2008高数 B(无答案)(高等数学)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14空间向量与立体几何)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14空间向量与立体几何）一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3 C．3 D ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u ur u u u r211112,33OA AB a OA AB ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r则1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11113OA AB AO AB ⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r .二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61． 1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---, 则31131(,,),(,,,2222222AN EM AN EM AN ==-⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r .三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。
最新08版《高等数学B(二)》教学大纲及课程简介
08版《高等数学B(二)》教学大纲及课程简介《高等数学B(二)》教学大纲和课程简介课程名称：高等数学B(二)课程编号：06G0045学分/学时：5/72英文名称：Advanced Mathematics B(2)考核方式：考试大纲执笔人：吴国民大纲审核人：先修课程：高等数学B(一)适用专业：国际贸易、市场营销、会计、公共事业管理、旅游管理等－、教学基本目标（说明课程的主要学科内容，在人才培养过程中的地位、任务和作用）《高等数学B》是高等学校经济管理类专业的一门重要主干基础课程，是高等工科院校教学计划中必不可少的一门重要的主干基础课程。
在教育部主持的由著名学者和第一线数学教师参加的“数学在大学教育中的作用”的研究讨论会上，大家一致认为：数学是培养和造就各类高层次专门人才的共同基础。
对非数学专业的学生，大学数学基础课程的作用至少有三方面：它是学生掌握数学工具的主要课程；它是学生培养理性思维的主要载体；它是学生接受美感熏陶的一种途径。
高等数学教育的目的与任务是使学生从理论、方法、能力三方面得到基本训练，从而为以后扩大、深化数学知识及学习后继课程奠定基础，也为学生以后从事专业技术工作奠定数学基础。
通过本课程的教学使学生系统地获得多元微积分、级数、常微分方程和高等数学在经济学中的应用等基础理论，围绕上述理论培养学生的基本运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，即提高学生的数学素质。
通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题，逐渐培养学生的创新思维能力和数学建模的能力；通过揭示数学中的美，结合教学内容，适当讲解科学家献身科学的故事，加强素质教育。
二、学习收获（实验部分要求写明学生应掌握的实验技术及基本技能）通过学习能够掌握如下知识，具备如下能力：通过学习能够掌握如下知识，具备如下能力：１、正确理解下列基本概念及它们之间的联系：多元函数及其连续性，偏导数，全微分，二重积分，无穷级数及其收敛性，微分(差分)方程，微分(差分)方程的解。
2008-2009年第二学期高数(经管类)B卷答案
中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学(经管)》试卷（B ）卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、 填空题（本题共15分，每小题3分）1、已知三向量)0,2,1(),3,1,1(),1,3,2(c b a --，则c b a⋅⨯)(= 22、(,)(0,0)limx y →= 1/43、已知223z x xy y =++，则(1,2)dz = 8dx +7dy4、曲面221z x y =+-在点（2，1，4）处的切平面方程为 4x+2y-z-6=05、级数nnn 1)1(1∑∞=- 条件收敛 （选填“条件收敛”，“发散”，“绝对收敛”） 二、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________. AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA. 2cos 22(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 322(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、幂级数2(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为（ ）C A .1； B .2；C .1/4；D .1/2。
2008年7月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工本)试卷
2008年7月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本） 试卷课程代码 0023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．与向量{-1，1，-1}平行的单位向量是（ ）A ．{，，}B ．{，，}C ．{0，0，0}D ．{，，}2. 设函数f(x,y)=f 1(x)f 2(y)在(x 0,y 0)处偏导数存在，则f y (x 0,y 0)=（ ）A ．f 1(x 0)B ．C ．f 2(y 0)D ．3. 设为球面x 2+y 2+z 2=1,则对面积的曲面积分（x 2+y 2+z 2）dS=（ ）A ．B ．2C ．3D ．44. 微分方程（e x+y -e x ）dx -(e y -e x+y )dy =0是（ ）A ．可分离变量的微分方程B ．齐次微分方程C ．一阶线性非齐次微分方程D ．一阶线性齐次微分方程 5. 下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．n sin B ．C ．D ．ln二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数z =xy ，则全微分dz =_____________.7.设函数z=，则=_____________.8. 设积分区域D ：0≤x ≤2,-1≤y ≤0,则二重积分2dxdy =_____________.9. 通解为y =C 1sin x+C 2cos x (C 1,C 2为任意常数)的二阶常系数线性齐次微分方程为_____________.10. 无穷级数x n 的和函数为_____________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求点P (3,-2,2)在平面2x -3y +z =0上的投影点的坐标. 31-31-31-3131-313131310lim →h h y f h y f )()(0202-+0lim →h h y f h y f )()(0202-+0lim →h h x f h x f )()(0101-+0lim →h h x f h x f )()(0101-+∑⎰∑ππππ∑∞=1n n 3∑∞=1n n n n n )1(3+∑∞=1n 132+n ∑∞=1n 1+n n xy y x e +-x z ∂∂⎰⎰D ∑∞=1n !1n12.设函数z =f (x +2y ,2x -y ),其中f 是可微函数，求和.13.设方程z 5-5xyz =5确定函数z =z (x ,y ),求和.14.已知函数f (x ,y ,z )=3x 2+2y 2+z 2-yz -2x -3z +1,求梯度grad f (1,1,1)15.求曲线x =,y =,z =2t 2在t =1所对应的点处的切线方程.16.计算二重积分I=xdxdy ,其中积分区域D 是由直线y =x ,x +y =2及x 轴所围成. 17.计算三重积分I=（x 2+y 2）dxdydz ,其中积分区域Ω是由锥面z =及平面z =1所围成. 18.计算对弧长的曲线积分［(x 2+y 2)2-1］ds ,其中L 是圆周x 2+y 2=9. 19.计算对坐标的曲线积分xdy -ydx ,其中L 是椭圆x=acost,y=bsint(0≤t ≤2)的逆时针方向。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 -广东卷B
绝密 ★ 启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分、考试用时120分钟、注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上、用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”、2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案、答案不能答在试卷上、3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答、漏涂、错涂、多涂的，答案无效、5、考生必须保持答题卡的整洁、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回、 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+、已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 、一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A 、(15)，B 、(13)， C、 D、2、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A 、16B 、24C 、36D 、483、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1、已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19、现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A 、24B 、18C 、16D 、12 表14、若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A 、90B 、80C 、70D 、405、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）6、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A 、()p q ⌝∨B 、p q ∧C 、()()p q ⌝∧⌝D 、()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A 、3a >-B 、3a <-C 、13a >-D 、13a <-8、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 、若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A 、1142+a b B 、2133+a bC 、1124+a b D 、1233+a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分、 （一）必做题（9~12题） 9、阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = 、（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10、已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于 120，则k = 、11、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 、12、已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 、E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图4二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 、14、（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 、15、（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =、AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = 、三、解答题：本大题共6小题，满分80分、解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤、 16、（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、 （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值、17、（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件、已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元、设1件产品的利润（单位：万元）为ξ、 （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%、如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 18、（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-、如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F 、（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）、 19、（本小题满分14分）设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性、 20、（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积、 21、（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）、 （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S 、图5绝密★启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1、C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2、D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3、C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯ 4、C 5、A6、D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝为真命题7、B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（19选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：1. (2008广东文、理)已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径, PC 与圆O 交于点B,PB=1, 则圆O 的半径R=___3____.1.解: 如图,因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，PA=2, PB=1.由切割线定理,知PC PB PA ⋅=2,所以PC=4. 在Rt △PAC 中,由购股定理AC 2=16-4=12,所以AC=23.所以, 圆O 的半径R=3.2、(2008海南、宁夏文、理)如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP垂直直线OM ，垂足为P 。
（1）证明：O M ·OP = OA 2；（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。
过B 点的切线交直线ON 于K 。
证明：∠OKM = 90°。
2．解：（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥．又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，2OA OM OP =g ．（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥．同（Ⅰ），有2OB ON OK =g，又OB OA =， 所以OP OM ON OK =g g ，即ON OMOP OK=． 又NOP MOK =∠∠，所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==o∠∠．3．(2008江苏) 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ． 证明：如图，因为AE 是圆的切线， 所以，ABC CAE ∠=∠,又因为AD 是BAC ∠的平分线， 所以 BAD CAD ∠=∠从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠, DAE CAD CAE ∠=∠+∠ 所以 ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知, 2EA EC EB =⋅,而EA ED =,所以2ED EC EB =gK BPA OMNB C ED A二、坐标系与参数方程：1．(2008重庆文)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 (C )(A)(x -1)2+(y +1)2=1 (B) (x +1)2+(y +1)2=1(C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=12．. (2008湖北文)圆34cos ,()24sin x C y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数的圆心坐标为 （3，－2），和圆C 关于直线0x y -=对称的圆C ′的普通方程是 （x ＋2）2＋（y －3）2＝16 .3．(2008福建理)若直线3x+4y+m=0与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞⋃+∞ .4．(2008广东文、理)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__⎪⎭⎫⎝⎛6,32π___. 4.解: 曲线21,C C 的直角坐标方程分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点的 直角坐标为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π.5．(2008江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．5．解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()23S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以。
2008年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2008年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 ◆答案： B★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ，若A B ⊆,则实数a 的取值范围为（ ） A. )3,0[ B. ]3,0[ C. )2,1[- D. ]2,1[- ◆答案： B★解析： 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a <，解之得03a ≤<．2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是（ ） A.243670 B. 81274 C. 81266D. 81241◆答案：C★解析：[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．2008B 4、若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为（ ）A. 5863cmB. 5643cm 或5863cmC. 7643cmD. 7643cm 或5863cm ◆答案： D★解析：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 ◆答案： C★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为（ ） A. ),215(+∞- B. )215,215(+- C. )215,0(+ D. ),0(+∞ ◆答案：B★解析：设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得11,2211.22q q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或q <<，因此所求的取值范围是．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
07-08年高数B
2007学年高等数学B （二）试题 一、选择题（每题3分，共15分）1、已知()412xf t dt x =⎰ ，则40fdx =⎰（ ）A 、2B 、4C 、8D 、16 2、广义积分收敛的是（ ） A 、lnex dx x +∞⎰ B 、1ln e dx x x +∞⎰ C 、()2ln e dxx x +∞⎰ D 、e +∞⎰3、()2sin 2cos x x xF x e xdx π+=⎰，则()F x 是（ ）A 、负常数B 、恒为零C 、正常数D 、非常数 4、微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（ ） A 、*2sin y ax bx c A x =+++ B 、*2cos y ax bx c A x =+++C 、()*2sin cos y x ax bx c A x B x =++++D 、()*2sin cos y ax bx c x A x B x =++++ 5、,0)(042)(0>=+'-''=x f y y y x f y 的一个解，若是方程设00)(,0)(x x f x f 在点则函数且='( )A 、 取得极大值B 、 取得极小值C 、 某个领域内单调增加D 、 某个领域内单调减少 二、填空题（每题3分，共15分）6、差分方程12t t t y y t +-=的通解为7、利用极限定义计算22222212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭8、由曲线2sin r a θ=所围图形的面积为10、微分方程30xy y '''+=的通解为y = 三、计算题（每题6分，共42分）11、计算()21f x dx -⎰，其中()101101xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩12、设()()2f x t dt =，计算20f x π⎰13、11x dx -⎰102x =⎰ 14、计算广义积分31⎰15、求微分方程()221y dyx e dx+=的通解 16、求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解17、设()f x 在[)0,+∞内可导，()01f =，且满足()()()0101xf x f x f t dt x '+-=+⎰求导数()f x '四、求解（本题10分）18、设曲线x y e =，过其上一点()1,M e 的切线为L ，求：（1）由曲线、切线及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积；（2）求由()0,1至M 点一段曲线的弧长五、求下列各题（每题6分，共18分）19、设()f x 有一阶连续导数，且()00f =，()00f '≠，计算()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰20、求微分方程()22ln xy y y y '''-=的通解2007学年高等数学B （一）解答一、选择题（每题3分，共15分）1、B ；2、D ；3、C ；4、A ；5、A二、填空题6、第二类；7、!n )1(n -；8、)0,2(-；9、)1,0(；10、C )x 1(31232+--； 三、计算下列各题（每题5分，共35分）11、解：313xx lim 3x 1-x sec lim x tanx lim tan x x tanx lim I 220x 220x 30x 20x ===-=-=→→→→x x ； 12、解：1,0==y x;2)0())(1()2(1)1(2202=''⇒+'++'++'+'+''=''='⇒++'='=y y y x xy y x e y y x y x y x e y y xy y x e y xy xy x xy 13、32)1()1()1(;1)1(:f f f y f y f f y y f y '-''='-'+''='''-'='⇒'+'='解 14、2)11(lim )(lim 00a x x a x f x x =-+=--→→解： 21,20)0(2)1ln(2lim )(lim 100==⇒==++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-→→-+b a f b x e b x f x x x15、312213()(35)(35)(35)(5)24h x g f x f x f x ⎡⎤'''=----⎢⎥⎣⎦解：215)0(1)3()4();3()4(215)0(-='⇒='⋅'''-='h f g f g h⎰⎰⎰++-=+-====C x x C t tt d t tdt dt t t tdt I 222221sin 1sin sin sin cos sec tan sec 17、⎰⎰⎰+-+=+=+dx e e x e xd dx e xe x x x x x1212121:解⎰⎰⎰+-+-=-+-=-=+-=+=C t t t dt t t dt t t dx e dt t t dx e t x x 11ln 2111212112,122222令 C e e e e x I x x x x ++--+++++=141111ln 212四、计算下列各题（每题6分，共24分）18、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=→x t x t x x f x t sin sin ln sin sin lim exp )(解： x x x t x t x t e x t x t x x f x x t t tx x t x t x sin sin sin ln sin sin lim exp )(sin cos sin cos lim sin sin ln sin sin lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴==-→→→其中的第二类间断点是的第一类间断点是处)(),2,1(,)(lim ),2,1()(0,lim )(lim 0sin 00x f k k x x f k k x x f x e e x f x xt x x x x ±±==∞=±±======→→→ππ 19、t t t f x x x f 1ln )(111ln )1(222+=⇒-+-=-解： ⎰+-=-=⇒=+=C x x g x x g x x g x g x g f )1ln()(11)(ln )(1)(ln)]([)1(12)4()4,1(),(L 0,1;12202002002002000322--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+=>-=-=t x t t t y t t t y x t t dx y d t dt dy 切线方程上凸。
数学B答案
试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试高等数学（B ）试卷参考解答与评分标准2008年4月一、是非题（满分18分，每小题3分）1. 错2. 错3. 对4. 对5. 错6. 对二、选择题（满分20分，每小题4分）7. D 8. A 9. B 10. D 11. B三、填空题（满分20分，每小题4分）12．2e 13．1 14．1 15．e 16．x C y e =四、解答题（满分42分，每小题满分7分）17．解法一： )1(233lim )1(23lim 21231--=-+-→→x x x x x x x ·······························································3分 26l i m 1xx →= ·······································································6分3= ················································································7分解法二： )1(233lim )1(23lim 21231--=-+-→→x x x x x x x ·······························································3分2)1(3lim )1(2)1)(1(3lim 11+=--+=→→x x x x x x ································6分3= ················································································7分18．解：x x ycos d d -= ······························································································5分1d d 0-==x x y·······························································································7分 19．解：（1）),0(∞+，（写为0>x 也正确）························································2分（2）1ln '+=x y ····························································································4分x y 1"= ····································································································5分（3）函数图形的凹区间为),0(∞+····························································7分20．解法一：⎰⎰--=-13)13(d 3113d x x x x ··············································································3分 Cx +-=|13|ln 31········································································7分 解法二：设13-=x u ··························································································1分 x u d 3d = ·····························································································2分 ⎰⎰=-u u x x d 3113d ·························································································3分 C u +=||ln 31·················································································5分 Cx +-=|13|ln 31··········································································7分 注：①丢掉常数C 扣1分；②对数的真数不加绝对值符号不扣分．21．解：x S xd )1e (10⎰-= ························································································3分 10)e (x x -= ·····························································································6分 2e -= ····································································································7分22．解：x x P 1)(=，x x Q =)(··················································································1分 ⎰+⎰⎰=-]d e )([e d )(d )(C x x Q y x x P x x P ·························································2分 ⎰+⎰⎰=-]d e [ed 1d 1C x x x x x x ·····································································3分 ⎰+=)d (12C x x x·················································································5分 )3(13C x x += 或 xC x +32 ·································································7分。
吉林大学 2008-2009高数BII试题答案
吉林大学2008~2009学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷参考答案（注：可根据实际情况对评分标准进行调整）一、单项选择题：1． 2．d x y . 3．1a <． 4．32． 5．8π． 6．12． 三、按要求解答下列各题1．求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程．解：设222239F x y z =++-，则4,6,2x y z F x F y F z '''=== ………2分于是椭球面222239x y z ++=上过点(,,)x y z 的切平面的法线向量{}2,3,n k x y z =平面23210x y z -++=的法向量{}12,3,2n =- ，且1//n n所以112,,x y z k k k==-= …………….4分 又点(,,)x y z 在椭球面上，代入得切点为(1,1,2),(1,1,2)---……………6分 从而所求切平面方程为2329x y z -+=± …………………………………8分2．设函数2(,)x z y f x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.解：121z f f x y∂''=+∂ ………………………………………………………4分 2212222231z x xf f f x y y y y∂'''''=---∂∂ ………………………………………8分 3．计算二重积分2222I [sin()e ]d d ,yDx x y x x y -=++⎰⎰其中D 是以(0,0)，(1,1)，(1,1)-为顶点的三角形闭区域．解：222222I sin()d d e d d 0e d d y yDDDx x y x y x x y x x y --=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …4分 22122012I e d d d e d 13e y y y y Dx x y y x x ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……………………….8分4．将d e 1,0d ()1,02x x x x f x x ⎧⎛⎫-≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩展开成x 的幂级数，并求数项级数1(1)!n nn ∞=+∑的和．解：22111e 1112!12!3!xx x x x xx +++--==+++ ……………..4分所以d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2123,(,)2!3!4!x x x +++∈-∞+∞ ………………..6分 1121d e 1e e 11(1)!d x x x x x n n x n x x x ∞===⎛-⎫-+=== ⎪+⎝⎭∑ ……………..……….8分5．计算曲面积分()333I c o s c o s c o s d xy z S αβγ∑=++⎰⎰ ，其中∑是球面2221x y z ++=，,,αβγ是∑在点(,,)x y z 处的外向法线的方向角.解法1：直接利用高斯公式222I 3()d x y z v Ω=++⎰⎰⎰ ………………………………………4分2403d d sin d ar r ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………….………6分512.5a π=…………………………………………8分 解法2：利用对面积的曲面积分的计算球面上任一点(,,)x y z 的外法线通过原点，故有{},,n x y z =….2分{}cos ,cos ,cos ,,n x y z a a a n αβγ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭………………………..4分4441I ()d x y z S a ∑=++⎰⎰ 512.5a π= ……………………………8分 6. 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数.解：1lim1nn n a R a →∞+==，当1x =±时，发散，收敛域为(1,1)- ………..4分 和函数()0(21)2nnn n n n S x n xnx x ∞∞∞====+=+∑∑∑21,(1,1)(1)xx x +=∈-- …………………………………….8分 7. 求微分方程2e xy y y x '''++=的通解.解：特征方程为2210r r ++=，121r r ==- …………………………..2分对应的齐次方程的通解为12()e xy C C x -=+ ……………………………4分 因为1不是特征根，设特解的形式为*()e xy ax b =+ 代入原方程得*111,,(1)e 444x a b y x ==-=- ………………….6分 所求通解为121()e (1)e 4xx y C C x x -=++- ……………………8分 8. （1）确定函数()f x ，使曲线积分()(),0,0e (1)()d ()d 1x y x nn x f x y x f x y x ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦⎰与路径无关；（2）如果(0)0f =，计算此曲线积分.解：（1）(1)()()1x n P Q ne xf x f x y x n ∂∂'=⇒++=∂∂+ ………………………..2分 解此一阶线性非齐次方程得()(1)(e )nxf x x C =++ ………………………4分 （2）(0)0f =⇒()(1)(e 1)nxf x x =+- ………………………………………6分 所求曲线积分(1)(e 1)nxx y =+- ………………………………….8分。
2008年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2008年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为（）A.3B.2C.1D.0◆答案：B★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)x x f x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ，若A B ⊆,则实数a 的取值范围为（）A.)3,0[B.]3,0[C.)2,1[-D.]2,1[-◆答案：B★解析：因240x ax --=有两个实根12a x =-，22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a <，解之得03a ≤<．2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是（）A.243670B.81274 C.81266 D.81241◆答案：C★解析：[解法一]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()(333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()(3381==，故52016266246E ξ=⨯+⨯+⨯=．2008B 4、若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为（）A.5863cmB.5643cm 或5863cmC.7643cmD.7643cm 或5863cm◆答案：D★解析：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（）A.4B.3C.2D.1◆答案：C★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-．①由0x y z ++=得z x y =--．②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=．③由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为（）A.),215(+∞- B.)215,215(+- C.)215,0(+ D.),0(+∞◆答案：B★解析：设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得1551,225151.q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或从而1122q -<<，因此所求的取值范围是11(22．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
2008年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2008年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 ◆答案： B★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ，若A B ⊆,则实数a 的取值范围为（ ）A. )3,0[B. ]3,0[C. )2,1[-D. ]2,1[- ◆答案： B★解析： 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a <， 解之得03a ≤<．2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是（ ） A.243670 B. 81274 C. 81266D. 81241◆答案：C★解析：[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．2008B 4、若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为（ ）A. 5863cm B. 5643cm 或5863cm C. 7643cm D. 7643cm 或5863cm◆答案： D★解析：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 ◆答案： C★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为（ ） A. ),215(+∞- B. )215,215(+- C. )215,0(+ D. ),0(+∞ ◆答案：B★解析：设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩q <<，因此所求的取值范围是．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
08年高考理科数学试题及答案
2008年高考理科数学试题及答案/ 绝密★启用前试卷类型 B 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．已知n是正整数，则an?bn?(a?b)(an?1?an?2b???abn?2?bn?1) ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是，5)B．(1，3) A．(1 C．(1，5)D．(1，3) 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?A．16 B．24 1，S4?20，则S6? 2D．48 C．36 一年级二年级三年级3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已y x 知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率女生373 z 370 是．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，男生377 则应在三年级抽取的学生人数为A．24B．18 C．16D．12表 1 京翰教育/ / ?2x?y≤40，??x?2y≤50，4．若变量x，y满足?则z?3x?2y的最大值是?x≥0，?y≥0，?A．90B．80 C．70D．40 5．将正三棱柱截去三个角得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为H B A I C G 侧视B D F 图1 E F 图2 A C B E A．B． BB B E D E E C． E D．6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A．(?p)?q B．p?q C．(?p)?(?q) D．(?p)?(?q) 7．设a?R，若函数y?eax?3x，x?R有大于零的极值点，则A．a??3 B．a??3 C．a??13D．a?? 13 8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与????????????CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF? A．2111a?b B．a?b 3342C．11a?b 24D．a?132b 3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．必做题开始9．阅读图3的程序框图，若输入m?4，n?6，则输出a?，i?．输入m，n 10．已知(1?kx)的展开式中，x的系数小于120，则k?．2211．经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直268i?1 a?m?i i?i?1 n整除a? 是输出a，i 否的直线方程是．12．已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是．京翰教育/ 结束图3 / 二、选做题13．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为?cos??3，??4cos???≥0，0≤???，则曲线C1与C2交点的极坐标为．2?14．已知a?R，若关于x的方程x2?x?a???π?1?a?0有实根，则4a的取值范围是．15．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC 是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，则圆O的半径R?．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，?π1?M?，?．?32?求f(x)的解析式；已知?，???0，?，且f(?)???π?2?312，f(?)?，求f(???)的值．513 17．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润为?．求?的分布列；求1件产品的平均利润；经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于万元，则三等品率最多是多少？18．x2y2?2?1，抛物线方程为设b?0，椭圆方程为22bb4所示，过点F(0，b?2)作x轴的平行线，与x2?8(y?b．如图)抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的京翰教育/ y F G A F1 O B 图4 x / 右焦点F1．求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理．19．?1，x?1?x?R，设k?R，函数f(x)??1?x，试讨论函数F(x)F(x)?f(x)?kx，??x?1，x≥1?的单调性．20．如图5所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，?ABD?60，?BDC?45，PD垂直底面ABCD，PD?22R，E，F??P PEDF?，过点E作BC的平行线交PC于G．EBFC 求BD与平面ABP所成角?的正弦值；证明：△EFG是直角三角形；PE1?时，求△EFG的面积．当A EB2分别是PB，CD上的点，且21． B E G D F C 图5 2设p，q为实数，?，?是方程x?px?q?0的两个实根，数列{xn}满足x1?p，4，?）．x2?p2?q，xn?pxn?1?qxn?2证明：????p，???q；求数列{xn}的通项公式；若p?1，q? 1，求{xn}的前n项和Sn．4京翰教育/ / 绝密★启用前试卷类型 B 2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1．C【解析】z?a2?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?5 2．D 【解析】S4?2?6d?20，?d?3，故S6?3?15d?48 3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000?373?377?380?370?500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64?4．C 5．A 6．D【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q) 为真命题7．B【解析】f’(x)?3?aeax，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f’(x)?3?aeax?0有正根。
2008年考研高数一真题(附答案)
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。
08年高考数学试卷(空白卷)(解析卷)
08年全国统一高考数学试卷（空白卷）一、选择题（共12小题,每小题5分,满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中,=,=．若点D满足=2,则=（）A．B．C．D．4．（5分）设a∈R,且（a+i）2i为正实数,则a=（）A．2B．1C．0D．﹣15．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称,则f （x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+27．（5分）已知曲线y=在点（3,2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣28．（5分）为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x）在（0,+∞）上为增函数,且f（1）=0,则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1,0）∪（1,+∞）B．（﹣∞,﹣1）∪（0,1）C．（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）D．（﹣1,0）∪（0,1）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分）13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5分）在△ABC中,AB=BC,．若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C﹣AB﹣D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于．三、解答题（共6小题,满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,,AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时,求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0,）上是减函数,求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只,将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点．已知||、||、||成等差数列,且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1,a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0,1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1,1）,整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（解析卷）一、选择题（共12小题,每小题5分,满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0,x≥0,解关于x的不等式组,即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0,得x≥1,或x≤0．又因为x≥0,所以x≥1,或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选：C．【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现,通常注意偶次开方一定非负,分式中分母不能为0,对数函数的真数一定要大于0,指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,汽车的行驶路程s看作时间t的函数,我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势,分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段,路程随时间上升的速度越来越快,故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段,路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段,路程随时间上升的速度越来越慢,故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象,只有A答案满足要求,故选：A．【点评】从左向右看图象,如果图象是凸起上升的,表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的,表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的,表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线,表明相应的量保持不变,即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的,表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的,表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的,表明相应的量降低速度保持不变．3．（5分）在△ABC中,=,=．若点D满足=2,则=（）A．B．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求．本题也可以根据D 点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由,∴,∴．故选：A．【点评】用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的4．（5分）设a∈R,且（a+i）2i为正实数,则a=（）A．2B．1C．0D．﹣1【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】注意到a+bi（a,b∈R）为正实数的充要条件是a＞0,b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0,a=﹣1．故选D．【点评】本题的计算中,要注意到相应变量的范围．5．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．23【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组,解方程组求出基本量（首项及公差）,进而代入前n项和公式,即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6,∴d=3,a1=﹣4,∴S10=10a1+=95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式．6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称,则f （x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数,故只要求出函数y=f（x）的反函数即可,欲求原函数的反函数,即从原函数y=ln中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式．【解答】解：∵,∴,∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2,改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．7．（5分）已知曲线y=在点（3,2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数,切线的斜率,由两直线垂直的条件,即可得到a的值．【解答】解：∵y=,∴y′==,∴曲线y=在点（3,2）处的切线的斜率k=﹣,∵曲线y=在点（3,2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直,∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1,即a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义的求法,考查导数的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．8．（5分）为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵,只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9．（5分）设奇函数f（x）在（0,+∞）上为增函数,且f（1）=0,则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1,0）∪（1,+∞）B．（﹣∞,﹣1）∪（0,1）C．（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）D．（﹣1,0）∪（0,1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】16：压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号,然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0,最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知,即x与f（x）异号,而f（1）=0,则f（﹣1）=﹣f（1）=0,又f（x）在（0,+∞）上为增函数,则奇函数f（x）在（﹣∞,0）上也为增函数,当0＜x＜1时,f（x）＜f（1）=0,得＜0,满足；当x＞1时,f（x）＞f（1）=0,得＞0,不满足,舍去；当﹣1＜x＜0时,f（x）＞f（﹣1）=0,得＜0,满足；当x＜﹣1时,f（x）＜f（﹣1）=0,得＞0,不满足,舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选：D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径,可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点,即直线与圆相切或相交得：d≤r,∴,故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式,直线和圆的位置关系,是基础题．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体,设棱长为2,求出AB1及三棱锥的高,由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度,即知点B1到底面的距离B1E的长度,再求出AE的长度,在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切,再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,设为D,所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体,设棱长为2,则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形,所以AB1=2×2×sin60°=2,A1D==,所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2,点B1到底面的距离是B1E,如图,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,设为D,故DA=,由勾股定理得A1D==故B1E=,如图作A1S⊥AB于中点S,过B1作AB的垂线段,垂足为F,BF=1,B1F=A1S=,AF=3,在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2,所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选：B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义,还有点面距与线面距的转化,考查了转化思想和空间想象能力．12．（5分）如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】16：压轴题．【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些,只要分类清楚没有问题,分为三类：分别种两种花、三种花、四种花,分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选：B．【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D顺序种花,可分A、C同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分）13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；13：作图题．【分析】首先作出可行域,再作出直线l0：y=2x,将l0平移与可行域有公共点,直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时,z有最大值,求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标,代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图,作出可行域,作出直线l0：y=2x,将l0平移至过点A处时,函数z=2x ﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题,考查数形结合思想．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点,求得a,得到抛物线方程,进而可知与坐标轴的交点的坐标,进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得, ,则与坐标轴的交点为（0,﹣1）,（﹣2,0）,（2,0）,则以这三点围成的三角形的面积为故答案为2【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识,解决实际问题的能力．15．（5分）在△ABC中,AB=BC,．若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设AB=BC=1,,则,由此可知,从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1,,则,∴,．答案：．【点评】本题考查椭圆的性质及应用,解题时要注意的正确计算．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C﹣AB﹣D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先找出二面角的平面角,建立边之间的等量关系,再利用向量法将所求异面直线用基底表示,然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2,作CO⊥面ABDE,OH⊥AB,则CH⊥AB,∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角,结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,则,=故EM,AN所成角的余弦值故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题．三、解答题（共6小题,满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,（Ⅰ）由正弦定理的边角互化,我们可将已知中,进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论,结合角A,B,C为△ABC的内角,我们易得tanA=4tanB＞0,则tan（A﹣B）可化为,再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中,,由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB,则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时,等号成立,故当时,tan（A﹣B）的最大值为．【点评】在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于边角互化,使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,,AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F,证明CE⊥面ADF,通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线,垂足为G,由（1）知,CE⊥AD,则∠CGE即为所求二面角的平面角,△CGE中,使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F,连接DF交CE于点O,∵AB=AC,∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE,∴AF⊥面BCDE,∴AF⊥CE．再根据,可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°,∴∠OED+∠ODE=90°,∴∠DOE=90°,即CE⊥DF,∴CE⊥面ADF,∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线,垂足为G．∵CG⊥AD,CE⊥AD,∴AD⊥面CEG,∴EG⊥AD,则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB,H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE,矩形BCDE中,BE⊥BC,故BE⊥平面ABC,CH⊂平面ABC,故BE⊥CH,而AB∩BE=B,故CH⊥平面ABE,∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=,∴CH=EH=．直角三角形CBH中,利用勾股定理求得BH===1,∴AH=AB﹣BH=AC ﹣1；直角三角形ACH中,由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2,∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE,矩形BCDE中CD⊥CB,可得CD⊥面ABC,故△ACD为直角三角形,AD===,故CG===,DG==,,又,则,∴,即二面角C﹣AD﹣E的大小．【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法,以及求二面角的大小的方法,属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时,求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0,）上是减函数,求实数a的取值范围．【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】16：压轴题．【分析】（1）求单调区间,先求导,令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0,）上是减函数,即f′（x）≤0在区间（0,）上恒成立,然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时,f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0,即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣,∵f（x）在上为减函数,∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设,则∵x∈时,＞4,∴g′（x）＜0,∴g（x）在上递减,∴g（x）＞g（）=3,∴a≤3．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围,此类问题一般用导数解决,综合性较强．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只,将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数,算出在各个次数下的概率,写出化验次数的分布列,求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列,利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时,有两种可能：①先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有,均可以在第二次结束）,∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时,只有一种可能：先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数,∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（12分）双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点．已知||、||、||成等差数列,且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由2个向量同向,得到渐近线的夹角范围,求出离心率的范围,再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比,联想到渐近线的夹角,求出渐近线的斜率,进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论,设出双曲线的方程,将AB方程代入,运用根与系数的关系及弦长公式,求出待定系数,即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为,由,同向,∴渐近线的倾斜角范围为（0,）,∴渐近线斜率为：,∴．∵||、||、||成等差数列,∴|OB|+|OA|=2|AB|,∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|,∴,∴,可得：,而在直角三角形OAB中,注意到三角形OAF也为直角三角形,即tan∠AOB=,而由对称性可知：OA的斜率为k=tan,∴,∴2k2+3k﹣2=0,∴；∴,∴,∴．（2）由第（1）知,a=2b,可设双曲线方程为﹣=1,∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB,故AB的斜率为tan（+∠AOB）=﹣cot（∠AOB）=﹣2,∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b）,代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0,∴x1+x2=,x1•x2=,∴4=•=•,即16=﹣112b2,∴b2=9,所求双曲线方程为：﹣=1．【点评】做到边做边看,从而发现题中的巧妙,如据,联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值,属于中档题．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1,a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0,1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1,1）,整数．证明：a k+1＞b．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．【专题】16：压轴题．【分析】（1）首先求出函数的导数,然后令f′（x）=0,解出函数的极值点,最后根据导数判断函数在区间（0,1）上的单调性,从而进行证明．（2）由题意数列{a n}满足0＜a1＜1,a n+1=f（a n）,求出a n+1=a n﹣a n lna n,然后利用归纳法进行证明；=f（a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k,然后进行讨论求解．（3）由题意f（x）=x﹣xlnx,a n+1【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx,∴f′（x）=﹣lnx,当x∈（0,1）时,f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间（0,1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时,0＜a1＜1,a1lna1＜0,a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1,∵函数f（x）在区间（0,1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续,∴f（x）在区间（0,1]是增函数,a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1,即a1＜a2＜1成立,（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时,a k＜a k+1＜1成立,即0＜a1≤a k＜a k+1＜1,那么当n=k+1时,由f（x）在区间（0,1]是增函数,0＜a1≤a k＜a k+1＜1,得f（a k）＜f（a k+1）＜f（1）,=f（a n）,而a n+1=f（a k）,a k+2=f（a k+1）,a k+1＜a k+2＜1,则a k+1也就是说当n=k+1时,a n＜a n+1＜1也成立,根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n,a n＜a n+1＜1恒成立．=f（a n）可得（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx,a n+1a k+1=a k﹣a k lna k=,1）若存在某i≤k,满足a i≤b,则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＞a i﹣b≥0,2）若对任意i≤k,都有a i＞b,则a k+1=a k﹣a k lna k==≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0,＞b成立．即a k+1【点评】此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用,一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想,化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B ð等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．96．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．908．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A BC DMNP A 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）13．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．A CB P18．（本小题共13分）已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 19．（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值． 20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-13．②14．(12)， (3402)， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =，AC BDPACBE PAB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==2PD PB ==2PC ∴=．233PC CD CH PD ∴==． ABDPH∴点C 到平面APB． 解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --的大小为arccos（Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．23CH ∴=． ∴点C 到平面APB 的距离为3． 17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是 18．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x=+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，，1210(())4321A T T A =：，，，；11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而 112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-． 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤． 从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤． 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤． 因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。
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高数B （下）试题
一、填空题
1、设函数2(1)arctan y
y z x e x x
=+-，则(1,0)x z '=________. 2、若积分区域D 为222x y x +≤，则二重积分(,)D
f x y d σ⎰⎰化为极坐标下的二次积分为 。
3、设L 是从A （1，0）到B （-1，2）的线段，则曲线积分
()L x y ds +=⎰________. 4、若级数0n n
n a x ∞=∑在5x =-处条件收敛，则该级数的收敛半径为________.
5、微分方程为250y y y '''-+=的通解为________.
二、选择题
1、22z x y =+在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点(2,2+的方向的方向导数为（ ）
)A 2+ )B 1+； )C 2+ )D 4
2、二次积分
202(,)y y dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为（ ） )A 122201(,)(,)x x x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰； )B 22
0(,)x
dx f x y dy ⎰⎰；
)C 220(,)x x dx f x y dy ⎰⎰； )D 120212
(,)(,)x x
x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰. 3、已知()(34)x ay dx x y dy +++为某一函数的全微分，则a =（ ）
)A 0； )B 1； )C 3； )D 4
4、若级数0n n a
∞=∑收敛且(1,2,)n n a b n ≥=，则级数0n n b ∞
=∑（ ） )A 发散； )B 绝对收敛； )C 条件收敛； )D 敛散性不定
5、方程///2
323y y y x x -+=+的一个特解应具有形式（ ） )A 2(3)a x x +； )B 2ax bx c ++； )C )(2c bx ax x ++； )D )(22c bx ax x ++.
三、计算题
1、 求偏导数：
1）,y
z u u x x
∂=∂求； 2）(,,)0,F x x y x y z F +++=可微，求z x
∂∂。
2、
利用极坐标计算二重积分
sin D ⎰⎰，其中2222:4D x y ππ≤+≤。
3、 计算22L xdy ydx x y -+⎰，其中L 为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方
向为逆时针方向。
4、计算333x dydz y dzdx z
dxdy ∑++⎰⎰，其中z ∑=
：的内侧。
5、求级数
1113n n n x ∞=+∑的收敛半径和收敛域。
6、求级数211121
n n x n ∞+=+∑的和函数。
7、求微分方程
22dy y x dx x y -=+的通解。
8、求曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)--处的切平面及法线方程。
四、证明题
1、 设函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩
当当，试证(,)f x y 在点(0,0)处的偏导数存在，但不可微。
2、 设110,0,(1,2,)n n n n n n a a a b n b b ++>>≤=且，证明若级数0n n b ∞=∑收敛，则级数0
n n a ∞=∑也收敛；若级数
0n n a ∞=∑发散，则级数0n n b ∞=∑也发散。