求解非齐次线性方程组中克拉默法则的运用

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克拉默法则原理范文

克拉默法则原理范文克拉默法则是高等数学中一种计算线性方程组解的方法，由法国数学家克拉默于18世纪末提出。

克拉默法则的原理基于行列式的性质，通过计算各个未知数所对应的行列式的值，从而得到线性方程组的解。

下面将详细介绍克拉默法则的原理。

假设有一个包含n个线性方程和n个未知数的线性方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=b₂...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=bₙ其中aₙₙ是方程组中的系数，xₙ是未知数，bₙ是常数项。

根据克拉默法则，可以计算出方程组解的过程如下：首先，我们需要计算出方程组的系数行列式，记作D，即：D=，a₁₁a₁₂...a₁ₙa₂₁a₂₂...a₂..aₙ₁aₙ₂...aₙ然后，我们依次计算出将方程组中的第k个系数列替换为常数项列所得到的行列式，记作Dₙ，即：Dₙ=，a₁₁a₁₂...b₁...a₁ₙa₂₁a₂₂...b₂...a₂..aₙ₁aₙ₂...bₙ...aₙ最后，方程组的解可以表示为：xₙ=Dₙ/D，其中k=1,2,...,n1.行列式的乘法性质：如果把一个行列式的其中一列乘以同一个数k，得到的结果行列式等于原行列式乘以k。

2.行列式的加法性质：如果把一个行列式的其中一列的各个数分别乘以一些数，得到的结果行列式等于原行列式的各列与这些数的乘积的和。

3.行列式的行互换性质：如果行列式的两行交换位置，行列式变号。

4.行列式的零行性质：如果行列式的其中一行全为0，则行列式等于0。

由于行列式的计算比较繁琐，所以克拉默法则一般在求解小规模的线性方程组时使用，而不适用于大规模线性方程组的求解。

此外，如果方程组的系数行列式D等于0，则克拉默法则无法得到解。

克拉默法则的优点是简单易懂，计算方法也相对直观。

但它的缺点也是很明显的，由于每次求解时都需要计算n+1个行列式，所以当n较大时，计算量很大，效率低下。

因此，在实际应用中，一般使用其他更高效的方法来求解线性方程组，如高斯消元法、LU分解法等。

高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则

an1 x1

a12 x2 a22 x2 an2 x2

a1n xn a2n xn ann xn

b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A

a21 an1
a22 an2

a2n ann

的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1

D1 D
,
x2

D2 D
,,
xn

Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即

a11 x1 a21 x1 an1 x1

a12 x2 a22 x2 an2 x2

a1n xn a2n xn ann xn

0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1

克拉姆法则解方程组知识点

克拉姆法则解方程组知识点
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法。

它的基本思想是，通过将方程组的系
数和常数项组成矩阵，利用矩阵的行列式来表示未知数对应的解的值。

具体步骤如下：
1. 将n元线性方程组写成矩阵形式，设为AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B
为常数矩阵。

2. 计算系数矩阵A的行列式，记为|A|。

3. 对于每个未知数的位置，将常数矩阵B替换为系数矩阵A对应列上的常数，并计算新的矩
阵的行列式，记为|A_i|。

4. 使用克拉默法则的公式，将|A_i|除以|A|，得到未知数Xi的值。

克拉默法则的一个重要性质是，当系数矩阵A的行列式|A|不等于0时，方程组有唯一解；当
|A|=0时，方程组无解或有无穷多解。

克拉默法则的优点是，计算较为简单，不需要转换方程组，只需计算行列式即可。

但是缺点是计算量较大，尤其是对于大型的n元线性方程组，计算多个行列式会比较耗时。

另外，克拉默
法则还要求方程组的系数矩阵是非奇异矩阵，即行列式不为0，否则无法使用该方法解方程组。

克拉默法则

解
5 2 2
D 2 6 0 (5 )(2 )(8 )
2 0 4
由D=0,得λ=2, λ=5, λ=8.
总结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2.克拉默法则建立了线性方程组的解与已知的系数与常数项之间的关系，它主要使用于理论推导。

D4 D

27 27

1.
二、齐次与非齐次线性方程组的定义
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
定义:线性方程组(11)右端的常数项b1, b2 , ∙ ∙ ∙, bn不全为零时,线性方程组(11)叫做非齐次线性方程
定理3′ 如果齐次线性方程组(12)有非零解,则它的系数行列式必为零.
定理4 齐次线性方程组（12）有非零解得充分必要条件是它的系数行列式为零。
例问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
5 x 2 y 2z 0,

2x 6 y 0,

2x 4z 0
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
关于克拉默法则的等价命题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LL
L
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn

非齐次与齐次线性方程组的概念.

an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,

x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
7 7 2
3 3

27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
定理如果齐次线性方程组2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
定理如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0

a21x1 a22 x2 a2n xn 0
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,, Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j

克拉默法则的证明及其应用

小结: 对于证明在几何的证明方法中全是依据着所学关于几何方面的知识来理解和证明的，对于n维空间它的一些推广一般都是根据直观来判断和理解，对于后面的的求解和的情形可以以其他形式来进行或让学者自己推敲再做一定的讲解，对于这两个问题一般都是从几何方面来看待证明的，这种证法比较直观，这方法把解析几何和线性代数联系在了一起，是个很好的桥梁.把克拉默法则应用在几何中，为几何的大量计算提供了便捷，两者的结合拓宽了两大知识领域的知识面.对于例1的题目中已经告诉我们是四个不共面的向量，它和向量的数量积都为零，该题比较难的地方就是我们已知条件转化为我们需要的东西，对于数量积的运算一般用坐标的形式来表示已知的向量，对于这个就可以转化为齐次线性方程组的问题来解，接下来把已知条件里的向量按前面的方法转化为其次线性方程组求解问题，所以该结论就可以根据克拉默法则的有关知识来得出．对于例2，应用几何方面的知识来解它，计算量比较大，且容易出错，就把几何思想转化为齐次线性方程组的问题来解，又根据克拉默法则计算，使之简化问题且简明计算.
3应用
大学数学中的 Gramer 法则的内容，应用很广泛，克拉默法则不仅有以上几个数学领域里有应用，它在微分边值，多项式整除，初等方程中都有应用，把所求方程转化为它的系数行列式来解决该问题，提前判断有无唯一解，简化它的计算和帮助它求其特征值.
3.1微分边值的应用
定理 1：设且则对任意的存在唯一的多项式使得：
1引言
克拉默法则在数学中有很重要的作用，所以一直以来对它的研究颇多，文献[1-2]对克拉默法则的证明都应用行列式的思想，都是先证解确实是方程组的解，然后验证解的形式标准，文献[1]对证明过程作了详细注解，这种证法教材里比较常见，文献[3]应用了所学的有关矩阵的知识，具体应用了矩阵的性质，逆矩阵，伴随矩阵来对克拉默法则进行证明，方法比较新颖且融合了所学的好多知识，这也是一种有效的解题思路，文献[4]对于克拉默法则的证明它没有用一些所学的理论知识，它应用了比较直观的几何方法来进行证明，这方法结合几何较容易理解，对于文献[5]主要结合了微分里的一个定理，把克拉默法则应用到了微分里，简化题意，辅助计算，把微分问题转化为线性方程组的问题，文献[6]对克拉默法则在几何中的应有作了诸多题型方面的研究，且阐述了题型的转化思想这一种重要的解题思路，文献[7-8]主要研究了卡拉默法则在行列式中的应用，结合克拉默法则的性质,来判别线性方程组解的情况，进一步求解线性方程组中的参数，文献[9-11]都主要对克拉默法则除其性质外的作了一定的推广，从其它视角来看克拉默法则，文献[12-15]主要研究了克拉默法则它的适用范围，时效和有效的题型，以便于更便捷的使用克拉默法则.克拉默法则用途广泛，在应用中有一定的探索空间.

线性代数课件1-7克拉默法则

克拉默法则也可以用来判断线性方程组的解的情况，通过计算系数行列式和常数项的乘积，可以判断方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有唯一解；如果系数行列式为零但常数项的乘积不为零，则方程组无解；如果系数行列式为零且常数项的乘积为零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法，用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可以得到线性方程组的解。

克拉默法则及其推广在方程组求解中的应用

克拉默法则及其在方程组求解中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级赵丽指导教师刘学文摘要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。

而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。

本文描述了克拉默法则产生的背景与意义，归纳了克拉默法则及其推广形式的各种证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。

关键词：克拉默法则；线性方程组；消去法Abstract: Linear algebra is an important component of the algebra. Widely used in many branches of science. It is one of the core problems of linear equations. Therefore, usually have two solutions, namely elimination and Cramer＇s Rule. In studying the Cramer＇s rule before, we learn a variety of determinant method, while the Cramer＇s rule is used to solve linear equations of the problem of determinant, the concise, graceful expression is symbolic of a model.Cramer＇s rule is linear algebra A on solving linear equations theorem. It is suitable for variables and equations is equal to the number of linear equations, is a Swiss mathematician Cramer (1704-1752) on 1750, in his" linear algebra analysis introduction" published in..Key words:Cramer＇s rule; linear equations; proof; application引言克拉默法则（Cramer's Rule），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

克拉默法则求解方程组例题

克拉默法则求解方程组例题克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法。

对于一个含有n 个未知数和n个线性方程的方程组，可以使用克拉默法则来求解每个未知数的值。

假设方程组为：ax + by + cz + ... = dax + by + cz + ... = dax + by + cz + ... = d...an + bny + cnz + ... = dn首先，我们计算方程组的系数矩阵A的行列式值，记作D。

然后，对于每个未知数的系数矩阵A中的每一列，将该未知数的系数用方程组的常数列替换，得到新的矩阵。

再计算新矩阵的行列式值，记作D、D、D...。

最后，每个未知数的解就等于对应的D、D、D...值除以D 的值。

例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 54x - 2y = 10首先，计算系数矩阵A的行列式值D：D = |2 3||4 -2|= (2 * -2) - (3 * 4) = -16然后，对于未知数x的系数矩阵A，将其用方程组的常数列替换：A = |5 3||10 -2|计算新矩阵A的行列式值D：D = (5 * -2) - (3 * 10) = -20未知数x的解为D除以D的值：x = D / D = -20 / -16 = 5 / 4 = 1.25同样地，对于未知数y的系数矩阵A，将其用方程组的常数列替换：A = |2 5||4 10|计算新矩阵A的行列式值D：D = (2 * 10) - (5 * 4) = 20 - 20 = 0未知数y的解为D除以D的值：y = D / D = 0 / -16 = 0因此，方程组的解为x = 1.25，y = 0。

克拉默法则的优点是可以直接得到每个未知数的解，但当方程组比较大时，计算行列式的值可能会变得很复杂，效率较低。

因此，对于大规模的线性方程组，其他求解方法可能更加实用。

【精品】2-5克拉默法则

【精品】2-5克拉默法则克拉默法则是美国数学家克拉默在18世纪提出的一种计算线性方程组解的方法。

该方法可以用来判断一组线性方程是否有唯一解、无解或有无穷多解，并且可以用来求出有解时的解法。

克拉默法则是学习数学的基础，适用于高中和大学的代数应用、微积分和数学物理等学科，也在实际工程和科学研究中有广泛的应用。

克拉默法则基本概念假设有n个未知量x1、x2、…、xn的m个线性方程组成的方程组如下:a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bmAx=b其中，A是系数矩阵，x是未知量向量，b是常数向量。

如果n=m，则这个方程组是一个方阵，可以求出唯一解或无解；如果n<m，则这个方程组是欠定的，有无穷多解；如果n>m，则这个方程组是超定的，可能有解，也可能无解。

克拉默法则的思路是将系数矩阵的每一列替换成常数向量b，然后求出每个替换后的矩阵的行列式，用行列式的值来判断方程组的解法。

这种方法的优点是简单易懂、直接明了，适合小规模的线性方程组求解。

克拉默法则的计算步骤1.求出系数矩阵A的行列式，记为D。

这个行列式可以用拉普拉斯展开式来计算，即对某一行或某一列展开，再按照其它行列式的值递归计算。

例如，以第一列展开：D = a11|A1| - a21|A2| + a31|A3| - ... + (-1)^(n+1)an1|An|其中，A1到An分别是除去第一列的矩阵的行列式，用同样的方法递归计算。

2.将系数矩阵A的第i列替换成常数向量b，得到另一个矩阵Ai。

用同样的方法计算Di。

4.当D≠0时，方程组有唯一解，解为：x1 = D1/D, x2 = D2/D, …, xn = Dn/D其中，Di/D为Di除以D的值。

当D=0且Di≠0时，方程无解。

克拉默法则的优点是简单易懂、直接明了，适合小规模的线性方程组求解。

解线性方程组的克拉默法则

第一章解线性方程组的克拉默()Gramer 法则解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以由关系式 i r v =求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元，二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。

线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。

对于二元线性方程组1111222112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩当112212210a a a a -≠时，此方程组有唯一解，即 122122*********b a a b x a a a a -=- 112211211221221a b a b x a a a a -=-我们称11221221a a a a -为二级行列式，用符号表示为1112112212212122a a a a a a a a -=于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式111221220a a a a ≠时，该方程组有唯一解，即112111222212121112111221222122,b a a b b a a bx x a a a a a a a a ==对于三元线性方程组有相仿的结论，设有三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩称代数式为三级行列式112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---，用符号表示为111213112233122331132132112332122133132231212223313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=我们有：当三级行列式1112132122233132330a a a d a a a a a a =≠ 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 312123,,d d dx x x d d d=== 其中1121312222333233b a a d b a a b a a = 1111322122331333a b a d a b a a b a = 1112132122231323a a bd a a b a a b = 在这一章中我们要把这个结果推广到n 元线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩的情形2克拉墨法则现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形，下面我们将得出与二元和三元线性方程组相仿的公式。

线性代数1.5-克拉默法则

, 有
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2

ain bi a1n b1 0, ain bi ann bn
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。
2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为方形
非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则如果方形线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
于是
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D ,
Dx j D j j 1,2,, n.
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , x n , D D D D
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
Dj D1 Dn 另外，可以证明 ai 1 aij ain bi D D D Dj D1 Dn x1 , , x j , , x n D D D

克拉默法则非齐次等于0

克拉默法则非齐次等于0
克拉默法则，又称克拉默定律，是一种求解线性方程组的方法。

它主要用于解决线性方程组中未知数的确定问题，尤其在非齐次线性方程组中具有较高的实用价值。

下面我们将详细介绍克拉默法则的非齐次应用。

克拉默法则源于德国数学家克拉默在19世纪提出的关于线性方程组解的研究。

该法则可以用于求解非齐次线性方程组，即形如Ax≠0的线性方程组。

其中，A为系数矩阵，x为未知向量。

克拉默法则的数学表达式为：
x_i = (A^T A)^-1 A^T b
其中，x_i为非齐次线性方程组的第i个解，b为常数向量，A^T为A的转置，(A^T A)^-1为A^T A的逆矩阵。

在实际应用中，克拉默法则可以帮助我们快速求解非齐次线性方程组。

例如，某工程师需要解决如下非齐次线性方程组：
3x + 2y - 1z = 7
4x - 5y + 2z = 3
6x + 3y - 4z = 1
利用克拉默法则，我们可以先求出系数矩阵A的逆矩阵(A^T A)^-1，然后将常数向量b与A的逆矩阵相乘，即可得到方程组的解。

需要注意的是，克拉默法则仅适用于非齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组，即Ax=0，克拉默法则不再适用。

此时，我们可以使用克拉默法则求解其特解，然后再求解齐次方程组的通解。

总之，克拉默法则在非齐次线性方程组的求解中具有广泛的应用。

通过理解和掌握克拉默法则，我们可以更加高效地解决实际问题中的线性方程组求解问题。

然而，在使用克拉默法则时，也要注意其局限性，即仅适用于非齐次线性方程组。

用克拉默法则解下列方程组

用克拉默法则解下列方程组用克拉默法则解方程组在线性代数中，克拉默法则是一种用于解决线性方程组的方法。

它可以用于解决n个未知数和n个方程的线性方程组。

克拉默法则的核心思想是通过计算行列式的值来求解未知数的值。

在本文中，我们将讨论如何使用克拉默法则来解决线性方程组的问题。

首先，让我们考虑一个包含n个未知数和n个方程的线性方程组。

该方程组可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中aij表示系数，bij表示常数。

我们的目标是求解未知数x1, x2, ..., xn的值。

现在，我们将使用克拉默法则来解决这个线性方程组。

首先，我们需要计算方程组的系数矩阵A的行列式的值。

系数矩阵A可以表示为：| a11 a12 ... a1n || a21 a22 ... a2n || ... ... ... ... || an1 an2 ... ann |我们将行列式记为|A|。

接下来，我们将构建n个新的矩阵Ai，其中将系数矩阵A的第i列替换为常数矩阵B。

例如，对于矩阵A的第1列，我们将其替换为常数矩阵B，得到矩阵A1。

然后，我们计算矩阵A1的行列式值，记为|A1|。

同样地，我们可以得到A2,A3, ..., An的行列式值。

根据克拉默法则，未知数x1, x2, ..., xn的值可以通过以下公式求解：x1 = |A1| / |A|x2 = |A2| / |A|...xn = |An| / |A|这样，我们就可以通过克拉默法则来求解线性方程组的未知数的值。

需要注意的是，克拉默法则只适用于系数矩阵A的行列式不为零的情况。

如果|A|等于零，那么克拉默法则将无法使用。

让我们通过一个具体的例子来演示克拉默法则的应用。

考虑以下线性方程组：2x + 3y = 84x - 5y = -7首先，我们计算系数矩阵A的行列式值：| 2 3 || 4 -5 |计算得到|A| = (2 * (-5)) - (3 * 4) = -10 - 12 = -22 接下来，我们计算矩阵A1和A2的行列式值：A1 = | 8 3 || -7 -5 ||A1| = (8 * (-5)) - (3 * (-7)) = -40 + 21 = -19A2 = | 2 8 || 4 -7 ||A2| = (2 * (-7)) - (8 * 4) = -14 - 32 = -46 根据克拉默法则的公式，我们可以求解未知数x和y的值：x = |A1| / |A| = -19 / -22 ≈ 0.8636y = |A2| / |A| = -46 / -22 ≈ 2.0909通过克拉默法则，我们成功地求解出了线性方程组的未知数的值。

高数讲义克拉默(Cramer)法则

n
akj Akj x j
n
akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2,,n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
第七节 Cramer 法则
齐次线性方程组的相关定理
齐次线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理3 如果齐次线性方程组2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 只有零解.
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
习题课
4 用递推法计算例4 计算
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
习题课
a x1 a
a
a
a
a x2
a
a
Dn
a
a
a xn1 a

1-7 克拉默法则

有非零解？有非零解？
解
D=
1− λ 2 1
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
(1 − λ )3 + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = 3 2 = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
1 0 0 0 1
0 0 0 ＝ − 395 6 5
5 1 D5 = 0 0 0
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
0 0 6 5 1
1 0 0 ＝212 0 1
1507 1145 703 x1 = ∴ ; x2 = − ; x3 = ; 665 665 665 −395 212 x4 = ; x5 = 665 665
5 6 5 0 5 6 ＝19 5 − − 5 6 1 5 1 6 1 5
＝665 ≠ 0
)
＝（ × 5－5 × 6）（5 × 5－1× 6）－（ × 5 × 6） 19 19
类似地，类似地，可以求出
1 0 D1 = 0 0 1
5 1 D2 = 0 0 0
6 5 1 0 0
= λ ( 2 − λ )( λ − 3 )
齐次方程组有非零解，齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
例3（书习题一（习题一8(2)））用克莱姆法则解下列方程组：用克莱姆法则解下列方程组：

高等数学：1-7 克拉默法则

1 2 4 8 3 9 27 4 16 64
1 1 D 1 1
1 1 1 1 1 1 2 4 8 1 2 22 3 9 27 1 3 3 2 4 16 64 1 4 4 2
1 1 23 转置 1 2 3 3 1 43 13
1 2 22 23
1 3 32 33
(5 )(6 )(4 ) 4(4 ) 4(6 ) (5 )(2 )(8 ) 由D 0 得 2、 5或 8
不难验证，当 = 2、5 或 8 时，齐次线性方程组确有非零解。
3 x 2 y 2 z 0 当 2时， 2, 1, 2 ） 0 有非零解（ 2 x 4 y 2x 2z 0 2 y 2z 0 1, 2, 2 ）当 5时， 0 有非零解（ 2 x y 2x z0 3 x 2 y 2 z 0 当 8时， 2, 2, 1 ） 0 有非零解（ 2x 2 y 2x 4z 0
则（ 3,4,1,1 ）是该线性方程组的唯一解．
2 3 y a a x a x a x 例15 设曲线通过四点 0 1 2 3
(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,-3)，求系数 a0 , a1 , a2 , a3 解把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组
a0 a1 a 2 a 3 a0 2a1 4a 2 8a 3 a0 3a1 9a 2 27a 3 a0 4a1 16a 2 64a 3 3, 4, 3, 3,
108,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
27,

克拉默法则非齐次等于0

克拉默法则非齐次等于0
（最新版）
目录
一、克拉默法则简介
二、克拉默法则的非齐次等于 0
三、克拉默法则的应用
四、总结
正文
一、克拉默法则简介
克拉默法则（Cramer"s Rule）是线性代数中一种用于求解线性方程组的方法，特别是在高斯消元法无法求解时，克拉默法则可以有效地求解非齐次线性方程组。

克拉默法则的表述为：若线性方程组 Ax=B 的系数行列式|A|=0，且增广矩阵 [A|B] 的行列式|A|B|=0，则方程组无解；若|A|B|≠0，则方程组有唯一解。

二、克拉默法则的非齐次等于 0
在克拉默法则中，当方程组 Ax=B 的系数行列式|A|=0 时，方程组无解。

这是因为当|A|=0 时，方程组 Ax=B 中的系数矩阵 A 不满足线性无关，也就是说，方程组中的方程不是线性独立的，因此无法求解。

三、克拉默法则的应用
克拉默法则在求解非齐次线性方程组时具有广泛的应用。

例如，在求解实际问题时，我们经常会遇到非齐次的线性方程组，此时克拉默法则可以给出方程组是否有解以及解的情况。

此外，克拉默法则还可以用于求解线性方程组的参数问题，即在已知方程组的解为参数形式时，可以利用克拉默法则求解参数。

四、总结
克拉默法则是一种求解非齐次线性方程组的有效方法，特别是在高斯消元法无法求解时，克拉默法则可以给出方程组的解的情况。

对克拉默法则的理解

对克拉默法则的理解
克拉默法则，也称克莱姆法则，是线性代数中一个重要的法则，用于解决线性方程组的求解问题。

克拉默法则指出，若一个线性方程组含有n个未知数，而它的系数矩阵的行列式不为零，即满秩，那么这个方程组有唯一解。

克拉默法则的实质是通过行列式的值来判断线性方程组的解的情况。

如果一个线性方程组的系数行列式不为零，那么这个方程组有唯一的解，而且解可以通过行列式求得。

如果系数行列式为零，那么这个方程组有无穷多个解或者没有解。

克拉默法则的优点是能够快速求解线性方程组的解，缺点是需要计算系数行列式，如果系数矩阵的阶数较高，计算行列式的值就比较麻烦。

因此，在实际应用中，如果涉及到大规模线性方程组的求解问题，通常会采用其他更为高效的方法，如LU分解法、QR分解法等。

另外，克拉默法则还可以推广到含有参数的线性方程组的情况，即形如ax+by=c的方程组。

在这种情况下，克拉默法则的结论是：如果系数行列式|a|b|≠0，那么这个方程组有唯一解x=|c|a|，y=|c|b|。

克拉默法则是线性代数中一个重要的法则，用于解决线性方程组的求解问题。

理解克拉默法则的含义和应用，对于理解线性代数的思维方式、解决实际问题具有非常重要的意
义。