第四章分离变量法-拉普拉斯方程
2.3 拉普拉斯方程
k1x −k1x X (x) = Ae + Be k2 y −k2 y Y( y) = Ce + De Z(z) = E sin kz + F cos kz
α + β +γ = 0
（2）若 ϕ = ϕ(x, y) d2 X +αX = 0 2 dx d 2Y + βY = 0 2 dy
α = −k2, β = k2 α + β = 0
2.3 拉普拉斯方程和分离变量法
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 例如： 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由 电子光学系统的静电透镜内部， 分布于电极上的自由电荷决定的。 分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上， 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间 中没有其他自由电荷分布。 中没有其他自由电荷分布。
∂ϕ2 2 − ε0 ∫ R dΩ = Q 1ห้องสมุดไป่ตู้∂R R=R 1
求电势。 求电势。 的介质球置于均匀外电场 例3：电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场E0中， ： 解： 以介质球的球心为坐标原点，以E0方向为极轴建立 以介质球的球心为坐标原点， 球坐标系。 球坐标系。 设球的半径为 R0 ，球外为真空。介质球的存在 球外为真空。 使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。 使空间分为两均匀区域 球外区域和球内区域。 球外区域和球内区域 两区域内部都没有自由电荷，因此电势ϕ 均满 两区域内部都没有自由电荷， 足拉普拉斯方程。 足拉普拉斯方程。 ϕ代表球内的电势。 代表球外区域的电势， 代表球内的电势。 以 ϕ1 代表球外区域的电势， 2 两区域的通解为： 两区域的通解为： bn n ϕ1 = ∑(anR + n+1 )P (cosθ)， (R > R0 ) n R n
第四章 静电场的求解方法
第四章 静电场的求解方法1. 静电场的唯一性定理根据这个定理，对给定的电荷分布及边界条件，只存在一种可能的电场。
这个定理在实际应用中的重要性在于：无论我们用什么方法，只要求出一个既满足方程又符合边界条件的电位)(rφ，我们就确定它是正确的电位。
2. 分离变量法在求满足边界条件下拉普拉斯方程的解时，一般采用分离变量法。
下面给出三种坐标系中拉普拉斯方程的通解形式。
直角坐标系中φ的通解形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++++=∑))(sin cos )(sin cos ())()((3221322,2121113102010x k k sh C x k k ch C x k B x k B x k A x k A x c c bx b ax a n m mn n m mn nm n m n m m m m m φ)0,()0,0(≠==n m n m 式中321x x x 、、可与z y x 、、的任意排列相对应。
若φ只与21x x 、有关：⎪⎩⎪⎨⎧++++=∑nm m m m m m m m m x shk B x chk B x k A x k A bx b ax a ,21121112010))(sin cos ())((φ)0()0(≠=m m 柱坐标系中的通解形式： 若φ与z 无关：)()sin cos (ln 100n n n n n n n r D r C n B n A r B A -∞=++++=∑ϕϕφ其中πϕ20≤≤，n 是正整数 若)2(000πϕϕϕ≠≤≤)]sin()cos([)())(ln (0000νϕνϕϕφνννννννD C r B r A D C r B A +++++=∑-其中0≠ν，是非整数。
球坐标系中的通解形式：若φ具有轴对称性，即φ与ϕ无关：)(cos ][0)1(θφl l l l l l p r B r A ∑∞=+-+=若讨论的区域πθ≤≤0，则l 必须取零或正整数。
动力学方程的解法
动力学方程的解法动力学方程是描述物体或系统运动中的力学规律的方程。
解决动力学方程是研究物体运动行为的重要方法之一。
本文将介绍两种常见的解动力学方程的方法：分离变量法和拉普拉斯变换法。
分离变量法是一种基本的解微分方程的方法。
对于形如dy/dx =f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以采用分离变量法求解。
假设f(x)和g(y)在给定区间内连续，并且g(y)不恒为0，则可以将dy/g(y) = f(x)dx两侧同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
通过对方程两侧的积分，我们可以将原方程分离成两个独立的变量，并将其求解得到解析解。
举例来说，考虑一个简单的动力学方程：m*d²x/dt² = f(x)。
其中，m 是物体的质量，x是物体的位置，f(x)是描述作用在物体上的力的函数。
将动力学方程改写为d²x/dt² = (1/m)f(x)，我们可以使用分离变量法解决此方程。
假设物体从t=0时刻开始，在初始时刻t=0，物体的位置为x0，速度为v0。
我们可以将方程分离为d²x/f(x) = (1/m)dt，并对两侧进行积分，得到∫d²x/f(x) = (1/m)∫dt。
然后，我们可以通过对方程两侧的积分求解x(t)。
拉普拉斯变换法是另一种常用的解微分方程的方法。
对于线性时不变系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，并通过求解代数方程得到解析解。
假设我们需要求解一个形如d²x/dt² +a*dx/dt + b*x = F(t)的二阶常系数线性微分方程，其中a和b是常数，F(t)是描述作用在物体上的外力函数。
应用拉普拉斯变换，我们可以将方程转化为(s²X(s) - s*x(0) - v(0)) + a(sX(s) - x(0)) + bX(s) = F(s)。
通过代数方法，我们可以求解得到X(s)，然后再应用拉普拉斯反变换，将X(s)转化为x(t)，得到方程的解析解。
热传导方程求解-分离变量法
牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
它描述了一个物理系统中的稳态情况，即在没有时间变化的情况下，物理量的分布情况。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯方程的完整求解方法，包括数学推导和物理应用。
一、数学推导拉普拉斯方程的一般形式为：∇^2ϕ=0其中，∇^2为拉普拉斯算子，表示对空间中各个方向的二阶导数之和。
ϕ为待求函数。
为了求解该方程，我们需要先确定边界条件。
边界条件指的是在物理系统的边界上，待求函数的取值或导数的取值已知。
常见的边界条件包括：1. Dirichlet 边界条件：在边界上，待求函数的取值已知。
2. Neumann 边界条件：在边界上，待求函数的法向导数已知。
3. Robin 边界条件：在边界上，待求函数的取值或法向导数与外界参数成比例。
根据不同的边界条件，我们可以采用不同的数学方法求解拉普拉斯方程。
下面我们分别介绍三种常见的方法。
1. 分离变量法当边界条件为 Dirichlet 边界条件时，我们可以采用分离变量法求解拉普拉斯方程。
具体来说，我们假设待求函数可以表示为以下形式：ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)将该式代入拉普拉斯方程，得到：X''/X+Y''/Y+Z''/Z=0由于等式左侧的三个部分只依赖于x、y、z 中的一个，因此它们必须都等于一个常数λ。
于是我们得到三个独立的常微分方程：X''+λX=0Y''+λY=0Z''+λZ=0这些方程的解分别为：X(x)=Asin(√λx)+Bcos(√λx)Y(y)=Csin(√λy)+Dcos(√λy)Z(z)=Esin(√λz)+Fcos(√λz)其中，A、B、C、D、E、F 为待定常数。
将这些解代入待求函数的表达式中，再利用边界条件，我们就可以求出这些常数，从而得到完整的解。
第四章 分离变量法、本征函数法
Tn
(t)
=
Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat l
，
从而得到变量分离状态的解，称之为驻波：
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
(Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat )sin l
nπx l
.
从这里可以看出，为什么我们在本征函数 X n (x) 把 D 取成 1 呢？事
实上是不失一般性的，无非是将 D 并入系数 Cn , Dn 中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满
相应的本征函数为
X
n
(x)
=
sin
μn l
x
,
(n = 1,2,3,...)
（3）把本征值 λn
=
(μn l
)2 代入关于
T(t)的常微分方程中有
得解 就有
Tn′(t)
+
(
μn l
a
)
2
Tn
(t)
=
0,
(n = 1,2,3...)
−( μna )2 t
Tn (t) = Cne l ,
(n = 1,2,3...) ，
(x)
=
+∞ n =1
nπa l
Dn
sin
nπx l
所以
∫ Dn
=
2 nπa
l
ψ (ξ ) sin
0
nπξ l
dξ ,
因此分离变量法又叫傅立叶解法.
n = 1,2,3...
分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程
分离变量法
均匀电场中的介质圆柱棒
a≤ ρ <∞
ϕ1 =ϕ2 ϕ2
ρ=0
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε0 =ε ∂ρ ∂ρ
ρ→∞
0≤ ρ ≤a
ρ =a
=0 ， ϕ1
= −Ex = −Eρ cosφ
根据对称性 π ϕ(ρ,φ) = ϕ(ρ, −φ) 及 ϕ(ρ, ± ) = 0 2
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分离变量, 设 ϕ(ρ,φ) = R(ρ)θ (φ) 代入微分方程
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1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem) 惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的 电位微分方程的解是惟一的。 例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
U0 2 A. ϕ1 = x d U0 B. ϕ2 = x +U0 d U0 C ϕ3 = − . x +U0 d 答案:（C ）
ρ2 d2R ρ dR 1 d2θ + ＋ =0 2 2 R dρ R dρ θ dφ
2
d2θ dR dR 2 2 = 常数，令 ρ2 + n2θ = 0 +ρ −n R = 0 取n 2 dφ2 dρ dρ
当 n = 0 时， R0 (ρ) = A0 ln ρ + B0 ， 0 (φ) = C0φ + D0 θ 当 n ≠ 0时， Rn (ρ) = Anρn + Bnρ−n， n (φ) = Cn cos nφ + Dn sin nφ θ 通解 ϕ(ρ,φ) = ( A ln ρ + B0 )(C0φ + D0 ) 0
nAnan−1 cos nφ ∑
n=1
∞
第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学4§4拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。
只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。
例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。
因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程20ϕ∇= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。
因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。
（4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。
最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。
这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。
球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。
拉氏方程在球坐标系中的通解为1.(,,)()(cos )cos n mnm nm n n n mb R a R P m R ϕθφθφ+=+∑ 1,()(cos )sin n mnm nm n n n md c R P m Rθφ+++∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。
P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 1()(cos ),n nn n n nb a R P Rϕθ+=+∑ （4.4---3） P n （cos θ）为勒让德函数，a n 和b n 由边界条件确定。
满足拉普拉斯方程
满足拉普拉斯方程
（原创版）
目录
1.拉普拉斯方程的概述
2.拉普拉斯方程的求解方法
3.拉普拉斯方程在物理学中的应用
4.拉普拉斯方程的局限性
正文
1.拉普拉斯方程的概述
拉普拉斯方程是物理学中的一个重要方程，主要用于描述静电场、静磁场以及流体运动等领域。
它是以法国数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的名字命名的。
拉普拉斯方程在物理学和工程学的许多领域具有广泛的应用，例如电磁学、流体力学等。
2.拉普拉斯方程的求解方法
拉普拉斯方程是一个偏微分方程，可以通过多种方法求解，如分离变量法、格林函数法等。
分离变量法是将方程中的变量分离，然后分别求解得到解的方法。
格林函数法是利用格林函数来求解偏微分方程的一种方法，它能够求解许多复杂的偏微分方程。
3.拉普拉斯方程在物理学中的应用
拉普拉斯方程在物理学中有许多重要的应用，如求解静电场和静磁场。
在静电场中，拉普拉斯方程描述了电荷分布对电场的影响，可以求解出静电场的分布。
在静磁场中，拉普拉斯方程描述了电流对磁场的影响，可以求解出静磁场的分布。
此外，拉普拉斯方程还可以用于求解流体运动，如层流和湍流等。
4.拉普拉斯方程的局限性
虽然拉普拉斯方程在许多领域具有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，拉普拉斯方程是一个理想化的模型，它假设介质是无摩擦的、流体是完美的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，拉普拉斯方程只能描述线性问题，对于非线性问题，需要采用其他方法求解。
第四讲下球坐标中的分离变量法
一、球坐标系中拉普拉斯方程旳分离变量
2u 0
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
sin
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
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1
z
z
z
r
O
y
O
y
x
x
柱坐标系
球坐标系
2024/10/1
2
分离变量
ur, , RrY ,
1 R
x2 1 l
l 0,1,2,; m 0,1,2,,l
假如问题具有轴对称，可选z轴为对称 轴，则问题与无关，本征函数简化为 勒让德函数：
2024/10/1
Pl
x
1 2l l!
dl dxl
x2 1 l
l=0,1,2,…
7
二、球函数
Y ,
Clm Pl m cos eim
l 0,1,2,; m 0,1,2,,l
29
2、根据对称性得通解形式
u2 Alrl Blr l1 Pl cos
l
3、根据边界条件求系数
u0, 有限
Bl 0
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30
利用勒让德函数旳正交归一性，递 推公式，最终得解
ur ,
u0 2
5u0 8r02
P2 cos
u0
1 n!
4n
1
2n 2n
3! ! 2! !
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23
z
r
O
x
球坐标系
cos有关点=/2为点对称， 故cos恰好是从[0, /2]到[0, ]旳奇延拓
二维场与r和θ有关拉普拉斯方程的分离变量法
文章标题：深度解析二维场中的拉普拉斯方程分离变量法在物理学和工程学领域中，二维场中的拉普拉斯方程及其解决方法一直是一个重要的研究课题。
本文将从分离变量法的角度出发，深入探讨二维场中与 r 和θ 有关的拉普拉斯方程，帮助读者更全面理解该主题。
1. 引言二维场中的拉普拉斯方程是描述了场的二阶偏微分方程，通常用于描述电场、磁场、温度场等问题。
本文将聚焦于二维场中的拉普拉斯方程分离变量法，探讨如何利用 r 和θ 这两个坐标变量来解决该问题。
2. 深入理解分离变量法分离变量法是一种常见的解偏微分方程的方法，其核心思想是假设多元函数可以表示为各个变量的乘积，从而将多元偏微分方程转化为一元方程的组合。
在二维场中，拉普拉斯方程可以表示为Δu=0，其中Δ是拉普拉斯算子。
我们将通过分离变量法来解决这一问题。
3. r 和θ 的引入在二维场中，通常采用极坐标系来描述场的分布情况。
在极坐标系中，每个点可以用 r 和θ 两个坐标来表示， r 表示点到原点的距离，而θ 表示点的极角。
通过引入 r 和θ，我们可以将二维场中的拉普拉斯方程转化为一些关于 r 和θ 的方程，进而简化问题的求解。
4. 拉普拉斯方程的分离变量在引入了 r 和θ 后，我们可以假设场的解u(r,θ) 可以表示为两个分别只依赖 r 或θ 的函数的乘积，即u(r,θ)=R(r)Θ(θ)。
将这个假设代入拉普拉斯方程中，可以得到一些关于 R(r) 和Θ(θ) 的方程，通过求解这些方程，我们可以得到场在 r 和θ 方向上的分布情况。
5. 解的形式与特性分析通过求解得到的 R(r) 和Θ(θ)，可以得到场的一些重要的特性，比如场的分布形式、场的角谱分布情况等。
这些特性对于研究二维场中的物理现象具有重要的意义，同时也为后续的应用提供了重要的参考。
6. 总结与展望本文通过对二维场中与 r 和θ 有关的拉普拉斯方程分离变量法进行了全面的介绍和分析，希望读者可以通过本文更深入地理解该主题。
(完整word版)拉普拉斯方程的解
若
n1
(r)
，
1
(r ) 0 ， r
C
A B ln r 。
r r r
r
3．球坐标
(R, , )
nm
(anm R n
bnm R n1
)
Pnm
(cos
)
cos
m
nm
(cnm R n
d R
nm n1
)
Pnm
(cos
)
sin
m
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
3．半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的
电势和电场。
解：电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体
面 r = a 处（即 ((r a) 0) ）。
选柱坐标系：
y
对称性分析：
① 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， 一定与 无关。
r
θ
o
x
② 柱外无电荷，电力线从面上发出后， z
导体边界可视为外边界， 给定，或给定总电荷 Q，或给定 S
（接地 0）
S
电荷分布无限，一般在均匀场中，
E
E0ez
E0r cos E0 z （直角坐标或柱坐标）
（2） 内部边值关系：介质分界面上
1 S 2 S
1
1 n
S
2
2 n
S
表面无自由电荷。
设 (x, y) 与 z 无关。 2 2 2 0 (0 x ,0 y b)
x2 y 2
拉普拉斯方程求解技巧
拉普拉斯方程求解技巧拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，被广泛运用于物理领域，尤其在电场、热传导、流体力学等领域。
其公式表达如下：$\nabla ^{2}\phi = 0$其中，$\phi$表示速度或电势等物理量，$\nabla ^{2}$则是拉普拉斯算符，表示二阶偏导数之和。
该方程的解又被称为调和函数，其具有良好的性质和广泛的应用价值。
在实际应用中，由于拉普拉斯方程的复杂性，其求解并不容易。
下面就介绍几种常用的求解方法，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一方程的求解技巧。
1. 分离变量法该方法是最为常用的一种求解拉普拉斯方程的方法，其基本思想是将解函数分解成多个单变量函数之积，进而降低求解难度。
具体步骤如下：（1）假设拉普拉斯方程解为$\phi$，引入一组坐标系$x_{1}, x_{2}, x_{3}$，从而有$\nabla ^{2}\phi = \frac {\partial^{2}\phi }{\partial x_{1}^{2}}+\frac {\partial ^{2}\phi }{\partialx_{2}^{2}}+\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{3}^{2}}$。
（2）将解函数按各自的坐标进行分解，即假设$\phi=X(x_{1})Y(x_{2})Z(x_{3})$。
（3）将分离后的函数代入原方程，并将各变量项分别移项整理，得到三个方程：$\frac {\partial ^{2}X}{\partialx_{1}^{2}}+\lambda X = 0$，$\frac {\partial ^{2}Y}{\partialx_{2}^{2}}+\mu Y = 0$，$\frac {\partial ^{2}Z}{\partialx_{3}^{2}}+\nu Z = 0$。
（4）记分离后的函数分别为$X_{n}(x_{1}), Y_{m}(x_{2}),Z_{l}(x_{3})$，则原方程的解为：$\phi(x_{1}, x_{2}, x_{3})=\sum _{n, m, l}C_{nml}X_{n}(x_{1})Y_{m}(x_{2})Z_{l}(x_{3})$。
三维拉普拉斯方程的求解
三维拉普拉斯方程的求解三维拉普拉斯方程，也被称为三维热传导方程或三维扩散方程，是数学中的一个重要方程，被广泛应用于物理、化学、工程和生物等领域。
下面将介绍三维拉普拉斯方程的求解过程，希望能对您有所帮助。
一、三维拉普拉斯方程的定义三维拉普拉斯方程是指一个三维空间中的标量函数u(x,y,z)满足以下方程：∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，表示函数在三个方向上的二阶导数之和。
二、三维拉普拉斯方程的求解方法三维拉普拉斯方程的求解方法主要有两种，分别是分离变量法和有限差分法。
1. 分离变量法对于满足特定边界条件的三维拉普拉斯方程，可以采用分离变量法进行求解。
具体步骤如下：（1）假设u(x,y,z)可以表示为三个单变量函数的乘积，即u(x,y,z) =X(x)Y(y)Z(z)。
（2）将上述假设代入三维拉普拉斯方程中得到：X''/X + Y''/Y + Z''/Z = 0（3）由于等式左边是一个关于x、y、z的函数和，而等式右边却是一个常数，因此只有当等式右边的常数为一定值时，等式左边才可能满足条件。
将等式右边的常数定义为-k²，于是原方程变为：X''/X + Y''/Y + Z''/Z = -k²（4）对上述三个单变量函数分别使用互不干扰的求解方法。
对于每一个单变量函数，得到其通解后将其相乘，最终得到三维拉普拉斯方程的通解。
2. 有限差分法有限差分法是将求解区域离散为许多小区域，通过有限差分的数值方法计算每个小区域内的函数值，并逐步逼近真实解。
具体步骤如下：（1）将求解区域分割为若干个小区域，并在网格节点上确定解的近似值。
（2）将三维拉普拉斯方程化为差分方程，并通过有限差分公式计算网格节点上的解的近似值。
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
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结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微 分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时， 则
当 k 0 时， 则 当
2 x
k 0, kx ix (x 0)
热传导方程求解-分离变量法
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
1、定解问题的初始条件也是齐次的
不必分为两部分，本身就是一个非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特征函数法、冲量法求解
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
2、方程中的自由项与t无关（x的函数或者常数）
可得到
(r2 u ) 0 r r
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
u
C1 r
C2
u 1 (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
求其圆对称解 u u(r) （解只与半径有关，与角度无关）可得到
求解得 u C1 ln r C2
求定解问题
utt a2uxx Asint , 0 x l
ux x0 ux xl 0 , t 0
u t0 ( x), ut t0 ( x) , 0 x l
vtt
a 2v xx vx
Asint ,
x0 vx xl
0 0
x
l
特征函数法
v t0 0, vt t0 0
– 第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适 当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等）
非齐次方程求解
• 典型的非齐次方程定解问题
也可不分解成两部分，直接 用特征函数法
先分成两部分：齐次 方程非齐次初始条件， 非齐次方程齐次初始 条件，再分别求解。
非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特 征函数法、冲量法求解；
一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值， 特征函数系
拉普拉斯方程分离变量 法
n
Bnm r n1
) Pnm
(cos
)
cos( m )
n,m
(Cnmr n
Dnm r n1
)Pnm (cos
) sin(
m )
这里Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴）
且
(r,
)
n0
( Anr n
Bn r n1
)Pn
(cos
)
势的解：
1
2
B r
C
Q
4 0 r
D r
Q1
4 0 r
Q1
4 0 R1
Q1
4 0 r
(r R3) (R1 r R2 )
导体球上的感应电荷为
0 r R1
2
r
r 2d
0
r R1
r
Q1
4 0
(1 r
1 R1
)
r
2
d
0
r R1
Q1
4 0
1 r2
r 2d
Q1
[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于 均匀外场 中E0，球外为真空。求电势分布。
由（5）式得
B 4
D 4
Q
0
即
BD Q
(13)
4 0
将（13）式代入（12）式，即得
D Q ( 1 1 1 )
4 0 R3
R1 R2 R3
令
Q
Q1
R3
(
1 R1
1 R2
1 R3
)
因此得到：
A 0,
B Q Q1
40 40
电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答
习题解答如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。
上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。
解 应用叠加原理，设板间的电位为其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① ② ③根据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。
并按定出边缘电容。
解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
题图题 图解 根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布为 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。
求体积内的电位。
解 在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。
由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得故如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。
求板间的电位函数。
解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。
而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。
电位的边界条件为①②③ 由条件①和②，可设电位函数的通解为题 图题图由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。
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nπ y a
′ + Dn e
−
nπ y a
un = X nYn
nπ nπ nπ nπ y − y y − y nπ nπ a a a a ′ e + Dn e ′ u n = Cn x = Cn e + Dn e An sin sin a x a
1 a C 0 b + D0 = ∫ ψ ( x)dx a 0
e −1 1 a C0 = ψ ( x)-φ (x) dx ab ∫0
−
2 nπ b a
例4.5.1.1 求下列定解问题 ∂ 2u ∂ 2u 0 < x < a,0 < y < ∞ 2 + 2 = 0, ∂y ∂x 0< y<∞ u (0, y ) = u (a, y ) = 0, u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, ∞) = 0, 0 ≤ x ≤ a 解：u = XY u (0, y ) = X (0)Y ( y ) = 0 X ′′Y + XY ′′ = 0 u (a, y ) = X (a )Y ( y ) = 0 X ′′ Y ′′ X (0) = 0, X (a ) = 0 = − = −λ X Y 0< x<a X ′′ + λ X = 0, X ′′ + λX = 0 X (0) = X (a ) = 0 Y ′′ − λY = 0
∂ 2u ∂ 2u 0 < x < a ,0 < y < b 2 + 2 = 0, ∂y ∂x ∂u (0, y ) ∂u (a, y ) = = 0, 0< y<b ∂x ∂x u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, b) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ a 0< x<a X ′′ + λX = 0, X ′(0) = X ′(a) = 0
x < a ,0 < y < b y<b x≤a
nπ 2 λn = β n = , n = 0,1, 2,3,L a
2
X n = Bn cos
nπ x a
′ ′ u0 = X 0Y0 = ( C0 y + D0 ) B0 = C0 y + D0
nπ nπ
y − y n 2π 2 a a λ >0 ′ ′ + Dn e Yn′′ − 2 Yn = 0 Yn = C n e a nπ nπ nπ nπ y − y y − y nπ nπ a a un = X nYn = Cn e a + Dn e a Bn cos ′ ′ ′ x = Cn e + Dn e cos a x a
nπ nπ y − y u = ∑ u n = ∑ Cn e a + Dn e a sin nπ x a n =1 n =1 ∞
∞
∂ 2u ∂ 2u 0 < x < a,0 < y < b 2 + 2 = 0, ∂y ∂x nπ nπ ∞ 0< y<b u (0, y ) = u (a, y ) = 0, y − y nπ a a u = ∑ Cn e + Dn e sin x u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, b) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ a a n =1 ∞ nπ
u ( x,0) = ϕ ( x) = ∑ (C n + Dn ) sin
n =1
a
x
nπb nπb − C n e a + Dn e a sin nπ x u ( x, b ) = ψ ( x ) = ∑ a n =1 2 a nπ C n + Dn = ∫ ϕ ( x) sin xdx 0 a a nπb nπb − 2 a nπ a a C n e + Dn e = ∫ ψ ( x) sin xdx a 0 a ∞
∂ 2 u ∂ 2u ∂x 2 + ∂y 2 = 0, u (0, y ) = u (a, y ) = 0, u ( x, 0) = φ ( x), u ( x, ∞) = 0, n 2π 2 Yn′′ − 2 Y ′′ − λY = 0 a
′ Yn = C n e
nπ , n = 1,2,3, L a
2
λn = β n2 =
X n = An sin
nπ x a
∂ 2u ∂ 2u 0 < x < a,0 < y < b 2 2 + 2 = 0, nπ ∂y ∂x λn = , n = 1, 2,3,L 0< y<b u (0, y ) = u (a, y ) = 0, a nπ u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, b) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ a X n = An sin x a 2 2 n π Yn′′ − 2 Yn = 0 Y ′′ − λY = 0 a
∂θ 1 −y sin θ ∂θ cos θ = ⋅ 2 =− , = 2 2 ρ ∂y ∂x 1 + y / x x ρ ∂ρ 1 ∂ρ = ⋅ 2 x = cos θ , = sin θ 2 2 ∂x 2 x + y ∂y
y x
∂u ∂u ∂ρ ∂u ∂θ ∂u ∂u cos θ = + = sin θ + ∂y ∂ρ ∂y ∂θ ∂y ∂ρ ∂θ ρ
4.5 拉普拉斯方程的定解问题
1.1 矩形域的Dirichlet问题 ∂ 2 u ∂ 2u 0 < x < a, 0 < y < b ∂x 2 + ∂y 2 = 0, 0< y<b u (0, y ) = u (a, y ) = 0, u ( x, 0) = φ ( x), u ( x, b) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ a 解： u = XY u (0, y ) = X (0)Y ( y ) = 0 X ′′Y + XY ′′ = 0 u (a, y ) = X (a )Y ( y ) = 0 X ′′ Y ′′ = − = −λ X (0) = 0, X (a) = 0 X Y 0< x<a X ′′ + λ X = 0, X ′′ + λX = 0 Y ′′ − λY = 0 X (0) = X (a) = 0
−
nπ y a
nπ y a
2 圆域内的拉普拉斯问题
∂u ∂ 2u ∂ 2u ∇ u= 2 + 2 ∂ρ ∂x ∂y ∂u ∂u ∂ρ ∂u ∂θ = + ∂x ∂ρ ∂x ∂θ ∂x ∂u ∂u sin θ = cos θ − ∂ρ ∂θ ρ
2
∂u ∂θ
θ = arctan , ρ = x 2 + y 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u sin 2θ ∂ 2u sin 2 θ ∂u sin 2 θ ∂u sin 2θ 2 = 2 cos θ − + 2 + + 2 2 ∂x ∂ρ ∂θ∂ρ ρ ∂θ ρ ∂ρ ρ ∂θ ρ 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u sin 2θ ∂ 2u cos 2 θ ∂u cos 2 θ ∂u sin 2θ = 2 sin 2 θ + + 2 + − 2 2 ∂y ∂ρ ∂θ∂ρ ρ ∂θ ρ ∂ρ ρ ∂θ ρ 2
∂ 2u ∂ 2u 0 < x < பைடு நூலகம்,0 < y < b 2 + 2 = 0, ∂y ∂x 0< y<b u (0, y ) = u (a, y ) = 0, u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, b) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ a
0< x<a X ′′ + λX = 0, X (0) = X (a) = 0
nπ nπ − y u = ∑ u n = C 0 y + D0 + ∑ C ne a + Dne a n=0 n =1 ∞ ∞ y
nπ cos x a
∂ 2u ∂ 2u 0 < x < a ,0 < y < b 2 + 2 = 0, ∂y ∂x ∂u (0, y ) ∂u (a, y ) nπ nπ ∞ y − y = = 0, 0< y<b nπ a a u = C0 y + D0 + ∑ Cn e + Dn e ∂x cos x ∂x a n =1 u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, b) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ a ∞ nπ u ( x,0) = ϕ ( x) = D0 + ∑ (C n + Dn ) cos x a n =1 nπb nπb ∞ − C n e a + Dn e a cos nπ x u ( x, b ) = ψ ( x ) = C 0 b + D0 + ∑ a n =1 nπb nπb − 2 a nπ nπ 2 a C n + Dn = ∫ ϕ ( x) cos xdx C n e a + Dn e a = ∫ ψ ( x) cos xdx a 0 a a 0 a
Cn =
2 a ∫0 ψ ( x)e a
nπ b a
nπ − ϕ ( x) sin xdx a −1
e
2 nπ b a
Dn =
− 2 a ψ ( x )e a ∫0