4.7 正弦定理、余弦定理及其应用

§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝________，b2＝________，c2＝________.若令C＝90°，则c2＝________，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝________，cos B＝________，cos C＝________.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B ＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝_______________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有________________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ab sin A<a<ba≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝＝＝．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝__________.tan A＋tan B＋tan C＝____________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.自查自纠：1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin C2．(1)b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos Ba2＋b2－2ab cos C a2＋b2(2)b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab><(3)互化sin2C＋sin2A－2sin C sin A cos Bsin2A＋sin2B－2sin A sin Bcos C3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②两解③一解④一解(3)余弦(4)余弦4．(1)12ab sin C12bc sin A12ac sin Babc4R12(a ＋b＋c)r(2)π－(B＋C)π2－B＋C2sin(B＋C)－cos(B ＋C)－tan(B＋C)cosB＋C2sinB＋C21tanB＋C2 tan A tan B tan C(3)a＋c sin A＋sin C(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解：在△ABC中，由正弦定理可得，asin A＝bsin B，即a b ＝sin A sin B，注意到a ，b ，sin A ，sin B 均为正数，则a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，亦即“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充分必要条件．故选A .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C.(2013·陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A , 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .∵0<A <π，∴sin A ＝1，A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．故选B.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.(2014·湖北)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解：由正弦定理得1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32.∵b ＞a ，∴B ＞A ，B ＝π3或2π3.故填π3或2π3.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )，即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.点拨：利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.72解：由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2sin 2Bsin 2A－1＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72.故选D .类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.点拨：①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A.类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①∵A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，∴B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即4＝a 2＋c 2－2ac cos π4，又a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.点拨： （1）化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 化简得b 2＋c 2－a 2＝bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.故填 3.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B＝sin 2Asin 2B， 所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．点拨：由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C.类型五 解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°）＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇． 在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝v t ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23.据此可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h .这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下： 如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile /h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中，CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ.由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°.由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.点拨：①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设A ，B 点在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1)设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(2≈1.414，sin123.43°≈0.83，sin18.45°≈0.32，cos38.12°≈0.79，结果精确到0.01米)．解：(1)∵α≥2β，且0＜2β≤α＜π2，∴tan α≥tan2β.即|CD |35≥|CD |401－|CD |26400，解得|CD |≤202， ∴|CD |≈28.28米．(2)由题得，∠ADB ＝180°－38.12°－18.45°＝123.43°，∵35＋80sin123.43°＝|AD |sin18.45°，∴|AD |≈44.34米． ∵|CD |2＝352＋|AD |2－2·35·|AD |·cos38.12°， ∴|CD |≈27.19米．1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．1．在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：因为sin A a ＝cos B b ，由正弦定理，得sin Asin A＝cos Bsin B，所以tan B ＝1，B ＝45°.故选B. 3．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解法一：在△ECD 中，CD ＝1，CE ＝5，∠CDE ＝135°，∴由正弦定理知CEsin ∠CDE＝CD sin ∠CED，即5sin135°＝1sin ∠CED ，解得sin ∠CED＝1010. 解法二：由题意知CD ＝1，CE ＝EB 2＋BC 2＝22＋12＝5，DE ＝AE 2＋AD 2＝12＋12＝2，所以cos ∠CED ＝DE 2＋CE 2－CD 22DE ·CE ＝2＋5－12×2×5＝31010，sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.故选B.4．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：由正弦定理角化边得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2≥bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12.∴0＜A ≤π3.故选C.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 解：据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.6．(2013·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A .1010B .105C .31010D .55解法一：由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，AC ＝5，又由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC ＝3×225＝31010.解法二：设CD 为AB 边上的高，则由题设知BD ＝CD ＝322，∴AD ＝322－2＝22，AC ＝AD 2＋CD 2＝ 5.∴sin ∠BAC ＝sin ∠DAC ＝CDCA＝3225＝31010.故选C.7．(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，a b＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B＝a ，∴a ＝2b ，∴ab＝2.故填2.8．(2014·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于____________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解：过A 作BC 边上的高AD ，D 为垂足．在Rt △ACD 中，AC ＝92，在△ABC 中，由正弦定理得BC ＝AC sin ∠ABC×sin ∠BAC ＝92sin67°×sin37°≈920.92×0.60＝60(m)．故填60. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，从而cos B ＝12.(2)∵b 2＝ac ，cos B ＝12，∴由正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝1－cos 2B ＝34. 10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，∴∠PBA ＝30°，在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，∴P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，∴∠PCB ＝α，PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得，3sin150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α，∴tan α＝34，即tan ∠PBA＝34. 11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．解：由S △ABC ＝12bc sin A ＝32sin A ＝2得sin A ＝223，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±13.当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×13＝8，a ＝22；当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×⎝⎛⎭⎫－13＝12，a ＝2 3.设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )．解：(1)∵sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B 32cos B －12sin B ＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，∴sin A ＝±32.又A 为锐角，∴A ＝π3.(2)由AB →·AC →＝12可得cb cos A ＝12.①由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10. 因此，c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根．解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.。