初中数学中的“三等角共线”

浅谈初中数学中的“三等角共线”实例
这是某次青年教师解题比赛中的一道题。

如图，直线l 1、l 2、l 3相互平行，且l 1、l 2的距离为
1，l 2、l 3的距离为2，等腰△ABC 的三个顶点分别
在三条平行线上，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则等
腰△ABC 的腰长是______________． 此题的解题方法有多种，其中一种便是构造全等三角形的方法，具体解法如下： 在直线l 1上取点D,E 使得∠ADB =∠CEA=120° 由于∠1+∠2=∠3+∠2=60°，则∠1=∠3 又AB=CA ，则△ADB 与△AEC 全等 , 因此可得AF=AD+DF=EC+DF
由于∠BDF=60°，因此
3= 同理可求
2=，则
在RT △ABF 中斜边
==这种方法不仅适用于上题，改变∠BAC 的度数，同样能构造类似的全等三角形，当 ∠BAC 是一个特殊角比如30°，60°，90°，120°，150°等，还能进一步的求出腰长。

若A B ≠AC,此时的全等三角形虽然不存在了，但是仍可以借鉴这样的构造，∠1=∠2，这时由全等三角形转化成了一对相似三角形。

这便是我们熟悉的“三等角共线”模型。

下面来
看一些三等角共线的实例。

如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,∠B=45°
，AD BC ==直角三角形含45°的顶点E 在BC 边上
移动，直角边始终经过点A,斜边与CD 交于点F ，求当F 为CD
中点时，点E 的位置？
（2012．丽水16）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，
∠B ＝120°，AD
AB ＝6．在底边AB 上取点E ，在射
线DC 上取点F ，使得∠DEF ＝120°．
⑴当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________；
⑵若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________． A B C l 1l 2l 3l1l3l2
3
21G F E D C B A F E D C B A l1l2l3a a a 21
E D C B
A。