高考数学二轮复习 微专题2 平面向量数量积问题的常用
高考数学关于平面向量数量积运算的三类题型共33页文档
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高考数学关于平面向量数量积运算的 三类题型
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高考数学——平面向量的数量积及向量的应用-考点复习
典例 3 非零向量 a, b 满足: a − b= a , a ⋅(a − b=) 0 ,则 a − b 与 b 夹角的大小为
A．135° C．60° 【答案】A
【解析】因为 a ⋅(a − b) =0 ，所以 a2 − a ⋅ b =0 ，
C C C C C C
C C C
(3)内心．若点 I 是△ABC 的内心，则| BC | ⋅IA+ | CA | ⋅IB+ | AB | ⋅IC =0 .反之，若| BC | ⋅IA+ | CA | ⋅
C C C IB+ | AB | ⋅IC = 0 ，则点 I 是△ABC 的内心．
C C C C C C C C C (4)外心．若点 O 是△ABC 的外心，则 (OA + OB) ⋅ BA = (OB + OC) ⋅CB = (OC + OA) ⋅ AC = 0 或
__________．
且
，设 是平面 上的一点，则
的最小值是
典例 6
已知
a
=
(
2cosx,
2sinx
)
，
b
= sin
x
−
π 6
,
cos
x
−
π 6
，函数
f
( x) = cos
a, b
.
（Ⅰ）求函数 的零点；
（Ⅱ）若锐角△ABC 的三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且
和向量运算，从பைடு நூலகம்使问题得到解决．
②基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
高考数学二轮复习热点题型专题二十七平面向量的数量积及平面向量的应用
专题二十七平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【热点题型】题型一平面向量的数量积例1、已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2错误!，且a⊥(a＋b>，则a与b的夹角为(>b5E2RGbCAPA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!p1EanqFDPw【提分秘籍】1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．DXDiTa9E3d2．两向量的夹角为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1.3．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零．【举一反三】已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b 在向量a＋b方向上的投影是________．RTCrpUDGiT【热点题型】题型二数量积的性质及运算律例2、如图，在平面四边形ABCD中，若AB＝2，CD＝1，则(错误!＋错误!>·(错误!＋错误!>＝(>5PCzVD7HxAA．－5 B．0C．3 D．5【提分秘籍】1．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，而|cos θ|≤1.jLBHrnAILg 2．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0>，则不一定得到b＝c.xHAQX74J0X3．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b>·c不一定等于a·(b·c>，这是由于(a·b>·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c>表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线．LDAYtRyKfE【热点题型】题型三平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝(>A.错误!B．2错误!C.错误!D．4解读：|a－b|2＝(a－b>·(a－b>＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋9－2×1×3×错误!＝13，故|a－b|＝错误!.Zzz6ZB2Ltk答案：A【提分秘籍】在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.dvzfvkwMI1【举一反三】若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b>，则a与b的夹角为(>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!rqyn14ZNXI【热点题型】题型四平面向量的夹角与模例4、(1>平面向量a与b的夹角为60°， |a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(>A.错误!B．2错误!C．4 D．10(2>(2018年高考江西卷>设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为错误!，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．EmxvxOtOco【提分秘籍】1．当a·b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1>|a|2＝a2＝a·a；(2>|a±b|2＝(a±b>2＝a2±2a·b＋b2；(3>若a＝(x，y>则|a|＝错误!.【举一反三】已知a，b都是单位向量，且|a＋b|≥1，则a，b的夹角θ的取值范围是________．解读：∵|a＋b|≥1，∴(a＋b>2≥1，即a2＋b2＋2a·b≥1，∵a，b都是单位向量，∴1＋1＋2cos θ≥1，∴cos θ≥－错误!，∵θ∈[0，π]，∴θ∈错误!.SixE2yXPq5答案：错误!【热点题型】题型五数量积研究垂直问题及应用例5、(2018年高考江苏卷>已知向量a＝(cos α，sin α>，b＝(cos β，sin β>，0<β<α<π.6ewMyirQFL(1>若|a－b|＝错误!，求证：a⊥b；(2>设c＝(0,1>，若a＋b＝c，求α，β的值．【提分秘籍】1．利用数量积研究垂直时注意给出的形式：(1>可用定义式a·b＝0⇔|a||b|cos θ＝0；(2>可用坐标式a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解．kavU42VRUs【举一反三】已知锐角三角形ABC中的内角为A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m＝(2sin B，错误!>，n＝错误!，且m⊥n.y6v3ALoS89(1>求f(x>＝sin 2xcos B－cos 2xsin B的单调递减区间；(2>如果b＝4，求△ABC面积的最大值．解读：∵m⊥n，∴m·n＝2sin Bcos B＋错误!cos 2B＝sin 2B＋错误!cos 2B＝2sin错误!＝0，M2ub6vSTnP∴2B＋错误!＝kπ(k∈Z>，∴B＝错误!－错误!(k∈Z>，0YujCfmUCw∵0<B<错误!，∴B＝错误!.【热点题型】题型六函数思想与数形结合思想在数量积中的应用例6、(2018年高考浙江卷>设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为错误!，则错误!的最大值等于________．eUts8ZQVRd【提分秘籍】向量夹角与模的范围问题是近几年来高考命题的热点内容，它不仅考查了数量积的应用，同时还考查了学生综合解题能力，常涉及函数思想与数形结合思想．sQsAEJkW5T模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数，利用函数值域的方法确定最值．体现了函数思想的运用，多与二次函数与基本不等式相联系．GMsIasNXkA【举一反三】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为错误!，则α与β的夹角θ的取值范围是________．TIrRGchYzg【答案】错误!7EqZcWLZNX【高考风向标】1．<2018·北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1>，且λa＋b＝0(λ∈R>，则|λ|＝________．lzq7IGf02E【答案】错误!【解读】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λ|＝错误!＝错误!＝错误!.zvpgeqJ1hk2．<2018·湖北卷）设向量a＝(3，3>，b＝(1，－1>．若(a＋λb>⊥(a－λb>，则实数λ＝________．NrpoJac3v13．<2018·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝错误!，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．1nowfTG4KI4．<2018·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b>⊥a，(＋b>⊥b，则|＝(>A．2 B.错误!C．1 D.错误!【答案】B 【解读】因为(a＋b>⊥a，所以(a＋b>＝0，即2＋＝因为(＋b>⊥b，所以(＋b>＝0，即b＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝错误!＝错误!.fjnFLDa5Zo5．<2018·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝错误!，|a－b|＝错误!，则＝(>tfnNhnE6e5A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A 【解读】由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.HbmVN777sL 6．<2018·山东卷）在△ABC中，已知错误!·错误!＝tan A，当A＝错误!时，△ABC的面积为______．V7l4jRB8Hs7．<2018·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若错误!·错误!＝1，错误!·错误!＝－错误!，则λ＋μ＝(>83lcPA59W9A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!mZkklkzaaP①－②得λ＋μ＝错误!.8．(2018年高考湖北卷>已知点A(－1,1>、B(1,2>、C(－2，－1>、D(3,4>，则向量错误!在错误!方向上的投影为(>AVktR43bpwA.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!9．(2018年高考湖南卷>已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(>ORjBnOwcEdA．[错误!－1，错误!＋1] B.错误!2MiJTy0dTTC．[1，错误!＋1] D．[1，错误!＋2]10．(2018年高考辽宁卷>设向量a＝(错误!sin x，sin x>，b＝(cos x，sin x>，x∈错误!.gIiSpiue7A(1>若|a|＝|b|，求x的值；(2>设函数f(x>＝a·b，求f(x>的最大值．11． (2018年高考陕西卷>已知向量a＝错误!，b＝ (错误!sin x，cos 2x>，x∈R，设函数f(x>＝a·b.uEh0U1Yfmh(1>求f(x>的最小正周期；(2>求f(x>在错误!上的最大值和最小值．IAg9qLsgBX解读：f(x>＝错误!·(错误!sin x，cos 2x>WwghWvVhPE＝错误!cos xsin x－错误!cos 2x＝错误!sin 2x－错误!cos 2x＝cos错误!sin 2x－sin错误!cos 2x＝sin错误!.【随堂巩固】1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为(> A．－错误!B.错误!C．－1D．1解读：依题意得(a＋b>2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－错误!，选A.asfpsfpi4k答案：A2．已知a，b满足|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a>＝2，则a与b的夹角为(>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!ooeyYZTjj13．已知向量a＝(x＋1,1>，b＝(1，y－2>，且a⊥b，则x2＋y2的最小值为(>A.错误!B.错误!C.错误!D．14．在△ABC中，错误!＝(错误!，－1>，错误!＝(1，－错误!>，则cos B＝(>BkeGuInkxIA．－错误! B.错误!C.错误!D．05.如图，在圆O中，若弦AB＝3，AC＝5，则错误!·错误!的值是(>PgdO0sRlMoA．－8 B．－1C．1 D．86．已知a＝(3,2>，b＝(2，－1>，若向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．3cdXwckm157．设向量a＝(a1，a2>，b＝(b1，b2>，定义一种向量积a b＝(a1b1，a2b2>，已知向量m＝错误!，n＝错误!，点P(x，y>在y＝sin x的图象上运动．Q是函数y＝f(x>图象上的点，且满足错误!＝m错误!＋n(其中O为坐标原点>，则函数y＝f(x>的值域是________．h8c52WOngM8．已知向量e1＝错误!，e2＝错误!，则e1·e2＝________.v4bdyGious解读：由向量数量积公式得e1·e2＝cos 错误!×2sin 错误!＋sin 错误!×4cos 错误!＝错误!×错误!＋错误!×2＝2.J0bm4qMpJ9答案：29．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t>b.若b·c＝0，则t＝________.XVauA9grYP10．在△ABC中，若∠A＝120°，错误!·错误!＝－1，则|错误!|的最小值是________．bR9C6TJscw11．设向量a＝(4cos α，sin α>，b＝(sin β，4cos β>，c＝(cos β，－4sin β>．pN9LBDdtrd(1>若a与b－2c垂直，求tan(α＋β>的值；(2>求|b＋c|的最大值；(3>若tan αtan β＝16，求证：a∥b.解读：(1>因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c>＝0，即4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝0,4sin (α＋β>－8cos(α＋β>＝0，DJ8T7nHuGT因此，tan(α＋β>＝2.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
平面数量积最值问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。
“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。
2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题 向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】 数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析 由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】 本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。
专题02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法(解析版)
专题02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积 题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积 题型三：利用转化法求平面向量数量积 题型四：坐标法求平面向量夹角 题型五：数量积和模求平面向量夹角 题型六：坐标公式法求平面向量的模 题型七：转化法求平面向量的模题型一：利用定义法求平面向量数量积 一、单选题1．（2021·江西省铜鼓中学高一期末（理））已知向量a ，b 满足1a =，32b =，且a 与b的夹角为56π，则()()2a b a b +⋅-=（ ） A ．32B ．32-C ．12-D ．12【答案】D【分析】根据向量的运算性质展开可得()()2222a b a b a a b b +⋅-=+⋅-，再代入向量的数量积公式即可得解.【详解】根据向量运算性质，()()2222a b a b a a b b +⋅-=+⋅-22252cos21(6a a b b π=+⋅-=+-3331224422=--=-=，故选：D2．（2021·云南·高一期末）已知 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，则 a · b 的值为（ ）A ．B ．12C ．6D ．【答案】C【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，a ·1cos ,6226a b a b b ==⨯⨯=. 故选：C3．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在Rt ABC 中，90,4C AC =︒=，则AB CA ⋅=（ ） A ．25- B ．25 C ．16- D ．16【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．【详解】解：2||||cos()|||||cos ||16AB CA AB CA A CA AB A CA π⋅=⋅-=-⋅⋅=-=-． 故选：C ．4．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量a 与b 的夹角120θ，3a =，4b =，则a b ⋅=（ ）A ．-B ．6-C ．6D ．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B. 二、多选题5．（2021·福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量a 和b ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a ，b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b >B ．a b a b +≤+C ．a b a b ⋅≤D ．a b a b -≤- 【答案】BC【分析】向量不能比较大小可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B 、D ；根据向量数量积的定义可判断选项C ；进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：向量不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：根据向量的加法运算的几何意义可知a b a b +≤+，当且仅当向量a 和b 同向时等号成立；对于选项C ：cos ,a b a b a b ⋅=⋅，因为cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤，故选项C 正确；对于选项D ： 由向量减法的几何意义可知a b a b -≤-，故选项D 不正确； 故选：BC.6．（2020·辽宁·高一期末）在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD【答案】AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos A =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故A 正确； 对于B ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos (π−C )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos C =−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故B 错误； 对于C ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−∠ABD)=−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ∠ABD =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故C 错误； 对于D ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ABD =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2, BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ∠CBD =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题. 三、填空题7．（2021·广东江门·高一期末）已知向量a 、b 满足3a =，4b =，a 、b 的夹角为60︒，则a b -=______.【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】解：向量a 、b 满足3a =，4b =，a 、b 的夹角为60︒，则229162a b a b a b -=++-⋅==8．（2021·江西九江·高一期末）已知向量a ，b 13a =，5b =，则数量积a b ⋅=____________.【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】cos ,1a b a b a b ⋅=⋅=. 故答案为：1.9．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）在△ABC 中，90C =︒，54AB CB ==，则BA BC ⋅=_____________．【答案】1625【分析】由已知条件可得1cos 5CBA ∠=，根据BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠CBA 即可求值. 【详解】在△ABC 中，90C =︒，且54AB CB ==， △||4AB =，4||5BC =，故1cos 5CBA ∠=， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠CBA =4×45×15=1625. 故答案为：1625四、解答题10．（2021·北京丰台·高一期末）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=． （1）求a b ⋅；（2）求a 与b 夹角的大小； （3）求2a b -． 【答案】（1）5，（2）4π，（3）5 【分析】（1）直接利用坐标求解即可； （2）利用向量的夹角公式求解； （3）先求出2a b -的坐标，再求其模 【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=， 所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=， （2）设a 与b 夹角为θ，则cos (1)a b a bθ⋅===- 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π， （3）因为(1,3),(1,2)a b =-=， 所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以2(3)5a b -=-=题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积 一、单选题 1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ）A ．2±B ．12±C ．43±D ．34±【答案】D【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以有22223()()0091604a kb a kb a k b k k +-=⇒-=⇒-=⇒=±，故选：D 二、多选题2．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）已知()()2,6,1,3a b =-=-，下列选项中正确的是（ ）A ．20a b ⋅=-B ．与b 同向的单位向量是⎝⎭C ．//a bD ．210a b +=【答案】ABC【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项. 【详解】对于A ，21820a b ⋅=--=-，故A 正确，对于B ，与b 同向的单位向量是1,10bb ⎛== ⎝⎝⎭，故B 正确.对于C ，因为()2361-⨯-=⨯，故//a b ，故C 正确.对于D ，()21a b +=-D 错误.故选：ABC. 三、填空题3．（2021·浙江宁波·高一期末）已知向量()1,2a =-，()3,1b =，则⋅=a b ______． 【答案】1【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可． 【详解】解：向量(1,2)a =-，(3,1)b =，则13211a b ⋅=⨯-⨯=． 故答案为：1．4．（2021·山东淄博·高一期末）向量()2,a t =，()1,3b =-的夹角为钝角，则t 的范围是___________．【答案】2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.【分析】由两向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于零，且两向量不共线，从而可求得结果【详解】解：因为()2,a t =，()1,3b =-的夹角为钝角， 所以230a b t ⋅=-+<，且23t -≠⨯， 解得23t <，且6t ≠-， 所以t 的范围为2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭5．（2021·云南玉溪·高一期末）已知(2,),(1,3)a m b ==-，若a b ⊥，则m =___________． 【答案】23【分析】由两向量垂直，可得数量积为0，从而可列方程求得答案 【详解】解：因为(2,),(1,3)a m b ==-，a b ⊥， 所以230a b m ⋅=-+=，解得23m =， 故答案为：23 四、解答题6．（2019·湖南邵阳·高一期末）已知向量13,,(sin ,cos ),0,222m n x x x π⎛⎫⎛⎫=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)若m n ⊥，求tan x 的值；(2)若向量13m n ⋅=，求2cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】(2)79.【分析】(1) 由m n ⊥可得0m n ⋅=，利用数量积的坐标运算列方程求解； (2)由13m n ⋅=可得1sin()33x π-=，将2cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭变形为212sin ()3x π--，代入计算可得结果.【详解】(1)由m n ⊥可得0m n ⋅=，即1sin 02x x =，则tan x =(2)由题意可得11sin 23x x = 即1sin()33x π-=，△22cos(2)12sin ()33x x ππ-=--， 21712()39=-⨯=.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题. 题型三：利用转化法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末）已知向量a ，b 满足3a b -=，则a b ⋅的最小值为（ ） A ．94B ．94-C ．9D ．92-【答案】B【分析】3a b -=两边平方得()()22922a b a b +⋅≥⨯，再利用又a b a b ≥-⋅可得答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ，[]0,θπ∈， 由3a b -=得()()()22229a b a b a b -=+-⋅=，所以()()()()2222922a ba b a b +=+⋅≥⨯，当且仅当a b =等号成立，又()()2222a ba b a b ⨯=≥-⋅，所以94a b ⋅≥-，a b a b ≥-⋅当且仅当θπ=时等号成立， 故选：B. 二、多选题2．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．已知1)2(a -=，，,1()b x x -=，若()2//b a a -，则1x =- B ．在ABC 中，若1122AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点 C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅=D ．若a b ，共线，则a b a b +=+ 【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B ；根据向量数量积的运算可判断选项C ，举反例可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：1)2(a -=，，,1()b x x -=，可得()22,5b a x x -=+-，若()2//b a a -则 ()()()215x x x x +-=-，即62x =，所以13x =，故选项A 不正确； 对于B ：取BC 的中点E ，则()111222AB AC AB AC AE AD +=+==，即D 点与E 点重合，所以点D 是边BC 的中点，故选项B 正确；对于C ：()()()13AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭22141413333AD DC AD DC =++⋅=+=，故选项C 正确；对于D ：当a b ，反向时不成立，故选项D 不正确， 故选：BC. 三、填空题3．（2021·北京东城·高一期末）已知△O 中弦6AB =，则AO AB ⋅=________． 【答案】18【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解. 【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =， 所以2211cos ,61822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯=，故答案为：18.4．（2021·陕西安康·高一期末）如图，矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 与BD 交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE BC ⋅=______.【答案】3【分析】先求得,cos AE BAE ∠，然后利用向量运算求得AE BC ⋅【详解】2,4AB AD BD ===， 1122AB AD BD AE AE ⨯⨯=⨯⨯⇒=所以cos AE BAE AB ∠==()()AE BC AE BD DC AE BD AB ⋅=⋅+=⋅+cos 23AE BD AE AB AE AB AE AB BAE =⋅+⋅=⋅=⋅⋅∠==. 故答案为：3 四、解答题5．（2021·广东·高一期末）已知||4a =，||3b =，,150a b <>=. 求（1）()a b b -⋅； （2）求||a b +.【答案】（1）9-；（2.【分析】（1）由已知求a b ⋅，结合向量数量积的运算律，即可求()a b b -⋅； （2）由2()a b a b +=+，利用向量数量积的运算律求值即可. 【详解】（1）4,3,,150a b a b ==<>=cos ,43(6a b a b a b ∴⋅=<>=⨯⨯=-， △2()639a b b a b b -⋅=⋅-=--=-.（2）2()a b a b +=+222a a b b=+⋅+=6．（2021·广东揭阳·高一期末）ABC 中，已知2,5AB AC ==，60BAC ∠=，M N 、分别是A BC C 、的中点，设AB a =，AC b =，（1）分别用a 、b 表示AM 和BN ；（2）设AM 与BN 交于点P ，求MPN ∠的余弦值．【答案】（1）()12AM a b =+；12BN a b =-+；（2．【分析】（1）利用平面向量加法法则能求出结果．（2AM 、BN 、AM BN ⋅，再根据cos cos ,||||AM BNMPN AM BN AM BN ⋅∠=<>=．由此能求出MPN ∠的余弦值．【详解】解：解：（1）AB a =，AC b =，∴()111()222AM AB BM AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+， 111222BN BA AN BA AC AB AC a b =+=+=-+=-+． （2）因为2, 5AB AC ==，60BAC ∠=，所以1cos602552a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=22222222111139()(2)(2)(2255)44444AM a b a a b b a a b b =+=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，22222222111121()25524444BN a b a a b b a a b b =-+=-⋅+-⋅+-+⨯===，所以392AM =212BN =∴2211111()()22244AM BN a b a b a a b b ⋅=+⋅-+=--⋅+22221111112553244244a ab b =--⋅+=-⨯-⨯+⨯=， ∴4cos cos ,91||||AM BN MPN AM BN AM BN ⋅∠=<>==． 7．（2021·山西朔州·高一期末）已知z 是复数，3i z -为实数，5i2iz --为纯虚数（i 为虚数单位）.（1）求复数z ； （2）在复平面中，若复数i1z-对应向量a ，且向量b a ⊥，2b =，求向量b 的坐标.【答案】（1）13i z =-+；（2）25,5b ⎛= ⎝⎭或255b ⎛=- ⎝⎭. 【分析】（1）设i z a b =+,由已知条件化简计算求得,a b 即可求复数z ； （2）由（1）得2i 1iz=-+-，得出()2,1a =-，设向量(),b x y =，根据已知列出方程组求解即可.【详解】（1）设i z a b =+（,a b ∈R ），由()3i 3i z a b -=+-为实数，可得30b -=，即3b =. △()()()()()2i 2i 224i5i 2i 2i 2i 2i 2i 5a a a z a -+++---===---+为纯虚数， △220a +=，40a -≠，即1a =-△13i z =-+ （2）()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z -++-+-+====-+---+，则()2,1a =- 设向量(),b x y =，因为a b ⊥且2b =，所以22204x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得x =25,5b ⎛= ⎝⎭或255b ⎛=- ⎝⎭ 题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1．（2021·北京西城·高一期末）向量cos500)n 5(,si a ︒︒=与()cos10,sin10b ︒︒=的夹角为（ ） A ．30 B ．40︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可.【详解】设向量cos500)n 5(,si a ︒︒=与()cos10,sin10b ︒︒=的夹角为([0,180])θθ︒︒∈，所以有2cos cos 40cos a b a bθ︒︒︒︒︒⋅===⋅，因为[0,180]θ︒︒∈，所以40θ︒=， 故选：B2．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可 【详解】因为向量()3,1a =，()3,1b =-，所以·31cos ,231?·a b a b a b-===+,又因为[],0,a b π∈,所以,3a b π=,故选B.【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，121·cos ,·x x a b a b a bx ==+3．（2021·北京市八一中学高一期末）已知点(()(),0,0,1,0A BC ，则cos ,BC AC →→<>=（ ） A． B ．12-C ．12D 【答案】C【分析】先求出()(1,0,1,BC AC ==，再用向量的夹角公式求解即可【详解】()()()0,3,0,0,1,0A B C ，()(1,0,1,BC AC ∴==则11cos ,122BC AC BC AC BC AC⋅<>===⨯ 故选：C二、填空题4．（2021·广东惠州·高一期末）已知向量()2,1a =，()1,1b =-，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=______．【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos θ的值.【详解】由题意得，2c 21112os a b a bθ⋅=-⨯+⨯+=⋅5．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知向量()2,0a =，(1,3b =-，则其夹角,a b =______. 【答案】2π3【解析】直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量()2,0a =，(1,3b =-，所以()2102a b ⋅=⨯-+=-； 所以21cos ,222a b a b a b⋅-===-⨯⨯， 所以�a ,b ⃗ �∈[0,π],�a ,b ⃗ �=2π3. 故答案为：2π3. 【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．（2021·北京顺义·高一期末）向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，则cos ,a b →→<>=__________.【答案】2-【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案. 【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则()3,1a →=，()1,2b →=--，故||a →||b →=325a b →→⋅=--=-，故cos ,||||a ba b a b →→→→→→⋅<>==故答案为：2-. 7．（2021·安徽黄山·高一期末）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角余弦值为___________.【答案】【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,)(3,2)a m b =-，=， 则()4,2a b m +=-， 若()a b b ⊥+，则()()()34220a b b m +⋅=⨯+-⨯-=， 解得8m =.向量a 与向量b 的夹角余弦值1cos ,164a b a b a b⋅⨯===+ 故答案为：三、解答题8．（2021·四川乐山·高一期末）已知()11,0e =，()20,1e =，122a e e λ=+，12b e e =-，且//a b .（1）求λ的值；（2）求向量a 与向量122c e e =+夹角的余弦.【答案】（1）2-；（2） 【分析】（1）先求出,a b 的坐标，再利用//a b 列方程可求出λ的值； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可 【详解】解：（1）由题知()()2,00,a λ=+()2,λ=，()()()1,00,11,1b =-=-，△//a b ，△121λ-=， △2λ=-，（2）由（1）知()2,2a =-，()1,2c =， 令a 与c 的夹角为θ， △cos a c a cθ⋅=⋅===. 9．（2021·云南玉溪·高一期末）已知||35,(1,2)a b ==，且a b λ=． （1）求a 的坐标；（2）当0λ>时，若(3,4)c =-，求a 与c 的夹角的正弦值．【答案】（1）(3,6)a =或(3,6)a =--；（2. 【分析】（1）由a b λ=可得(,2)a λλ=，再由||35a =，可求出λ的值，从而可求出a 的坐标；（2）直接利用向量的夹角公式求解 【详解】解（1）(1,2)(,2)a b λλλλ===，2||4||53a λλλλ=+===±，△(3,6)a =或(3,6)a =--， （2）当0,(3,6)a λ>=，9cos ,9a c ===+，因为,[0,]a c π∈，所以sin ,1a c ⎛=-= ⎝，即a 与c 10．（2021·江苏常州·高一期末）已知O 是坐标原点，向量()()2,3,6,1(,0)OA OB OP x ===，，（1）若PA PB ⊥，求实数x 的值；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求ABP △的面积． 【答案】（1）3或5；（2）4.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示即可求解.（2）根据向量数量积的坐标表示得出当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-，再由向量数量积的坐标表示求出向量夹角余弦值，根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为(2,3)OA =，(6,1)OB =，(,0)OP x =， 所以(2,3)PA x =-，(6,1)PB x =-，又因为PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=，即(2)(6)30x x --+=也即28150x x -+=，解得3x =或5x ，则所求实数x 的值为3或5． （2）由（1）知PA PB ⋅=(2)(6)3x x --+=22815(4)1x x x -+=--， 当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-， 此时(2,3)PA =-，(2,1)PB =，则cos ,13PA PB PA PB PA PB⋅<>===⨯，又在ABP △中，,(0,)PA PB π<>∈，则sin ,1PA PB <>=，ABP △的面积为12S PA PB =⨯⨯⨯sin ,PA PB <>142== 11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知平面向量(3,2)a =-，(1,)b y =-且b a -与(2,1)c =共线. （1）求y 的值；（2）若2m a b =+，n a c =-，求向量m 与向量n 所夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2. 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出b a -，再根据b a -与(2,1)c =共线即可求得y 的值；（2）根据向量线性运算的坐标表示求出,m n ，再根据cos ,||||m nm n m n ⋅=即可求得向量m 与向量n 所夹角的余弦值.【详解】解：（1）由题意得：(2,2)b a y -=--，(2,1)c =， 因为b a -与c 共线， 所以(2)12(2)0y -⨯--=， 解得y 3=.（2）由（1）可知(1,3)b =-，于是2(7,7)m a b =+=-，(1,3)n a c =-=-， 设向量m 与向量n 夹角为θ，则28cos ||||72m n m n θ⋅===题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题 1．（2021·山东泰安·高一期末）已知向量(1,0)a =，(2,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】求出两向量的模及数量积，根据cos ,a b a b a b⋅=即可求解.【详解】解：1,22a b ==，2a b ⋅=-， 所以2cos ,2a b a b a b⋅==-，又因[],0,a b π∈， 所以a 与b 的夹角为34π. 故选：D.2．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．56π 【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到40a b ⋅=，即可得解； 【详解】解：因为||||a b a b +=-， 所以()()22a ba b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，所以a b ⊥，即a 与b 的夹角为2π； 故选：C 二、多选题3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）点P 是ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状不可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】ACD【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可得0AC AB ⋅=，进而可求． 【详解】解：因为|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，2PB PC PA PB PA PC PA AB AC +-=-+-=+，所以||||||CB AB AC AB AC =+=-， 两边同时平方得0AC AB ⋅=， 故AB AC ⊥，即2A π∠=，则ABC 的形状为直角三角形． 故选：ACD ． 三、填空题4．（2021·湖南·高一期末）若向量a ，b 满足10a =，5b =，5a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为_________. 【答案】34π【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】5cos ,||||10a b a b a b ⋅-<>===⋅∴夹角为34π，故答案为：34π. 5．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知向量||3a =，||2b =，(2)(2)1a b a b +⋅-=，则a 与b 的夹角为______． 【答案】23π【分析】对(2)(2)1a b a b +⋅-=化简计算可求出a b ⋅，再利用向量的夹角公式可求得结果 【详解】由(2)(2)1a b a b +⋅-=，得222321a a b b +⋅-=， 因为||3a =，||2b =，所以18381a b +⋅-=，解得3a b ⋅=-， 设a 与b 的夹角为θ，则31cos 322a b a bθ⋅-===-⨯， 因为[0,]θπ∈，所以23πθ=， 故答案为：23π 四、解答题6．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知平面向量a ，b 满足2=a ，3b =，()()2334a b a b -⋅+=-．（1）求向量a 与b 的夹角θ； （2）当实数x 为何值时，xa b -与3a b 垂直．【答案】（1）23πθ=；（2）245x =-. 【分析】（1）由()()2334a b a b -⋅+=-化简再结合2=a ，3b =可求出向量a 与b 的夹角；（2）要xa b -与3ab 垂直，只需()()30xa b a b -⋅+=，化简可求出x 的值.【详解】（1）由()()223423253a b a b a a b b -=-⋅+=+⋅-182730cos cos ,0π2θθθ=-+⇒=-≤≤，得23πθ=． （2）当xa b -与3a b 垂直时，()()()223313xa b a b xax a b b -⋅+=+-⋅-()24631cos2752403x x x π=+--=--=， 所以245x =-． 【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.7．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b = ，求a 与a b +的夹角的余弦值．【分析】由模、夹角求a b ⋅，应用向量数量积的运算律求||a b +，令a 与a b +的夹角为α，则有cos α=a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |即可求余弦值. 【详解】△向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b = ， ∴a ⋅b ⃗ =|a ||b ⃗ |cos 3π4=−6，|a +b ⃗ |=√a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√5， 设a 与a b +的夹角为α，则cos α=a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |=a⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |=3×√5=√55，∴a 与a b + 题型六：坐标公式法求平面向量的模 一、单选题 1．（2021·吉林·长春市第二十九中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(,4)b x =，且a b ⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D ．8【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得x 的值，得到向量b 的坐标，进而计算其模. 【详解】由题意，24=0a b x ⋅=-+⨯,解得8x =，所以(8,4)=b ，所以22||8+4b = 故选：C. 二、双空题2．（2021·北京通州·高一期末）已知点A （1，1），点B （5，3），将向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ，则点C 坐标为________；||BC =________．【答案】 (1,5)-【分析】由于向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ，结合旋转后两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C 坐标，再结合向量的模长公式，即可求解 【详解】解：设点C 的坐标为(,)x y ，因为点A （1，1），点B （5，3），所以(4,2),(1,1)AB AC x y ==--， 因为向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ， 所以0AB AC ⋅=，AB AC =，所以4(1)2(1)0x y -+-=，且22(1)(1)20x y -+-=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或15x y =-⎧⎨=⎩，因为逆时针旋转，所以点C 的坐标为(1,5)-， 所以(6,2)BC =-，所以(BC =-故答案为：(1,5)-，三、填空题3．（2022·青海海东·高一期末）已知向量()4,a x =-，()3,2b =，若a b ⊥，则a =________．【答案】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出x 的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a b ⊥，所以4320x -⨯+=，得6x =，故()24a =-故答案为：4．（2021·北京市育英学校高一期末）已知向量()1,3a =，3,1b 则3+a b 为___________【答案】【分析】先求出3a b +的坐标，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为向量()1,3a =，3,1b所以()((31,3a b +=+=，所以(2342a b +=+=故答案为：5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二期末）已知()3,2,2,2a x b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()a b a -⊥，则2a b +=___________.【答案】【分析】由数量积公式得出1x =，再由模长公式求2a b +.【详解】由()a b a -⊥得()12,,202x x ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即2210x x -+=，解得1x =由2(5,5)a b +=得522a b +=故答案为： 四、解答题6．（2021·北京昌平·高一期末）已知向量()1,2a =，()3,2b =-. （1）求a b -；（2）求向量a 与向量b 的夹角θ的余弦值；（3）若10c =，且()2a c c +⊥，求向量a 与向量c 的夹角.【答案】（1）（2）；（3）3,4a c π=.. 【分析】（1）先求出a b -的坐标，再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由()2a c c +⊥，得()20a c c +⋅=化简结合已知条件可得答案 【详解】解：（1）因为()1,2a =，()3,2b =-， 所以()2,4a b -=-.所以(2)a b -=-=（2）因为132(2)1a b =⨯+⨯--⋅=，212a =+23(b =+所以c 1os 5a b a bθ-=⨯⋅==（3）因为()2a c c +⊥， 所以()20a c c +⋅=.即220a c c ⋅+=.所以22cos ,0a c a c c +=.即2cos ,100a c +=， 所以2cos ,2a c =-因为[],0,a c π∈， 所以3,4a c π=. 题型七：转化法求平面向量的模 一、单选题1．（2021·湖南·高一期末）已知向量a ，b 的夹角为4π，()3,4a =-，10a b ⋅=，则b =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由10a b ⋅=可得cos104a b π=，再由()3,4a =-，可求出5a =，从而可求得b【详解】解：由()3,4a =-，得2(3)5a =-=，因为向量a ，b 的夹角为4π，10a b ⋅=，所以cos 104a b π=，所以510b =，解得b = 故选：A 二、多选题2．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，下列说法正确的是（ ）A ．a b c +=B ．AC 在a 上的投影向量为aC ．()()a a cb bc ⋅=⋅ D ．5a c +=【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A ；根据向量投影的定义，可判断B ；分别计算左、右两边，可判断C ；由22=(2)a c a b a b +=++，计算可判断D. 【详解】如图，可知+a b AB BC AC c +===，故A 正确； 由图可知AC 在a 上的投影向量为a ，故B 正确；因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，所以()00a b c c ⋅==，又2()1b c b a b a b b ⋅=⋅+=⋅+=，所以()=a c a b ⋅，所以()()a a c b b c ⋅≠⋅，故C 错误；因为|a +c |=|2a +b ⃗ |=√(2a +b ⃗ )2=√4a 2+4a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=√4+1=√5，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题3．（2021·四川资阳·高一期末）已知向量a 与b 的夹角为23π，且1a b ==，则2a b -=___________．【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案. 【详解】由题意得，222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b b θ-=-=-⋅+=-⋅⋅+，代入计算，得原式=故答案为:4．（2021·湖北孝感·高一期末）已知向量a ，b 满足22b a ==，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b +=__________.【答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可． 【详解】解：因为向量a ，b 满足22b a ==，且向量a 与b 的夹角为60︒，所以22|2|4444a b a a b b +=+⋅+=+故答案为： 四、解答题5．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，a b ⊥，若2m a b =+，3n a b =-+．（△）求m n ⋅； （△）求2m n +.【答案】（△）-10；（△【分析】（△）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解m n ⋅即可；（△）首先求出2m n +，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解|2|m n +． 【详解】解：（△）平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，a b ⊥，2m a b =+，3n a b =-+．22(2)(3)325342110m n a b a b a b a b ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-⨯+⨯=-．（△）因为2m a b =+，3n a b =-+． 所以()22235m n a b a b a b +=+-+=-+，．所以22|2||5|1025425m n a b a a b b +=-+=-⋅+=+=6．（2021··高一期末）已知2a =，3b =，()()2219a b a b +⋅-=-. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b +.【答案】（1）3π；（2） 【分析】（1）若向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件可得2223cos 219a a b b θ-⋅-=-，即可求向量a 与b 的夹角；（2）利用向量数量积的运算律有222244a b a a b b +=+⋅+，即可求模. 【详解】（1）由题意，2223219a a b b -⋅-=-，若向量a 与b 的夹角为θ， △2223cos 219a a b b θ-⋅-=-，即818cos 1819θ--=-，得1cos 2θ=， △3πθ=； （2）222222444cos 4523a b a a b b a a b b π+=+⋅+=+⋅+=，∴252a b +==一、单选题1．（2021·重庆·高一期末）已知a →是单位向量，a →与b →的夹角是3π，且a b →→+=， 则b →=（ ）A ．12 B ．1 C D ．2【答案】D【分析】把a b →→+=的两边同时平方化简即得解.【详解】解：由题a b →→+=2221+27,12||||72a ab b b b →→→→→→+=∴+⨯⨯+=所以2||+||60,||2b b b →→→-=∴=或||3b →=-（舍去）. 故选：D2．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，E 为 CD 的中点，则AB AE ⋅的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出12AE AD AB =+，然后根据数量积的运算法则求得答案.【详解】由题意得：12AE AD DE AD AB =+=+ , 故211()22AB AE AB AD AB AB AD AB ⋅=⋅+=⋅+ 122cos 60442=⨯⨯+⨯= ，故选：A3．（2021·河南南阳·高一期末）在锐角ABC 中，60B =︒，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2【答案】A【分析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到(C ，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，得到所求范围.【详解】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，60B =︒，2AB AC CB -==，∴(C ，设(),0A xABC 是锐角三角形，∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合）， ∴14x <<，(),0AB x =-，(1AC x =-.则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，∴AB AC ⋅的范围为()0,12.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题.4．（2021·江苏南通·高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．B ．CD 【答案】D【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin ABC ∠=()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠= 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则118A ⎛ ⎝⎭，所以118MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，43020⨯+⨯=所以2743292MA MB MC x ⎛++=- ⎝⎭，则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当32x =时等号成立，所以3154322MA MB MC ++≥ 故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.5．（2020·浙江温州·高一期末）已知平面向量a →，b →，且满足2a a b b →→→→⋅===，若e →为平面单位向量，则a e b e →→→→⋅+⋅的最大值（ ）A ．3B ．C ．4D ．【答案】B【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出23sin 3a e b e πα⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】解：2a a b b →→→→⋅===，设a →与b →的夹角为θ， cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1cos 2θ∴=，则3πθ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭3cos 3ααα⎛⎫==≤ ⎪⎝即a e b e →→→→⋅+⋅≤所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，考查运算能力. 二、多选题6．（2021·浙江湖州·高一期末）在ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且6BC =，2AD =，则（ ）A ．ABC 面积最大值是12B ．cos B ≥C ．AD BE +不可能是5D ．1135,22BE AC ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A 选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B 选项结合余弦定理与均值不等式即可判断；C 选项将AD BE +表示为3122DC DA =-，结合平面向量的数量积的定义以及运算律，求得249121,44AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可判断；D 选项将BE AC ⋅表示为232DC DA =-⋅，进而求出范围即可判断. 【详解】设ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，A ：1163322ABCa a a Sah h h AD ==⨯⨯=≤，当AD BC ⊥时，等号成立，所以ABC 面积最大值是6，故A 错误；B ：在ABD △中，22223255cos 23666AB AB AB B AB AB AB +-+===+≥⨯⨯当566AB AB=，即AB =B 错误； C ：AD BE DA BD DA +=-+++12BD AC =+()12DC DC CA =+- 3122DC DA =- 2222319138532244242AD BE DC DA DC DA DC DA DC DA +=-=+-⋅=-⋅，因为6DC DA ⋅=，所以()6,6DC DA ⋅∈-，所以249121,44AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则711,22AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：()31312222BE AD BE AD DC DA DA DC DA ⎛⎫=+-=-+=+ ⎪⎝⎭，且AC DC DA =-，所以()3122BE AC DC DA DC DA ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭223122DC DA DC DA =--⋅ 232DC DA =-⋅， 又因为()6,6DC DA ⋅∈-，所以231135,222DC DA ⎛⎫-⋅∈ ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BD.7．（2021·湖北鄂州·高一期末）设,Ox Oy 是平面内相交成45︒角的两条数轴，12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12O e P y e x =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP在斜坐标系xOy 中的坐标，计作(,)OP x y =.已知在斜坐标系xOy 中，向量11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则下列结论正确的是（ ） A ．2121(,)AB x x y y =--B ．若OA OB ⊥，则12120x x y y +=C ．(AB x =D ．若AP PB λ=，则OP =1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭. 【答案】AD【分析】先计算1222e e ⋅=，再根据新定义计算AB OB OA =-、0OA OB ⋅=、AB ，判断ABC 的正误，利用线性关系计算111OP OA OB λλλ=+++坐标，判断D 的正误即可.【详解】依题意，1211cos 45e e ⋅=⨯⨯︒=由向量11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则()()22122111OB OA e e e AB x y e y x -==-++()()1221212121(,)x x y y y e x x y e =-=-+--，故A 正确；若OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，即()()()2211212111222122121212x y x y x x y y x y x y e e e e e e e e ⋅=++++⋅+())211222110x x y y x y x y +++==，当12210x y x y +≠时，12120x x y y ≠+，即B 错误； ()()2212112(AB x y y x e e ⎡⎤+⎣=⎦-==C 错误；若AP PB λ=，则()OP OA OB OP λ-=-，解得111OP OA OB λλλ=+++()()1111212122222111111e e e e x x y y x y x y e e λλλλλλλ++++++++++==，即1212,11x x y y OP λλλλ⎛⎫= ⎪++⎭++⎝，即D 正确.故选：AD.8．（2021·广东东莞·高一期末）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则下列结论正确的是（ ）A ．210,3a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭B ．21,3a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ C ．10,3a b πθ⎡⎫-<⇔∈⎪⎢⎣⎭D ．1,3a b πθπ⎛⎤-<⇔∈ ⎥⎝⎦【答案】AC【分析】先计算cos a b θ⋅=，0πθ≤≤，再分别计算1a b +>和1a b -<时对应夹角θ的取值范围，即可判断四个选项的正误.【详解】依题意，1,cos cos a b a b a b θθ==⋅=⋅=，0πθ≤≤.1a b +>，等价于21a b +>，即2221a b a b ++⋅>，即22cos 1θ+>，即1cos 2θ>-，而0πθ≤≤，故1a b +>2πθ⎡⎫⇔∈⎪⎢⎣⎭，即A 正确，B 错误； 1a b -<，等价于21a b -<，即2221a b a b +-⋅<，即22cos 1θ-<，即1cos θ2，而0πθ≤≤，故10,3a b πθ⎡⎫-<⇔∈⎪⎢⎣⎭，即C 正确，D 错误.故选：AC.9．（2021·广东广州·高一期末）ABC 中，2A π=，2AB AC ==，则下列结论中正确的是（ ）A ．若G 为ABC 的重心，则2233AG AB AC =+ B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值4C ．若M 、N 为BC 边上的两个动点，且MN AM AN ⋅的最小值为32D ．已知Q 是ABC 内部（含边界）一点，若1=AQ ，且AQ AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是1 【答案】BC【分析】以A 为坐标原点，分别以,AB AC 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出,,,A B C G 的坐标即可判断A ；将AP 用基底,AB AC 表示，再利由数量积运算计算()AP AB AC ⋅+可判断B ；不妨设M 靠近点B ，BM x =，则0x ≤≤x 表示,M N 两点坐标，计算 AM AN ⋅求最值，可判断C ；设(),P x y ，0,4PBA πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，可得2cos sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，利用向量相等，坐标相等可得,x y 与,λμ的关系，将λμ+表示为关于θ的函数，即可求最值判断D ，进而可得正确选项. 【详解】如图：以A 为坐标原点，分别以,AB AC 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，()2,0AB =，()0,2AC =，对于A ：由重心坐标公式可得22,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22,33AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而2244,3333AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2233AG AB AC ≠+，故选项A 不正确； 对于B ：设()01BP tBC t =≤≤，则()AP AB BP AB tBC AB t AC AB =+=+=+- ()1t AC t AB =+-，所以()()()1AP AB t AC t AB AC AB AC ⎡⎤+⋅+=⋅-⎣+⎦()()22144104t AC t AB AB AC t t +-+⋅=+-+==，故选项B 正确；对于C ：不妨设M 靠近点B ，BM x =，则0x ≤≤2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，21,1N x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22112AM AN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x =AM AN ⋅取得最小值为32，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，由AQ AB AC λμ=+可得()()()(),2,00,22,2x y λμλμ=+=，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，设0,4PBA πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以2cos sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，11sin cos 1122224xy πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得sin 4πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,142πθ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时无最大值，故选项D 不正确， 故选：BC.10．（2021·江苏泰州·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的三个顶点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0，()11,x y ，()22,x y ，设OA a =，OB b =，AB c =，则（ ） A ．()2sin sin sin OABc A B SA B =+B ．()222OABS a b a b=-⋅C ．2OABa b c S R=(R 为OAB 外接圆的半径)D ．122112OABSx y x y =- 【答案】BD【分析】对A ，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对 B ，根据三角形面积公式以及向量的运算即可求解；对C ，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对D ，根据点到直线的距离以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：对A ，由正弦定理知：sin sin sin a b cA B C==， ()22sin sin sin sin 11sin 22sin 2sin OABc A B c A B Sa c B c A B =⋅=⋅=+，故A 错误； 对B ，1sin 2OABS a b AOB =∠ 222sin a b AOB =∠ (221cos a b ⋅=-。
最新冲刺高考数学二轮复习核心考点：平面向量的数量积及其应用(含解析)
专题10 平面向量的数量积及其应用【自主热身，归纳总结】1、 已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________． 【答案】 π3【解析】：设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b |＝21得，21＝()a －b 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋1－2×5×cos θ，即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3.2、已知|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为________． 【答案】. 23π3、已知平面向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，若|a ＋b |＝52，则|b |的值是________． 【答案】5【解析】：因为50＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋20＋|b |2，所以|b |＝5.4、 已知平面向量a ＝(4x,2x)，b ＝（1，2x－22x ），x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________.【答案】. 2【解析】：因为a ⊥b ，所以4x＋2x×2x－22x ＝4x ＋2x －2＝0，解得2x ＝－2(舍)或2x＝1，故a ＝(1,1)，b＝(1，－1)，故a －b ＝(0,2)，故|a －b |＝2.5、如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．【答案】 9【解析】：BC →·DC →＝(OC →－OB →)·(OC →－OD →)＝(OC →＋OD →)·(OC →－OD →)＝OC 2－OD 2，类似AB →·AD →＝AO 2－OD 2＝－7，所以BC →·DC →＝OC 2－OD 2＝OC 2－AO 2－7＝9. 思想根 极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22.在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →·AC →＝AM 2－MC 2.其作用是：用线段的长度计算向量的数量积．6、 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________． 【答案】：5714解法1 因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b |＝a －b2＝5a 2－4a ·b ＝7|a |，cos 〈a ,2a －b 〉＝a a －b |a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.解法2 因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以〈a ，b 〉＝2π3，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2a 2－|a |·|b |cos2π3＝52a 2，|2a －b |＝a －b2＝5a 2－4a ·b ＝5a 2－4|a |·|b |cos 2π3＝7|a |.以下同解法1.解后反思 解法2充分挖掘题目条件“非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |”，可构造一个内角为2π3的菱形，向量a ，b 为此菱形的一组邻边，且其夹角为2π3.类似地，若将条件变为“|a |＝|b |＝|a －b |”，同样可构造一个内角为2π3的菱形，向量a ，b 为此菱形的一组邻边，但其夹角应为π3. 7、 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________．【答案】： 1或－14解法 1 由题意可得AP →－AB →＝BP →＝λAC →.又CP →＝AP →－AC →＝AB →＋(λ－1)AC →，所以BP →·CP →＝λAB →·AC →＋λ(λ－1)|AC →|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.解法2 建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2,0)，设P (x ，y )．所以AP →＝(x ，y )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，AC →＝(2,0)．又因为AP →＝AB →＋λAC →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ＋12，y ＝32，所以BP →＝(2λ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ－32，32.由BP →·CP →＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.解后反思 用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算8、如图，在△ABC 中，已知边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为________．【答案】 6思路分析 解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE 长，且点B ，C ，D ，E ，F 共线，故可以用向量AE →，ED →作为基底．解法3(基底法) 因为E 在中线AD 上，所以可设AE →＝λ(AB →＋AC →)，则EB →＝(1－λ)AB →－λAC →，同理EC →＝(1－λ)AC →－λAB →，所以EB →·EC →＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由AD →·E C →＝0，得(AB →＋AC →)·[(1－λ)AC →－λAB →]＝0，可解得λ＝17.从而EB →·EC →＝－3－67＝－277.解后反思 对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解.【关联2】、 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ▲．【答案】 [21,1]-解法1 （坐标法） 以OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立平面直角坐标系，则)0,1(A ，)1,0(B ，则直线，由于点P 在单位圆在第一象限的圆弧上，可设，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，设点P 关于直线AB 的对称点),(11y x Q ，则，可得，即 所以令，则[]2,1∈t 且故，所以OP OQ ⋅的取值范围为[21,1]-．解法2 （极化恒等式） 设PQ 的中点为M ， 则，根据图形可得，当点P 与A （或B ）重合时，点Q 与P 1=OM0=MP，则，当点P 位于弧AB 的中点时，，，则，所以QPOP OQ ⋅的取值范围为1,1]．解法3 （特殊位置法） 注意到本题图形的对称性，易得OP OQ ⋅的最大值和最小值在点P 位于弧AB 的端点或中点时取得，当点P 与A （或B ）重合时，点Q 与P 重合，此时，故OP OQ ⋅1=；当点P 位于弧AB 的中点时，如图，设OP 与AB 相交于点H ，则，故，可得，所以OP OQ ⋅的取值范围为1,1]．解后反思：解决平面向量数量积的综合问题最常用的两种方法是坐标法和基底法，坐标法首先需要根据图形建立适当的平面直角坐标系，然后表示目标向量的坐标；基底法则需要选择一对不共线的向量作为基底表示目标向量，然后利用向量的运算法则进行处理.另外，注意到本题是填空题，涉及的图形的对称性，可以考虑利用特殊法计算，也充分体现了小题小做，小题巧做的思想.【变式3】、．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为 ▲ ．【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法1，建立坐标系，设，(0)2πα∈，，得到M,N 坐标，建立以角a 的函数关系式；解法2，两个向量不共起点，可以转化为以B 为起点的向量，运用向量数量积的定义得到关于AM uuuu r的函数，换元转化二次函数，求最值；解法3，建立坐标系后，设出直线BN 和BM方程，,M N 为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出,M N的坐标，得到一个关于斜率k 的函数关系式，换元后求最值.【答案】14【解法1】（坐标法）以点B 为坐标原点，线段AC 所在的直线为x 轴，建立平面坐标系。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习32---平面向量的数量积及平面向量的应用
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第32讲平面向量的数量积及平面向量的应用考点知识：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识梳理1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π]．(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,4)，则(a －b )·a ＝( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D ．14 答案 B解析 由题意得a －b ＝(－1，－3)，则(a －b )·a ＝－1－3＝－4. 3．设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．4．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3答案 C解析因为BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，所以|BC→|＝12＋(t－3)2＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1,0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.5．(2021·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则向量a，b的夹角为( )A.π6Bπ4C．π3D．2π3答案 C解析由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝12b2＝12，设向量a、b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝12，又θ∈[0，π]，所以向量a、b的夹角为π3.6．(2022·全国Ⅰ卷)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝________. 答案 5解析因为a⊥b，所以1×(m＋1)＋(－1)×(2m－4)＝0，解得m＝5.考点一 平面向量的数量积运算1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案 B解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.2．(2022·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析 法一 ∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (2,1)，∴|PD →|＝(2－0)2＋(1－2)2＝ 5. 易得PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)． ∴PB →·PD →＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD 中，由AP →＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC 的中点，∴|PD→|＝12＋22＝ 5.PB→·PD→＝PB→·(PC→＋CD→)＝PB→·PC→＋PB→·CD→＝－PB→2＋0＝－1.3．(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________.答案－1解析如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.则BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝AD→·AB→＋AD→·BE→－AB→2－AB→·BE→＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.4．(2022·新高考山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是( )A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)答案 A解析法一如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x，y)，则AP→＝(x，y)，AB→＝(2,0)，且－1＜x＜3.所以AP→·AB→＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A.法二AP→·AB→＝|AP→|·|AB→|·cos∠PAB＝2|AP→|·cos∠PAB，又|AP→|cos∠PAB表示AP→在AB→方向上的投影．结合几何图形，当点P与F重合时投影最小，当P与点C重合时，投影最大，又AC→·AB→＝23×2×cos 30°＝6，AF→·AB→＝2×2cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内时，－2<AP→·AB→<6.感悟升华 1.计算平面向量的数量积主要方法：(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)活用平面向量数量积的几何意义．2．解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．考点二向量数量积的性质及应用角度1 夹角与垂直【例1】(1)(2022·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b(2)(2022·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a ＋b〉＝( )A．－3135B．－1935C．1735D．1935答案(1)D (2)D解析(1)易知a·b＝|a||b|cos 60°＝1 2，则b·(a＋2b)＝52≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－32≠0，b·(2a－b)＝0.因此b⊥(2a－b)．(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝a·(a＋b)|a||a＋b|＝a2＋a·b|a||a＋b|＝25－65×7＝1935.角度2 平面向量的模【例2】(1)(2021·南昌模拟)设x，y∈R，a＝(x,1)，b＝(2，y)，c＝(－2,2)，且a ⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝( )A．234 B．26 C．12 D．210(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．答案(1)A (2)2＋1解析(1)因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1,1)，因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，则b＝(2，－2)．所以2a＋3b－c＝(10，－6)，则|2a＋3b－c|＝234.(2)法一由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC→|＝ 2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.法二由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1,0)，OB→＝b＝(0,1)．设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上．所以|c|max＝2＋1.法三易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，由已知得||c|－2|≤1，所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.感悟升华 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解．没有坐标时可用公式cos θ＝a·b|a||b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π]．3．向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率．【训练1】(1)(2021·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb 与b垂直，则λ＝( )A．－2 B．2 C．－1 D．1(2)(2022·河南部分重点中学联考)已知单位向量a，b的夹角为θ，且tan θ＝12，若向量m＝5a－3b，则|m|＝( )A. 2 B． 3 C．26 D．2或26答案(1)C (2)A解析(1)a＋λb与b垂直，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.(2)依题意|a |＝|b |＝1，又θ为a ，b 的夹角，且tan θ＝12，∴θ为锐角，且cos θ＝2sin θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，从而cos θ＝255. 由m ＝5a －3b ，∴m 2＝(5a －3b )2＝5a 2＋9b 2－65a ·b ＝2，因此|m |＝ 2. 考点三 平面向量的综合应用【例3】 (1)(2022·天津卷)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为__________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．答案 16132解析 因为AD →＝λBC →， 所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332，所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332， DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－332， 所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132.所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.(2)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . ①求角C 的大小；②若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 ①m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 在△ABC 中，A ＋B ＝π－C,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12.又因为C∈(0，π)，故C＝π3.②由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c ＝a＋b.因为CA→·(AB→－AC→)＝18，所以CA→·CB→＝18，即ab cos C＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.感悟升华 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算．(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决．2．解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．【训练2】(1)(2022·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若AC→·BC→＝1，则点C的轨迹为( )A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线(2)(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB→·AC→＝6AO→·EC→，则ABAC的值是________．答案 (1)A (2) 3解析 (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a,0)，(a,0)(a >0)，点C 为(x ，y )，则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1.因此点C 的轨迹为圆．故选A.(2)法一 如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点．又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC →－AE →＝AC →－13AB →，所以6AO →·EC →＝32(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AC →－13AB →＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB→2＝3AC →2，所以ABAC＝ 3.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．设E (1,0)，C (a ，b )，则B (3,0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎪⎬⎪⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝ba －1(x －1)⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC →，∴(3,0)·(a ，b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )， 即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋3)(a －1)4＋b 24， ∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝ 3.∴AB AC ＝33＝ 3.平面向量与三角形的“四心”向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题效率． 设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.一、平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A ．△ABC 的内心 B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心 D ．AB 边的中点 答案 C解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →， 而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 二、平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB→＋yOC →，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063 B ．1463C ．4 3D ．6 2 答案 B解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝146 3.三、平面向量与三角形的“外心”问题【例3】(2021·长春质检)在△ABC中，O为其外心，OA→·OC→＝3，且3OA→＋7OB→＋OC→＝0，则边AC的长是________．答案3－1解析设△ABC外接圆的半径为R，∵O为△ABC的外心，∴|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝R，又3OA→＋7OB→＋OC→＝0，则3OA→＋OC→＝－7OB→，∴3OA→2＋OC→2＋23OA→·OC→＝7OB→2，从而OA→·OC→＝32R2，又OA→·OC→＝3，所以R2＝2，又OA→·OC→＝|OA→||OC→|cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝3，∴cos∠AOC＝32，∴∠AOC＝π6，在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOC＝R2＋R2－2R2×32＝(2－3)R2＝4－2 3.所以AC＝3－1.四、平面向量与三角形的“垂心”问题【例4】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 答案 B解析 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.A 级 基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D ．152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k＝3，选C.2．(2021·新乡质检)已知向量a＝(0,2)，b＝(23，x)，且a与b的夹角为π3，则x＝( )A．－2 B．2 C．1 D．－1 答案 B解析由题意得a·b|a||b|＝2x2·12＋x2＝12，则2x＝12＋x2，解之得x＝2，x＝－2(舍去)．3．(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若CE→＝－7DE→，3BF→＝FC→，则AF→·BE→＝( )A．11 B．10 C．－10 D．－11答案 D解析以A为坐标原点，建立直角坐标系如图．则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5,1)，所以AF→＝(5,1)，BE→＝(－3,4)，则AF→·BE→＝－15＋4＝－11.4．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )A.π3B．2π3C．5π6D．π6答案 D解析设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝3，设向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝a·(a＋b)|a|·|a＋b|＝a2＋a·b|a|·|a＋b|＝|a||a＋b|＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.5.在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→＝2MA→，CN→＝2NA→，则BC→·OM→的值为( )A．－15 B．－9 C．－6 D．0答案 C解析连接OA.在△ABC中，BC→＝AC→－AB→＝3AN→－3AM→＝3(ON→－OA→)－3(OM→－OA→)＝3(ON→－OM→)，∴BC→·OM→＝3(ON→－OM→)·OM→＝3(ON→·OM→－OM→2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.6．已知向量OA→，OB→满足|OA→|＝|OB→|＝2，OA→·OB→＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|OC →|的最小值为( )A ．1B ．52 C ． 2 D ． 3 答案 D解析 |OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝[λOA →＋(1－λ)OB →]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA →·OB →，因为OA →·OB →＝2，所以|OC →|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋3，当λ＝12时，|OC →|取得最小值 3. 二、填空题7．(2019·全国Ⅲ卷)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________. 答案23解析 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 8．(2022·全国Ⅰ卷)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案 3解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，利用平行四边形法则得OC →＝a ＋b ，∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴△OAC 为正三角形，∴|BA →|＝|a －b |＝2×32×|a |＝ 3.9．(2022·郑州模拟)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→＋MD→|的最小值为________．答案 3解析以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，由于BC＝2，AD＝1.∴C(2,0)，D(1，a)．则MC→＝(2，－b)，MD→＝(1，a－b)，∴MC→＋MD→＝(3，a－2b)．因此|MC→＋MD→|＝9＋(a－2b)2，∴当且仅当a＝2b时，|MC→＋MD→|取得最小值3.三、解答题10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cos x＝3sin x.若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3. B 级 能力提升11．(2021·石家庄调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a －b )⊥(3a －b )，则a 与b 的夹角的最大值为( ) A.π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案 A解析 设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为(a －b )⊥(3a －b )，所以(a －b )·(3a －b )＝0.整理可得3a 2－4a ·b ＋b 2＝0，即3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0.将|a|＝1代入3|a|2－4a·b＋|b|2＝0，可得3－4|b|cos θ＋|b|2＝0，整理可得cos θ＝34|b|＋|b|4≥234|b|×|b|4＝32，当且仅当34|b|＝|b|4，即|b|＝3时取等号，故cos θ≥32，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为π6.12．(2022·长沙联考)已知点O为坐标原点，向量OA→＝(1,2)，OB→＝(x，y)，且OA→·OB→＝10，则|OB→|的最小值为________．答案2 5解析由题意知|OB→|＝x2＋y2，x＋2y＝10，∴点B在直线x＋2y－10＝0上，∴|OB→|的最小值为点O到直线x＋2y－10＝0的距离．则|OB→|min＝|0＋0－10|12＋22＝105＝2 5.13．(2022·浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤ 2.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________．答案28 29解析因为单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤2，所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥3 4 .因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝(a ·b )2|a |2|b |2＝[(e 1＋e 2)·(3e 1＋e 2)]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2＝(4＋4e 1·e 2)2(2＋2e 1·e 2)(10＋6e 1·e 2)＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t， 又y ＝4＋4t 5＋3t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增， 所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829， 所以cos 2θ的最小值为2829. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35， 得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得asin A＝b sin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2·5c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
专题22 平面向量的数量积-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破
专题22 平面向量的数量积1.向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA →＝a ，OB →＝b ，则 叫做向量a 与b 的夹角；范围是 . a 与b 的夹角为 时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝ ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝ . ②模：|a |＝a ·a ＝ .③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝ .平面向量的数量积求夹角求模④夹角：cos θ＝＝.⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔．(2)平面向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1.求向量的夹角2.求向量的模3.求向量的数量积一．选择题：本大题共18小题，每小题4 分，满分72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－62.设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3D．－113.已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．34.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A ．4B ．3C ．2D ．05. 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A ．5 B ．6 C ．17D ．266. 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ．3 B ．23 C ．4D ．127. 已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28. 已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n ).若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B ．2 C ．2D ．49. 若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．53D ．－5310. 已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB →·AC →等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．211. 已知向量BA →＝(12，32)，BC →＝(32，12)，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°12. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．32D ．－3213. 在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－22D ．2214. 若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．1215. 已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(k a ＋b )⊥(a －2b )则k ＝( ) A ．43B ．－43C ．34D ．－3416. 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A ．5 B ．10 C ．5D ．2517. 已知a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，若(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．318. 已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分 28 分.19. 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，则AB →·BC →＝__ __，BC →·CA →＝__ __，CA →·AB →＝__ __.. 20. 已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝____.21. 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝__ __..22. 已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝4，|b |＝3，则|a －3b |＝__ __. 23. 已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝__ __.24. 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__ __.． 25. 若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x ＝__ __.专题20 等差、等比数列综合（参考答案）1.向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角；范围是 [0，π] . a 与b 的夹角为 π2 时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝ |a ||b |cos θ ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝ x 1x 2＋y 1y 2 . ②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21 .③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.④夹角：cos θ＝a ·b|a ||b | ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ⑤已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a (交换律)．②λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．12345678910111213答案 A C C B A B B C A B A A B 题号1415161718答案C C B C C题号19 20 21 22答案0,-16,-16233133题号23 242512π3。
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
2021高考数学二轮专题复习专题二第3讲 平面向量数量积的最值问题
第3讲 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13， 当且仅当t ＝12时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13.(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为________．答案 5－213解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≤θ≤2π3， 则PC →·PA →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6， 当θ＝π2－φ时，PC →·PA →取得最小值，为5－213. 数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．1．在△ABC 中，若A ＝120°，A B →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．答案 6解析 由AB →·AC →＝－1，得|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，所以|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，当且仅当|AB →|＝|AC →|＝2时等号成立，所以|BC →|min ＝ 6.2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32， 解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332. 以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72. 又D ⎝⎛⎭⎪⎫1，332， 所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，－332， 所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132.所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132. 3．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．答案 －54解析 不妨设e ＝(1,0)，a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R )，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，故|a ＋b |＝1＋(m ＋n )2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，则mn ≤34， 所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54， 当且仅当m ＝n ＝32时等号成立， 所以a ·b 的最大值为－54. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________． 答案 2解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°， 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，－12≤x ≤32， 因为MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－32，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ，－32， 所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14. 设f (x )＝(x －1)2－14，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32， 所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2.。
高考高考数学二轮复习第二部分第一讲高考常考客观题微专题2平面向量、复数学案理
微专题2 平面向量、复数命 题 者 说考题 统 计考 情 点 击2018·全国卷Ⅰ·T 1·复数的运算 2018·全国卷Ⅰ·T 6·平面向量的线性运算 2018·全国卷Ⅱ·T 1·复数的运算 2018·全国卷Ⅱ·T 4·平面向量的数量积运算2018·全国卷Ⅲ·T 2·复数的运算2018·全国卷Ⅲ·T 13·平面向量的坐标运算高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。
包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合；②复数的运算。
包括复数的概念、几何意义及四则运算。
以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。
考向一 平面向量微考向1：平面向量的线性运算【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → (2)(2018·重庆调研)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫712，1D ．(2,3)解析 (1)解法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB→－14AC →，故选A 。
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
高考微专题平面向量问题常用处理方法归纳
1 【高考微专题】“越过千山，大道至简” ——平面向量常用处理方法归纳【主要内容】平面向量常用处理方法：基底法、平方法、投影法、解析法、数形结合、综合分析等.拓展内容有：极化恒等式、等和线等内容. 【互动精讲】 1、基底法在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________． 【答案】16-【解析】方法一：基底法()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅AM【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ）A.B. C. D.【答案】C 【解析】方法一：基底法()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC AD BC AB AF AE μλμλ， ()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλAB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 1223567122 令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ. 方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF ()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ， ()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ 【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理.. 2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =. 【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )ABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +CABP3 A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=- C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ= D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=- 【答案】C 【解析】方法一：平方法对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理，易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向， 而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线， 故选项C 正确. 方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向， 下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为33，则||AP 的最小值为 【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得：AD AC t AP 32+=，又P D C 、、 三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴， 则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫⎝⎛+=， 又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ， 26||||2316||||31||22=+≥++=∴AC AB AC AB AP ， 当且仅当6||||==AC AB 时取等号.4 【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（ ） A.若确定，则||a |唯一确定 B.若确定，则||b 唯一确定 C.若||a 确定，则唯一确定 D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B 【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理. 3、投影法平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值； ②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影； ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <> ④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C 【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP 的投影是2，所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( )A ．12-B.12θt θθθθ(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=5 C ．32-D. 32【答案】A 【提示】投影法()2||41||||41-=⋅-=⋅=-⋅，又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ， 2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ．【答案】332【提示】方法一：投影法 由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e e ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，321π=e e ，则向量b 如图所示， 由几何关系易得332||=方法二：坐标法建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,=易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x 332||=∴ 方法三：数形结合 121=⋅=⋅b e b e ， 01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe e ，1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =6 21θθ=∴，又2121=⋅e e ，321π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍） 代回已知11=⋅e ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述三种情况都有可能 【答案】B 【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角. 4、坐标法几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
平面向量的数量积
平面向量的数量积在解析几何中，平面向量的数量积是一种常见且重要的运算。
通过求取两个向量的数量积，我们可以得到向量的夹角以及向量的投影等有用信息。
本文将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方式以及其在几何学和物理学中的应用。
一、概念平面向量是具有方向和大小的箭头，一般用有序数对(a, b)表示，其中a表示该向量在x轴上的投影，b表示该向量在y轴上的投影。
为了方便计算，我们可以使用向量与坐标轴形成的三角形，其中向量的起点位于原点，以及向量的终点位于坐标轴上。
平面向量的数量积又称为点积或内积，通常用符号"·"表示。
对于平面向量u和v，它们的数量积定义为u·v = |u||v|cosθ，其中|u|和|v|分别表示向量u和v的模长，θ表示u和v之间的夹角。
二、计算方式计算平面向量的数量积可以使用以下公式：u·v = a₁a₂ + b₁b₂，其中u=(a₁, b₁)、v=(a₂, b₂)。
根据该公式，我们可以很容易地计算出两个向量的数量积。
另外，数量积也可以写成向量形式：u·v =|u||v|cosθ，其中u、v分别表示向量u和v，θ表示夹角。
三、性质平面向量的数量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：u·v = v·u2. 分配律：k(u+v) = ku + kv，其中k为任意实数3. 数量积与夹角的关系：u·v = 0，当且仅当两个向量垂直，即夹角为90度4. 数量积与模长的关系：u·v = |u||v|cosθ5. 数量积为零的性质：若u·v = 0，则u和v线性无关四、应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 判断向量垂直：通过计算两个向量的数量积，若结果为0，则可以判断这两个向量垂直。
2. 计算夹角：通过计算两个向量的数量积，利用cosθ = u·v / (|u||v|)，我们可以求得两个向量的夹角。
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ABC内一点(含边界),若满足 BP
= 1 BA+λ BC(λ∈R),则 BA· BP
的取值范围为
.
4
答案
85 , 245
解析
取 BD
= 1 BA
, CE
= 1 CA
,由点P为△ABC内一点(含边界),且 BP
= 1 BA
+λ
4
4
4
BC
,得点P在线段DE上,λ∈ 0, 34
.
答案 7
8
解析
设 BD
=a, DF
=b,则 BA
·C A
=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4, BF
·C F
=(a+b)·(-a+
b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2= 13 ,|b|2= 5 ,则 BE
8
8
·C E
=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2= 78 .【方法
则 BF ·C F =
.
答案 - 1
4
解析
设 BD
=a, DF
=b,则|a|=1, BE
·C E
=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=2,则|b|2= 34,则
BF
·C F
=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1 .
4
1-2 (2018常州教育学会学业水平检测)在△ABC中,AB=5,AC=7,BC=3,P为△
归纳】 基底法求解向量问题时基底的选择很重要,用基底表示其他向量是
求解的关键.由基底的定义可得只要两个向量不共线都可以作为基底,但实际
上基底的选择是很有讲究的,一般地,选择长度、夹角已知的向量为基底,若
没有长度、夹角已知的向量,则选择与题中涉及的向量都相关的不共线向量
作为基底.
1-1 在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, BE ·C E =2,BC=2,
2
题型二 利用坐标法求解
例2 如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径
︵
的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧 EF
上的一点,则 PB
· PC
的取值范 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B
,在△ABC中,由余弦定理得cos
B= 252
9 5
49 3
=-
1 ,则 BA
· BP
= BA ·
1 B A
+λB C
2
4
= 1 B A2
4
+λ BA
·B C
=2 45 -1 25 λ∈
5 8
,
25 4
.
1-3 在△ABC中,AB=4,AC=3,点P是边BC的垂直平分线上任意一点,则 BC·
],则 AE
· BF
=(1, 3
)·(2,y- 3
)= 3
y-1
=1,即y= 2 ,则F 2, 2 ,则 AB
· AF
=(0, 3
)· 2, 2 =2.
3
3
3
2-2 在平行四边形ABCD中,∠A= ,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分
3
别是边BC、CD上的点,且满足|
6 .因为θ∈ 0, 23
,所以θ+ 6 ∈ 6 ,
5
6
,sin θ+ 6 ∈ 12 ,1
,-7-4sin θ+ ∈ 6
[-11,-9],即 PB
· PC
的取值范围是[-11,-9].
【方法归纳】 特殊图形中的向量运算,尤其是向量的取值范围问题,要优先 考虑坐标法,即建立适当的平面直角坐标系,写出或设出相关点的坐标,利用 向量的坐标运算求解,向量的坐标运算的实质是将向量问题代数化,是应用十 分广泛的方法.
CE⊥AD,垂足为E,则 EB· EC的值为
.
答案 解析
- 27
7
以点A为坐标原点, AB方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则B(3,
0),C(-1, 3 ),D 1, 3 ,AD:y= 3 x与CE:2x+ 3 y-1=0联立解得E 2 , 3 ,则 EB
AP =
.
答案 - 7
2
解析 取BC的中点D,则DP⊥BC,则 BC · AP =B C ·( AD +D P )=B C ·A D +B C ·D P =
BC · AD
=( AC
- AB
)·12 (A C
+A B
)=12 (|A C
|2-|A B
|2)=-7 .
微专题2 平面向量数量积问题的常 用处理策略
微专题2 平面向量数量积问题的常用处理策略
题型一 利用基底向量法求解
例1 (2016江苏,13,5分) 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD的两个三
等分点, BA·C A =4, BF ·C F =-1,则B E ·C E 的值是
(4,0),C(-2,2 3
).设P(cos
θ,sin
θ),θ∈ 0, 23
, PB
·P C
=(4-cos
θ,-sin
θ)·(-2-cos
θ,2
3 -sin θ)=(4-cos θ)(-2-cos θ)-sin θ(2 3 -sin θ)=-7-2 3 sin θ-2cos θ=-7-4sin θ +
2-1
在矩形ABCD中,AB= 3
,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 AE
·B F
=1,则 AB · AF 的值为
.
答案 2
解析 以点A为坐标原点,AD、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标 系,
则D(2,0),B(0, 3
),E(1, 3
),设F(2,y),y∈[0, 3
BM
|
=|
CN
|
,则 AM
· AN
的最大值为
.
| BC | | CD |
答案 5 解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于直线AB的直线为y轴,建 立如图所示的平面直角坐标系.
设
| |
BM
BC
| |
=
| |
CN
CD
| |
=λ(0≤λ≤1),所以| BM
|=λ,| CN|=2λ,所以M 2+ λ, 3λ ,N
22
所 52以 2 AλM, 2·3 AN,所∈以[2 A,5M],所· A以N = A5M-4·λA +N 54 的λ-λ取2+值 34λ范=-围λ2-是2λ[+25,5=]-,(则λ+A 1M)2+·A6 .N因的为最λ∈大[0值,1为], 5.
2-3 如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若