平面的法向量

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高中数学-平面的法向量

14
例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.
gl
m
m n mg
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?
l m 0, l n 0 ,
gl
m
l g 0,即l g.
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
16
6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理 P104
17
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
12
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的
单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
3 33
33 3
13
例如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDEபைடு நூலகம்

平面的法向量定义

平面的法向量定义平面的法向量是指垂直于该平面的矢量。

在数学和物理学中，法向量是研究平面性质和解决与平面相关问题的重要工具。

本文将介绍平面的法向量的概念、性质和应用。

一、概念平面的法向量是指与该平面垂直的矢量，它垂直于平面的每一个点。

平面上的每个点都有一个唯一的法向量。

法向量可以用有序数对或坐标表示，也可以用矢量符号表示。

通过法向量，我们可以确定平面的方向和倾斜程度。

二、性质1. 平面的法向量与平面上的任意两个不重合的向量都垂直。

2. 平面的法向量与平面上的任意两个平行的向量也平行。

3. 平面的法向量的模长等于平面上任意两个不重合向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。

三、求法向量的方法1. 已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量运算求出平面的法向量。

设向量AB=a，向量AC=b，则平面的法向量n=a×b，其中“×”表示向量的叉乘。

2. 已知平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，可以用系数A、B、C构成的向量作为平面的法向量。

四、应用1. 判断平面的位置关系：通过比较两个平面的法向量可以判断它们的位置关系，如平行、垂直或相交。

2. 求直线与平面的交点：直线与平面相交时，可以使用平面的法向量和直线的方向向量求解交点的坐标。

3. 求平面的方程：已知平面上的一点和法向量，可以利用点法式或一般方程求解平面的方程。

4. 求平面的倾斜度：平面的法向量可以用来表示平面的倾斜程度，根据法向量的大小可以判断平面的倾斜程度。

总结：平面的法向量是垂直于该平面的矢量，它可以用来描述平面的方向和倾斜程度。

通过法向量，我们可以判断平面的位置关系、求解直线与平面的交点、求解平面的方程以及判断平面的倾斜程度。

熟练掌握平面的法向量的概念、性质和应用，对于解决与平面相关的问题具有重要意义。

平面法向量公式

平面法向量公式
平面法向量是指平面上一组向量，也称平面方向向量，它指向平面正方向。

平面法向量公式指出三个不同的点之间的关系。

如果A，B，C是三个点，则平面法向量公式为： N= (B-
A)X(C-A)
算法法向量是根据空间几何学中夹角的定义引入的，它由夹角旁的对边构成，表示该夹角的正方向，也就是平面的正方向。

平面法向量的计算依赖于向量的知识，具体来说，要确定任意三点组成平面的法向量，首先需要确定三点坐标，例如三点 A，B，C的坐标分别为(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)。

法
向量表示为N，可以采用叉乘公式计算：N= (A2-A1)X(A3-
A1) 。

法向量表示多维物体旋转或平移的方向，在计算机图形学、力学、热力学中都广泛应用。

在计算机图形学中，法向量用于求解光照系统，确定视角变换，确定Bézier曲面等。

力学中，
可以利用法向量来计算滑动及接触方向，以及单位磁场和单位耗散磁场，确定磁力线分布等。

热力学中，可以利用法向量求解相变平衡的条件，确定温度、流量及压力等变量的关系。

总之，平面法向量公式被广泛应用于多个领域，有助于计算几何学中相当复杂的问题，可以用于碰撞检测，模拟对象的重力行为，以及物理系统的仿真等。

以上就是对平面法向量公式的介绍，从定义它的基本原理，到它在各领域的重要作用，都有了更深入的认识。

可以看出，平面法向量公式是一个有效的工具，可以用于重要的研究与实践，相信它会带给我们更多新的应用。

平面的法向量和方向向量

平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。

本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。

一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。

设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。

如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。

平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。

设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。

2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。

设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。

3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。

设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。

平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。

例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。

同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。

二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。

设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。

如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。

平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。

设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。

2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。

(完整版)平面的法向量

∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
例如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直u，uur所uuu以r uAuuBr，AD，
解: 在内作不r与urm r,nu重r 合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
ur ur r r ur r ur r r
g xm yn , l g xl m yl n , l
3.
平面的向量表示：
AMgn
r
0
给定一点rA和一个向量 n,那么过点
l
r
A,以向量n 为法向量的平面是完全
确定的.
n
M
A
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( x, ( x,
∴

yห้องสมุดไป่ตู้

z
y, z)
y, z)
3x 4
3x 2
(3, (3,
4, 0,
0) 2)

平面向量的法向量和单位向量

平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的线段，它具有方向和大小。

在平面向量中，存在着一些特殊的向量，比如法向量和单位向量。

本文将从法向量和单位向量两个方面进行探讨。

一、法向量在平面向量中，法向量是与给定向量垂直的向量，通常用n表示。

对于平面向量a=(a1,a2)，其法向量可以表示为n=(-a2,a1)，或者n=(a2,-a1)。

法向量的方向垂直于给定向量，并且具有相同的大小。

法向量在几何学中有着重要的应用，比如在计算两个向量的夹角时，常常使用法向量来进行计算。

法向量还可以用来表示平面的法线方向，从而帮助求解平面几何中的问题。

二、单位向量单位向量是指长度为1的向量，表示为u。

在二维空间中，单位向量通常表示为u=(cosθ,sinθ)，其中θ为向量与x轴的夹角。

单位向量的大小为1，表示方向而不表示大小。

单位向量在向量运算中起着非常重要的作用。

在计算两个向量的夹角时，可以使用单位向量来表示向量的方向，从而简化计算。

单位向量还常用于表示力的方向，以及在物理学中描述物体的位移和速度方向。

结论平面向量中的法向量和单位向量是非常重要的概念，它们在几何学和向量运算中都具有重要的应用价值。

法向量可以帮助我们求解向量的垂直方向，单位向量则可以帮助我们统一向量的方向，并简化向量运算的复杂度。

深入理解和应用法向量和单位向量，有助于提升数学和物理学等相关学科的学习成绩，同时也为解决实际问题提供了便利。

愿本文对读者有所启发，帮助大家更好地理解平面向量的法向量和单位向量。

课件4：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

线线垂直
①证明两直线的
方向向量的数量
积为0.
②证明两直线所
成角为直角.
线面垂直
①证明直线的
方向向量与平
面的法向量是
平行向量．
②证明直线与
平面内的相交
直线互相垂直.
面面垂直
①证明两个平
面的法向量垂
直．
②证明二面角
的平面角为直
角.
例题解析
例1
已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中
间的平行、垂直问题．(重点、难点)
自学导引
1．平面的法向量
已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则
法向量或说向量 n 与平面
向量 n 叫做平面 α 的 _______
正交
α_____．
自学导引
1．平面的法向量
平面法向量的性质：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)条件m⊂α并非可有可无．把m⊂α，改为m∥α，
其他条件不变，三垂线定理仍然成立．
(3) 三垂线定理是证明空间两条直线垂直的依
据．应用定理的关键是：要证线线垂直，转化为
证明m与l在α内的射影l′垂直．
2．三垂线定理及逆定理的理解
(4)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l是
求证：l⊥AC.
证明：取向量v∥l，则v∥ α，且v ⊥ .
因为AB⊥ α ，l ⊂ α，所以
v⊥.
又因为·v=( + )·v= ·v + ·v=0.
因此v⊥，得⊥AC.
本例证明所得的结论，通常称为三垂线定理.

线面平 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向

3.2.1平面的法向量

∴ AB = (1,−2,−4), AC = (2,−4,−3).
设平面α的法向量是n = ( x, y, z ).
依题意，应有n • AB = 0且n • AC = 0，即
x − 2 y − 4 z = 0, 解得z = 0且x = 2 y, 令y = 1, 则x = 2. 2 x − 4 y − 3 z = 0,
线线垂直
l ⊥ m ⇔ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 ；
l ⊥α ⇔ a ∥ u ⇔ a = ku ；
线面垂直
面面垂直
α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0.
例1
已知平面α经过三点A(1,2,3)、B (2,0,−1)、 C (3,−2,0), 试求平面α的一个法向量.
解：
∵ A(1,2,3)、B(2,0,−1)、C (3,−2,0)，
A
α
1.向量 n 是平面的法向量，向向量是平面的法向量，是与平面平行或在平面内，量 m 是与平面平行或在平面内， ; 则有 m ⋅ n=0 2.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量; 法向量一定是非零向量 3.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行; 相平行
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 α , β 的法向量分别为 u, v ，则
∴ 平面α的一个法向量是n = (2,1,0).
建建立空间直角坐标系，然后用待定系数法待定系数法求解，一般立空间直角坐标系待定系数法步骤如下：
（1）设出平面的法向量为 n = ( x, y , z ).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a = (a1 , b1 , c1 ), b = (a2 , b 2 , c2 ).

平面的法向量与平面的向量表示

添加标题
向量表示：平面上任意向量表示平面上任意点的位置
法向量的长度和方向决定了平面的方向而向量表示的长度和方向决定了平面上任意点的位置
平面的法向量与平面的向量表示的转换方法
法向量：垂直于平面的向量表示平面的方向
转换方法：通过向量积或点积计算法向量与向量表示的关系
添加标题
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添加标题
Байду номын сангаас法向量：垂直于平面的向量
法向量的方向：与平面的法向量平行
法向量的长度：与平面的法向量长度相等
法向量的作用：表示平面的方向和位置
平面的向量表示的定义
平面的向量表示：平面上任意向量都可以用两个不共线的向量表示向量的表示方法：向量可以用坐标表示也可以用向量的模和方向表示向量的模：向量的长度表示向量的大小向量的方向：向量的方向表示向量的方向
平面的向量表示的几何意义
向量表示：平面上任意向量都可以用两个不共线的向量表示向量加法：两个向量的和向量在平面上向量乘法：向量与标量相乘结果向量在平面上向量叉乘：两个向量的叉乘结果为垂直于平面的向量
平面的向量表示的计算方法
向量的表示：向量可以用坐标表示如(x, y, z) 向量的加法：两个向量相加得到新的向量向量的减法：两个向量相减得到新的向量向量的数乘：向量与一个数相乘得到新的向量向量的叉乘：两个向量叉乘得到新的向量向量的点乘：两个向量点乘得到新的向量
平面的向量表示的应用场景
计算机图形学：用于表示和操作三维空间中的物体和场景
物理学：用于描述力和运动的方向和大小
工程学：用于分析和设计机械、建筑等工
程结构
数学：用于解决线性代数、微积分等数学

平面的法向量

平面的法向量平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。

例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。

平面的法向量1法向量简介法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

法向量适用于解析几何。

由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。

曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面的向量。

法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。

在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

每一个平面存在无数个法向量。

计算：对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为。

如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。

通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

平面的法向量

二：求平面与平面所成的角
1：几何法：具体步骤为：
（1）在图中作出平面角；
（2）对所找的平面角加以证明；（3）在平面中求出平面角的度数。
2：向量法：设平面 , 的法向量分别为 n 1 , n 2 ，二面角 l 的大小为，n 1 , n 2 的夹角为 1
则 1 或 1 ，其中 n1 n 2 c o s 1 n1 n 2
三：求点到面的距离
定义：从平面外的一点P向平面作垂线PD交平面于D，则称线段PD的长度d为点P到平面的距离。 1：几何法：与求成角的方法类似：一找，二证，三求
2：向量法：设平面的法向量为 n ，点A是平面的任意一点，则点P到平面的距离d为： 1）在图中作出平面角；（2）对所找的平面角加以证明；（3）在平面中求出平面角的度数。
2：向量法：设直线的方向向量为 v ，平面的法向量为 n
直线与平面所成的角为，v 与 n 的夹角为；则
vn s in c o s v n

新课：
1：平面的法向量：若非零向量向量 A B 为平面的法向量。
AB
，则称
2：一个平面的法向量有无数多个；它们互相平行。 3：与同一个非零向量垂直的不同平面互相平行。
所以，平面的法向量可以代表平面的方向。
平面的法向量的应用：一：求直线与平面所成的角：
平面的法向量
提出问题：在直线上任意取两点确定的向量都可以
作为这条直线的方向向量；能不能将任意一个平面
的方向用一个向量来表示？
1：若向量 A B 所在的直线 l 与平面满足 l // 或l 则称向量 A B 与平面平行； 2：若向量 A B 所在的直线 l 与平面满足l 则称向量 A B 与平面垂直。

平面的法向量课件

3. 验证结果：通过已知条件验证直线与平面的位置关系是
否成立。
例题三：用平面的法向量求线面角
总结词：通过已知直线和平面的法向量可以求出直线与平面之间的夹角。
3. 验证结果：通过已知条件验证计算出的夹角θ是否符合实际情况。
2. 计算夹角：通过向量的点乘和向量的模长计算直线与平面之间的夹角θ。
方向。
定义法适用于任何形式的平面，无论是固定平面还是动态平面。
方向向量法
方向向量法是一种基于平面方程的求解方法。通过已知平面的方程，我们可以求出平面的一个方向向量，这个方向向量就是平面的法向量。
方向向量法的具体步骤是：首先确定平面的方程，然后通过对方程进行微分运算，得到一个与方程垂直的方向向量。这个方向向量就是平面的法向量。
说明
法向量在解决几何问题中扮演着重要的角色，它是解决许多几何问题的关键所在。
02
平面的法向量的计算方法
定义法
定义法是求平面的法向量的基本方法之一。根据定义，平面法向量是垂直于平面的一个向量，其方向与平面的走向相
上一个点，然后通过该点做一个垂直于平面的直线，这条直线就是平面的一个法线，而法线的方向就是平面的法向量的
详细描述
1. 定义直线和平面的法向量：设直线l的法向量为m，平面α的法向量为n。
05
平面的法向量的实践与思考
在实际问题中平面的法向量的应用
01
02
03
方向判断
平面的法向量可以用于判断物体在平面上的方向，如机器人移动、飞行器导航等。
距离测量
通过平面的法向量可以计算点到平面的距离，为测量和计算提供便利。
求解线面角
总结词
通过平面的法向量，我们可以求解线面角。

平面法向量的求法及其应用

平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。

平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。

由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。

方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。

0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。

其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。

:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ，试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。

平面的法向量

总结时间
课后作业
106页练习1、2 117页 A组3、4、5
v u
u v uv 0
垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
【变式2】已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 B1B，
CD 的中点．求证：平面 DEA⊥平面 A1FD1.
证明：如图 D16，建立空间直角坐标系 Dxyz.不妨设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(0,1,0)， E(2,2,1)．
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
平面的法向量不惟一，合理取值即
可。
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
思考：
方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
3.2 平面的法向量
思考1：如何确定一条直线在空间的位置？
l
直线l的方向向量 a
B A
l 位置确定：一个定点+定方向
法向量
思考2：如何确定一个平面在空间的位置？
b
O a
平面位置确定：内两条相交直线
新知初探

平面的法向量-高中数学知识点讲解

平面的法向量
1．平面的法向量
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
→→空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．直线l
上的向量푒以及与푒共线的向量
叫做直线l 的方向向量．注意：
①一条直线l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l 的方向向量也是所有与l 平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l 上的任意两点的坐标写出直线l 的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方
→→→向”．如果表示向量
푛⊥α，如果푛⊥α，那么
푛的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作→
向量
푛叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
→→→→
③向量푛是平面的法向量，向量푚是与平面平行或在平面内，则有푛•푚= 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
→
（1）设：设出平面法向量的坐标为푛=（u，v，w）；
→（2）列：根据푎⋅→→
푛= 0，푏
⋅
→
푛= 0，列出方程组；
（3）解：把u（或v 或w）看作常数，用u（或v 或w）表示另外两个量
→
（4）取：取u 为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量푛的坐标．
1/ 1。

平面的法向量

平面的法向量
平面法向量的求法：1.在平面内找两个不共线的向量2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了.3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x,为x代值即可得到一个最简单的法向量。

普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。

空间直角坐标系中平面法向量的三种求法：一、方程法，利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。

二、矢量积公式。

三、双0速算法：如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平血平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0,就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。

扩展资料：高中法向量更快求法：叉乘，造0法。

叉乘口诀：掐头去尾，交叉相乘再相减。

造0法：构造0时，加减乘除都行。

平面的法向量与平面的向量表示

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(3)面面平行转化为平面法向量的平行． (4)线线垂直转化为直线的方向向量垂直． (5)线面垂直转化为直线的方向向量与平面的法向量平行． (6)面面垂直转化为平面的法向量垂直． 3．三垂线定理及逆定理是证明线线垂直的重要方法．
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(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
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1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
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[例2] 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
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[精解详析] (1)以 D 为原点，向量 DA、DC 、DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为 1.
(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； (2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (3)α∥β⇔u∥v⇔(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)； (4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
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3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面 CD1B1.

平面的法向量

y
则可得各点坐标，从而有
B
M
x
C
NM NA AB BM (2a,0,c)
又平面CDE的一个法向量是 AD (0,3b,0) 由NM AD 0 得到NM AD
因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE
三、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为n=(x，y，z) 则由n DA 0，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
x
y
1 2
z
0
所以n=(0，1，- 2)
又因为D1F
(0,
1 2
, 1)
所以D1F//n
所以 D1F 平面ADE
(1，- 2，2）
3 33
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一，合理取值即
可。
方程组
n n
2023年2月17日星期五
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
l
v
vB
直线l上的向量v 以及与v 共线