人教版九年级上册数学切线长定理和三角形的内切圆
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1、探究 如图13，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为
A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将 图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关 系？
解：如图14，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又 OA=OB，OP=OP. ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO
(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形， ∴∠PBA＝60°. 由(1)，得∠PBO＝90°， ∴∠ABO＝30°. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵BC＝8 cm， ∴AC＝4 cm.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练习
1．教材P100 练习第1，2题． 2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB， 切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若 ∠APB＝80°，则∠ADC的度数是( C ) A．15° B．20° C．25° D．30°
难点 与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆 的计算问题．
三、教学设计 活动1 新课导入 1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置 关系？ 答：三种，d > r，相离；d＝r，相切；d < r，相交． 2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？ 答：相切，略．
活动2 探究新知
提出问题： (1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由； (2)求证：△PAO≌△PBO； (3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？
2、思考 图15是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一
块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边 都相切？
提出问题： (1)三角形内切圆的圆心具有什么性质？ (2)如何确定三角形内切圆的圆心？请画出△ABC的内 切圆．
活动3 知识归纳
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和_切__点_之间的线段 长叫做切线长． 2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 _相__等_，这一点和圆心的连线平分_两__条__切__线_的夹角，这 就是切线长定理． 3．与三角形各边都_相__切_的圆叫做三角形的内切圆． 4．三角形内切圆的圆心是三角形_三__条__角__平__分__线_的交点 ，叫做三角形的_内__心_，它到三边的距离_相__等_．
例3 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O 的直径． (1)求证：AC∥OP； (2)若∠APB＝60°，BC＝8 cm，求AC的长．
解：(1)连接OA. ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO， ∴∠POA＝∠POB. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA， ∴∠BOA＝2∠OCA， ∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；
活动4 例题与练习 例1 如图17，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别 相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF， BD，CE的长. 解：设AF=x，则AE=x， CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14. 解得 x=4. 因此，AF=4， BD=5， CE=9.
3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝ 80°，则∠BOC等于( A ) A．130° B．120° C．100° D．90° 4．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延 长线于点E，F，若△ABC的周长为20，则AE＝__1_0_．
(第3题图)
(第4题图)
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相 切且测得PA＝5 cm，求铁环的半径．
解：设圆心为O，连接OA，OP. ∵三角板有一个锐角为30°， ∴∠PAO＝60°. 又∵PA与⊙O相切， ∴∠OPA＝90°，∴∠POA＝30°. ∵PA＝5 cm， ∴OP＝5 3cm.即铁环的半径为5 3cm.
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
一、教学目标
1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的 概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角 形的内心的概念． 2．通过对例题的学习，养成分析问题、总结问题的习 惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，掌握数形 结合的思想．
二、教学重难点
重点 切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心 的概念．
A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将 图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关 系？
解：如图14，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又 OA=OB，OP=OP. ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO
(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形， ∴∠PBA＝60°. 由(1)，得∠PBO＝90°， ∴∠ABO＝30°. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵BC＝8 cm， ∴AC＝4 cm.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练习
1．教材P100 练习第1，2题． 2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB， 切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若 ∠APB＝80°，则∠ADC的度数是( C ) A．15° B．20° C．25° D．30°
难点 与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆 的计算问题．
三、教学设计 活动1 新课导入 1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置 关系？ 答：三种，d > r，相离；d＝r，相切；d < r，相交． 2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？ 答：相切，略．
活动2 探究新知
提出问题： (1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由； (2)求证：△PAO≌△PBO； (3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？
2、思考 图15是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一
块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边 都相切？
提出问题： (1)三角形内切圆的圆心具有什么性质？ (2)如何确定三角形内切圆的圆心？请画出△ABC的内 切圆．
活动3 知识归纳
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和_切__点_之间的线段 长叫做切线长． 2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 _相__等_，这一点和圆心的连线平分_两__条__切__线_的夹角，这 就是切线长定理． 3．与三角形各边都_相__切_的圆叫做三角形的内切圆． 4．三角形内切圆的圆心是三角形_三__条__角__平__分__线_的交点 ，叫做三角形的_内__心_，它到三边的距离_相__等_．
例3 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O 的直径． (1)求证：AC∥OP； (2)若∠APB＝60°，BC＝8 cm，求AC的长．
解：(1)连接OA. ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO， ∴∠POA＝∠POB. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA， ∴∠BOA＝2∠OCA， ∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；
活动4 例题与练习 例1 如图17，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别 相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF， BD，CE的长. 解：设AF=x，则AE=x， CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14. 解得 x=4. 因此，AF=4， BD=5， CE=9.
3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝ 80°，则∠BOC等于( A ) A．130° B．120° C．100° D．90° 4．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延 长线于点E，F，若△ABC的周长为20，则AE＝__1_0_．
(第3题图)
(第4题图)
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相 切且测得PA＝5 cm，求铁环的半径．
解：设圆心为O，连接OA，OP. ∵三角板有一个锐角为30°， ∴∠PAO＝60°. 又∵PA与⊙O相切， ∴∠OPA＝90°，∴∠POA＝30°. ∵PA＝5 cm， ∴OP＝5 3cm.即铁环的半径为5 3cm.
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
一、教学目标
1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的 概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角 形的内心的概念． 2．通过对例题的学习，养成分析问题、总结问题的习 惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，掌握数形 结合的思想．
二、教学重难点
重点 切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心 的概念．