一次函数与一次方程
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
13.3一次函数与一次方程、一次不等式安徽省利辛县巩店学区王店中学丁保付教学目标：1.使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。
2.引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。
通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识。
3.通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。
教材分析：函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。
之前，学生已经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。
而本节课通过函数图像动态的变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
通过本节课的探究，学生不仅能加深对函数、方程（组）、不等式的理解，而且能在函数的观点下将三者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通。
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系属于事实性知识；学生在探究三个一次之间关系的过程中，需要在函数运动变化的观点下，经历运用分类、类比，数形结合的思想方法，归纳出解一次方程和不等式的问题，其实是求函数的零点和非零点的问题，这些认知策略能有效地帮助学生积累数学活动经验，掌握学习方法，提高学习效率，因此，这些数学思想方法是元认知知识。
本节课将“三个一次”问题在函数的观点下来集中认识，这种用整体的观点处理问题的方法为今后学习二次函数与一元二次方程的关系，以及高中二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的知识做好知识和认知方法上的准备。
教学重点：探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
教学难点：对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。
学情分析：1．之前，学生已经会解一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数的图像和在数轴上表示不等式的解集，学生具备了接受这节课的知识基础。
一次函数、方程及一次不等式的关系
文峰说：
满200,再购的商品9折
金鹰的优惠方案的起点是购物满
300 元．
文峰的优惠方案的起点是购物满 200 元．
一样 ⑴如果累计购物不超过200元,则两家商场的花费____ ．
文峰 ⑵如果累计购物超过200元而不超过300元,则在____ 花费少. ⑶如果累计购物超过300元. 解:设累计购物 x元 ( x 300) ,如果在文峰花费少则
随堂演练
1、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ；
2、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 3、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，
5、已知函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象， 观察图象并回答问题： (1)x取何值时，2x-4>0? (2)x取何值时，-2x+8>0? (3)x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (4)你能求出函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的 图象与X轴所围成的三角形的面积吗？
收获和体会
实际问题与一元一次不等式
重客隆和新世纪两商店以同 问题1： 样价格出售同样的商品，并且又各自 推出不同的优惠方案：
新世纪
我店累计购买100元商品 后，再购买的商品按原 价的90%收费。
我店累计购买50元商品后，再购 买的商品按原价的95%收费。
重客隆
讨论开始
分析：若新世纪收费＜重客隆收费
系数化为1，得
∴累计购物超过150元时在新世纪购物花费小。
答：
当 0 x 50或 x 150 时，在两家 商店购物没有区别； 当 50 x 150 时，在重客隆购物花 费小； 当 时，在新世纪购物花费小
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系随着数学的学习深入，我们会发现一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系。
在本文中，我将对这三者之间的关系进行探讨。
一元一次方程一元一次方程是数学中非常基础的概念，它表达的是一个未知数的值需要满足的条件。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0（其中a和b为已知数，x为未知数）。
它有且只有一个解，解为x=-b/a。
我们可以通过将未知数表示出来，来解决各种各样的问题。
比如：“丽丽现在的年龄是小明的三倍，而小明现在的年龄是5岁，那么请问丽丽现在的年龄是多少岁？”这个问题可以表示成x=3*5，即x=15岁。
一元一次不等式一元一次不等式也可以表示为类似于ax+b≥0或者ax+b＜0的形式，它要求未知数满足一定的条件。
比如：“一个小卖部卖饮料，每一瓶饮料的成本是1元，销售价格是3元，如果要利润不少于4元，那么至少需要卖出几瓶饮料？”这个问题可以表示成x*2≥4，即x≥2瓶。
一次函数一次函数是以一次方程（即y=kx+b）为基础，表示为y=f(x)的函数。
事实上，一次函数可以通过一元一次方程的解析式来表示出来。
（y-y1）=k(x-x1)对应解析式为y=kx+(y1-kx1)。
因为一次函数中的k的值表示的是斜率，所以通过一次函数可以得到许多信息。
比如：两点之间的距离公式（d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²）就可以表示为一次函数的形式。
如果我们要获得两个点的连线的斜率，那么只需要除以偏移量（即两个点在x轴上的距离）即可。
三者之间的关系可以看到，这三个数学概念之间有着紧密的联系。
具体而言，一元一次不等式可以看成在直线上面的点构成的区域，这个区域里面的点都是满足不等式的，而不在这个区域内的点则不满足这个不等式。
一元一次方程和一次函数则可以在二维坐标系上表示。
其中，一元一次方程对应的是一条直线，而一次函数则对应的是一条斜率为k，截距为b的直线。
第14讲 一次函数与一次方程
D．(－2，0)
2．已知直线y＝ax＋b过点(4，－1)则方程ax＋b＝－1的
解是___x_＝__4___．
【解析】 ∵y＝－1时，x＝4，即4a＋b＝－1，
∴方程ax＋b＝－1的解是x＝4.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
一次函数与一元一次不等式
例2 如图4－14－2，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n(n≠0)的
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
一次函数与一元一次方程 例1 如图4－14－1，根据函数y＝kx＋b(k，b是常数，且 k≠0)的图象，求： (1)方程kx＋b＝0的解； (2)式子k＋b的值； (3)方程kx＋b＝－3的解．
全效优等生
图4－14－1
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ∵直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n(n≠0)的交点的横 坐标为－2，
∴关于x的不等式－x＋m>nx＋4n的解集为x<－2， ∵y＝nx＋4n＝0时，x＝－4， ∴nx＋4n>0的解集是x>－4， ∴－x＋m>nx＋4n>0的解集是－4<x<－2， ∴关于x的不等式－x＋m>nx＋4n>0的整数解为－3.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
一次函数与坐标轴围成的面积 直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为－bk，0，与 y 轴 的交点为(0，b)，这两个交点与坐标原点构成三角形的面积 为 S＝12－bk·|b|.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x＋m>nx＋4n>0的整
一次函数与一次方程的关系
一次函数与一次方程的关系
一次函数与一次方程的关系
一次函数是指一元函数的函数，它的定义式属于 x 的一个一次多项式，即形如 y = ax + b，而一次方程指形如 ax + b = 0 的一元一次方程。
一次函数与一次方程之间存在着密切的联系。
一次方程可以表示为一次函数的值，而一次函数可以用来解决一次方程。
以一次函数形式表示的一次方程可以表示为： ax + b = 0，其中 a 和 b 都是常数。
把 ax + b 中的变量 x 用 y 代替，可以得到：ay + b = 0，即：y = -b/a，此时，已经完全表示为一次函数形式。
用一次函数解决一次方程的具体过程是：首先用一次函数表示一次方程，然后把方程中的变量用 y 代替，最后把函数带入方程，求解变量的值。
例如：3x + 2 = 0，用一次函数表示可以得到：y = - 2/3，根据 y = - 2/3 可以求出 x = - 2/3，即为该方程的解。
一次函数与一次方程之间的联系可以总结为：一次函数可以表示一次方程，也可以用来解决一次方程。
- 1 -。
第3节 一次函数与方程(组)及一元一次不等式
第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式二、核心纲要直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=bk-，直线y=kx+b交x轴于点(bk-,0)，bk-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.注：(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.2.—次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.3.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)① 从“数”看，它是一个二元一次方程； ② 从“形”看，它是一条直线。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y =k 1x +b 1不平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1≠k 2.(2) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y =k 1x +b 1平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2. (3) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2,b 1=b 2.5.比较两个函数值大小的方法 (1) 画图像，求交点.(2) 过交点作平行于y 轴的直线. (3) 谁高谁大.6.数学思想数形结合和转化思想.本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.三、全能突破1.若直线y =(m -3)x +6与x 轴交于点(3,0)，则m 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图19-3-1所示，一次函数y =kx +b 的图像经过A 、B 两点，则kx +b ≥0的解集是( ) A. x >0 B. x ≥—3 C. x >2 D. -3≤x ≤23.已知ax +b =0的解是2,则直线y =ax +b 与x 轴的交点坐标是______。
一次函数与一元一次方程、不等式
2
易错小结
－1＜x＜2
易错点：利用函数图象解不等式时，对函数值和点的坐 标的关系不理解导致出错(数形结合思想).
例1
利用函数图象解出x：3x－2＝x＋4.
先将方程化为ax＋b＝0的形式， 再在坐标系中画出函数y＝ax＋ b的图象，然后观察出直线y＝ ax＋b与x轴的交点坐标，从而 取定所求x的值．
导引：
由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函 数y＝2x－6的图象，如图所示， 由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)， 所以x＝3.
3
C
已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是( ) A．x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1
4
C
【2017·湘潭】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是( ) A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4
5
B
【2017·菏泽】如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
D
【中考·合肥】已知方程 x＋b＝0的解是x＝ －2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是 ( )
2
C
如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( ) A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
2
已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1 200米， 从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟； ②小刚从家出发5分钟时乘上公交车； ③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一次函数和方程关系解不等式的方法一次函数与一元一次不等式
一次函数和方程关系:
一次函数
一元一次方程
形式
y=kx+b
ax+b=0
内容
表示的是一对(x，y)之间的关系，
它有无数对解
表示的是未知数x的值，
最多只有1个值
一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系：
（1）一元一次不等式ax+b>0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值>0的情形；一元一次不等式ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值<0的情形。
（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集。
相互关系
一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根
例如：
y=4x+8与x轴的交点是(2，0),
则一元一次方程4x+8=0的根是x=2。
函数和不等式:
解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（b/k，0）。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x> b/k，不等式kx+b<0的解为：x< b/k；
一次函数及一元一次方程教案
一次函数及一元一次方程教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 引入：通过实际生活中的问题，让学生感受函数的存在，引导学生理解函数的概念。
1.2 一次函数的定义：函数是一种对应关系，一次函数是形如y=kx+b（k、b 为常数，k≠0，x为自变量）的函数。
1.3 一次函数的性质：讨论一次函数的图像，包括斜率k和截距b对图像的影响。
1.4 一次函数的图像：通过绘制函数图像，让学生理解一次函数的增减性和转折点。
第二章：一元一次方程的定义与解法2.1 引入：通过实际问题，引导学生理解方程的概念，让学生感受方程的解决过程。
2.2 一元一次方程的定义：形如ax+b=0（a、b为常数，a≠0，x为未知数）的方程称为一元一次方程。
2.3 一元一次方程的解法：通过讨论解法，让学生掌握解一元一次方程的技巧。
2.4 应用：通过实际问题，让学生运用一元一次方程解决问题。
第三章：一次函数与一元一次方程的关系3.1 引入：通过实际问题，引导学生理解一次函数与一元一次方程之间的关系。
3.2 一次函数与一元一次方程的转化：讨论如何将一元一次方程转化为一次函数，以及如何将一次函数转化为一元一次方程。
3.3 应用：通过实际问题，让学生运用一次函数与一元一次方程的关系解决问题。
第四章：一次函数的应用4.1 引入：通过实际问题，引导学生理解一次函数在实际生活中的应用。
4.2 实际问题：让学生解决一些实际问题，如计算成本、收益等。
4.3 数据拟合：让学生通过给定的数据，拟合出一次函数，并解释其含义。
第五章：一元一次方程的应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生理解一元一次方程在实际生活中的应用。
5.2 实际问题：让学生解决一些实际问题，如计算距离、面积等。
5.3 优化问题：让学生通过一元一次方程，解决一些优化问题，如最短路线等。
第六章：一次函数的图像与解析式6.1 引入：通过实际问题，引导学生理解一次函数图像与解析式之间的关系。
6.2 一次函数图像的绘制：让学生掌握如何绘制一次函数的图像，包括直线、斜率和截距的概念。
一次函数与一元一次方程之间的关系
一次函数与一元一次方程之间的关系1. 概述一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。
通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。
2. 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。
一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。
3. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。
一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。
4. 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。
通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。
而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。
5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x就是使得方程成立的值。
通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。
6. 一次函数的图像与一元一次方程的解一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。
通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。
7. 解一元一次方程画一次函数的图像通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。
首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。
8. 画一次函数的图像解一元一次方程通过画一次函数的图像来解一元一次方程也是一种常见的方法。
首先根据一次函数的表达式y=ax+b，画出函数的图像，然后找到直线与x轴的交点坐标，即为一元一次方程的解。
中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。
一次函数与一次方程
一次函数与一次方程一次函数和一次方程是数学中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将对一次函数和一次方程进行详细介绍，并探讨它们的应用。
一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，其一般形式可以表示为y = kx + b。
其中，k和b分别表示常数，x表示自变量，y表示因变量。
一次函数的图像通常是一条直线，特点是斜率固定且不变，可以通过斜率来判断函数的增减性和函数与坐标轴的交点。
例如，我们来考察函数y = 2x + 1。
根据这个函数的形式，我们可以知道斜率为2，即函数图像每增加1个单位的自变量x，因变量y就增加2个单位。
同时，当x为0时，y的取值为1，这就是函数与y轴的交点。
通过这些信息，我们可以画出函数y = 2x + 1的图像。
一次函数在实际问题中有广泛的应用，比如物体的匀速运动、单位成本问题等等。
通过建立一次函数模型，我们可以快速解决这些问题。
二、一次方程一次方程是最高次数为1的方程，其一般形式可以表示为ax + b = 0。
其中，a和b是已知数，x是未知数。
解一次方程的核心是求出未知数的值，通过化简方程、合并同类项、移项等步骤可以得到最终的解。
例如，我们来考察方程2x + 3 = 7。
根据方程的形式，我们可以先将3移项得到2x = 7 - 3，再将7和3进行运算得到2x = 4，最后将2移到x的一侧得到x = 4/2，即x = 2。
所以方程2x + 3 = 7的解是x = 2。
一次方程在实际问题中也有广泛的应用，比如物品的购买问题、人员的分配问题等等。
通过建立一次方程模型，我们可以快速解决这些问题。
三、一次函数与一次方程的联系一次函数和一次方程有着密切的联系。
实际上，求解一次方程的过程就是找到一次函数的零点，即函数与x轴的交点。
一次函数的图像上所有的点都满足函数的定义，可以通过自变量的取值来确定因变量的值。
而一次方程则是给定了因变量的值，通过解方程可以反推出自变量的值。
一次函数与一次方程
一次函数与一次方程一次函数与一次方程是代数学中的重要概念。
它们在数学问题的解决中起着关键作用，不仅在数学领域有广泛应用，也在其他领域如物理学、经济学等中扮演着不可或缺的角色。
本文将从一次函数和一次方程的定义、特点以及应用等方面进行论述。
一、一次函数的定义和特点一次函数是指函数表达式中最高次项为一次幂的函数，其一般形式可以表示为：f(x) = ax + b其中，a、b为实数常数，且a≠0。
在这个函数表达式中，x是自变量，代表函数的输入值，而f(x)则是因变量，表示函数的输出值。
一次函数的特点有以下几个方面：1. 函数图像为一条直线：一次函数的图像为一条直线，并且这条直线通过平面直角坐标系中的一点。
直线的斜率决定了线的倾斜程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负则表示直线向下倾斜。
2. 与y轴的交点：一次函数与y轴的交点称为y轴截距，其在函数表达式中为常数项b。
通过计算y轴截距可以确定直线在y轴上的位置。
3. 变化率的度量：一次函数的斜率a也称为变化率，表示函数输出值f(x)随自变量变化x的速率。
当斜率为正时，输出值随自变量的增加而增加；当斜率为负时，输出值随自变量的增加而减少。
二、一次方程的定义和解法一次方程是指方程中最高次项为一次幂的方程，其一般形式可以表示为：ax + b = 0其中，a、b为实数常数，且a≠0。
在解一次方程时，需要找到使得方程等式成立的未知数值。
一次方程的解法步骤如下：1. 移项：将方程中的一次项和常数项分别移到方程的两侧，使得方程变为ax = -b的形式。
2. 化简：如果方程中的系数a不为1，则可以通过除以a来化简方程，使得方程的一次项系数为1。
3. 求解：根据化简后的方程，可以直接得到未知数的值，即找到使得方程等式成立的解。
三、一次函数与一次方程的应用一次函数和一次方程在实际问题的解决中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 经济学：一次函数可以用来表示供求关系、成本函数等经济学概念。
一次函数与一次方程,一次不等式的关系
一次函数与一次方程,一次不等式的关系知识点：一、一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k ≠0）的解。
求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令y=0，得到方程kx+b=0，解方程得x=-b/k 。
直线y=kx+b 交x 轴于（-b/k ，0），-b/k 就是直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ax=b>0或ax=b<0 (b a 、为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+b （k ≠0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kx+b （k ≠0），因此二元一次方程的解也就有无数个。
例题解析一、一次函数与一元一次方程综合已知直线y=(3m-2)x+2和y=-3x-2交于x 轴上同一点，m 的值为______已知一次函数y=-x+a 与y=x-b 的图象相交于点(m,8)，则b-a=______．二、一次函数与一元一次不等式综合1.已知一次函数y=-2x+525y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当x=3/2时，y 的值；（3）求出当y=-3时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，y>0，y<0,y=02.当自变量x 满足什么条件时，函数y=-4x+1的图象在：（1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．3.已知直线A 为y=x+5，直线B 为y=-2x-6．当A>B 时，x 的取值范围是_____4.已知一次函数y=-2x+3（1）当x 取何值时，函数y 的值在-1与2之间变化?（2）当x 从-2到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?5.直线A:y=Mx+b 与直线B:y=Nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式Nx>Mx+b 的解集为______．6.当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．7.如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过A(5,1)，B(-2,-3)两点，则不等式0.5x> kx+b>-3的解集为______．5题图 7题图8已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当x=2时，y 的值；（2）x 为何值时，y<0？（3）当-2<x<1时，x 的值范围；（4）当-2<y<1时，y 的值范围．。
一元一次方程与一次函数的关系
一元一次方程与一次函数的关系
一次方程与一次函数的关系:
1. 什么是一次方程：
一次方程是以一次未知数为未知量表示的方程，一般其本身的形式为
ax+b=0。
2. 什么是一次函数：
一次函数是一类在给定区间上连续可微的函数，它的图像恒过原点，
具有一个明确的切线，如函数y=mx+n (m≠0) 就是一次函数。
3. 一次方程与一次函数之间的关系：
一次方程 alx+b=0 的解就是一次函数 y=–l/ax+b，而一次函数 y=mx+b
的参数 m、b 由一次方程的未知量 a、b 决定。
因此一次方程与一次函
数之间是紧密联系的，它们具有对应性。
从解析角度看，一次方程的
解可以求出一次函数，而一次函数也可以求得一次方程的解，它们是
相互转换的。
4. 一次方程与一次函数所体现的思想
一次方程是一类特定的数学问题，其思想体现在把未知量用关系表示
出来，而一次函数又是对其解析解形式的图形描述，表示它们之间的
联系，整个思想是给出未知的空间条件，根据空间的几何特性和联系，
一次方程可以把未知量用一条直线表示，而一次函数又给出了该直线的数学公式和几何表示形式。
一次函数和一元一次方程的关系
一次函数和一元一次方程的关系
一次函数和一元一次方程：
1. 一次函数是指在定义域内满足一次顺序导数为常数的函数，即函数
y=f(x) 在定义域 D 上满足 y'=k=常数，这里 k 称为函数 f 的一次导数，f 称为一次函数。
2. 一元一次方程是指由一元一次未知函数和常数之间的关系形成的方程，即 y=ax+b，这里 y 是一个未知函数，a 和 b 是常数，我们需要求
出 y 的值，该方程的解是 y 的值。
3. 一次函数和一元一次方程之间的关系是：由一次函数所描述的函数
和一元一次方程的系数 a 和 b 是一一对应的。
一次函数表示为 y=kx+b，一元一次方程表示为 y=ax+b，这里的 k 就等于一元一次方程中的 a，b 是一元一次方程中的 b，即一次函数和一元一次方程的系数是相等的。
4. 一次函数和一元一次方程都可以表示实际中的某种物理关系，而其
中的系数对应了关系的特化表达，通过对系数的变化，可以直观地表
示物理关系的变化。
比如，当一次函数 k 值变大，表示某种物理关系
加强，变小则表示物理关系减弱，所以一次函数和一元一次方程都可
以用来表示实际问题。
5. 一次函数和一元一次方程可以用来解决实际中的问题。
对于一元一次方程，可以通过解方程的方法求解出 y 的取值范围。
而一次函数的求解则比较简单，可以直接计算得到系数，然后将其代入函数中求出函数值等。
因此，一次函数和一元一次方程都可以用来帮助我们解决实际问题。
一次函数与解一元一次方程
一次函数与解一元一次方程一次函数与解一元一次方程是数学中的两个重要概念，它们在我们的日常生活中有着广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面，探讨一次函数与解一元一次方程的关系。
一、一次函数的定义和性质一次函数是指函数的表达式中只包含一次幂的变量。
一般来说，一次函数的表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数。
k称为斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b称为截距，决定了函数图像与y轴的交点位置。
一次函数的性质有很多，下面我们来看一些常见的性质。
1. 斜率的意义：斜率k表示函数图像上任意两点之间的纵向变化与横向变化的比值。
当k为正数时，函数图像呈现上升趋势；当k为负数时，函数图像呈现下降趋势；当k为零时，函数图像为水平直线。
2. 截距的意义：截距b表示函数图像与y轴的交点位置。
当b为正数时，函数图像与y轴的交点在y轴的上方；当b为负数时，函数图像与y轴的交点在y轴的下方。
3. 函数图像的平移：对一次函数的表达式中的常数k和b进行变换，可以使函数图像在坐标平面上发生平移。
平移的方向和距离由常数k和b的取值决定。
二、解一元一次方程的方法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次方程的方法有很多，下面我们来看几种常见的方法。
1. 等式法：将方程中的等号两边进行相同的运算，使得方程变为x = a的形式，其中a为常数。
这样就得到了方程的解。
2. 图像法：将方程转化为一次函数的形式，然后画出函数图像。
通过观察函数图像与x轴的交点，可以得到方程的解。
3. 代入法：将方程中的一个变量用另一个变量的表达式代入，然后解得另一个变量的值。
再将求得的值代入方程中，得到另一个变量的值。
4. 消元法：通过变换方程，使得方程中的未知数系数相等或者相差一个常数。
然后将两个方程相减或相加，消去一个未知数，解得另一个未知数的值，再代入原方程求得另一个未知数的值。
三、一次函数与解一元一次方程的关系一次函数与解一元一次方程之间有着密切的联系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19.2.3 一次函数与方程、不等式导学案（1）
学习目标：
1、理解一次函数与一元一次方程、不等式的关系。
2、会根据图象解答一元一次方程、不等式的有关问题。
3、进一步理解数形结合思想．
重点：理解一次函数与一元一次方程、不等式的关系。
难点：会根据图象解答一元一次方程、不等式的有关问题。
学习过程：
一、自学与指导：
探究（一）一次函数与一元一次方程的关系：
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
（3）从上述两个问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？
结论：从数的角度看：一元一次方程ax+b=0的解是一次函数y=ax+b的为0时的值。
(4)画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.
结论：从形的角度看：一元一次方程ax+b=0的解是一次函数y=ax+b图象与轴交点的。
探究（二）一次函数与一元一次不等式的关系：
1. 解不等式：5x+6＞3x+10
2. 当自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0?
这两个问题有什么关系?
结论：从数的角度看：一元一次不等式ax+b＞0（或＜0）的解集是一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时的值。
3、观察函数y=2x-4 的图像,回答问题：
当x 时, y=2x-4 ＞0，当x 时, y=2x-4 < 0.
结论：解一元一次不等式ax+b ＞0或ax+b ＜0可以看作：求一次函数y=ax+b 图象在x 轴的上方（或下方）时自变量x 的取值范围。
二、展示与点拨：
1、 每小组展示一个问题，本小组展示不足的，其他小组补充。
2、 每一小组展示过程中，其他小组认真检查与自查，做好答疑的准备。
三、课堂检测：
1、已知一元一次方程ax-b=0(a,b 为常数，a ≠0）的解为x=2，则一次函数y=ax-b 的函数值为0时，自变量x 的值是 。
2、已知一次函数y=ax+b,x 与y 的部分对应值如下表，那么方程ax+b=0的解
3、已知方程2x+6=0的解是x=-3,则函数y=2x+6与x 轴的交点坐标是 。
4、一次函数
y=2x+2
5的函数值大于0时，自变量x 的取值范围是 。
6、一次函数y=-3x-9,当函数值y 大于-3是，自变量x 的取值范围是 。
7、如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，则kx+b ＞0解集是 。
x
四、课堂小结：你能总结一次函数与一元一次方程、不等式的关系吗？
五、教学反思：。