特征之一。
9. 根据德布罗意假说，任何物质都具有波粒二象性，电子的德布罗意波长可以通过公式λ = \frac{h}{p}计算，其中h是________，p是________。
10. 量子力学中的“隧穿效应”是指粒子能够穿越一个经典力学中不可能穿越的________。
三、简答题11. 请简述普朗克量子假说的内容及其对物理学的影响。
12. 描述波恩规则的基本内容，并给出一个实际应用的例子。
13. 解释什么是量子退相干，并说明它在量子计算中的重要性。
14. 阐述波函数坍缩的概念，并讨论它在量子测量理论中的作用。
15. 讨论量子纠缠在量子信息科学中的应用及其潜在的科学意义。
2023高考物理量子力学练习题及答案
2023高考物理量子力学练习题及答案一、单项选择题1. 根据量子力学的原理，下列哪个量是离散的？A. 电子的动量B. 电子的位置C. 粒子的质量D. 粒子的速度答案：B2. 在量子力学中，波粒二象性指的是什么？A. 粒子存在着波动性B. 粒子的波动速度与光速相等C. 粒子的波动性与粒子性同时存在D. 粒子的波动性只存在于空间中答案：C3. 下列哪个现象不能用经典物理学解释？A. 光的干涉与衍射现象B. 光电效应C. 康普顿效应D. 高速电子的波动性答案：D4. 以下哪项不是量子力学的基本假设之一？A. 波函数包含了粒子的全部信息B. 波函数的平方描述了粒子在不同位置出现的概率C. 粒子的位置和速度可以同时确定D. 波函数的演化遵循薛定谔方程答案：C5. 根据薛定谔方程，粒子波函数的时间演化是：A. 线性的B. 非线性的C. 随机的D. 不可逆的答案：A二、计算题1. 一束入射光照射到金属表面，发生了光电效应。
入射光的波长为550 nm，逸出功为2 eV，求最大能量的光电子的动能。
答案：入射光的能量E = hc/λ = (6.63 × 10^-34 J·s × 3.00 × 10^8 m/s) / (550 ×10^-9 m) = 1.20 × 10^-19 J最大动能K = E - φ = 1.20 × 10^-19 J - (2 × 1.60 × 10^-19 J) = -0.40 ×10^-19 J2. 一束入射电子的波长为1 nm，通过一个宽度为1 μm的狭缝后，到达屏幕上的交叉区域。
求交叉区域的宽度。
答案：交叉区域的宽度Δx = λL / d，其中L为屏幕到狭缝的距离，d为狭缝的宽度。
根据德布罗意关系，电子的波长λ = h / mv，其中h为普朗克常量，m为电子质量，v为电子速度。
将已知值代入计算，可得Δx ≈ (6.63 × 10^-34 J·s) / (9.1 × 10^-31 kg × 1 × 10^6 m/s) × (1 × 10^-9 m) / (1 × 10^-6 m) ≈ 7.3 × 10^-6 m三、解答题1. 请简要阐述波粒二象性的概念，并说明量子力学中的波函数是如何描述粒子的。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n ma E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为()()()133 ;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 0321其中，E m V E m k 2;)(20=+=α在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()()a a a a '3'232ψψψψ==得到()()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=ex p cos ex p sin于是有αkka -=tan此即能量满足的超越方程。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中，在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。
当021V E -=时，由于故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有 故（2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为（4）算符 而四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
现代物理中的量子力学测试题
现代物理中的量子力学测试题量子力学作为现代物理学的重要分支，其理论和概念常常让人感到神秘而又深奥。
为了更好地理解和掌握量子力学的知识，我们设计了一系列的测试题，来检验大家对这一领域的理解程度。
一、选择题1、下列哪个实验证实了光具有粒子性？（）A 双缝干涉实验B 光电效应实验C 迈克耳孙莫雷实验D 杨氏双缝实验2、量子力学中，描述微观粒子状态的函数是（）A 波函数B 概率密度函数C 哈密顿量D 薛定谔方程3、对于一个处于定态的微观粒子，其能量具有（）A 不确定性B 确定性C 可能连续也可能离散D 以上都不对4、量子力学中的“隧道效应”指的是（）A 粒子在势垒中运动B 粒子可以穿过高于其能量的势垒C 粒子在势阱中运动D 粒子无法穿过势垒5、下列哪个物理量在量子力学中是不守恒的？（）A 能量B 动量C 宇称D 电荷二、填空题1、海森堡不确定性原理表明，不能同时精确地测量一个粒子的_____和_____。
2、波函数的平方表示粒子在空间某点出现的_____。
3、量子力学中的算符通常作用在_____上。
4、薛定谔方程的一般形式为_____。
5、量子力学中，自旋是粒子的一种_____性质。
三、简答题1、请简要解释量子纠缠现象，并说明其在量子通信中的应用。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，即使它们相隔很远，对其中一个粒子的测量会瞬间影响到另一个粒子的状态。
在量子通信中，利用量子纠缠可以实现安全的密钥分发。
由于量子纠缠的特性，任何对传输信息的窃听都会被察觉，从而保证通信的安全性。
2、什么是量子隧穿效应？举例说明其在实际中的应用。
量子隧穿效应是指微观粒子能够穿越比它自身能量高的势垒的现象。
例如，在半导体器件中，电子可以通过量子隧穿效应穿过绝缘层，从而实现器件的功能。
在放射性衰变中，原子核中的粒子也可以通过量子隧穿效应逃出原子核。
3、简述波函数的物理意义，并说明为什么要对波函数进行归一化。
波函数描述了微观粒子的状态。
量子力学试题附答案
宝鸡文理学院试题课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班本文档是我在淘宝0.8元购买的，求报销！！！填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。
一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。
２、波函数的标准条件为（ ）。
３、正交归一方程*m n mn u u d τδ=⎰的狄拉克表示为（ ）。
4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。
5、zL L ˆˆ2和的共同本征函数为（ ）。
选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。
二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）１、Â与Ĉ对易，则两算符：(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。
２、自由粒子能级的简并度为：（1）1 (2) 2 (3) 3 (4)4 3、设线性谐振子处于0113()()()22x x x ψψψ=+描述的状态时，则该态中能量的平均值为（1）0 ; （2）75ω (3)52ω； （4）5ω 4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合（1）一定是定态 ; （2）不是定态 (3) 不能确定5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是：(1) Ψ322→Ψ300; (2) Ψ211→Ψ100; (3) Ψ322→Ψ21-1; (4) Ψ322→Ψ200;就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。
三、简述（每小题5分，5×4＝20分）1、光电效应实验的规律2、量子力学中态的叠加原理3、希尔伯特空间4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则第2题，厄米算符的这个证明熟悉四、推导证明题(每小题10分，10×2 ＝ 20分)1、求证在z l ˆ的本征态下0=x l 。
2、设G Fˆˆ和是厄米算符，若[]0ˆ,ˆ=G F ，证明G F ˆˆ也是厄米算府。
量子力学试卷
由基本假设，波长仅取决于粒子的动量大小而与粒子本身线度无 必然联系。 3 量子力学中角动量按下式定义：
任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量，此 定义较之角动量的仿经典定义更具普遍性，后者只适用于轨道角动 量而不能适用于自旋。 自旋是量子力学中的特有概念，无经典对应，是微观粒子的内禀属 性。地球自转实际上仍然是地球各质点的轨道运动，应与轨道角动量 相对应，而不是与自旋相对应。 4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符对易。球谐函数是L2和Lz 的共同本征函数 5 在其自身表象中表示为对角矩阵：
是本征函数，其对应的本征值是什么？ ①， ② ， ③， ④， ⑤
五 本题满分10分 氢原子处在基态，求在此态中： (1) r的平均值；(2) 势能的平均值；(3) 动量的概率分布函数。 已知定积 分。 六 本题满分8分
已知在和 的共同表象中，算符的矩阵为 ，求它的本征值和归一化本征函数。 七 本题满分15分 已知氢原子的电子波函数为。 求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均值。 八 本题满分10分
本征能量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为，参数。
07级2学分A
一、问答题（每空5分，共30分）
1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现 象。
2写出量子力学五个基本假设中任意三个。 3表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？ 5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？ 6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个
长。已知普朗克常数，玻耳兹曼常数，质子质量，氦原子的质量近似取 为质子质量的四倍。
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二、本题满分14分
设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可
能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。
解：，可能值，几率1；
，可能值 2，几率1； ，可能值-，几率；可能值0，几率
定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明： 七 本题满分10分
求及的本征值和所属的本征函数。 八 本题满分10分
在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均 值。
05级2学分A答案 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的
二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为 ，试利用薛定谔方程确定其势场。
三、本题满分12分
利用厄米多项式的递推关系和求导公式：
，
证明：一维谐振子波函数满足下列关系：
已知一维谐振子的波函数为： 四、本题满分12分
一粒子在一维无限深势阱 波函数。
中运动，求粒子的能级和相应的归一化
五、本题满分12分 已知氢原子的电子波函数为。 求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均
量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本 征函数前展开系数的模方。 4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。 5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状 态。 5 厄米算符具有如下特性： 1）厄米算符的本征值为实数 2）厄米算符在任何态中的平均值均为实 数 3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 4）描写力学量的厄 米算符的本征函数是完全系 6 概率
在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均 值。
07级2学分B
一、问答题（每空5分，共30分）
1 那些实验现象揭示了光的波粒二象性？ 2 写出角动量算符、哈密顿算符、自旋算符的本征值。 3什么是束缚态？什么是定态？ 4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如
何表示？ 5试述电子具有自旋的实验证据。 6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？
8 费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_________
性和_______性。
9不考虑电子的自旋时，氢原子能级的简并度为
。
10 电子具有自旋的实验证据包括
。
11 坐标和动量的对易关系为 ___ ___。
12 测不准关系_______。
13 一维空间两粒子体系的归一化波函数为，x1和x2分别表示两粒子的空
本征能量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为，参数。
07级2学分A
一、问答题（每空5分，共30分）
1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现 象。
2写出量子力学五个基本假设中任意三个。 3表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？ 5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？ 6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个
二、本题满分10分 将已知波函数代入球坐标系的波动方程
可得
所以 故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数
三、本题满分12分
已知 所以 利用 四、本题满分15分
解：无关，是定态问题。其定态SE方程 在各区域的具体形式为 Ⅰ：①
Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得
长。已知普朗克常数，玻耳兹曼常数，质子质量，氦原子的质量近似取 为质子质量的四倍。
三、计算题（本题满分12分）
一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和相应的归一化 波函数。
四、计算题（本题满分12分） 设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可
能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能 量本征值为
4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数 是哪两个算符的共同本征函数？
5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如 何表示？
6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？
二、本题满分14分
设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可 能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。
设体系处于状态（已归一化），求： （1）的测量可能值及平均值；（2）的测量可能值及相应的概率。 五 本题满分9分
氢原子处在基态，求在此态中：(1) r的平均值；(2) 势能 的平均值；(3) 动量的概率分布函数。 已知定积分 。
六 本题满分6分
一个转动惯量为I的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转 子，其能量的经典表示式为，L为角动量。求与此对应的量子体系的定 态能量及波函数。已知角动量平方算符。 七 本题满分8分
3）动量平均值为： 动量平方的平均值为：
七、本题满分8分 解：①不是 ②是，1。 ③是，－1。 ④是，－1。 ⑤是，－ 1。
05级2学分答案B
一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 主量子数n，角动量量子数l，磁量子数m，自旋磁量子数ms 2 德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映
低温比热等
2 当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零 的态叫束缚态。
定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定，， 则体系处于定态。
3 电子具有自旋的实验证据： 1） 斯特恩-盖拉赫实验 2） 光谱精细结构 3） 反常塞曼效应 4 五个基本假定： 1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。 2）力学量用算符表示。 3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测
附：氢原子能量本征值：
06级2学分A
一、填空（每空3分，共45分）
1 一维线性谐振子的能量本征值为
。
2 动量的三个分量的共同本征函数为
。
3自旋角动量算符在空间任意方向上的投影只能取值为 ； = 。
4
。
5 德布罗意关系为
。
6 波函数的标准条件为
。
7 写出量子力学五个基本假设中任意两个_____________。
在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均 值。 八 本题满分8分
算符方程称为算符的本征方程，其中常数称为算符的本征值，函 数称为算符的本征函数。试确定下列函数哪些是算符的本征函数，若 是本征函数，其对应的本征值是什么？
1 ， ② ， ③， ④， ⑤
06级2学分B
一、回答下列问题（每小题4分，共24分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现
氢原子处在基态，求在此态中：(1) r的平均值；(2) 势能 的平均值；(3) 动量的概率分布函数。 已知定积分 。
五 本题满分15分 设氢原子处于求： （1）的测量可能值、相应的概率及平均值；（2）的测量可能
值、相应的概率及平均值；（3）的测量可能值、相应的概率及平均 值。 附：氢原子能量本征值： 六 本题满分8分
05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现
象？
2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于和之间（不对粒子2进行观测）
象？
2 试述电子具有自旋的实验证据。 3 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？
二、计算题（本题满分12分） 氦原子的动能是，k是玻耳兹曼常数，求时，氦原子的德布罗意波
值。
六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态 之中, 其中, A为待求的归一化常数, 求：
(1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。
七、本题满分10分
附：氢原子能量本征值： 定积分：，n为正整数 球坐标系中：
05级2学分B
五、证明题（本题满分14分） 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ， 证明：一维谐振子波函数满足下列关系：
已知一维谐振子的波函数为：
六、证明题（本题满分12分）
定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明：
七、证明题（本题满分14分） 证明：是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的
算符的共同本征函数？
二 本题满分10分 一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和相应的归一化
波函数。 三 本题满分7分 设单粒子定态波函数为 ，试利用薛定谔方程确定其势场。 四 本题满分10分
算符方程称为算符的本征方程，其中常数称为算符的本征值，函 数称为算符的本征函数。试确定下列函数哪些是算符的本征函数，若
间位置，那么，发现粒子1的位置介于和之间（不对粒子2进行观
测）的概率
。
二 本题满分7分 已知角动量的对易关系为。证明：若一个算符与角动量算符的两
个分量和对易，即满足和，则算符必与的第三个分量对易，满足。
三 本题满分8分 厄密算符的本征方程为，试根据厄密算符的定义式，证明厄密算
符的本征值是实数。 四 本题满分9分
一、回答下列问题（每题5分，共30分）
1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适 用于具有内部结构的复合体系？