北京市西城区2020届高三第一次模拟考(4月)试数学试题答题卡

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2020年北京市西城区高三一模数学试题(含答案)

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在吠吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 ㄰ 㸴,则实数吠的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
(D) 吠㸴hh h ⸶
6.设ㄠㄠ为非零实数,且 t ㄠ t ,则
(A)
t
(B) t h
(C)a b
h
t
(D) t
h
1/5
7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则
(A)h h ㄠ且 h 㸴
(B)h h ㄠ且 h 㸴
(C)h h ㄠ且 h 㸴
(D)h h ㄠ且 h 㸴 8.设ㄠ为非零向量,则“൭
21.(本小题满分 14 分)
对于正整数 ,如果
h个整数ㄠ hㄠㄠ满足
h
,
且
h
⸶ ,则称数组ㄠ hㄠㄠ h为的一个“正整数分拆”.记ㄠ hㄠㄠ均为偶数的“正整数分拆”
的个数为ㄠㄠ hㄠㄠ均为奇数的“正整数分拆”的个数为쳌 .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数
ㄠ㔰两点和ㄠ⺁两点.
ㄠㄱh,直线 h经过点ㄠㄱh,直线直线 h,且直线 , h分别与椭圆相交于
(Ⅰ)若ㄠ分别为椭圆的左、右焦点,且直线吠轴,求四边形㔰⺁的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为 0,四边形㔰⺁为平行四边形,求证:

北京市西城区 2020届高三第一次模拟考试 (数学)解析版

-3-
【答案】D 【解析】【分析】
如图所示：在边长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，四棱锥 C1 − ABCD 满足条件，故
{ } S = 2, 2 2, 2 3 ，得到答案.
【详解】如图所示：在边长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，四棱锥 C1 − ABCD 满足条件.
-4-
当 a 与 b 共线，方向相反时， a + b ≠ a + b ，故不必要.
故选： A .
【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
9.已知函数 f ( x) = sinx 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的
1+ 2sinx
图象可以与原图象重合的变换方式有（）
故选： B .
【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
3.下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（）
A. y= x + 2
B. y = sinx
C. y= x − x3
【答案】C
D. 20
D. y = 2x
-1-
【解析】【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. y= x + 2 ，值域为 R ，非奇非偶函数，排除；
B. (2，3)
C. (−∞，0) ∪ (2，3)
D. (−∞，3)
【答案】C 【解析】【分析】直接求交集得到答案.
【详解】集合 A ={x | x < 3}，B ={x | x 0或x 2} ，则 A ∩ B = (−∞，0) ∪ (2，3) .
故选： C .
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.

西城一模试题及答案2020.4.5

西城区高三统一测试数学试题2020.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.1.设{}{}20,3><=<=x x x B x x A ，或，则B A I =（）C A.)0,(-∞ B.)3,2( C.)0,(-∞)3,2(Y D.)3,(-∞ 2.若复数)1)(3(i i z +-=，则z =（）BA.22B.52C.10D.20 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（）CA.2+=x yB.x y sin =C.3x x y -=D.xy 2=4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5,2413=+=a a a ，则6S =（）B A.10 B.9 C.8 D.75.设)1,4(),1,2(B A -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）AA.2)3(22=+-y xB.8)3(22=+-y xC.2)3(22=++y xD.8)3(22=++y x6.设c b a ,,为非零实数，且c b c a >>,，则（）C A.c b a >+ B.2c ab > C.c b a >+2 D.cb a 211>+ 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则D A.S S ∉∉3222，且 B.S S ∈∉3222，且C.S S ∉∈3222，且D.S S ∈∈3222，且8.设b a ,为非零向量，则“b a b a +=+”是“b a 与共线”的（）A A.充分二不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知函数xxx f sin 21sin )(+=的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）D ①绕着x 轴上一点旋转180°； ②沿x 轴正方向平移；③以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0,lg 0,110)(2x x x x x x f 若关于x 的方程)()(R a a x f ∈=有四个实数解)4,3,2,1(=i x i ，其中4321x x x x <<<，则))((4321x x x x -+的取值范围是（）BA.]101,0(B.]99,0(C.]100,0(D.),0(+∞第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在6)1(xx +的展开式中，常数项为 .（用数字作答）2012.若向量),1(),2,(2x b x a ==满足3<⋅b a ，则实数x 的取值范围是 .13<<-x13.设双曲线)0(14222>=-b by x 的一条渐近线方程为x y 22=，则该上去西安的离心率为 .26==a c e 14.函数)42sin()(π+=x x f 的最小正周期为；若函数)(x f 在区间),0(a 上单调递增，则α的最大值为 .8max π=a15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中，所有正确的序号是 .②③三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 平面ABCD ，底面ABCD 满足22,21=====DC BD AA AD AB BC AD ，且∥.（Ⅰ）求证：⊥AB 平面11A ADD ；（Ⅱ）求直线AB 与平面11CD B 所成角的正弦值.【解析】（Ⅰ）因为在底面ABCD 中，2,22AB AD BD ===，所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分又因为1AA AD A =I ，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分在底面ABCD 中，由题意，得224BC BD CD =+=.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =u u u r ，1(0,4,2)B C =-u u u u r ，11(2,2,0)B D =-u u u u u r， ……………… 8分设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ，由10B C ⋅=u u u u r n ，110B D ⋅=u u u u u r n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ，则 6sin |cos ,|||6||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅u u u ru u u r u u u r n n n ，直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为66. ……………… 14分17.（本小题满分14分）已知ABC ∆满足，且32,6π==A b ，求C sin 的值及ABC ∆的面积. 从B a a B sin 23,34===③，②①π这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分2ππ2ππsin cos cos sin 3434=+ 624-=. ……………… 8分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==. ……………… 11分所以△ABC 的面积1933sin 24S ab C -==. ……………… 14分 1B DAA 1D 1CC yxz选择③作为补充条件. ……………… 2分解答如下：在△ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分sin3=，解得21sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsin cos cos sin 3434=+=. ……………… 11分所以△ABC的面积1sin 2S ab C ==. ……………… 14分 18.（本小题满分14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人. ……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分所以随机变量的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19.（本小题满分14分）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a ∈R （Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处切线的倾斜角为4π，求a 的值；（Ⅱ）已知导函数()f x 在区间（1，e ）上存在零点，证明:当x ∈（1，e ）时， 2()f x e ＞-【解析】（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分则π(2)tan4f '=， ……………… 4分 X即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分（Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2a 上单调递减，在(,e)2a上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2a∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a ag f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20.（本小题满分15分）设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点M （m ，0），直线2l 经过点N （n ，0），直线1l ∥直线2l ，且直线1l 、2l 分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点。

北京市西城区2020高三一模数学

西城区高三统一测试数学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ 卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A ={x |x <3},B ={x |x <0,或x >2},则A ∩B = (A )(-¥,0) (B )(2,3) (C )(-¥,0)∪(2,3) (D )(-¥,3) 2.若复数z =(3-i )(1+i ),则|z |=(A )2 2(B )2 5(C ) 10(D )203. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A ) y =x +2(B )y =s i n x (C )y =x -x 3(D )y =2x4.设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A )10(B )9(C )8(D )75. 设A (2,-1),B (4,1),则以线段A B 为直径的圆的方程是(A )(x -3)2+y 2=2(B )(x -3)2+y 2=8(C )(x +3)2+y 2=2 (D )(x +3)2+y 2=86. 设a ,b ,c 为非零实数,且a >c ,b >c ,则(A )a +b >c (B )a b >c2(C )a +b>c(D )1+1>22a b c1+2s i n xî 7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A )2 2∉S ,且2 3∉S (B )2 2∉S ,且2 3∈S (C )2 2∈S ,且2 3∉S (D )2 2∈S ,且2 3∈S8. 设a ,b 为非零向量,则 “|a +b |=|a |+|b |”是 “a 与b 共线”的 (A ) 充分而不必要条件(B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件9. 已知函数f (x )=s i n x的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有① 绕着x 轴上一点旋转180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称;④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A )①③(B )③④ (C )②③ (D )②④( ) ìïx 2+10x +1,x ≤0, ( ) ( ) 10. 设函数f x = í 若关于x 的方程f x =a a ∈R 有四个实数 ï|l gx |, x >0. 解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则 (x 1+x 2)(x 3-x 4)的取值范围是 (A )(0,101] (B )(0,99] (C )(0,100] (D )(0,+¥)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 在 (x +x1)6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 12. 若向量a =(x 2,2),b =(1,x )满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是.13. 设双曲线x2-y 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y = 2x ,则该双曲线的离心率 4 b 22为 .14. 函数f (x )=s i n (2x +π)的最小正周期为 ;若函数f (x )在区间 (0,α)上单调递增,则α 的最大值为 .15. 在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70 ,女生成绩的优秀率为50 ;乙校男生成绩的优秀率为60 ,女生成绩的优秀率为40 .对于此次测试,给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中,所有正确结论的序号是.34三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中,AA 1 ⊥ 平面 A BCD , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C ,且A B =A D =A A 1=2,B D =D C =2 2. (Ⅰ)求证:A B ⊥平面A D D 1A 1;(Ⅱ)求直线A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△A B C 满足 ,且b = 6,A =2π,求s i n C 的值及△A B C 的面积.从①B =π,②a = 3,③a =3 2s i n B 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.42019年底, 北京2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数据,以频率作为概率,给出 m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f (x )=a l n x +x 2-(a +2)x ,其中a ∈R .(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点 (2,f (2))处切线的倾斜角为 π,求a 的值; (Ⅱ)已知导函数f '(x )在区间 (1,e )上存在零点,证明:当x ∈(1,e )时,f (x )>-e 2.2 设椭圆E :x2+y 2 =1, 直线l 1 经过点 M (m ,0), 直线l 2 经过点N (n ,0), 直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ)若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ)若直线l 1 的斜率存在且不为0,四边形A B C D 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,判断四边形A B C D 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n ,如果k (k ∈N *)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤… ≤a k ≤n ,且a 1+a 2+…+a k =n ,则称数组 (a 1,a 2,…,a k )为n 的一个 “正整数分拆”.记a 1, a 2,…,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的 “正整数分拆”的个数为g n .(Ⅰ)写出整数4的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n (n ≥4),设 (a 1,a 2,…,a k )是n 的一个 “正整数分拆”,且a 1=2,求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与 (b 1,b 2,…,b m ),当且仅当 k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个 “正整数分拆”是相同的.)。

20200405西城一模答案

西城区高三统一测试数学参考答案 2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．B 3．C 4．B 5. A 6. C7. D8. A9. D10. B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．20 12．(3,1)-1314．π，π815．②③注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面ABCD中，2,AB AD BD ===所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分又因为1AA AD A =，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分在底面ABCD中，由题意，得4BC =.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =，1(0,4,2)B C =-，11(2,2,0)B D =-， ……………… 8分设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ，由10B C ⋅=n ，110B D ⋅=n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ，则sin |cos ,|||||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅n nn 直线AB 与平面11B CD ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分2ππ2ππsin cos cos sin 3434=+= ……………… 8分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==.……………… 11分所以△ABC 的面积1sin 2S ab C =.................. 14分选择③作为补充条件. (2)分解答如下：在△ABC 中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分sin321sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsincos cos sin 3434=+= ……………… 11分所以△ABC的面积1sin 2S ab C =……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人.……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分所以随机变量X 的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分则π(2)tan4f '=， ……………… 4分即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分（Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2a 上单调递减，在(,e)2a上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……………… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a ag f =，(1,e)2a ∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a ag f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得a ，1b =，则1c =. ……………… 2分根据椭圆的对称性，知四边形ABCD 是矩形. 设0(1,)A y -，0(1,)B y --，0(1,)C y -，0(1,)D y ，将1x =-代入椭圆方程得212y =. ……………… 3分所以四边形ABCD的面积0||||2||2S AB AD y c =⋅=⋅=. ……………… 5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1()l y k x m =-：， ……………… 6分联立22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， …… 7分则42222164(12)(22)0k m k k m ∆=-+->，2122412k m x x k +=+，221222212k m x x k -=+. ……………… 8分所以12|||AB x x =- ……………… 9分=同理，得||CD = 由四边形ABCD 为平行四边形，得||||AB CD =，即得22m n =. 由题意知m n ≠，所以m n =-，即0m n +=. ……………… 11分（Ⅲ）结论：四边形ABCD 不可能为矩形. ……………… 12分由（Ⅱ）知,M N 两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得,A C 两点关于原点对称，故C 的坐标为11(,)x y --.由题意，得221112x y +=，222212x y +=. ……………… 13分于是，2221212122212121AB BCy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-22212221112(1)2(1)2y y y y -==-≠----. 所以AB 不可能垂直于BC .所以四边形ABCD 不能为矩形. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4) . ……………… 3分（Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤，且12k a a a n +++=，得122k n a a a k =+++≥，即2nk ≤. ……………… 5分所以当n 是偶数时，k 的最大值是2n （此时，2(2,2,,2)k 共有个是n 的一个“正整数分拆”）；当n 是奇数时，k 的最大值是12n -（此时，12(2,2,,2,3)k -共有个是n 的一个“正整数分拆”）. ……………… 8分（Ⅲ）当n 为奇数时，由题意，得0n f =；且1(1,1,,1)n 共有个是n 的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以0n g >，故n n f g <. ……………… 9分当n 为偶数时，由()n 是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，1(1,1,,1)n 共有个是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得0n f >，0n g >.① 当2n =时，n 的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以221f g ==；② 当4n =时，由（Ⅰ）知，442f g ==； ……………… 11分 ③ 当n 为大于4的偶数时，因为对于n 的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”12(,,,)k a a a ，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个.且当12(,,,)k a a a 不同时，其对应的121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个也不相同，所以n n f g ≤.又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n -不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为6n ≥，所以(3,3)n -有意义）所以n n f g <.综上，对所有的正整数n ，n n f g ≤；当且仅当2n =或4时等号成立. ……… 14分。

2020年北京西城区高三一模数学试卷

2020年北京西城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合，，或，则（）．A. B. C. D.2.若复数，则（）．A. B. C. D.3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（）．A. B. C. D.4.设等差数列的前项和为，若，，则（）．A.B.C.D.5.设，，则以线段为直径的圆的方程是（）．A.B.C.D.6.设，，为非零实数，且，，则（）．A.B.C.D.7.某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）．正（主）视图侧（左）视图俯视图A.，且B.，且C.，且D. ，且8.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）．①绕着轴上一点旋转；②沿轴正方向平移；③以轴为轴作轴对称；④以轴的某一条垂线为轴作轴对称．A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数，若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，常数项为．（用数字作答）12.若向量，满足，则实数的取值范围是．13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．14.函数的最小正周期为；若函数在区间上单调递增，则的最大值为．15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，．（1）（2）求证：平面．求直线与平面所成角的正弦值．17.已知满足，且，，求的值及的面积．从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．（1）（2）（3）18.2019年底，北京年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破万，其中青年学生约有万人．现从这万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如下：男女试估计在这万青年学生志愿者中，英语测试成绩在分以上的女生人数．从选出的名男生中随机抽取人，记其中测试成绩在分以上的人数，求的分布列和数学期望．为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于），并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有人的英语测试成绩在分以上的概率大于．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值．（结论不要求证明）（1）（2）19.设函数，其中．若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值．已知导函数在区间上存在零点，证明：当时，．（1）20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线，分别与椭圆相交于，两点和，两点．若，分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积．【答案】解析:由题意知，，或，∴或．故选．解析:复数，则．故选．解析:由等差数列性质知，，而，则，（2）（3）若直线的斜率存在且不为，四边形为平行四边形，求证：．在（）的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由．（1）（2）（3）21.对于正整数，如果个整数，，，满足，且，则称数组为的一个”正整数分拆”．记，，，均为偶数的”正整数分拆”的个数为，，，，均为奇数的”正整数分拆”的个数为．写出整数的所有”正整数分拆”．对于给定的整数，设是的一个”正整数分拆”，且，求的最大值．对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值．(注：对于的两个”正整数分拆”与，当且仅当且，，，时，称这两个”正整数分拆”是相同的．)C1.B2.C3.B4.∴公差，首项，∴．故选．解析:由题意知，圆心为中点，而，，∴，半径，∴圆心的方程为．故选．解析:由，，取，，则，，，排除、、选项．由同向不等式性质，，即．故选．解析:将四棱锥的三视图转化为直观图如下：其中，，A 5.C 6.D 7.，，即，且．故选．解析:由知，，∴，则，，即，同向，故“”是“，共线”的充分不必要条件．故选．解析:正弦函数的最小正周期为，则，即为的周期，可向右平移单位与原图重合，②对．正弦函数关于对称，即，所以，故关于对称，④对．综上所述，选．解析:作出函数的图象，如图所示：A 8.D 9.B 10.x–1010y–20–10O因为方程有四个实数解，则函数的图象与的图象有个交点，所以可知，当时，，其对称轴为，由二次函数的对称性可知：．当时，则，即，则，当时，，即，所以，所以，则，由可知，，则，又，，令，，则可知在上单调递减，又，，所以，所以的取值范围为．故选．解析:11.的二项展开式的通项公式为，令，得，故的二项展开式中常数项为．解析:，，则，即，解得：．故答案为：．解析:由题意知，，则双曲线的一条渐近线方程为，则，，所以离心率．解析:由题意知，，周期．令得，，．令得，在上单调增，故的最大取值为．答案为，．解析:设甲校有男生人，则有女生人，设乙校有男生人，则有女生人，其中、，且、，则甲校有优秀学生人，乙校有优秀学生人，12.13. ;14.②③15.（1）（2）令，得：，所以当乙校男生比甲校男生超过人以上时，乙校学生优秀学生更多，即乙校学生优秀率更高，故①错，由题意知，甲、乙两校男生成绩优秀率各自都比女生高，故甲乙两校所有男生优秀率大于甲乙两校所有女生优秀率，故②对，由①知，当时，乙校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率小于两校所有学生成绩优秀率，当时，甲校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率大于两校所有学生成绩优秀率，即甲校学生与两校所有学生优秀率的大小关系不确定，故③对，综上所述，正确的结论有②③．解析:∵平面，∴，又∵在中，，∴，又∵，∴平面．由（）问可知，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，∵在四棱柱中，平面，∴，且和都垂直于平面，∵在中，，∴，又∵，（1）证明见解析．（2）．16.∴，又∵在中，，∴，且，∴，，，，，∴，，，∴平面的法向量，∴直线和平面所成角的正弦值．解析:当选择条件①时：∵，，，由正弦定理得：，即得，，∴．当选择条件②时：已知，，，∵，，且为钝角，所以无解．当选择条件③时：∵，，，∴为锐角，由正弦定理得：，即得，当选择条件①时：，．当选择条件②时：无解．当选择条件③时：，．17.（1）（2），，由正弦定理得，，即得，，∴．解析:在茎叶图中，女生一共有人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以在这个抽样的人中，英语成绩在分以上者比例为，因为人中女生的占比为，由此得到万青年点燃者中女生的人数为，如果以抽取的人中的女生中成绩在分以上的比例作为万女青年志愿者的英语成绩在分以上的比例估计，则有万女青年志愿者中英语成绩在分以上的人数为万人．因为从名男生中抽取人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以的取值为，，，，，，则随机变量的分布列为：（1）万人．（2）的分布列为：数学期望为．（3）．18.（3）（1）（2）数学期望．在抽取的人中，英语成绩在分以上者共计人，所以在这人中随机抽取一人，其英语成绩在分以上的概率为，在超过人的青年志愿者中抽取人，其英语成绩在分以上至少一人为事件，则，由此得到，所以的最小值为．解析:∵，由题可知，即，得．∵，∵，可设，令得或，∵在上存在零点，∴，即，由此可知：减极小增∴在单调递减，单调递增，∴，设，，（1）．（2）证明见解析．19.（1）（2）（3）∵，∴，∴，∴在单调递减，∴，∴当时，．解析:由题意可得：，，所以．由题意可得，，，由得，所以，，且，即，，同理可得，因为四边形为平行四边形，所以，即，因为，所以，即．点到直线，直线的距离分别为，由（）知，所以点到直线，直线的距离相等，根据椭圆的对称性，故而原点是平行四边形的对称中心，假设平行四边形是矩形，则，那么，则，所以，这时直线轴，（1）．（2）证明见解析．（3）不能为矩形，证明见解析．20.四边形（1）（2）（3）这与直线的斜率存在相矛盾，所以假设不成立，即平行四边形不能为矩形．解析:，，，，．欲使最大，只须最小，当为偶数时，，当为奇数时，，．当为奇数时，由题意，得，且是的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以，故．当为偶数时，由是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得，．①当时，的“正整数分拆”只有和，所以；②当时，由知，；③当为大于的偶数时，因为对于的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”．且当不同时，其对应的也不相同，所以．又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为，所以有意义），所以．（1），，，，．（2）当为偶数时，，当为奇数时，．（3）证明见解析；为，．21.共有个共有个共有个共有个综上，对所有的正整数，；当且仅当或时等号成立．。

北京市西城区2020届高三第一次模拟考(4月)试数学试题答题卡

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2020北京西城区一模高考数学试卷及答案

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)2020北京西城区高三一模数学参考答案一、选择题：（本题满分40份）16.（本小题满分14份）（1）证明：在∆ABD中，AB=AD=2，BD=2√2有勾股定理得，∠BAD=90°∴AB⊥ADAA1⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AA1⊥AB又∵AA1∩AD=A∴AB⊥平面ADD1A1（2）解：由（1）知，AB，AD，AA1两两垂直，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,4,0),B 1(2,0,2),D 1(0,2,2)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)设平面B 1CD 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z) ∴{n ⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{4y −2z =0−2x +2y =0令x =1,则y =1,z =2∴n ⃗ =(1,1,2)设直线AB 与平面B 1CD 1所成角为θ，∴sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ⃗ ||=|22×√6|=√6617.（本小题满分14份）当选择条件①时：∵B =π4，A =2π3， sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√32×√22−12×√22=√6−√24由正弦定理得，a sinA =b sinB ,即√32=√6√22得，a =3∴S ∆ABC =12absinC =9−3√34当条件选择②时：已知a =√3,b =√6,A =2π3∵a <b,A <B,且A 为钝角，所以无解。

2020年西城高三一模数学试题及答案

16.(本小题满分 14 分)
如图,在四棱柱㔰⺁ t 㔰⺁中, hㄠ㔰⺁ ⸶ ⺁ ⸶ h h
(Ⅰ)求证: 㔰平面⺁⺁ ;
平面㔰⺁,底面 ABCD 满足⺁㔰 ,且㔰 ⸶ ⺁ ⸶ ⸶
(Ⅱ)求直线㔰与平面㔰⺁所成角的正弦值.
17.(本小题满分 14 分)
已知△ 㔰满足
,且 ⸶
(D) 吠㸴hh h ⸶
6.设ㄠㄠ为非零实数,且 t ㄠ t ,则
(A)
t
(B) t h
(C)a b
h
t
(D) t
h
1/5
7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则
(A)h h ㄠ且 h 㸴
(B)h h ㄠ且 h 㸴
(C)h h ㄠ且 h 㸴
(D)h h ㄠ且 h 㸴 8.设ㄠ为非零向量,则“൭
1.设集合 ⸶ 㤴吠൭吠 ㄰ 㸴橔ㄠ㔰 ⸶ 㤴吠൭吠 ㄰ ㄱㄠ或吠 t h橔ㄠ则㔰 ⸶
(A) t ㄠㄱh (B) hㄠ㸴h
(C) t ㄠㄱh hㄠ㸴h (D) t ㄠ㸴h
2.若复数 ⸶ 㸴 t h h,则൭ ൭ ⸶
(A)h h
(B)h
(C) ㄱ
3.下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是
(A) ⸶ 吠 h
③以吠轴为轴作轴对称;
④以吠轴的某一条垂线为轴作轴对称.
(A)①③
(B)③④
(C)②③
10.设函数
吠h ⸶
吠h ㄱ吠 쳌吠ㄠ
ㄠ吠吠
t
ㄱ若关于 ㄱ
吠
的方程
吠㸴 ㄰ 吠 ,则吠吠hh 吠㸴 t 吠 h的取值范围是
吠h ⸶

2020西城区高三一模

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S(C)2√2∈S,且2√3∉S(D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 9.已知函数f(x)=sinx 1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)①③ (B)③④ (C)②③ (D)②④ 10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是(A)(0,101](B)(0,99] (C)(0,100] (D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为 .(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是 .13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为 .)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)。

2020年北京市西城区高三一模数学试卷逐题解析

2020年北京市西城区高三一模数学考试逐题解析2020.4 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合{|3},A x x =<{|0B x x =<,或2}x >,则A B =（A ）(,0)-∞ （B ）(2,3)（C ）(,0)(2,3)-∞（D ）(,3)-∞ 【答案】C【解析】本题考查集合的运算.{|3}A x x =<,{|0B x x =<,或2}x >由集合的运算法则可知:{|0A B x x =<或23}x <<故选C.2. 若复数(3i)(1i)z =-+,则||z =（A ）（B ）（C（D ）20【答案】B【解析】本题考查复数.2(3i)(1i)33i i i 42i z =-+=+--=+||z ==故选B.3. 下列函数中,值域为R 且为奇函数的是（A ）2y x =+ （B ）sin y x =（C ）3y x x =-（D ）2x y = 【答案】C【解析】本题考查函数奇偶性和值域.A 选项,非奇非偶函数,值域为R ;B 选项,奇函数,值域为[1,1]-;C 选项,()()f x f x -=-,故为奇函数,且值域为R ;D 选项,非奇非偶函数,值域为(0,)+∞.故选C.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3142,5a a a =+=,则6S =（A ）10（B ）9 （C ）8（D ）7【答案】B【解析】本题考查等差数列.设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . 1122235a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得141a d =⎧⎨=-⎩,665(1)6492S ⨯⨯-=⨯+= 故选B.5. 设(2,1),(4,1)A B -,则以线段AB 为直径的圆的方程是（A ）22(3)2x y -+=（B ）22(3)8x y -+= （C ）22(3)2x y ++=（D ）22(3)8x y ++=【答案】A【解析】本题考查圆的标准方程.由题意可知,AB 为直径,所以圆心为AB 中点(3,0).且半径为||2AB r === 所以圆方程为22(3)2x y -+=.故选A.6. 设,,a b c 为非零实数,且,a c b c >>,则（A ）a b c +> （B ）2ab c >（C ）2a b c +> （D ）112a b c +>【答案】C【解析】本题考查不等式.当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但a b c +=,A 选项错误;当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但2ab c <,B 选项错误;因为,a c b c >>,所以2a b c +>,即2a bc +>,C 选项正确;当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但112a b c +<,D 选项错误.故选C.7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则（A ）22S ∉,且23S ∉（B ）22S ∉,且23S ∈（C ）22S ∈,且23S ∉（D ）22S ∈,且23S ∈【答案】D【解析】本题考查三视图.四棱锥的直观图如图所示:由图可知,2AB BC CD AD PA =====; 22PB PD ==; 23PC =;所以{2,22,23}S =.因此22S ∈,且23S ∈,故选D.8. 设,a b 为非零向量,则“||||||=+a +b a b ”是“a 与b 共线”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查平面向量.当两个非零向量,a b 方向相同时,cos ,cos01<>==a b ,22222||2||2||||||(||||)||||+=+⋅+=+⋅+=+=+a b a a b b a a b b a b a b 当两个非零向量,a b 方向相反时,cos ,cos1801<>==-a b ,22222||2||2||||||(||||)||||+=+⋅+=-⋅+=-=-a b a a b b a a b b a b a b 所以“||||||=+a +b a b ”是“a 与b 共线”的充分而不必要条件.故选A.9. 已知函数sin ()12sin x f x x=+的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.（A ）①③（B ）③④ （C ）②③（D ）②④ 【答案】D【解析】本题考查三角函数的图象和性质.由题可得:定义域内任意x ,sin(2π)sin (2π)=()12sin(2π)12sin x x f x f x x x++==+++, 所以2π为()f x 的周期,故可沿x 轴正方向平移*2π()k k ∈N 单位后,与原图象重合,②正确;又因为sin y x =,12sin y x =+都关于ππ,2x k k =+∈Z 对称, 所以()f x 的图象关于ππ,2x k k =+∈Z 对称,④正确; 由函数定义可得:()f x 图象不可能关于x 轴对称,③错误;由图易得函数图象不关于(,0),a a ∈R 对称,①错误.故选D.10. 设函数2101,0,()|lg |,0.x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩若关于x 的方程()()f x a a =∈R 有四个实数解(1,2,3,4)i x i =,其中1234x x x x <<<,则1234()()x x x x +-的取值范围是（A ）(0,101] （B ）(0,99]（C ）(0,100] （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】本题考查函数的图象及性质.()f x a =有四个实数解1234,x x x x <<<即()y f x =与y a=的图象有四个不同的交点.所以(0,1].a ∈由题可得1210.x x +=-341[,1),(1,10].10x x ∈∈且34|lg ||lg |,x x =即34lg lg x x -=,所以34lg 0x x =,即343411,.x x x x ==所以34344410,.x x x x x x -<-=-又因为1y x x =-在(0,)+∞为减函数,所以44199[,0).10x x -∈-所以123434()()10()(0,99].x x x x x x +-=--∈故选B.第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区2020届高三第一次模拟考试(4月)数学试题

西城区高三统一测试2020. 4木试卷分第I卷和第H卷两部分，第I卷1至2页，第II卷3至6页共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 (选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.1.设集合A={H|H V3}, B = {jrk<0,或工>2},则AC1B =(A)(—oo» 0) (B)(2,3) (C)(—oot 0)U(2» 3) (D) (—8,3)2.若复数z = (3-i)(l + i),则|z| =(A) 242(B) 275 (C) 710 (D) 203.下列函数中，值域为R且为奇函数的是(A) y=x + 2(B) y = sirtr (C) y=x~j：3(D) y = 2jr4.设等差数列{a n}的前“项和为S”，若s = 2, 5+s=5,则Ss =(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 75.设A(2, —1), B(4, 1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(H-3)2+b = 2 (B) (X-3)2+J2=8(C) (x + 3)2 + y2 = 2 (D) Cr + 3)2+b=86.设u 9 h 9 c为非零实数9且a>c , h>c、则(A)a+b>c (B) abZ>c2(C) —>c (D) ~ +L a b c7. 某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合•则变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ① 绕着工轴上一点旋转180°; ② 沿工轴正方向平移； ③ 以工轴为轴作轴对称；④ 以工轴的某一条垂线为轴作轴对称.（A ）①③ （B ）③④（C ）②③I T ' + IO JT + I, ＜rW ()910.设函数/(x) = « 若关于工的方程fCr)=a («6R)有四个实数I \gx I 9才＞0・(A) 2©"G(C) 2^2 es,且 2罷&S (D) 272 es,且 2贞GS 8•设a, b 为非零向量，则“\a+b\ = \a\ + \b\n是■与〃共线”的A ）充（B ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知函数sin.r1 + 2sinj* 的部分图象如图所示.将此图象分别作以下变换，那么 M ——2正（卞）侧（左）视图俯视图解( / = 1 »4) 9其中工1 ＜厂＜才3＜才4 9则(「+J*2)(工3 —才4)的取值范围是(A) (0, 10叮(B) (0, 99] (C) (0, 100] (D) (0, +oo)第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在（工+丄严的展开式中，常数项为.（用数字作答）JJ12.若向量4 =（工2, 2）, b = （l,文）满足a-b<3.则实数工的取值范围是________ ・13.设双曲线召一若=1（">0）的一条渐近线方程为歹=徐，则该双曲线的离心率为—・14.函数/（jr）=sin（2x + j）的敲小正周期为_______ ;若函数八工）在区间（0, a ）上单调递增，则a的故大值为_・15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是・三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱ABCD-A X B X C X D X中，AA】丄平面ABCD.底面ABCD满足AD//BC,且AB=AD = AA X=2. BD = DC = 2>/2.（I〉求证：AB丄平面ADDiAt；（n ）求直线AB与平面B.CD,所成角的正弦值.17.（本小题满分14分）_ 2冗已知Z\ABC满足 ____ 9且b=罷、A = —»求sinC的值及ZXABC的面积.7T从（DB = 丁，©a =73,③« = 3V2sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中, 4并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试.所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如下:（I）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（II）从选出的8名男生中随机抽取2人，记苴中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望；（ID）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000）, 并在每组中随机选取加个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%•根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）19.（本小题满分14分）设函数f （x）=a lrtr +工？一（G+2）H,其中« € R.（I ）若曲线在点（2. /（2））处切线的倾斜角为p 求a的值；（II）已知导函数厂Cr）在区间（l,e）上存在零点，证明：当才W（l,e）时，/（j-）＞~e2.设椭圆E： y + ^2 = l.直线人经过点M（〃?，0）,直线仇经过点N（〃，0）, 直线人〃直线仇，且直线人，心分别与椭圆E相交于A, B两点和C, D两点.（I ）若皿・N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线人丄工轴，求四边形A BCD的面积;（II）若直线A的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形，求证：加+〃=0；（H1）在（H）的条件下，判断四边形A BCD能否为矩形，说明理由.21.（本小题满分14分）对于正整数〃，如果E N-）个整数山，y …，a k满足£勺£…冬❻£”9 且a I +^2+ •••+◎= N ,则称数组（G 1 9 "2 9…，s）为打的一个"正整数分拆"・记, 02,・・・，S均为偶数的“正整数分拆''的个数为/”，5, 5,…，S均为奇数的寂正整数分拆”的个数为g”・（I）写岀整数4的所有“正整数分拆J（II）对于给定的整数”（“$4〉，设（5*2,…，S）是〃的一个“正整数分拆”，且5=2,求&的最大值；（U【）对所有的正整数〃，证明：几Wg”；并求出使得等号成立的”的值.（注：对于"的两个"正整数分拆"（d 1 9 …9 S ）与（"1 …9仏〉9当且仅当6 =〃？且 a 1 = “1，G2 = 〃2 9…，S =几时，称这两个"正整数分拆"是相同的・）。

2020西城一模-数学试卷-20200405-160443

西城区高三统一测试数学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ 卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A ={x |x <3},B ={x |x <0,或x >2},则A ∩B = (A )(-∞,0) (B )(2,3) (C )(-∞,0)∪(2,3) (D )(-∞,3) 2.若复数z =(3-i )(1+i ),则|z |=(A )2 2(B )2 5(C ) 10(D )203. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A )y =x +2(B )y =s i n x (C )y =x -x 3(D )y =2x4.设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A )10(B )9(C )8(D )75. 设A (2,-1),B (4,1),则以线段A B 为直径的圆的方程是(A )(x -3)2+y 2=2 (B )(x -3)2+y 2=8 (C )(x +3)2+y 2=2(D )(x +3)2+y 2=86. 设a ,b ,c 为非零实数,且a >c ,b >c ,则(A )a +b >c (B )a b >c2(C )a +b>c(D )1+1>22 a b c1+2s i n x⎩ 7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A )2 2∉S ,且2 3∉S (B )2 2∉S ,且2 3∈S (C )2 2∈S ,且2 3∉S (D )2 2∈S ,且2 3∈S8. 设a ,b 为非零向量,则 “|a +b |=|a |+|b |”是 “a 与b 共线”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件9. 已知函数f (x )=s i n x的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ① 绕着x 轴上一点旋转180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称;④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A )①③(B )③④(C )②③ (D )②④( ) ⎧⎪x 2+10x +1,x ≤0,10. 设函数f x = ⎨ 若关于x 的方程f x =a a ∈R 有四个实数 ⎪|l gx |, x >0. 解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则 (x 1+x 2)(x 3-x 4)的取值范围是 (A )(0,101] (B )(0,99] (C )(0,100] (D )(0,+∞)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 在 (x +x1)6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 12. 若向量a =(x 2,2),b =(1,x )满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是.13. 设双曲线x 2-y 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y = 2x ,则该双曲线的离心率 4 b22为 . 14. 函数f (x )=s i n (2x +π)的最小正周期为;若函数f (x )在区间 (0,α)上单调递增,则α 的最大值为 .15. 在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70 ,女生成绩的优秀率为50 ;乙校男生成绩的优秀率为60 ,女生成绩的优秀率为40 .对于此次测试,给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中,所有正确结论的序号是.34三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中,A A 1 ⊥ 平面 A B C D , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C ,且A B =A D =A A 1=2,B D =D C =2 2. (Ⅰ)求证:A B ⊥平面A D D 1A 1; (Ⅱ)求直线A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△A B C 满足 ,且b = 6,A =2π,求s i n C 的值及△A B C 的面积.从①B =π,②a = 3,③a =3 2s i n B 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.42019年底, 北京2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分)统计结果用茎叶图记录如下: (Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数据,以频率作为概率,给出 m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f (x )=a l n x +x 2-(a +2)x ,其中a ∈R .(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点 (2,f (2))处切线的倾斜角为 π,求a 的值; (Ⅱ)已知导函数f '(x )在区间 (1,e )上存在零点,证明:当x ∈(1,e )时,f (x )>-e 2.2设椭圆E :x2 +y 2 =1, 直线l 1 经过点 M (m ,0), 直线l 2 经过点 N (n ,0), 直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ)若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ)若直线l 1 的斜率存在且不为0,四边形A B C D 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,判断四边形A B C D 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n ,如果k (k ∈N *)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤… ≤a k ≤n ,且a 1+a 2+…+a k =n ,则称数组 (a 1,a 2,…,a k )为n 的一个 “正整数分拆”.记a 1,a 2,…,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的 “正整数分拆”的个数为g n . (Ⅰ)写出整数4的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n (n ≥4),设 (a 1,a 2,…,a k )是n 的一个 “正整数分拆”,且a 1=2,求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与 (b 1,b 2,…,b m ),当且仅当 k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个 “正整数分拆”是相同的.)。