人教版数学九年级上册第24章圆 切线长定理拓展巩固与复习过关

人教版数学九年级上册第24章圆切线长定理拓展巩固与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，求△PDE的周长．【答案与解析】连结OA ，则OA ⊥AP ．在Rt △POA 中，PA＝＝＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：方法总结及例题1-2】2．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AD 与△ABC 的外接圆△O 恰好相切于点A ，∠DAE=∠ABE,边CD 与△O 相交于点E ，连接AE ，BE ． （1）求证：AB=AC ；（2）若过点A 作AH △BE 于H ，求证：BH=CE+EH ．【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明△ABC=△ACB ，得到答案；（2）作AF △CD 于F ，证明△AEH △△AEF ，得到EH=EF ，根据△ABH △△ACF ，得到答案． 【答案与解析】 证明：（1）∵△ABE=△DAE ，又△EAC=△EBC ， △△DAC=△ABC ， △AD △BC ，△△DAC=△ACB ， △△ABC=△ACB ， △AB=AC ；（2）作AF △CD 于F ，△四边形ABCE 是圆内接四边形， △△ABC=△AEF ，又△ABC=△ACB ，22OA OP -22610-△△AEF=△ACB，又△AEB=△ACB，△△AEH=△AEF，在△AEH和△AEF中，，△△AEH△△AEF，△EH=EF，△CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，，△△ABH△△ACF，△BH=CF=CE+EH．【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．举一反三：【变式】（2015•青海）如图，在△ABC中，△B=60°，△O是△ABC的外接圆，过点A作△O的切线，交CO的延长线于点M，CM交△O于点D．（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长．【答案】（1）证明：连接OA，△AM是△O的切线，△△OAM=90°，△△B=60°，△△AOC=120°，△OA=OC，△△OCA=△OAC=30°，△△AOM=60°，△△M=30°，△△OCA=△M，△AM=AC；（2）作AG△CM于G，△△OCA=30°，AC=3，△AG=，由勾股定理的，CG=，则MC=2CG=3．类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB、AC、BC分别交于D、E、F，连接OE、 OF、OD、AO、BO、CO.∴△ABC=△AO B+△AO C+△BO C=r(a+b+c).【总结升华】考虑把△ABC的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC的面积.举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：切线长定理及例3】【变式】已知如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.【答案】连结OA、OB、OC，∵△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5.则S△AOB+S△COB+S△AOC=S△ABC，即类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.1211115+4+3=34=12222r r r r⨯⨯⨯⨯⨯，（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.【答案与解析】（1）结论：与相切证明：连接 ∵点、在圆上， ∴∵四边形是平行四边形， ∴∴ ∵，∴，∴ 在和∴，∴∵与相切∴，∴ ∴∴与相切（2）∵，四边形是平行四边形 ∴，，∵，∴，∴∴ ，∴ ∴.【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.切线长定理—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题G FEDCBAGD O AG G E AG AE =ABCD AD BC ∥123B ∠=∠∠=∠，AB AG =3B ∠=∠12∠=∠AED ∆AGD ∆12AE AGAD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AED AGD ∆∆≌AED AGD ∠=∠ED A 90AED ∠=︒90AGD ∠=︒AG DG ⊥GD A 5GC CD ==ABCD AB DC =45∠=∠5AB AG ==AD BC ∥46∠=∠1562B ∠=∠=∠226∠=∠630∠=︒10AD =654321GF EDC B A1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r3.（2015•黔西南州）如图，点P 在⊙O 外，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( )A.70°B.90°C.60°D.45°第4题图 第5题图5．如图，是的切线，切点为A ，PAAPO =30°，则的半径为（ ）A.16．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中， 半径是3cm 的圆是( )2131PA O ⊙O ⊙二、填空题7．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．第7题图第8题图第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．9．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．10．如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则____度．第10题图第11题图11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12.（2015•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．三、解答题13. 已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．求证：DE为⊙O的切线.PA PB O A B E O60=∠AEB=∠POEDCBA14．已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 在⊙上，且求证：是⊙的切线；15.（2014秋•东城区月考）如图所示，PA 、PB 是△O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为△O 上一点，过Q 点作△O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=8cm ，求：△PEF 的周长．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.【答案】A.【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为a ·r ＋b ·r ＋c ·r ＝（a ＋b ＋c ）r ． 3.【答案】B ；【解析】∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO=∠PBO=90°，D O CA B O .OA AB AD ==BD OC21212121∵∠P=50°， ∴∠AOB=130°． 故选B ． 4.【答案】B ；【解析】由AD ∥BC ，得∠ADC+∠BCD=180°，又AD 、DC 、BC 与⊙O 相切，所以∠ODC=∠ADC ，∠OCD=∠BCD ，所以∠ODC+∠OCD=×180°=90°，所以∠DOC=90°. 故选B.5.【答案】C ；【解析】连结OA ，则∠OAP=90°，设OA=x,则OP=2x,由勾股定理可求x=2,故选C. 6.【答案】C ；【解析】易求等边△ABC 的高为3cm 等于圆的半径，所以圆A 与BC 相切，故选C. 二、填空题 7．【答案】76°；【解析】连接ID,IF ∵∠DEF=52°， ∴∠DIF=104°，∵D 、F 是切点， ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC ， ∴∠ADI=∠AFI=90°， ∴∠A=1800-1040=76°.8.【答案】52；【解析】提示：AB+CD=AD+BC. 9.【答案】115°；【解析】∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=130°，∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∴∠BOC=1800-650=115°.10．【答案】60°；【解析】连结OA 、OB ，则∠AOB=120°，在四边形OAPB 中，∠P=360°-90°-90°-120°=60°. 11．【答案】26°；【解析】连结OA ，则∠AOC=64°，∠P=90°-64°=26°. 12．【答案】1或． 【解析】连接OA ， （1）如图1，连接OA ，△PA=AO=1，OA=OB ，PA 是△的切线， △△AOP=45°△OA=OB ， △△BOP=△AOP=45°， 在△POA 与△POB 中，，△△POA △△POB ， △PB=PA=1；212121（2）如图2，连接OA ，与PB 交于C ， △PA 是△O 的切线， △OA △PA ， 而PA=AO=，1 △OP=； △AB=， 而OA=OB=1， △AO △BO ，△四边形PABO 是平行四边形， △PB ，AO 互相平分； 设AO 交PB 与点C ， 即OC=， △BC=，△PB=．故答案为：1或． 三、解答题13.【答案与解析】如图，连接OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． 14.【答案与解析】 连接.∵，∴.∴是等边三角形. ∴.∵，∴. ∴. ∴ .又∵点在⊙上， ∴是⊙的切线 . 15. 【答案与解析】解：△PA 、PB 是△O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为△O 上一点，过Q 点作△O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，△PA=PB ，EA=EQ ，FB=FQ ， △PA=8cm ，△△PEF 的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm ）．OB ,OA AB OA OB ==OA AB OB ==ABO ∆160BAO ∠=∠=︒AB AD =230D ∠=∠=︒1290∠+∠=︒DB BO ⊥B O DB O 231FE DCBA4O切线长定理—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1. 如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D ACG DF AC ⊥F CB E EF DFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥∴是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．【答案】作OE ⊥BC ，垂足为E ， ∵ AB ∥DC ，∠B=90°， ∴ OE ∥AB ∥DC ， ∵ OA=OD ， ∴ EB=EC ，∴ BC 是⊙O 的切线．2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：DC 是⊙O 的切线．【答案与解析】连接OD ．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．EF举一反三：【高清ID 号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵OG⊥BC，∴BG=CG=，∴OG=，∵∠A=30°xxx2222MANED O图（1）．MA NEDBCO图（2）∴OA=，∴x=AD=2类型二、三角形的内切圆3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．切线长定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18第2题图第3题图第4题图3. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( )A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点5．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°6．（2015•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A ．9B ． 10C ． 3D ． 2二、填空题 7．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P＝20°，则∠A＝___________°．第7题图 第8题图8．如图，巳知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若CD=√3，则线段BC 的长度等于 ．9．如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x 、y ，线段ED 的长为z ，则z （x+y ）= .10．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.如图 (1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 (2)中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;POCBACD CE(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.11．（2014春•嘉鱼县校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF△AC于点F，DH△AB于点H交BE于点G，下列结论：①BD=CD，②DF是△O的切线，③△DAC=△BDH，④DG=BM，其中正确的结论的序号是．12．已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ .三、解答题13. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.14. 如图（1）所示，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C分别为切点，∠BAC＝30°．(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．图（1）15. （2015•杭州模拟）联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图1，若PD=PE ，则点P 为△ABC 的准内心．应用：如图2，BF 为等边三角形的角平分线，准内心P 在BF 上，且PF=BP ，求证：点P 是△ABC 的内心．探究：已知△ABC 为直角三角形，△C=90°，准内心P 在AC 上，若PC=AP ，求△A 的度数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B ；【解析】②④错误.2．【答案】D ；【解析】∵AD=AF,BD=BE,CE=CF ， ∴周长=8，故选D.3.【答案】C ；【解析】∠PAB=∠PBA=∠POA=∠ACB ，有3个.4.【答案】D ；【解析】 点O 是△DEF 的外接圆的圆心（即外心），是三条边的垂直平分线的交点，故选D.5．【答案】C ；6．【答案】A ；21218⨯+⨯=【解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=4.5，∴CB=CE=4.5，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．二、填空题7．【答案】∠A＝35°；【解析】由PC与⊙O相切于点C，得∠PCO＝90°，而∠P＝20°，所以∠POC＝70°；因为OA＝OC，所以∠A＝∠ACO；又∠A＋∠ACO＝∠POC＝70°，故∠A＝35°．8．【答案】1；【解析】连结OD，∵CD与⊙O相切，切点为D，∴∠ODC=90°，设⊙O的半径为r,则OC=2r，在Rt△ODC中，有勾股定理得r=1，BC=r=1.9．【答案】8π；【解析】过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB2﹣MG2=22=4，又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），=（2R﹣2r）（R+r）•π，=（R2﹣r2）•2π，= 4•2π，=8π．故答案为：8π．10．【答案】 (1)； (2)； (3)； 1． 【解析】图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的，故r 的最小值是 cm. （3）r 的最小值是 cm ，圆心距是1 cm. 11．【答案】 ①①①①；【解析】解：①△AB 为△O 的直径，△△BDA=90°，即AD △BC ，又△AB=AC ，△BD=DC ，△BAD=△DAE ，故①正确；②连接OD ，如图所示：△△BAD=△DAE ，△，△OD △BE ，△AB 是直径，△BE △AC又△DF △AC ，△BE △DF ，△DF △OD ，△DF 是切线．故②正确；③△Rt △ABD 中，DH △AB ，△△DAB=△BDH ，又△△BAD=△DAC ，△△DAC=△BDH ．故③正确；④△△DBE=△DAC （同弧所对的圆周角相等），△BDH=△DAC （已证），△△DBE=△BDH△DG=BG ，△△BDH+△HDA=△DBE+△DMB=90°，△△GDM=△DMG△DG=GM△DG=BM ，22332222323322故④正确． 故答案为：①②③④．12.【答案】9．【解析】由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°， ∴得OO =2r ，OO 2=2r ，003=2r ，r 1＝1，∴r 3=9．故答案为9．三、解答题13. 【答案与解析】连接OD ，CD∵AC 是⊙O 直径∴CD ⊥AB∵E 为BC 中点∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD又∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD∴∠ODE=∠OCE=90°∴DE 是⊙O 的切线.14. 【答案与解析】(1)PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA ⊥AB ．∴ ∠BAP ＝90°∴ ∠BAC ＝30°．∴ ∠CAP ＝90°-∠BAC ＝60°．又∵ PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ PA ＝PC ，∴ △PAC 为等边三角形，∴ ∠P ＝60°．(2)连接BC ，如图（2），则∠ACB ＝90°．在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，图（2）∴ BC ＝1．由勾股定理又求得AC ＝， 由(1)知PA ＝PC ＝．15. 【答案与解析】解：应用：△△ABC 是等边三角形，△△ABC=60°，△BF 为角平分线，△△PBE=30°，△PE=PB ，△BF 是等边△ABC 的角平分线，33112333△BF△AC，△PF=BF，△PE=PD=PF，△P是△ABC的内心；探究：根据题意得：PD=PC=AP，在Rt△ADP中，AP=2PD，△△A是锐角，△△A=30°．。