云南省中考数学总复习方程(组)与不等式(组)第08课时一元二次方程课件

配方法
一次项系数一半的平方;④把方程整理成(x+a)2=b 的形式;⑤运用直接开平方 法解方程
公式法
-������ ± ������ 2 -4������������ 2������ 一元二次方程 ax2+bx+c=0,且 b2-4ac≥0 时,x=②
因式分解法
将方程的一边化为 0,另一边分解因式,得(ax+b)x=0 或(ax+b)(cx+d)=0,则 ③
利润问题 面积 问题
,利润率=
利润 进价
×100%,利润=进价×
1 2
利润率
矩形的面积=长×宽, 三角形的面积= ×底× 圆的面积=πr2, 梯形的面积= (
2 1
高
, )×高
上底
+
下底
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对点演练
1.若关于 x 的方程(m-1)x2+mx-1=0 是一元二次方程,则 m 的取值范围是( A ) A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0
x2,则 + 的值是 (
������ 1 ������ 2
1
1
) C.3 4
A.1
B.2
D.-
4 3
所以 + =
= =- .
-4 4
3
3
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探究四 一元二次方程的应用
例 4 为进一步发展基础教育,自 2015 年以来,某县加大了教育经费的投入,2015 年该县投入教育经费 6000 万元,2017 年投入教育经费 8640 万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同. (1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率; (2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算 2018 年该县投入教育经费多少万元.
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探究三 一元二次方程根与系数的关系
例 3 [2018· 遵义] 已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+bx-3=0 的两 根,且满足 x1+x2-3x1x2=5,那么 b 的值为( A.4 C.3 B.-4 D.-3 )
[答案] A [解析] 由一元二次方程根与系数 的关系可知,x1+x2=-b,x1x2=-3, 又因为 x1+x2-3x1x2=5,代入可得 -b-3×(-3)=5,解得 b=4,故选 A.
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探究二 一元二次方程根的判别式
例 2 [2018· 成都] 若关于 x 的一元二次方程 x2-(2a+1)x+a2=0 有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围. [方法模型] 应用一元二次方程根的判别式时,注意确保方程的 二次项系数不为 0;求判别式之前先将方程化为一般式.
解:由题意知, Δ=[-(2a+1)]2-4×1×a2=(2a+1)2-4a2 =4a+1. ∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ>0,即 4a+1>0,解得 a>- .
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针对训练
1.[2014· 昆明 6 题] 某果园 2011 年水果产量为 100 吨,2013 年水果产量为 144 吨,求该果园水果产量的年 平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为 x,则根据题意可列方程为( D ) A.144(1-x)2=100 B.100(1-x)2=144 C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144
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2.[2018· 曲靖罗平县模拟] 某商店从厂家以每件 18 元购进一 批商品出售,若每件售价为 a 元,则可售出(320-10a)件,但物价 部门限定每件商品加价不能超过进价的 25%,若商店要想获 得 400 元利润,则售价应定为每件多少元?需售出这种商品多 少件?
解:当每件商品的售价定为 a 元时, (a-18)(320-10a)=400,整理得 a2-50a+616=0,a1=22,a2=28. ∵18×(1+25%)=22.5,而 28>22.5, ∴a=22.卖出商品的件数 320-10×22=100(件). 答:每件商品的售价应定为 22 元,需要 卖出这种商品 100 件.
*
的实数根;
实数根; 实数根.
2
有
2.根与系数的关系 :如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x2,那么 x1+x2=⑩ ������ x1x2= . ������
-
������ ������
,
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考点三 一元二次方程的应用
常见应用类型及其等量关系:
增长率 问题
(1)增长率=增量÷ 基础量×100%; (2)设 a 为原来的量,m 为平均增长率,n 为增长次数,b 为增长后的量,则 a(1+m)n=b;当 m 为平均下降率时,则有 a(1-m)n=b 利润=售价进价
4 1
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针对训练
1.[2018· 曲靖 12 题] 关于 x 的方程 ax +4x-2=0(a≠0)有实数根,
2Hale Waihona Puke [答案] 1.-1(答案不唯一) [解析] 由 Δ=42-4a×(-2)≥0,得 a≥-2, ∴不小于-2 的负整数均可. 2.B [解析] 在方程 x2-4x+4=0 中,Δ=(-4)2-4×1×4=0,∴该方程有两个 相等的实数根.故选 B.
2.一元二次方程 x2-16=0 的根是( D ) A.x=2 B.x=4 C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4
3.用配方法解一元二次方程 x2-6x-10=0 时,下列变形正确的为( D ) A.(x+3)2=1 B.(x-3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x-3)2=19
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[方法模型] 应用一元二次方程根与系数的关系时,注意整体 思想的应用,以及“Δ≥0”这一隐含条件.
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针对训练
1.[2015· 曲靖 14 题] 一元二次方程 x2-5x+c=0 有两个不相等的 实数根且两根之积为正数,若 c 是整数,则 c= 个). 2.[2018· 曲靖罗平县模拟] 若方程 x -3x-4=0 的两根分别为 x1 和
所以猜想正确.
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针对训练
1.[2018· 淮安] —元二次方程 x2-x=0 的根是
x1=0,x2=1
.
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2.[2018· 泰安] 一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5 根的情况是( A.无实数根 B.有一个正根,一个负根 C.有两个正根,且都小于 3 D.有两个正根,且有一根大于 3 )
4.方程 x2-2x+3=0 的根的情况是( C ) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 5.某公司 9 月份利润为 100 万元,要使 11 月份的利润达到 144 万元,则平均每月增长的百分率为( B ) A.10% C.22% B.20% D.25%
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考点聚焦
考点一 一元二次方程及其解法
2 1.一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程.一般形式:① ax +bx+c=0(a≠0) .
注:在一元二次方程的一般形式中要强调 a≠0.
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2.一元二次方程的四种解法:
直接开平方法
适合于 x2=a(a≥0)或(x+m)2=b(b≥0)形式的方程 ①化二次项系数为 1;②把常数项移到方程的另一边;③在方程两边同时加上
解:(1)①x1=x2=1;②x1=1,x2=2; ③x1=1,x2=3.
(3)请用配方法解方程 x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
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例 1 [2017· 滨州](2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想: ①方程 x2-9x+8=0 的解为 ②关于 x 的方程 ; 的解为 x1=1,x2=n.
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探究一 一元二次方程的解法
例 1 [2017· 滨州] (1)根据要求,解答下列问题: ①方程 x2-2x+1=0 的解为 ②方程 x2-3x+2=0 的解为 ③方程 x2-4x+3=0 的解为 … (2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想: ①方程 x2-9x+8=0 的解为 ②关于 x 的方程 ; 的解为 x1=1,x2=n. ; ; ;
2
[答案] 1.4(答案不唯一) [解析] ∵一元二次方程 x2-5x+c=0 有 两个不相等的实数根∴Δ=(-5)2-4c>0, 解得 c< ,∵x1x2=c>0,c 是整数,
4 25
(只需填一
∴c=1,2,3,4,5,6. 2.C [解析] 依题得:x1+x2=3,x1· x2=-4,
1 1 ������ 1 +������ 2 ������ 1 · ������ 2 ������ 1 ������ 2
图8-2
当堂效果检测
当堂效果检测
1.如图 8-2,某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m 的矩形 ABCD 空地上修建三条同样宽的通道,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78 m2,那 么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为 x m,由题意列得方 程 .
[答案] (30-2x)(20-x)=6×78 [解析] 将 6 块草地平移为一个矩形, 长为(30-2x)m,宽为(20-x)m.根据矩形 面积公式即可列方程 (30-2x)(20-x)=6×78.
解:(2)①x1=1,x2=8;②x2-(1+n)x+n=0.
(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8, x2-9x+ =-8+ ,