2018-2019学年高中数学 第二章 参数方程 一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、参数

解：法一 设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的
垂线交 x 轴于 Q.如图所示，
则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
取 OB＝t，t 为参数(0<t<a)．
因为|OA|＝ a2－t2，
所以|BQ|＝ a2－t2.
所以点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋ a2－t2，
(0<t<a)．
第二讲 参数方程
一、 曲线的参数方程 第 1 课时 参数方程的概 念、参数方程与普通方程的
互化
[学习目标] 1.通过分析抛射体运动中时间与物体位 置的关系，了解其参数方程，体会参数的意义(难点)． 2. 了解一般曲线的参数方程的含义(难点)． 3.掌握参数方 程和普通方程的互化(重点)．
1．参数方程的概念 (1)概念：在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上任意 一点 M 的坐标(x，y)都是某个变数 t 的函数xy＝＝gf（（tt）），，并 且对于 t 的每一个允许值，由方程组xy＝＝gf（（tt）），
(1)方程yx＝2＝2tt2＋，1可以看作参数方程．(
)
(2)方程xy＝＝0t＋1，可以看作参数方程．(
)
(3)参数方程xy＝＝－2t，t (t 为参数)化为普通方程为 x＋2y
＝0.( )
(4)若 y＝2t(t 为参数)，则抛物线 y2＝4x 的参数方程
为xy＝＝2t2t，(t 为参数)．(
)
解析：(1)x2＝t2 不能把 x 表示成参数 t 的函数，不是
根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第 四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线 上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
[变式训练]如图所示，△ABP 是等腰 直角三角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B、A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程．
(3)参数方程的意义：参数方程借助中间变量把曲线 上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通 方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组， 其中 x，y 分别为曲线上点的横坐标和纵坐标．
温馨提示 ①曲线上任一点与满足参数方程的有序 数对(x，y)是一一对应关系．②在表达参数方程时，必须 指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲 线可能不同．
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ，
(θ 为参数)．
y＝1＋sin θ
归纳升华 1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代 入消元法或加减消元法消去参数． ②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
(2)参数的意义：参数方程中的参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也 可以是没有明显实际意义的变数．同一曲线选取的参数 不同，曲线的参数方程形式也不一样．形式不同的参数 方程，它们表示的曲线却可以是相同的．
半径为
5
的圆的参数方程为xy＝＝2－＋15＋si5ncoθs
θ，
(0≤θ＜2
π)．
答案：D
3
．
参
数
方
程
x＝cos2θ， y＝sin2θ
(θ
为参数)表示的曲线是
() A．直线
B．圆
C．线段 D．射线
解析：x＝cos2θ∈[0，1]，y＝sin2θ∈[0，1]，
所以 x＋y＝1(x，y∈[0，1])为线段．
所以普通方程为 y＝12x2－12(－ 2≤x≤ 2)，它是抛物
线的一部分．
(2)①把 y＝t 代入 y2＝2x 得 x＝12t2， 所以x＝12t2，(t 为参数)，这就是所求的参数方程．
y＝t
②把 x＝cos θ 代入 x2＋(y－1)2＝1.
(y－1)2＝sin2θ，y－1＝±sin θ，
参数方程．
(2)可以作为 x 轴的参数方程．
(3)消去参数 t 易得 x＋2y＝0. (4)由 y2＝4x 得 x＝14y2＝14(2t)2＝t2. 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．圆心为点(－1，2)，半径为 5 的圆的参数方程为
()
x＝5－cos A.y＝5＋2sin
θ， θ (0≤θ＜2π)
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
归纳升华 1．求曲线的参数方程主要有两种情形，一是题设条 件中已选定参数，二是自选参数．后者将因所选参数不同 而求出不同的参数方程，对于求出的参数方程，都要标注 参数及其取值范围．
2．求曲线参数方程的步骤：第一步，建立适当的直 角坐标系，设出曲线上任一点 M 的坐标为(x，y)，画出草 图；第二步，选择适当的参数，参数的选择要考虑两点： 一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，
2α)，设 PQ 的中点 M(x，y)，由中点坐标公式得
2cos α＋2cos 2α
x＝
2
＝cos α＋cos 2α，
2sin α＋2sin 2α
y＝
2
＝sin α＋sin 2α.
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
x＝cos α＋cos 2α，
所以 M 的轨迹的参数方程为
B.xy＝＝－2＋1＋5co5ssinθθ，(0≤θ＜2π)
x＝－1＋5cos
C.y＝2＋5sin θ
θ，
(0≤θ＜π)
x＝－1＋5cos
D.y＝2＋5sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)
解析：圆心为点 C(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程
为xy＝＝ba＋＋rrscions
θ， θ (θ∈[0，2π))．故圆心为点(－1，2)，
(2)解：①把点 M1 的坐标(0，1)代入方程组，得 01＝ ＝32tt， 2＋1解得 t＝0.所以点 M1 在曲线 C 上．
同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． ②因为点 M3(6，a)在曲线 C 上，所以6a＝ ＝32tt， 2＋1. 解得 t＝2，a＝9. 所以 a＝9.
类型 2 求曲线的参数方程(自主研析)
解析：将 x＝2cos θ 代入x42＋y2＝1 得 cos2θ＋y2＝1，
所以 y2＝sin2θ.所以 y＝±sin θ，不妨取 y＝sin θ，
则椭圆x42＋y2＝1
x＝2cos 的参数方程为
y＝sin θ
θ， (θ
为参数)．
x＝2cos 答案：y＝sin θ
θ， (θ
为参数)
答案不唯一，也可以
y＝t
法二 设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ 为参数0<θ<π2，则∠ABO＝π2－θ. 在 Rt△OAB 中，|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ. 在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
θ， (θ
为参数)．
(2)根据所给的条件，把曲线的普通方程化为参数方 程．
①y2＝2x，y＝t(t 为参数)； ②x2＋(y－1)2＝1，x＝cos θ(θ 为参数)． 解：(1)①因为 x＝1＋2 t，
所以 2 t＝x－1.
因为－4 t＝－2x＋2，
所以 y＝3－4 t＝3－2x＋2. 即 y＝－2x＋5(x≥1)，它表示一条射线． ②因为 x＝cos θ＋sin θ＝ 2sinθ＋π4， 所以 x∈[－ 2， 2 ]． x2＝1＋2sin θcos θ， 将 sin θcos θ＝y 代入，得 x2＝1＋2y.
答案：C
4．点 M(2，y0)在曲线 C：xy＝＝t22t－，1(t 为参数)上，则 y0＝________.
2＝2t， 解析：将 M(2，y0)代入参数方程得y0＝t2－1，
t＝1， 解得
y0＝0.
答案：0
5．设 x＝2cos θ(θ 为参数)，则椭圆x42＋y2＝1 的参数方 程为________．
有解，否则参数 t 不存在．
[变式训练] (1)曲线 C：xy＝＝tt－，2(t 为参数)与 y 轴的 交点坐标是________．
(2)已知曲线 C 的参数方程是yx＝＝23tt2，＋1(t 为参数)． ①判断点 M1(0，1)，M2(5，4)与曲线 C 的位置关系； ②已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． (1)解析：令 x＝0，即 t＝0，得 y＝－2， 所以曲线 C 与 y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)
2．参数方程的求法
首先，建立直角坐标系，设曲线上任意一点 P 的坐 标为(x，y)；其次，选取适当的参数；再次，根据已知条 件和图形的几何意义或物理意义，建立点 P 的坐标与参 数的函数式；最后，证明这个参数方程就是所求的曲线 的方程．
3．参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：参数方程通过消去参数得 到普通方程．
这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．