线三等角模型

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中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型

相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。

几何模型一线三等角模型

一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇同侧锐角直角钝角异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， ? 1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C 、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD “AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF 为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△四边形OABC是正方形△△AOC=90゜，AO=OC模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC BPC +∠DPC ∠=∠α，BPC ∴∠ADP ∴∽△△，△AD ⋅BC）∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =，4DF ∴=，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC EC ∴5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴= 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5=，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ．设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<，036<<，△3DE =+或3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒在DCB和△3）解：过△四边形ACEF是矩形，△90ACE∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM∠+∠=∠+∠=︒，顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB ＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，OE ME MONF OF33ON33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．20由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）直角三角形ABC中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO ，AB=5m，）可证得CDB∆当D在AB的下方时，过D作DE△y轴于E，交BC于F,，在ABC中，MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝（用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI 之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM △四边形AGFC是矩形，△△GAC=90°又AH△BC△△AHC=90° △△5+△CAH=△4+△CAH=90°△△5=△4△△BDE=△AHB=90°△△2+△BAH=△1+△BAH=90°△△2=△1又GM∥AE△△3=△2△△3=△1△△ABC△△GMA【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角，ABC 是等腰直角三角形，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，由（1）可知：BCN CAM△≌△，△2CM BN==，1CN AM==，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，BCN BFH∽△，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．5即可证明∽AMF BGM ，即可求出△AB DC ∥，AB BC ⊥△90B C ∠=∠=︒ △90AOD ∠=︒△90AOB DOC +=︒∠∠在AOB 和△Rt AOB 中，Rt AOD △中，12AD OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠△∽AMF BGM △AM BG 45︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =本题考查了全等三角形的判定和性质、x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ， ∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=， 180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．415NF OF NO△△ADC=90°，△△ADC+△PDC=180°，△A 、D 、P 共线，90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE于F，过H作HG△BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②△HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN△DM，垂足为M，交△CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则△FMN和△NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知△MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO 上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若△OBA+△OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF△ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。

(完整版)几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型, 上构成的相似图形，这个角可以是直角, 不同的称呼，“K 形图”，二•一线三等角的分类全等篇指的是有三个等角的顶点在同一条直线也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有 “弦图”三、“一线三等角” 1. 一般情况下，如图2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等易得△ AE3A BDE..如图 3-1，若 CE=ED 则厶 AE3A BDE.锐角同侧异侧相似篇锐角同侧异侧“三垂直”,等，以下称为“一线三等角”。

的性质3-1，由/1 = / 2=7 3,AVABOCff构造模型解题在图3-4造“一线三等角如图3- 4 如图3-3，当/仁/ 2且 BOC 90 4•“中点型一线三等角“的变式（了中点时，△ BD 0A CFS A DFE.阳3-13.中点型“一线三等角”如图3-2，当/仁/ 2=7 3,且 D 是BC^3-3图 3^“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1 90BAC 这是内心的性质，反之未必是内心 .2（右图）中，如果延长 BE 与CF ，交于点P ，则点D 是厶PEF 的旁心-BAC 时，点0是厶ABC 的内心.可以考虑构 25.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明图3-5其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况.a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题•体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题•2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x 轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段•3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似在DC的延长銭上截取CE= —, CD的延怅:規上藪取DF= —>贝I」mZAEP= t3nZPFB= t3M J»JZAEP= ZPFH= a= ZAPR ,所1^APAlw ABPF .在CP上蔵取CE= —, 1£ DP蒙取DF=—,则tmZAEC= tanZBFD=taDGiWlZAEC= ZBFD= a= ZA?B^^iPAE«iBPF ・坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。

专题相似三角形一线三等角模型(学生版)

专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.是边A．3B．5C．2D．1B (1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不．．．同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE V 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE V 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．上一点，轴9,23A．()9,3B．()3．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．分别在边6．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形分别在线段AD、DC上（点E与点A、CD=，在BC边上取中点E，连接DE，过点E 8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，4做EF ED⊥与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG的面积．⊥交AB于点M，9．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，点E是边AD上一点，EM EC∠=∠．(1)求证：AE是AM和AN的比例中项；(2)当点N在线段AB的延点N在射线MB上（如图），且ANE DCE长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．的两个等腰直角三角形，(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．312．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．13．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，连接BB '；②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE ADC ∠=∠，1BE CE ==，3CD =，2=AD AB ，求BD 的长．14．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA =，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90︒，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ∠-∠=︒，求点E 的坐标．九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在BC=．点E是线段AD上的动点（点E不与18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。

2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版

《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)

专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

初中数学解题模型专题讲解9---一线三等角模型

初中数学解题模型专题讲解专题9 一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。

这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。

对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。

的起源“一线三等角”的起源一线三等角”DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：——““一线三直角一线三直角”””——一、直角形一线三等角”直角形““一线三等角ADB ∽△CEACEA结论：△ADB“一线三等角锐角形“二、锐角形结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB三、钝角形钝角形““一线三等角结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB下面总结几种常考类型下面总结几种常考类型：：类型一三角齐见三角齐见，，模型自现类型一概述以上两例都是典型的建，因此降低了试题的起法本质一致，均为利用考查学生在图形变换过学能力和思想．典型的“一线三等角”试题，由于模型的题的起点．两道题虽涉及不同的图形变为利用模型构建比例式解决问题．两道题变换过程中的观察理解、直观感知、推理模型的框架已搭图形变换，但解两道题都着重推理转化等数类型二隐藏局部隐藏局部，，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四明显: 均将原有 “一线要求学生理性地从图形征，挖掘蕴含在图中的几的综合考查，提升了学类型三一角独处一角独处，别以四边形和一次函数为命题背景，但图形一线三等角”模型中的一角进行了隐藏从图形的角度进行思考与联想，发现其中最中的几何模型．两道题均较好地体现了对升了学生思维的层次性和灵活性．，两侧添补但图形的共性较隐藏，而这就其中最本质的特现了对“四基”类型三概述上述几道题虽呈现的背模型于图形之中．题中框架的基础，更是学生质上都是考查学生利用了学生对数学本质属性现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方题中的 “特殊角”是解题的关键，也是是学生解题思路的来源与“脚手架”．生利用模型进行数学思考的能力，同时也有质属性的把握情况．思想方法、数学也是搭建模型这几道题实时也有效地检测类型四线角齐藏线角齐藏，类型四概述本题实质上以图形的旋愿，促使学生在模拟图殊角，展开适当的联想建模型框架。

全等三角形中“一线三等角”模型

第11讲全等三角形中“一线三等角”模型（核心考点讲与练）【基础知识】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：【考点剖析】1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE（2）在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.2、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.解析：∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD≌△DCE3、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【解析】（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M证△BAE≌△ACM（AS A）得CM=AE=CD∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD∴AB=BD∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）（2）AB+AE=BD+DC=BC4、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.解析：延长CE、BA相交于点F.∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBEBE=BE∠CEB=∠FEB∴△BCE≌△BFE(ASA)∴CE=EF∴CE=CF=BD【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【分析】由题中条件求出∠BAC＝∠DCE，可得直角三角形ABC与CDE全等，进而得出对应边相等，即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，应熟练掌握．2．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCE，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，从而得出答案．【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．3．（2022春•北碚区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AC⊥BC，且AD＝CD＝AB＝2，则BC为（）A．1B．C．D．【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设CB＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2+x2＝22，求出x的值则可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，∵AD⊥AB，AC⊥BC，∴∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B，又∵AD＝AB，∴△DAE≌△ABC（AAS），∴AE＝BC，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AE＝CE，设CB＝x，则AC＝2x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2x）2+x2＝22，∴x，∴BC，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（2021秋•合肥期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（）A．12B．10C．8D．6【分析】根据一线三等角模型证明△ABE≌△ECD，可得AB＝EC，即可解答．【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE＝8∵BC＝20，∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．5．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论．【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BD＝CE，故①正确；∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，∴∠BAD+∠BCE＝90°，即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；∵△ABD≌△BCE，∴AD＝EB，DB＝CE，∵BE+D＝DE，∴AD+CE＝DE，故③正确．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△CBE是解题的关键．6．（2020秋•襄汾县期末）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD、FG，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，则下列结论中：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG，以上结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG 是等边三角形，易得③正确；证出△CFG是等边三角形，得出FG＝CG．【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，（①正确）∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，在△BCF与△ACG中，，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，（②正确）；同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，（③正确）．∵∠ACG＝60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG＝CG，故④正确；故选：D．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．7．（2021秋•武昌区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE BD，AD，BD，则△BDE的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据SAS证明△ABF与△BED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ABD＝∠C＝∠E，AB＝BE，在BD上截取BF＝DE，在△ABF与△BED中，，∴△ABF≌△BED（SAS），∴S△BDE ＝S△ABF．∴S△ABDBD•AD••．∵DE BD，∴BF BD，∴S△ABF S△ABD，∴S△BDE．故选：C．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABF与△BED全等．二．填空题（共6小题）8．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为　3　．【分析】利用AAS证明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，从而解决问题．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等等知识，证明△ACD≌△BDE是解题的关键．9．（2021秋•重庆期末）如图，已知AB＝AD，请添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，则添加的条件可以为　∠BAC＝∠DAC，CB＝CD　（只填写一个即可）．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：由题意AB＝AD，AC＝AC，∴根据SAS，可以添加∠BAC＝∠DAC，使得△ABC≌△ADC，根据SSS，可以添加CB＝CD，使得△ABC≌△ADC，故答案为：∠BAC＝∠DAC，CB＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为　2.5　．【分析】如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，根据SAS证明△BED≌△GFE，得FG＝CG＝BE，最后证明AD＝2BE可得结论．【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FG平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形全等．11．（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为　12　．【分析】如图，过点A作AA'⊥BC于A'，先根据面积法可得AA'的长，证明△AA'C≌△CGK（AAS），可得CG＝AA'，最后根据长方形的面积公式可计算其答案．【解答】解：如图，过点A作AA'⊥BC于A'，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，AB•AC BC•AA'，∵S△ABC∴，∴AA'，∵四边形ACKL是正方形，∴AC＝CK，∠ACK＝90°，∴∠ACA'+∠KCG＝∠ACA'+∠CAA'＝90°，∴∠KCG＝∠CAA'，在△AA'C和△CGK中，，∴△AA'C≌△CGK（AAS），∴CG＝AA'，∴长方形CDPG的面积＝CD•CG＝512．故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键．12．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是　（180°﹣2α）　度．（用含α的代数式表示）【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°∠A，∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2α，故答案为：（180°﹣2α）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现∠EDF＝∠B．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．13．（2021秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝　110　度．【分析】根据SSS证明△ADB与△EDB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ADB与△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SSS），∴∠A＝∠DEB＝70°，∴∠CED＝180°﹣∠DEB＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ADB与△EDB全等．三．解答题（共12小题）14．（2021秋•赫山区期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN 于点D，BE⊥MN于点N，求证：（1）△ADC≌△CEB；（2）DE＝AD+BE．【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠BEC＝90°，由同角的余角相等得：∠DAC＝∠BCE，因此根据AAS 可以证明）△ADC≌△CEB；（2）由（1）中的全等得：DC＝BE，AD＝EC，根据线段的和可得结论．【解答】证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；（2）∵△ADC≌△CEB，∴DC＝BE，AD＝EC，∵DE＝DC+EC，∴DE＝BE+AD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键；在证明角相等时常利用同角的余角相等来证明角的大小关系；要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．15．（2021秋•霍林郭勒市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE 于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E＝∠ADC＝90°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°∴∠BCE＝∠DAC∵AC＝BC∴△ACD≌△CBE∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．再根据全等三角形的性质解决问题．16．（2021秋•嵊州市期末）【问题提出】（1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．【问题解决】（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD＝6cm，求CE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，然后利用AAS即可证明结论；（2）作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，根据等腰三角形的性质得CG＝3cm，利用勾股定理得AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），得CH＝AG＝4cm，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝3cm，在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），∴CH＝AG＝4cm，∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8cm．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．17．（2021秋•顺义区期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为　DE＝BD+CE　．【分析】（1）①由题意画出图形即可；②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（2021秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在BC边上，AD＝AE．求证：CD＝BE．【分析】根据AAS证明△ACE与△ABD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∴∠CEA＝∠BDA，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（AAS），∴CE＝BD，∴CE+ED＝DB+ED，即CD＝BE．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ACE与△ABD全等．19．（2021秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE．求证：CD＝BE．【分析】根据AB＝AC得出∠DBC＝∠ECB，利用SAS证明△BDC≌△CEB，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB，∵AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即DB＝EC，在△DBC和△ECB中，，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴CD＝BE．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用SAS证明△BDC≌△CEB解答．20．（2021秋•南关区期末）如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是　55°　．【分析】（1）根据ASA证明△DEC与△CAB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△DEC与△CAB中，，∴△DEC≌△CAB（ASA），∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB，∴∠CED＝∠A＝125°，∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△DEC与△CAB全等是解题的关键．21．（2021秋•永吉县期末）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）图中有　6　个三角形（包括△ABC），有　2　对全等三角形．（2）求证：BD＝CE．【分析】（1）根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再根据等角的补角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后根据“角角边”即可得到全等三角形．（2）根据AAS证明△ABE和△ACD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）图中有△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）．故答案为：6；2；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠1＝∠2．在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴BE＝CD．∴BE—DE＝CD—DE．∴BD＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质得到相等的角是解题的关键．22．（2021秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝　45　度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM ＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【分析】（1）先求出∠B＝45°，再用平行线的性质，即可求出答案；（2）先用同角的余角相等判断出∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，进而判断出△AMC≌△CNB （ASA），得出AM＝CN，MC＝BN，即可求出答案；（3）同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC ≌△CNB （ASA ），∴AM ＝CN ，MC ＝BN ，∴MN ＝MC ﹣CN ＝BN ﹣AM ．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△AMC ≌△CNB 是解本题的关键．24．（2021秋•青山区期末）如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，△ABD 为等腰三角形，AD ＝AB ＝BC ，E 为DB 延长线上一点，∠BAD ＝2∠CAE ．（1）若∠CAE ＝20°，求∠CBE 的度数；（2）求证：∠BEC ＝135°；（3）若AE ＝a ，BE ＝b ，CE ＝c ．则△ABC 的面积为．（用含a ，b ，c 的式子表示）【分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠D ＝∠DBA ＝70°，由三角形内角和定理可得出答案；（2）过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG （AAS ），由全等三角形的性质得出AF ＝BG ，BF ＝CG ，得出AF ＝EF ＝BG ，BF ＝CG ，由等腰直角三角形的性质可得出结论；（3）根据S △ABC ＝S △AEB +S △AEC ﹣S △BEC 可得出结论．【解答】（1）解：∵∠CAE ＝20°，∠BAD ＝2∠CAE ，∴∠BAD ＝40°，∵AD ＝AB ，∴∠D ＝∠DBA ＝70°，又∵∠ABC ＝90°，∴∠CBE ＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB ＝∠ABC ＝∠CGB ＝90°，又∵AD ＝BC ＝AB ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，∠FAB ∠DAB ＝∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA ＝∠FBA +∠CBG ＝90°，∴∠FAB ＝∠CBG ＝∠CAE ，在△BAF 和△CBG 中，，∴△BAF ≌△CBG （AAS ），∴AF ＝BG ，BF ＝CG ，∵∠CBG ＝∠CAE ，∴∠AEF ＝∠ACB ＝45°，∴AF ＝EF ＝BG ，BF ＝CG ，∴BF ＝EG ＝CG ，∴∠CEG ＝∠AEF ＝45°，∴∠AEC ＝90°，∴∠BEC ＝135°；（3）解：由（2）可知CG ＝BF ，AF ＝EF ，∴CG ＝BF ＝EF ﹣BE ＝AF ﹣BE ，∵S △ABC ＝S △AEB +S △AEC ﹣S △BEC ，∴S △ABC BE •CGBE •（AF ﹣BE ）．故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，证明△BAF≌△CBG．25．（2021秋•岳阳期末）直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠ABD＝∠CAE，可证明△ABD≌△CAE（AAS）；（2）证明△ABD≌△CAE（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝AE，DA＝EC，则可得出结论；（3）分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，得出AF＝CM，AF＝EN，证明△CMG≌△ENG（AAS），由全等三角形的性质得出CG＝EG，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

相似专题三一线三等角相似模型

第二十七章
相似
A型
基本 8型图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝∠。不同地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“ K形图 ”，哈尔滨通常称为“ M形图”，以下统称为“ 一线三等角”。
K字型的一般形式
且∠ BEF=110°，若AE=3，
DF长为__1_.5_____．
? 4如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝3，E在 AD上，且AE＝2，在边AB上是否存在点P，使得以P，A，E为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由
；若存在，这样的点有几个？并计算出AP的长.
? 如图，正方形ABCD边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
? （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
? （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
你能证明吗？
证明：? 在? ABC中 ? 1? ? A? ? ACB ? 180? 又? ? 2 ? ? DCE ? ? ACB ? 180? ? ? 1? ? 2? ? 3 ?? A ? ? DCE ? △ABC∽△CDE
三角形基架
K型矩形基架
梯形基架
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
? （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的值．
AC上取点E，使∠ ADE=60度，AE
长为（ c ）A. 3 B. 2 Nhomakorabea2

第12章全等三角形模型一：一线三等角讲义2022—2023学年人教版数学八年级上册

一线三等角模型构造全等三角形【模型说明】在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。

今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。

这个模型贯穿初中几何的始终。

下面我们具体分析一下这个模型。

【同侧型一线三等角（常见）】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角∠FAC=∠ABD=∠CED 添加任一边相等【基础训练】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．3．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE ⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．5．在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．6．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．7.如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ．8．如图，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE ⊥AC 于B ，且DC ＝EC ，能否在△BCE 中找到与AB+AD 相等的线段，并说明理由．9、如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A ＝36°时，求∠DEF 的度数．10.如图，在ABC ∆中，2==AC AB ，︒=∠36B ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作︒=∠36ADE ，DE 交线段AC 于点E.线段DC 的长度为何值时，DCEABD∆≅∆请说明理由；【提升训练】1．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD ⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．ADEB C3．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F 处，则CE＝．（不要求写过程）6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC 于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH 于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A 运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC 三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．。

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型—.一线三等角概念“一线三等角”就是一个常见得相似模型，指得就是有三个等角得顶点在同一条直线上构成得相似图形,这个角可以就是直角，也可以就是锐角或钝角。

不同地区对此有不同得称呼，角” 二、一线三等角得分类全等篇三、“一线三等角”得性质K …般情况下，如图3-1,由Z1=Z2=Z3,易得△ AEC^ABDE.2、当等角所对得边相等时，则两个三角形全等、如图37若CE=ED,则△AEC 丝△BDE.“K 形图”,“三垂直”，"弦图”等，以下称为“一线三等同侧异侧B钝角锐角rPPA相似篇异侧钝角宜角 D锐角 PAPBP图3・2 3、中点型“一线三等角”如图 3・2,当Z 1=Z2=Z3,且 D 就是 BC 中点ABDE^ACFD^ADFE. 4、 “中点型一线三等角"得变式（了解）如图37,当ZrZ2且眄点0就是ZkABC 得内心.可以考虎构造“一线三等角鮮、 N C C tfZ 图3斗如图3-4 “中点型一线三等角"通常与三角形得内心或旁心相关，这就是内心得性质,反之未必就是内心、在图3-4佑图）中，如果延长BE 与CF,交于点P,则点D 就是△PEF 得旁心、5. “一线三等角”得各种变式（图3-5,以等腰三角形为例进行说明）图3~5 其实这个第4图，延长DC 反而好理解、相当于两侧型得，不延长理解，以为就是一种新型得，同侧穿越型？不管怎么变，都就是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”得应用 1. “F 三等角”应用得三 a 、况、!角”，直接应用代，不上“一等，木上“二等角7构造模型解题.轴题中\经常会特殊角题. C 申己经存在“_绻 b/图畤存在“一线二《只有直线上一种情况出现比较多眈其就角函"・一 * 造“r:一线三等角就是基本手段，尤其就是直角坐标系中体？ 2、忑鷄对需角问题中, 得张角问题，在X 轴或y 轴（也可以就是平行于X 轴或y 轴得直线）上构造一线三等角解决问题更就是重要得手段. 3. 构造一线三等角得步骤:找角、定线、构相似A "c c cD/ / /在DC 的延长銭上截职CE= — , S CD 的延长线上截取DF=— > tana tana 贝I 」tanZAEPt tanZPFB= tans MljZAEP= ZPFB= a= ZAPB ,所以厶吨® ABPF •在CP 上截取CE 二竺，在DP 截^DF= —>tana tana则 tanZAEC= tanZBFD= tans 则Z.AEC= Z.BFD= a= Z.APB ，所以△ PAE^ ABPF •C g TXM V O F*A 尸得特殊性如图3・6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常就是不够得，为了利用这个特殊角导线段得关系，过C> D 两点作直线1得垂线就是必不可少得。

初中数学几何模型(五)一线三等角模型

初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。

（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。

证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。

证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。

（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。

证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。

2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。

证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。

一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。

（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。

求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。

一线三等角相似模型

物理学应用
在物理学中，可以利用一线三等角相似模型来研究物理现象和规律，如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后，通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和推理技巧，以及能够灵活运用已知条件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立的方法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据已知条件和反证法的原理，推导出与已知条件相矛盾的结论；最后，根据矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例的多边形。

全等模型 —“一线三等角”

全等模型—“一线三等角”一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。

1，等腰直角三角形一线三等角模型口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中∠COB=∠DAOOB=OA（角边角）∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角），∠EAC＋∠ECA=90°，∠ABF＋∠BAF=90°，即∠ABF=∠EAC，在△ACE和△BAF中，∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF，AE=BF，EF=CE＋BF．条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角）∠EAC＋∠ECA=90°∠ABF＋∠BAF=90°即∠ABF=∠EAC在△ACE和△BAF中∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF AE=BFEF=BF－EC【典例1】：已知，如图所示，B,C,E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则不正确的结论是（）A,∠A与∠D互为余角B,∠A=∠DCEC,△ABC≌△CED D,∠ACB=∠DCE【答案】D【精准解析】由题意得因为AC⊥CD，所以∠ACD=90°，所以∠ACB＋∠DCE=90°故选择D 又因为∠B=∠E=90°所以∠A＋∠ACB=90°∠D＋∠DCE=90°∠A=∠DCE∠ACB=∠D故B正确所以∠A＋∠D=90°故A正确再根据全等三角形判定定理得：AC=CD∠B=∠E∠A=∠DCE因此最终答案是D2，“一线三等角”全等模型的拓展——同时也适用于锐角和钝角的情况条件：∠CAE=∠B=∠D，AC=AE结论：△ABC≌△EDA由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS）所以BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS），锐角和钝角的结论：BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE．【典例2】：在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，BE=CD,BD=CF,求∠EDF的度数?【答案】由题意得在△BDE和△CFD中BE=CD∠B=∠C（边角边）BD=CF所以△BDE≌△CFD∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC=180°∠BDE＋∠B＋∠BED=180°∵∠EDF=∠B又因为∠A=40°∠B=∠C根据三角形内角和得∠B=∠EDF=∠B=70°=70°因此∠EDF=∠B=70°【精准解析】根据已知条件证明△BDE≌△CFD，即ED=DF，∠EDF=∠B=∠C，因此属于一线三等角模型，已知∠A=40°，即先求∠B=∠C=70°，即可得出答案【典例3】如图，在三角形ABC中，依然有AB=AC,若点B,C位于直线l的两侧，若果∠BDA＋∠BAC=180°，∠BDA=∠AEC，求证BD=CE＋DE【答案】由题意得∵∠BDA＋∠BAC=180°∠BDA＋∠BDE=90°∴∠BAC=∠BDE又∵∠ABD＋∠BAD=∠BDE∠CAE＋∠BAD=∠BAC∴∠ABD=∠CAE在△BDA和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AEC（角角边）AB=AC所以△BDA≌△CEA即AD=CE BD=AE因此BD=CE＋DE【精准答案】首先证明△BDA≌△CEA，由此得到AD=CE BD=AE，即可得出答案。

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。

几何模型一线三等角模型

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE ∽△CFD ∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

线三等角模型

中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型

几何模型一线三等角模型

中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)

(完整版)几何模型：一线三等角模型

专题 相似三角形一线三等角模型(学生版)

2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版

专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)

初中数学解题模型专题讲解9---一线三等角模型

全等三角形中“一线三等角”模型

相似专题三一线三等角相似模型

第12章全等三角形模型一：一线三等角讲义2022—2023学年人教版数学八年级上册

几何模型：一线三等角模型

初中数学几何模型(五)一线三等角模型

一线三等角相似模型

全等模型 —“一线三等角”

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

几何模型一线三等角模型

专题相似三角形一线三等角模型(学生版)