等差数列知识点汇总

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等差数列知识点总结

等差数列知识点总结引言等差数列是数学中常见的一个概念，它在数值模式的分析和问题解决中起到了重要的作用。

本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和求解等相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和应用等差数列。

一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

它由首项 a1和公差 d 决定，可以表示为a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …，其中 a1 是首项，d 是公差。

二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的值。

设首项为 a1，公差为d，第 n 项的值为 an，则等差数列的通项公式可以表示为 an = a1 + (n - 1) * d。

三、等差数列的前 n 项和等差数列的前 n 项和是指数列中前 n 项的和。

根据等差数列的特点，可以通过求平均值的方式快速计算出前 n 项和的值。

设首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为Sn，则等差数列的前 n 项和公式可以表示为 Sn = n * (a1 + an) / 2。

四、等差数列的性质总结1.等差数列的公差是相邻两项之间的固定差值，可以用来判断一个数列是否是等差数列。

2.等差数列的第 n 项可以通过通项公式求解，也可以通过逐项相加得到。

3.等差数列的前 n 项和公式可以通过求平均值的方式快速计算，可以简化问题求解的过程。

4.等差数列的性质可以应用于一些实际问题，如数值模式的预测和分析等。

五、等差数列的求解示例示例 1已知等差数列的首项 a1 = 3，公差 d = 5，求该等差数列的前 10 项和。

根据前 n 项和公式，代入已知的数值进行计算：Sn = 10 * (3 + a10) / 2= 10 * (3 + (3 + (10 - 1) * 5)) / 2= 10 * (3 + 3 + 45) / 2= 10 * 51 / 2= 255所以该等差数列的前 10 项和为 255。

示例 2已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = -4，且第 5 项的值为 -18，求该等差数列的第 n 项。

等差数列知识点总结归纳

等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。

本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。

一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。

2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。

3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。

二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。

2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。

3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。

4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。

三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。

2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。

3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。

四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。

等差数列的知识点总结

等差数列的知识点总结一、概念等差数列是由一系列按照相同的公差递增或递减的数字所组成的数列。

如果一个数列 a1, a2, a3, ... , an 满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - a(n-1)那么这个数列就是等差数列，其中 a1 为首项，a2 - a1 为公差。

例如，3, 6, 9, 12, 15 就是一个等差数列，其中首项为3，公差为3。

二、性质1. 通项公式等差数列的第 n 项 a_n 可以用通项公式表示为a_n = a1 + (n-1)d其中 a1 为首项，d 为公差。

2. 数列求和等差数列的前 n 项和 Sn 可以用求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)或Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)其中 a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项。

3. 任意三项对于等差数列中的任意三项 a_i, a_j, a_k（i < j < k），有2a_j = a_i + a_k这个性质可以用来解决很多等差数列的问题。

4. 求和公式的推导为了理解等差数列求和公式的推导，我们来考虑一个等差数列的和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。

如果我们将这个数列反向写，即 S_n = a_n + a_(n-1) + ... + a_1，那么两个数列相加得到的和是2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + ... + (a_n + a_1)由于等差数列中任意三项的性质，我们知道其中每一对括号内的和都是相等的，所以有2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = n * (a_1 + a_n)从而得到了等差数列求和公式。

三、应用等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

在数学中，等差数列的求和公式可以用来解决许多数学问题，比如计算前 n 项的和。

(完整版)等差数列知识点总结

(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。

3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。

4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。

- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。

5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。

6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。

7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。

8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。

9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。

- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。

- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。

10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。

- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。

- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。

- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。

以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。

等差数列知识点归纳总结

等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有重要的应用价值。

本文将针对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用进行归纳总结。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中后一项与前一项之差始终相等的一种特殊数列。

用常数d表示公差，那么等差数列可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d,a₁+3d, ...二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指通过已知的首项和公差，计算数列中第n项的公式。

假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an =a₁ + (n-1)d三、等差数列的求和公式等差数列求和公式是指通过已知的首项、末项和项数，计算数列所有项之和的公式。

假设首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a₁+an)四、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项成一等差数列。

2. 等差数列的任意两项之和与中间项的和相等。

3. 等差数列的任意相邻两项之和相等。

4. 等差数列的对称性：数列中的相等距离的项之和相等。

五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，以下是一些常见的应用场景：1. 金融贷款：假设每月还款金额等差递增，可利用等差数列求得贷款总额和还款期限。

2. 平均速度问题：假设行程中速度等差减小，可利用等差数列求得平均速度。

3. 等差数列的和与平均数关系：等差数列的和即为等差数列所有项的平均数乘以项数。

4. 数列排序问题：对于给定的一组数据，若满足等差关系，可通过等差数列的求和公式快速求得该数列的和。

六、等差数列的扩展1. 差数列：每一项与其后一项之差构成的数列。

2. 等差中项：等差数列中，若某项的前后两项之和为定值，该项称为等差数列的中项。

总结：本文对等差数列的定义、通项公式、求和公式进行了详细介绍，并归纳了其性质和应用场景。

了解等差数列的相关知识，对于解决实际问题及培养数学思维能力都具有重要的帮助。

希望读者通过本文的阅读，对等差数列有更深入的理解。

知识点归纳总结等差数列

知识点归纳总结1．等差数列2. 等比数列【例题精讲】【1】在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该列前11项和=11S （）A.58B.88C.143D.176答案：B【2】已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（）A.21-B.23-C.21 D.23 答案：B【3】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ,则=168S S （） A.81B.31 C.91 D.103 答案：C【4】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2211=S ,则2113a a +等于（）A.2B.4C.8D.16答案：C【5】已知等差数列}{n a 中，8,242==a a ，若13-=n a n b ，则2013b 等于（）A.2011B.2012C.2013D.2014答案：D【6】已知}{n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）A.21B.20C.19D.18答案：B【7】已知}{n a 为等差数列，若167-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为答案：11【8】设n S 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（）A.若0<d ，则数列}{n S 有最大项B.若数列}{n S 有最大项，则0<dC.若数列}{n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D.若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则有数列}{n S 是递增数列答案：C【10】公比为q 的等比数列}{n a 的各项为正数，且7log ,1610122==a a a q ，则公比=q 答案：2【11】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20103,201032011201220122013+=+=S a S a ，则公比=q （）A.4B.41或C.2D.21或答案：A【12】在等比数列}{n a 中，已知24,21,64a a 成等比数列且6453=⋅a a ，则}{n a 的前8项和为 . 答案：85255或【13】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（）A.2B.37 C.38D.3答案：B【14】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（）A.1631 B.51631或 C.5815或 D.815 答案：A【15】公比不为1的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,,3a a a --成等差数列，若11=a ，则=4S （） A.20- B.0C.7D.40答案：A【16】各项都是正数的等比数列}{n a ，若132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（） A.215+ B.215-C.251- D.215+或215- 答案：B【17】已知正项等比数列}{n a 满足12011201220134,2a a a a a a n m =⋅+=且，则)11(6nm +的最小值为 . 答案：4递推数列：数列}{n a 的任一项n a 与它前一项1-n a （或它的前几项）间关系用一个公式表示.专题：数列通项公式及求和一. 常规数列的通项与求和方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1. 等差数列：<1>通项公式：*1(1)(),,n m a a n d a n m d n m N =+-=+-∈<2>求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 2. 等比数列：<1>通项公式：11,0n n mn m a a q a q q --=⋅=⋅≠<2>求和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3. 一些常见的数列求和公式222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑【例1】已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3232,7,n a b T T =+=求.【例2】已知{}n a 是等比数列，12,a =且134,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .二．非常规数列的通项公式常用通项公式的求法有四种：求法1：累加法适用于1()n n a a f n +=+型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幂数都相同.【例3】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例4】已知数列{}n a 满足*11221,2,,2n n n a a a a a n N +++===∈ （1）令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 通项公式.求法2：累乘法适用于1()n n a a f n +=⋅型特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商()f n 是可求数列.【例6】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a .求法3：公式法现象：题目中出现n a 与n S 的关系式. 解决：利用1n n n a S S -=-求解.【例7】已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.求n a .【同类演练】例15第一问求法4：构造法类型1：构造等比数列凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比. 现象1：1,(,)n n a pa q p q +=+为常数【例8】已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式.【同类演练】例18第一问现象2：1(,nn n a pa q p q +=+为常数)【例9】已知数列{}n a 中，111511,()632n n n a a a ++==+，求n a .【同类演练】例17第一问现象3：1(),n n a pa f n p +=+为常数【例10】已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.现象4：21,(,)n n n a pa qa p q ++=+为常数【例11】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求n a .类型2：构造等差数列题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差. 解决办法：取倒数【例12】已知在数列{}n a 中*111,()21nn n a a a n N a +==∈+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13521211,(1)(1)(1)(1)n n n nP b b b b b a -=+=++++，求证：n P >三．非常规数列的求和常用的求和方法一般有四种：方法1：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的拆项公式有：（1）111)1(1+-=+n n n n ；（2）1111()()n n k k n n k =-++（3）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n（4（5）!)!1(!n n n n -+=⋅ （6）11log log log n n n na a a a ++=- 、【例13】（2011新课标）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和【例14】等差数列{}n a 中211a =，32624a a a =+-，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足111n n b S +=-，其前n 项和为n T ，求证：*3()4n T n N <∈.【例15】已知数列{}n a 的前n 项和*1,1,(1)()n n n S a S na n n n N ==--∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前前n 项和为n T .方法2：错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和.即{}{}1122,,.n n n n n a b a b a b a b S +++等差等比求的和解题步骤：（1）1122n n n S a b a b a b =+++，将式子两边同时乘以{}n b 的公比q ，得到n qS .（2）用n n qS S -（3）利用等比数列求和公式求解.【例16】（2011辽宁理）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}2nn a -的前n 项和.【例17】已知数列{}n a 满足*1112,2()2n n n a a a n N +==-∈（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【例18】已知数列{}n a 的前n 项和2*4()n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足111,21n n b b b +==+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设(3)(1)4n n n a b c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ..方法3：分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并，形如：{},{}{}n n n n a b a b +其中为等差数列，为等比数列【例19】已知数列等差数列{}n a 满足：5269,14a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ..方法4：倒序相加法如果一个数列{}n a ，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.【例20】已知a xy =lg ，n n n n n y y x y x x S lg lg lg lg 221++++=-- （0>x 、0>y ）求n S已知递增等比数列}{n a ，公比为q ，满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n n n n n b b b b S a a b ++++== 32121,log ，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.已知数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且13a =，11b =，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =（1）求n a ，n b ；（2）求证：1211134+++<n S S S在数列}{n a 中，n n n n a n a a 21)11(,111+++==+ （1）设na b n n =，求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n a 的前n 项和nS已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ．(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T。

完整版等差数列知识点总结

完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。

一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。

数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。

例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。

二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。

通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。

设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。

三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。

我们可以通过求和公式来解决这个问题。

设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。

四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。

1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。

2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。

一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。

3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。

五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。

等差数列知识点总结和题型归纳

一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法：对于数列 a n ，若am a n d （常数），则数列a .是等差数列 ③等差中项：对于数列a n ，若2a ni a n a n 2，则数列a n 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式：⑥S nar卫d2对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：A 号或2A a b 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6等差数列的性质：⑦ 等差数列任意两项间的关系：如果a n 是等差数列的第n 项，a m 是等差数列的第m 项, 且m n ，公差为d ，则有a n a m （n m ）d⑧ 对于等差数列a n ，若n m p q ，则a n a m a p a q也就是： a i a n a 2 a n i a 3 a n 2⑨若数列a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，k N *，那么S k ，S ?k S k ，S 3k S ?k 成等差数列如下图所示:等差数列④如果等差数列a n的首项是a !，公差是d ，则等差数列的通项为a na i(n 1)d该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:题型选析:题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列｛a n ｝的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2，则a 等于（） A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列｛a n ｝中，a 1=2, 2a”1=2a n +1，贝U a 101 的值为（） A. 49 B . 50 C . 51 D . 523.等差数列1,—1,_ 3，…，—89的项数是（ ) A. 92B . 47 C. 46D. 454、已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16, a 4 1,则 a 12 的值是（）()A 15B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）a 1 a 2a 3a k a k 1 S kS 2ka 2k a 2k 1 a 3kS kS 3k S 2 k的性质:①若项数为2n n则 dnn % a n 1 ，且nd , ^奇，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a .,（其中S 奇na n ， S 禺 n 1 a .)-S 3k10、等差数列的前n 项和出•②若项数为2n 1 na n 1> 8 v 3 C. 8< d v 3 3 3 D. 8v d< 336、.在数列｛a n｝中，a1 3 ,且对任意大于1的正整数n，点（.a n, a n 1）在直x y . 3 0上,7、在等差数列｛a n｝中, a5= 3, a6= — 2,贝U a4 + a s + …+8、等差数列a n的前n项和为S n，若a2 1,a3 3,则S4=（）(A) 12 ( B) 10 (C) 8 ( D) 69、设数列 a n的首项a17,且满足a n 1 a n 2 (n N)，则a1 a210、已知｛a｝为等差数列，a+ a = 22 , a= 7，贝a= _________________________a17 ____________11、已知数列的通项 a n = -5 n +2,则其前n 项和为S=12、设S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 4 = 14, Sg S 7 30 ,则S 9 = ________________________________题型二、等差数列性质已知｛和为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A )a 1 a 8 a 4a 5 (B ) Os a 1 a 4a 5 (C ) a 1 + a 8 a 4+ a 5 (D ) a 1 a 8 = a 4a 510、若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有（）（A ） 13 项（B ） 12 项（C ） 11 项（D ） 10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列a n 中，已知a 1a 2a 3La 10P ,a n 9a n 8L a n q ，则其前 n 项和S n2、等差数列2,1,4,的前n 项和为( )1A. n 3n 4 1B.n 3n 7 C. 1 n 3n 4 D. 1 -n 3n 72 2 223、已知等差数列 a n 满足a 1 a 2 a 3 a 99, 则( )A. a1a gg 0B. a 1a ggC.a 1a 99D.a 50501、 2、（A ）4（B ）5（C ） 6设S n 是等差数列a n 的前n 项和，若(D)7S 735，则 a 4()3、 A . 8 B . 7 C . 6若等差数列 a n 中，a 3 a 7 亦8, an a 44,则 a 74、记等差数列a n 的前n 项和为S n ,若S 24, S 420，则该数列的公差 d=（）A . 7 B. 6C. 3D. 215、等差数列｛a n ｝中，已知a 1-,a 233 ,n 为（）(A)48( B) 49( C) 50(D) 516.、等差数列｛a n ｝中，a 1=1, a 3+a 5=14,其前n 项和S=100,则n =(A)9 (B) 10 (C)11 (D)12 7、设S 是等差数列a n 的前n 项和,a 5 a 35,则鱼(9S 5S 5A . 1B . - 1C . 28、已知等差数列｛a n ｝满足a 1 +a 2+a 3+…+a 101 = 0 则有(A .a 1 + a 101 > 0B . a 2+ a 100 V 0C . a 3 + a 99= 0 9、如果a 51 = 51a 1, a 2, …，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d 0，则（）4、在等差数列a n 中, a1 a2 a 3 15, a n a n 1 a n 2 78 , S n 155 ,则n5、等差数列a n的前n 项和为S n , 若S2,S4 10,则S6等于( )A. 12 B . 18 C . 24 D . 426、若等差数列共有2n 1项n N*，且奇数项的和为44,偶数项的和为33,则项数为 ( )A. 5B. 7C. 9D. 117、设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S3 9 , & 36，则a y a s a g& 若两个等差数列a n和b n的前n项和分别是S n,「，已知◎，则色等于( )T n n 3 b5227 21A. 7B. -C. 27D. 2138 4题型四、等差数列综合题精选1、等差数列｛a n｝的前n项和记为S n.已知a10 30,a20 50.(I)求通项a n；(n)若S n=242，求n.2、已知数列｛a n｝是一个等差数列，且a2 1，a55。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的项之间的差值相等，这个相等的差值就称为等差数列的公差。

如果一个数列满足这个条件，那么它就是等差数列。

等差数列通常用字母a表示首项，用d表示公差，那么等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，……，a+nd。

在等差数列中，第n项可以用通项公式来表示，通项公式的一般形式为：an = a + (n-1)d。

其中，an表示等差数列的第n项。

通过通项公式，我们就可以计算出等差数列中任意一项的值。

二、等差数列的性质1. 等差数列的性质非常特殊，其中最重要的性质是每一个相邻项之间的差值都相等，这个差值就是等差数列的公差。

这个性质对于理解等差数列非常重要，通过这个性质，我们能够确定等差数列的公差，从而得知数列中任意一项的值。

2. 等差数列的首项和公差决定了整个数列的特征，因此在解题中需要对首项和公差进行准确的把握。

3. 等差数列是数学中非常常见的一种数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、化学、经济学等领域也有着重要的作用。

因此掌握等差数列的性质对于学生来说是非常重要的。

三、等差数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是解决等差数列问题的重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。

等差数列的前n项和公式的一般形式为：Sn = (a1+an) * n / 2。

2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是解决等差数列问题的另一个重要公式，它可以用来计算等差数列中任意一项的值。

等差数列的通项公式的一般形式为：an = a + (n-1)d。

通过通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中第n项的值。

3. 等差数列的公式变形在解题过程中，有时候需要对等差数列的公式进行变形，比如把通项公式化简为递推公式等。

对于掌握等差数列的解题技巧非常重要。

四、等差数列的解题技巧1. 掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的基础，因此要熟练掌握这两个公式的应用。

完整版)等差数列知识点总结

完整版)等差数列知识点总结等差数列是一种数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

可以用递推公式表示为an - an-1 = d（d为常数）（n≥2）。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d（首项为a1，公差为d，末项为an）。

另外，等差数列还有等差中项，即an - am / (n-m)。

如果a、A、b成等差数列，那么A 叫做a与b的等差中项，即A = (a+b) / 2 或 2A = a + b。

等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2.等差数列的证明方法有定义法、等差中项法、通项公式法和前n项和公式法。

等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d…（公差为2d）。

等差数列的性质有：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2是关于n的二次函数且常数项为a1.的通项公式和第一项。

根据已知条件，可以列出以下方程组：a1d a2110d33解得：d3，a18所以，{an的通项公式为an83(n1)，第一项为a18.2.若等差数列{an的前6项依次为2，5，8，11，14，17，求该数列的通项公式和第100项。

总结等差数列知识点归纳

总结等差数列知识点归纳等差数列是数学中常见且重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用。

通过对等差数列的学习和理解，我们可以更好地掌握数列的性质和特点，进一步深入研究数学问题。

下面将总结等差数列的知识点，归纳为以下几个方面。

一、等差数列的定义和性质1. 等差数列的定义：等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都相等。

2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。

3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则等差数列的前n项和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2。

二、求等差数列的项数和公差1. 已知首项和末项求项数：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，项数为n，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。

2. 已知首项和项数求末项：设等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则末项aₙ可由公式aₙ=a₁+(n-1)d求得。

3. 已知首项和公差求项数：设等差数列的首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。

4. 已知首项和末项求公差：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，公差为d，则公差d可由公式d=(aₙ-a₁)/(n-1)求得。

三、常见问题实例分析1. 求等差数列的和：根据前n项和的公式Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2，即可求得等差数列的前n项和。

2. 求等差数列中某一项的值：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，将对应的n值代入，即可求得所需项的值。

3. 求等差数列中第一次出现满足某条件的项数：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，代入满足条件的项的值，解方程即可求得。

四、应用领域实例展示1. 数学中的应用：等差数列广泛应用于数学中的数列求和、方程求解、数值推测等问题，帮助我们更好地理解和解决数学难题。

等差数列知识总结(基础)

等差数列知识总结
1、定义
1(2)n n a a d n --=≥ 1(1)n n a a d n +-=≥
注意：
①数列{}n a ，{}n b 是等差数列，数列{}n n ma kb +也是等差数列 ②若0d >，数列{}n a 为递增数列，若0d <，数列{}n a 为递减数列，若0d =，数列{}n a 为常数列
2、等差中项
若,,a A b 成等差数列，则2a b A +=；
若112(2)n n n a a a n -+=+≥，数列{}n a 是等差数列.
3、等差数列的通项公式
1(1)n a a n d =+-
①推导方法：归纳法、累加法
②公式的变形：()n m a a m n d -=-
③公式的形式（可以用来判断等差数列）：n a pn q =+（,p q 为常数） ④若p q s t +=+，则p q s t a a a a +=+
4、等差数列的前n 项和
1(+)2n n n a a S =，1(1)2
n n n S na d -=+ 注意：
①推导方法：倒序相加法
②“片段和”性质：数列{}n a 是等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --也是等差数列
③公式的形式（可以用来判断等差数列）：2n S An Bn =+（,A B 为常数）
④n S 的最值问题
⑤数列{||}n a 的求和问题。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

例如：数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。

二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。

通项公式的推导：第 2 项：a2 ＝ a1 ＋ d第 3 项：a3 ＝ a2 ＋ d ＝（a1 ＋ d) ＋ d ＝ a1 ＋ 2d第 4 项：a4 ＝ a3 ＋ d ＝（a1 ＋ 2d) ＋ d ＝ a1 ＋ 3d第 n 项：an ＝ a1 ＋（n 1)d通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。

三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。

例如：在等差数列中，若 a3 ＋ a8 ＝ 10 ，a5 ＋ a6 也等于 10 。

2、若数列{an}是等差数列，公差为 d ，则 ak，ak ＋ m，ak ＋ 2m，（k，m ∈ N+ ）仍为等差数列，且公差为 md 。

3、若数列{an}是等差数列，Sn 表示前 n 项和，则 Sk，S2k Sk，S3k S2k ，仍为等差数列。

4、若数列{an}，｛bn}均为等差数列，公差分别为 d1 ，d2 ，则数列{pan ＋ qbn}（p，q 为常数）仍为等差数列，且公差为 pd1 ＋ qd2 。

四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。

前 n 项和公式的推导：Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an将通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 代入上式：Sn ＝ a1 ＋（a1 ＋ d) ＋（a1 ＋ 2d) ＋＋ a1 ＋（n 1)d将上式倒序相加：Sn ＝ a1 ＋（n 1)d ＋ a1 ＋（n 2)d ＋＋（a1 ＋ d) ＋ a12Sn ＝ 2a1 ＋（n 1)d ＋ 2a1 ＋（n 1)d ＋＋ 2a1 ＋（n 1)d（共 n 个）2Sn ＝ n2a1 ＋（n 1)dSn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2又因为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，所以 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。

(完整版)等差数列知识点总结和题型分析

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k kS S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）A ．8B ．7C ．6D ．53、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为（）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

等差数列知识点总结和题型分析

一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法：② 定义法：对于数列a n ，若am a n d （常数），则数列a .是等差数列③ 等差中项：对于数列a .，若2am a . a . 2，则数列a .是等差数列知识点3、等差数列的通项公式：④ 如果等差数列a .的首项是a !，公差是d ，则等差数列的通项为知识点4、等差数列的前门项和：⑤S .听1冇）⑥S .2对于公式2整理后是关于门的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项： ⑥ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：A 专或 2A a b在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6等差数列的性质⑦ 等差数列任意两项间的关系：如果a .是等差数列的第门项，a m 是等差数列的第m 项，且m 门，公差为d ，则有a . a m （门m ）d⑧ 对于等差数列a .，若门 m p q ，则a . a m a p a q也就是： a 1 a . a 2 a . 1 a 3 a . 2⑨ 若数列a .是等差数列，&是其前门项的和，k N *，那么S k ，S 2k S k ， S 3k S 2k 成等差数列如下图所示：等差数列a . a ! (n 1)d该公式整理后是关于门的一次函数ha t二、题型选析：题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列｛a n ｝的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2，贝U a 等于() A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列｛a n ｝中，a 1=2 , 2a n+1=2a n +1，则 a 101 的值为 ()A . 49B . 50C . 51D . 523 .等差数列1，- -1，— 3，…，- -89的项数是( )A . 92B . 47C . 46D . 454、已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16忌 1,则的值是()( ) A 15 B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 ( )A.d > 8B.d v 3 8C.38 D.2 v d <3 33 36、.在数列｛ a n ｝中，a 1 3，且对任意大于 1的正整数n ,点(：a n , ； a n 1 )在直x y 73 0 上，贝卩 a n = _______________7、在等差数列｛a n ｝中，a 5 = 3，a 6= — 2，贝U a 4 + a 5+・・・+ a 10= ___ .8、等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2 1忌3,则Sp ()(A ) 12( B ) 10(C ) 8( D ) 69、设数列a n 的首项a 1 7,且满足a n 1 a n 2 (n N),则a 1 a 2 a 仃 _______ ,10、已知｛a n ｝为等差数列，a 3 + a 8 = 22， a 6 = 7，贝U a 5 =__________11、 ________________________________________________________ 已知数列的通项 a n = -5n+2,则其前n 项和为S n = ____________________________________________S 3ka1a2a3a2k a 2k 1a3kS kS 2k S kS 3k S 2k10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为 2n n,则S 2nn4an 1•②若项数为2n 1 n na n，S 偶，则 S 2n 1 2n 1 a n ,且且Si S 奇nd ,& (其中S 奇a na n 112、设S n 为等差数列 a n 的前n 项和，S 4 = 14, S io S 7 30，则S 9=题型二、等差数列性质1、已知｛ a n ｝为等差数列，a 2+a 8=l2,则a 5等于()(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设S n 是等差数列 a n 的前n 项和，若S 735，则a 4()A. 8 B . 7 C . 6D . 53、若等差数列a n 中，a s a 7 術 8,an4,则a ? _____________________ . 4、记等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若S 2 4 , S 420 ,则该数列的公差d=()A . 7 B. 6C. 3D. 215、等差数列｛a n ｝中，已知a 1, a 2a 5 4, a n 33，则门为(3(A ) 48 ( B ) 49 (C ) 50( D ) 516. 、等差数列｛a n ｝中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前 n 项和 S n =100,则 n=( )(A)9 (B)10 (C)11(D)125,则 S97、设 S n 是等差数列 a n的前n 项和, a 5右()a 39 S 5A . 1B . - 1C . 2D .128、已知等差数列｛a n ｝满足 a+ a+ a +…+ a 101 = 0则有()A . a 1 + a 01> 0B . a+ a 。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的概念，它在数学、物理、经济学等领域都有广泛应用。

了解等差数列的性质和运算规律对于理解数学问题和解题非常有帮助。

本文将对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及常见问题进行总结。

一、等差数列的定义等差数列由一系列有规律的数构成，这些数之间的差值保持不变。

等差数列的全体数可以用以下表示形式来描述：an = a1 + (n - 1)d其中an表示等差数列的第n个数，a1表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。

二、等差数列的性质1. 公差等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。

公差可以为正、零或负。

当公差为正时，数列递增；当公差为负时，数列递减。

2. 通项公式等差数列的通项公式用来表示数列中任意一项与首项之间的关系。

通项公式可表示为：an = a1 + (n - 1)d3. 前n项和等差数列前n项和表示数列的前n项之和，通常用Sn表示。

前n 项和公式可表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

三、等差数列的运算规律1. 求任意项的值根据通项公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。

已知首项a1、公差d和项数n，可以使用以下公式求得第n项的值：an = a1 + (n - 1)d2. 求前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。

具体计算步骤如下：（1）求得第n项an的值；（2）代入前n项和公式，得到Sn的值。

3. 求公差如果已知等差数列的两个相邻项或任意两项的值，可以通过求差的方式计算出公差。

公式如下：d = an - an-1四、等差数列的常见问题1. 求等差数列的第n项的值已知首项a1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算等差数列的第n项的值。

具体计算步骤如下：an = a1 + (n - 1)d2. 求等差数列的前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。

等差数列知识点归纳

等差数列1.等差数列的定义：d a a n n=--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.等差数列的性质：（2）若公差0d>，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q+=+时,则有q p n ma a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n nn n n S S S S S -- ，…也成等差数列（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列(9)求n S 的最值法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。