[经济学]特征值与特征向量
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程等领域有着广泛的应用。
本文将对特征值与特征向量进行详细讲解，并介绍它们的一些重要性质和应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，非零向量x若满足Ax=kx，其中k为一个标量，那么我们称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性。
二、求解特征值与特征向量要求解一个矩阵的特征值与特征向量，我们可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，形式为|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。
解特征方程可以得到特征值的值，然后将特征值代入到(A-kI)x=0中，求解线性方程组即可得到特征向量。
特征值与特征向量是成对存在的，对于矩阵A的每一个特征值k，都对应着一个特征向量。
一个矩阵最多有n个特征值，但是可能有重复的特征值。
三、特征值与特征向量的重要性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 特征向量与特征值的个数相等，一一对应。
2. 特征值可以为实数或复数，特征向量可以为实向量或复向量。
3. 若特征值为k，则对应的特征向量不唯一，可乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 矩阵的迹等于特征值的和，行列式等于特征值的积。
特征值与特征向量的这些性质在实际问题中有着重要的应用，可以用于矩阵的对角化、求解线性方程组、图像处理、物理模型的求解等领域。
四、特征值与特征向量的应用1. 数据降维在数据处理中，我们经常会遇到维度灾难，即特征维度非常高，而样本量较小。
利用特征值与特征向量，我们可以将高维度的数据降低到低维度，从而简化计算和数据处理过程，提高算法效率。
2. 图像处理图像可以用矩阵来表示，而图像的特性往往由矩阵的特征值与特征向量来描述。
利用特征值与特征向量，我们可以进行图像的压缩、图像的特征提取、图像的增强等图像处理操作。
特征值与特征向量
特征值与特征向量首先，让我们来了解一下什么是矩阵。
矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数表，可以表示为[A]或者A = [a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示第i行第j列的元素。
现在，我们来定义特征值和特征向量。
特征值：一个数λ称为矩阵A的特征值，如果存在一个非零向量X 使得AX=λX成立。
其中，X被称为特征值λ对应的特征向量。
特征向量：一个非零向量X称为矩阵A的特征向量，如果存在一个数λ使得AX=λX成立。
特征向量可以是多维的，可以是列向量或行向量。
特征值和特征向量的计算方法：给定一个n阶方阵A，要找到它的特征值和特征向量，我们需要解决下面的特征方程Ax=λx，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。
为了求解特征方程，我们需要将特征方程等式转换为一个齐次线性方程组，即(A-λI)x=0，其中I是n阶单位矩阵。
然后，我们需要找到零空间(Null Space)或核(Kernel)来求解方程组(A-λI)x=0。
零空间是指在方程组的解向量中满足Ax=λx的向量空间。
在找到解向量后，我们可以得到特征值λ和特征向量x。
特征向量是零空间中的一个非零向量。
特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用。
1.物理学中，特征值和特征向量在量子力学中用于解决薛定谔方程，求解能量本征值和波函数。
2.机器学习和数据分析中，特征值和特征向量用于主成分分析(PCA)，可以降低数据的维度，提取主要特征。
3.图像处理和计算机视觉中，特征值和特征向量用于特征提取、图像压缩等。
4.工程中，特征值和特征向量可用于结构分析、振动模态分析等。
5.金融学和经济学中，特征值和特征向量可用于风险分析、资产组合优化等。
总之，特征值和特征向量是矩阵和线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
了解特征值和特征向量的计算方法和应用可以帮助我们更好地理解和应用相关的数学理论和方法。
特征值与特征向量
的概念.
定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个
线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一
个非零向量 ，使得
A = 0 .
那么 0 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的属 于特征值 0 的一个特征向量.
这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,
换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不 同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵 是相似的。
的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则
(1) 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; (2) 12 …n = |A|.
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多
项式
a11
a21 E A an1
a12 an 2
于 0 的特征向量 . 因为从 A = 0 可以推出
A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反， 特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特 征向量只能属于一个特征值.
三、求法
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , … ,
上式可进一步变形成
x01 x02 (0 E A) 0. x 0n
这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , … , x0n ) 满足 齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 . 由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , … , x0n 不全为
它的特征多项式为
sin . cos
cos sin 2 2 cos 1 . sin cos
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值和特征向量理解
特征值和特征向量理解特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及应用，帮助读者更好地理解这些概念。
一、特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，可以用来表示线性变换、线性方程组等。
在矩阵中，特征值是指矩阵在乘以某个向量后仅改变该向量的伸缩因子的数值，而特征向量则是满足这个条件的向量。
具体来说，对于一个矩阵 A，如果存在一个非零向量 x，使得 Ax = λx，其中λ是常数，那么这个向量 x 就是矩阵 A 的特征向量，λ就是对应的特征值。
如果特征值λ为非零常数，则称这个特征向量为正常特征向量，否则称为退化特征向量。
二、特征值和特征向量的性质特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值是矩阵的固有属性，与输入向量无关。
同一个矩阵的特征值是固定的，不同矩阵的特征值一般不同。
2. 特征向量是与特征值相对应的向量，也是矩阵的固有属性。
同一个矩阵的特征向量是唯一的，不同矩阵的特征向量一般不同。
3. 特征值和特征向量的数量关系为：矩阵的特征值个数等于其特征向量的个数，也等于其秩。
4. 特征向量可以组成特征向量空间，特征向量空间是相同特征值的特征向量的集合。
5. 特征值和特征向量在计算上具有重要意义。
例如，在求解线性方程组时，可以通过特征值和特征向量来求解方程组的解向量。
三、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 机器学习：在机器学习中，特征向量可以用来表示数据的内在结构，特征值则可以用来表示数据的分布情况。
通过特征值和特征向量，可以对数据进行降维、分类、回归等处理。
2. 信号处理：在信号处理中，特征值和特征向量可以用来表示信号的频率和方向，从而进行信号的滤波、压缩、识别等处理。
3. 控制系统：在控制系统中，特征值和特征向量可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标，从而进行系统的优化和设计。
特征值与特征向量(高等代数课件)
0
x0n
即
x x
01 0n
是线性方程组 (0E A )X0的解，
又
0,
x01 0, ∴
x0n
(0EA )X0有非零解.
所以它的系数行列式 0EA0.
7.4 特征值与特征向量
以上分析说明：
若 0 是 的特征值，则 0EA0.
反之，若 0 P 满足 0EA0,
则齐次线性方程组 (0E A )X0有非零解.
7.4 特征值与特征向量
练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，
则矩阵 BA 32A 2的特征值为： 1,3,0 ，
行列式 B ＝ 0 .
7.4 特征值与特征向量
谢谢！
( B n 1 B n 2 A ) B n 1 A ②
比较①、②两式，得
7.4 特征值与特征向量
B0 E
B1 B0A a1E
B2 B1A a2E
③
B
n
1
Bn B n
1
2A a A an
n
E
1
E
以A n,A n1, ,A ,E依次右乘③的第一式、第二式、
…、第n式、第n＋1式，得
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 d im V n , 1 ,2 , ,n是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0 是 的特征值，它的一个特征向量 在基
B B2
1A An
n
2
B0An 1 B0An B1An
An
第五章 特征值与特征向量(0808)
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10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
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例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
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证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
特征值和特征向量
特征值和特征向量首先，我们先来了解一下矩阵。
矩阵是由一个矩形的数组组成的，其中的每个元素都可以是实数或复数。
例如，3x3的矩阵可以写为：A=[abc][def][ghi]Av=λv那么v就是矩阵A的特征向量，λ就是矩阵A的特征值。
换句话说，特征向量在矩阵的变换下只发生拉伸或缩放，而不发生旋转或扭曲。
特征值表示特征向量被拉伸或缩放的比例。
det(A - λI) = 0其中，det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。
通过解特征方程，我们可以求得特征值λ。
然后，我们可以将每个特征值代入原方程Av =λv中，从而求得对应的特征向量v。
1.矩阵的对角化：特征值和特征向量可以帮助我们将一个复杂的矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵更容易进行计算和分析，也更便于推导矩阵的性质。
2.矩阵的相似性：如果一个方阵A和B有相同的特征值和特征向量，那么A和B是相似的。
相似的矩阵在一些数学和物理问题中具有相同的性质和行为，因此，通过特征值和特征向量可以判断矩阵的相似性。
3.矩阵的主成分分析（PCA）：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，将高维数据降低到低维空间中。
通过PCA，我们可以找到数据中最重要的特征和主要方向，从而减少冗余信息。
4.矩阵的奇异值分解（SVD）：奇异值分解是矩阵分解的一种重要方法，它可以将一个任意形状的矩阵表示为三个矩阵的乘积。
在奇异值分解中，矩阵的特征值和特征向量扮演了重要的角色。
5.线性变换和矩阵的谱：特征值和特征向量可以帮助我们理解和描述线性变换和矩阵的谱。
谱是矩阵A的特征值的集合，它可以提供关于矩阵的一些性质信息，比如矩阵的正定性、对称性、收敛性等。
总结起来，特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和变换，以及在许多实际问题中的应用。
特征值和特征向量的计算和应用对于数学、物理、工程和计算机科学等领域都有重要意义。
特征值与特征向量
5.1 特征值与特征向量[1] 教材142页给出矩阵特征值与特征向量的定义，其中要注意，只对方阵有这样的定义, 而且特征向量必须是非零向量，正是由这两点，导出了矩阵特征值、特征向量的理论计算方法。
事实上，用分析的方法,设若[n 阶]矩阵A 有特征值λ及对应的特征向量x , 按定义，成立x Ax λ= 即0=-x Ax λ 即0)(=-x I A λ（注意单位阵因子在矩阵乘积式中可省写，但在和、差式中不能随便添加或省写）由n n ⨯齐次线性代数方程组的理论知，存在0≠x 满足上式的充要条件是0)det(=-I A λ，于是，得出了n 阶矩阵特征值、特征向量的理论计算步骤： 1．对n 阶矩阵A ，写出其特征多项式 )det(I A λ- 并解特征方程 0)det(=-I A λ求出特征根，即A 的特征值n λλλ,,,21Λ由于特征方程是关于λ的n 次代数方程，所以在计算行列式值写出特征多项式（λ的n 次多项式）时，应尽可能写成低次因式乘积的形式以便解特征方程（见教材145页的例3）。
2．对每个特征值i λ，解齐次线性代数方程组x Ax i λ= 即 0)(=-x I A i λ求出其基础解即为矩阵A 属于特征值i λ的特征向量。
矩阵A 属于i λ的线性无关特征向量的个数有)(I A r n i λ--个（教材146页上, 例3中矩阵A 属于特征值1的特征向量有2个, 为2x 及3x )，即为解空间)(I A N i λ-的维数，常称)(I A N i λ-为矩阵A 属于特征值i λ的特征子空间（其中任一非零向量皆为A 属于i λ的特征向量）。
当然，以上由定义导出的一般计算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征值的情况下都会得到简化。
例1 已知向量=v [1,1,3]T 是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3012142b a A 的一个特征向量, 试求A 对应于v 的特征值，并确定A 中之b a ,之值。
特征值与特征向量
例２
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当1 2时,解方程( A 2E )x 0.由
3 A 2E 4
1 1
0 0
§6.1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非 零 向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1
1
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A E x 0.由
n
aii tr( A) i 1
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
n
2)
i 12 L n＝ A
i 1
性质2： 矩阵 A 和 AT 的特征值相同。
性质3： 若 A 的特征值是 ， x 是 A 的对应于
的特征向量，则
(1) kA的特征值是 k. (k 是任意常数)
(2) Am 的特征值是 m . (m是正整数)
一、特征值与特征向量的概念
判断一个方阵A是否可对角化?
1. 求出A的所有特征值:1, ,s.
2. 对于i 1, s,求齐次线性方程组
(iE A)X =0
的基础解系的向量个数n1, ,ns.
s
若 ni =n, 则A可对角化; 否则不可对角化. i 1
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det(B); ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; (3)A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
二、相似变换的性质
1. 相似变换是等价关系 (1)自 反 性 A与A本身相似. (2)对 称 性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传 递 性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
三、利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A相似于某对角矩阵,则存在可逆矩阵P使得P1AP .
则 Ak Pk P1,
(2) 设1, ,s为不同的特征值. 对于i 1, s, 求
齐次线性方程组将(i E A) X 0的基础解系
{i1, , iri },
ri
ri
则 kijij ,其中ki1, ,kiri不全为零（足以保证 kijij 0）,
i=1
i=1
即为矩阵A对应i的全部特征向量.
四、特征值和特征向量的性质
性质（总结）：
A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量；
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
二、实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，在许多领域中有着广泛的应用。
它们的求解和分析在线性代数、物理学、工程学以及数据分析领域中扮演着重要角色。
本文将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
特征向量表示了在矩阵变换下只发生比例缩放而不改变方向的向量。
二、求解特征值与特征向量的方法要求解特征值与特征向量，可以使用特征方程的方法。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程为|A-λI|=0，其中I为单位矩阵，λ为特征值。
解特征方程可以得到矩阵A所有的特征值。
将每个特征值带入特征方程，可以求解对应的特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 矩阵的特征值个数等于其阶数，即n阶矩阵有n个特征值。
2. 特征值与特征向量是成对出现的，特征值有多少个，对应的特征向量就有多少个。
3. 特征值可以是实数，也可以是复数。
4. 如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是正交的。
5. 特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的积等于矩阵的行列式。
四、特征值与特征向量的应用领域1. 特征值与特征向量在物理学中的应用非常广泛。
例如，在量子力学中，特征向量对应着粒子的状态，特征值则是测量粒子所得到的数值结果。
2. 在工程学领域，特征值与特征向量可以用于解决振动问题、结构强度分析等。
通过求解特征方程可以得到物体的固有振动频率和振型。
3. 在数据分析中，特征值与特征向量可以用于降维、聚类、图像处理等。
通过分析特征向量的特征值大小，可以选择最重要的特征进行数据分析和模型建立。
总结：特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在矩阵的变换与分析中具有重要作用。
通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值，进而求解对应的特征向量。
特征值与特征向量的性质和应用也使其在各个领域中得到广泛的应用。
特征值与特征向量概述
特征值与特征向量概述特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域和实际问题中。
在本文中，我们将对特征值与特征向量的概念进行概述，并讨论它们的性质和应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为常数，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是由线性代数的基本定理保证的。
每个n阶矩阵都有n个特征值（其中包括复数）和n个对应的线性无关的特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值可重复性一个特征值可以对应多个特征向量，即矩阵的特征向量空间是一个多维空间。
2. 特征值的和与积给定矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn和对应的特征向量v1、v2、...、vn，则有以下性质：a) λ1+λ2+...+λn=tr(A)，其中tr(A)为矩阵A的迹（主对角线上元素之和）。
b) λ1λ2...λn=|A|，其中|A|为矩阵A的行列式。
3. 特征值和特征向量的变换对于矩阵A的特征向量v，当A乘以一个非零常数c后，其特征值不变，特征向量仍然相同。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在各个科学领域中都有广泛的应用，下面我们列举几个常见的应用场景。
1. 矩阵的对角化特征值与特征向量可以帮助我们将一个矩阵对角化，即找到一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D。
对角化矩阵可以简化矩阵的计算和分析，特别是在求解高效算法和优化问题时。
2. 矩阵的奇异值分解（SVD）奇异值分解是线性代数中另一个重要的概念，与特征值与特征向量密切相关。
矩阵A的奇异值分解为A=UΣV^T，其中U和V分别是A 的左奇异向量和右奇异向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的奇异值（特征值的平方根）。
3. 特征脸识别在图像处理中，特征脸识别是一种常见的人脸识别方法。
该方法将图像数据集作为一个矩阵，通过计算矩阵的特征值和特征向量，找到图像集合的主要变化模式，从而实现人脸识别和分类。
特征值与特征向量的概念
(3).设 g( x) a0 xm a1xm1 L am
则 g() 是矩阵 g(A) 的特征值
(4).当A可逆时， 1是矩阵 A1的特征值
A 为A的伴随矩阵A*的特征值
定理
设 1, 2 ,L , m 是方阵A的特征值，
p1 , p2 ,L , pm
1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
思考题
设4阶方阵A满足条件: det3E A 0,
AAT 2E,det A 0,求A的一个特征值.
征向量.
二、特征值和特征向量的性质
1. 设n 阶方阵A的特征值为： 则
1, 2 ,L , nபைடு நூலகம்
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A .
称为矩阵的迹
2. A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。
3. 若 是矩阵A的特征值, x 是A的属于的 特征向量，则
x2 x3
0
解得 基础解系：
0
p 1
0 1
,
所以k p1(k 0)是对应于1 2的全部特征值.
当 2 3 1 时 ,由
E A x 0
2 1 0 1 0 1
而
E
A
4 1
2 0
01
~
0 0
1 0
2 0
,
解得 基础解系：
1
p
2
2 1
,
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
2 1
例２ 解
求矩阵A
1 4
特征值和特征向量
特征值和特征向量(英文名：eigenvalue 和 eigenvector)是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍它们的定义、性质和应用。
一、的定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$k$ 是标量，$v$ 是 $n$ 维非零向量。
如果存在非零向量 $v$，使得 $Av=k v$，即 $A$ 作用在 $v$ 上的结果是 $v$ 的倍数 $k$，则称 $k$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是$A$ 的相应于特征值 $k$ 的特征向量。
例如，对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$，如果存在向量 $v=(1,1)^T$，使得 $Av=7v$，则 $7$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是 $A$ 的相应于特征值 $7$ 的特征向量。
由定义可知，任何 $n$ 阶矩阵都有 $n$ 个特征值，但不一定有$n$ 个不同的特征值，因为可能存在重复的特征值。
每个特征值都对应一个特征向量，但一个特征向量未必对应唯一的特征值。
二、的性质1. 特征值的求法特征值可以通过求解 $A-\lambda I$ 的行列式为 $0$ 得到，其中$I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是未知特征值。
设 $k$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，则有 $|A-\lambda I|=0$，即$\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix}=0$展开行列式后得到关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，称为$A$ 的特征多项式。
第5章特征值与特征向量胡建华
化的. 对 A 进行的矩阵变换 P1AP 称为相似变换，其中 P 称
为相似变换矩阵.
-15-
相似变换的性质
(1) 相似关系是一种等价关系(满足三条); (2) 设A～B, 则 rank A rank B ；
(3) 设A～B, 则 E A E B ; (4)设A～B，则 A 与 B 有相同的特征值; (5)设A～B，则 A B ; (6)设A～B，则 tr(A) tr(B) ; (7)设A～B，则 ( A)与 (B) 相似，其中 (z) 是一多项式; (8)设A～B，且 A 可逆, 则 A1 与 B1 相似。
是齐次方程组 (0E A)x 0 的非零解
-1-
记
a11 a12
a1n
fA () E A a21 a22
a2n
an1
an2
ann
n c1 n1 c2 n2 (1)n1cn1 (1)n cn
称 fA () 为 A 的特征多项式，称 fA() E A 0为 A 的特征方
,
0
1
,
0
1
0
0
0
-24-
定理3 矩阵A的任一特征值 i 的代数重数 ni 与几何重数 si 有下面关系：
1 si ni
问 单重特征值对应的线性无关的 特征向量有几个?
定理4 矩阵A可对角化的充要条件是A的每个不同特征值的 代数重数与几何重数相等.
例如
0
0 1
0
1
与
对于 1 3 ，解方程组 (1E A)x 0
0 6 6 1 0 1
1E A 3E A 6 0 6 0 1 1
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a12
a1n
det( A I ) a21
a22
a2n
an1
an2
ann
按第一列展开得：
a22 a23
(a11 )
a32
a33
a2n
a12 a13
a3n
a21
a32
a33
a1n a3n
因此可知
特征多项式中涉及到的n和n-1次项的乘积 项必来自det(A-I)的对角线的乘积项
(a11-)(a22-)…(ann-) 因此有特征多项式f()的n的系数为
an=(-1)n
n-1的系数为
an-1=(-1)n-1(a11+a22+…+ann)=tr(A) 其中tr(A)=(a11+a22+…+ann)为矩阵A的对角
二特征值相加1+2=1+0.91=1.91,
det(A)=0.97-0.06=0.91
二特征值相乘12=10.91=0.91
举例验证2(书上例2)
1 2 2 A 2 1 2
2 2 1
1 5 2 3 1
对角线之和a11+a22+a33=1+1+1=3
特征值与特征向量
上一讲我们介绍了怎样求一个方阵的特征值及 特征向量的算法，那就是首先求解特征方程
det(A-I)=0
它的所有根即为A的所有特征值，然后针对每个
特征值求解齐次方程(A- I)X=O的基础解系，
即为此特征值的各个线性无关的特征向量。当 然，如果不是重根，则每个特征值必有且只有 一个特征向量而这是实际应用中的大多数情况，
将右端展开并和左边的系数对照，可知
an-1= (-1)n+1(1+2+…+n) f(0)=det(A)=a0= 12…n
举例验证1(书上例1)
A
0.94 0.06
00..9073, 1 1, 2 0.91
对角线元素相加a11+a22=0.94+0.97=1.91,
矩阵的对角化问题
定义5.2.1 设A, B是两个n阶方阵, 如果存在 一个可逆阵T使得
B=T-1AT
则称A与B相似, 记为A~B
如果A~B,则也有B~A(因为A=(T-1)-1BT-1)这 叫反称性,
此外,如果A~B且B~C,则有A~C,这叫传递性.
相似在解线性方程组中的意义
在物理学解二元或者三元线性方程组 AX=Y时, (其中X与Y都是列向量, A为方阵), 如果选取的坐标系不同, 则线性方程组也不同, 而
B
b2
bn
使得A~B, 则称A可对角化
对角化的意义
对于有n个方程的n个变元的线性方程组
AX=Y
如其系数矩阵A能够对角化, 即存在可逆阵T使 A'=T-1AT为对角阵, 则可以选择不同基表述这 个方程,为A'X'=Y', 这样转换后的方程具有简洁 的形式为
a11x1 y1
新的坐标向量到原坐标向量之间的坐标转换公 式是向量左乘上一过渡矩阵C, 即 X=CX', Y=CY', 代入线性方程组得ACX'=CY', 即 C-1ACX'=Y', 即A'X'=Y', 其中A'=C-1AC, 与原系数矩阵A相似, 因此不同基底下的线性方程 组的系数矩阵相互间是相似的.
定理5.2.1
但比较麻烦的是特征方程有重根的情况
定理5.1.6
设A=(aij)mn则A的特征多项式
det(A-I)是一的n次多项式
f()=an n+an-1n-1+…+a1 +a0
并且，an=(-1)n, a0=det(A), an-1=(-1)n-1(a11+a22+…+ann)
a11
a22
x2
y2
ann xn yn
这样的方程 非常容易解
定理5.2.2
n阶方阵A可对角化 当且仅当
A有n个线性无关 的特征向量
证:必要性
设n阶矩阵A可对角化, 即存在可逆矩阵T, 使得
1
T 1AT
2
B
n
从而有AT=TB, 将T按列分块
T=(1,2,…,n)
AT=BT, B为对角阵,T可逆
T=(1,2,…,n)
AT (A1, A2,..., An )Biblioteka 1(
1,
2
,...,
n
)
2
(11,
2
2
,...,
n
n
)
n
得Ai=ii, 即i是A的属于i的特征向量
(i=1,2,…,n). 又因T可逆, 故T的秩为n
迹 线元素之和，称作A的
定理5.1.5
设A=(aij)nn,1,2,…,n,是A的特征多项式 f()=det(A-I)的n个根，那么
i) 1+2+…+n=tr(A); ii) 12…n=det(A) 证：因f() =det(A-I) =an n+an-1n-1+…+a1 +a0 =(-1)n(-1)(-2)…(-n)
相似的矩阵有相同的特征多项式,从而有相 同的特征值.
证: 设A~B, 即有可逆矩阵T, 使得 B=T-1AT 从而
det(B-I)=det(T-1AT-T-1T) =det(T-1)det(A-I)det(T) =det(A-I)
定义5.2.2
设A为一n阶方阵. 如存在一对角矩阵B,
b1
an1
an2 ann
an2 an3 ann
第二项后面的行列式只包括n-2个
因此只有第一项涉及到的n和n-1次项，则
只考虑第一项
a22 a23 a2n
(a11 )
a32
a33 a3n
an2
an3 ann
则后面的行列式是一个A的右下角的子 式的特征多项式，按上面的办法依此类 推…
特征值之和1+2+3=5-1-1=3 行列式det(A)=5= 123=5 (-1) (-1)
举例验证3(书上例3)
3 1 0
A 4 1
0
4 8 2
1 2 2 3 1
对角线之和a11+a22+a33=3-1-2=0
特征值之和1+2+3=-2+1+1=0 行列式det(A)=-2= 123=-2 1 1