江苏省镇江市2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试题及答案
江苏省镇江市2019~2020学年度第二学期高一期末数学试卷(PDF版)
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21. (12 分) 已知圆 的圆心在 轴的正半轴上，且圆 与 轴相切，点
(1)求圆 的方程；
(2)若直线
与圆 交于 两点，且
在圆 上. ，求 的值.
22. (12 分) 如图， 为坐标原点，椭圆
，
的面积为 1.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆 上的两点，且
，记直线
证明： 为定值.
的右顶点和上顶点分别为 ，
的斜率分别为 (
)，
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C.
第Ⅱ卷
三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知
，
，则
▲，
D. ▲ .(第一空 2 分，第二空 3 分)
14. 已知直线
与直线
之间的距离为 ，则 的值为 ▲ .
15. 圆
关于直线 对称的圆的标准方程为 ▲ .
16. 在
中，角
的边分别为 ，且满足
，
，则 等于 ▲ .
四、解答题： 本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分) 在
中，角
的边分别为 ，在①
；
②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，并作答.已知 是 上的一点， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
，若 ，求
的面积.
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18. (12 分) 在直角坐标系中，已知四边形
8.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率
，过点
两点，若点 是线段 的中点，则直线 的斜率为
A. 或
B. 或
C. 或
D. 2 的直线 与椭圆相交于 ，
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期末模拟数学试题带讲解
若 ，则 ，不符合题意，舍去；
若 ，则方程的两根异号或方程有两相等正根，
或 ，
解得 或 ，
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，函数图象有且只有一个公共点转化为方程只有一正根，分类讨论以及转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数 ，使得不等式 在区间 上有解，若存在，求出 的最大值，若不存在，请说明理由.
（Ⅰ） ； （Ⅱ） ；(Ⅲ) .
【分析】(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标，代入函数解析式即得定点坐标；(Ⅱ)先求出 ，再利用对数的运算运算法则求 ；(Ⅲ)化为 在区间 上有解，令 ，求 得解.
15.使等式 成立的角 的集合为______.
【分析】先由题意得到 ，进而得到 或 ，从而可求出结果.
【详解】因为
，
所以 解得 或 ，
则 或 ，
所以角 的集合为 或 .
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，熟记公式即可，属于常考题型.
16.已知函数 ，若存在实数t，使 的值域为 ，则实数a的取值范围是______.
当 时，原式 ，故选项C不正确；
当 时，原式 ，故选项D正确，
故选：ABD
12.已知定义在 上的偶函数满足 ，且当 时， 是减函数，则下列四个命题中正确的是（）
A.
B.直线 为函数 图象的一条对称轴
C.函数 在区间 上存在2个零点
D.若 在区间 上的根为 ，则
ABD
【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.
【详解】（1）设 （ ），
的图象经过原点， ，
2019-2020学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【解析】根据对数函数的性质，只需20x +>，即可求解. 【详解】()()lg 2f x x =+Q , 20x ∴+>,解得2x >-，所以函数的定义域为(2,)-+∞， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，属于容易题. 2．sin 225︒的值为（ ）A ．2-B ．2C ．D 【答案】A【解析】把225o 变为18045+o o ，利用诱导公式()sin 180sin αα+=-o化简后，再利用特殊角的三角函数值即可得结果. 【详解】()sin 225sin 18045sin 452︒=︒+︒=-︒=-，故选A. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3．函数23cos()56y x π=-的最小正周期是（ ）A ．25π B ．52πC ．2πD ．5π【答案】D【解析】分析：直接利用周期公式求解即可. 详解：∵23cos 56y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25ω=，∴2π5πT ω==．故选D点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数cos()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由x k ωϕπ+=可得对称轴方程；由2x k πωϕπ+=+可得对称中心横坐标.4．若向量,a b r r 不共线，且a mb +r r与()2b a -r r 共线，则实数m 的值为（A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据向量共线可得()2a mb k b a -+=r r r r，化简即可求出m 的值.【详解】因为向量,a b r r 不共线，且a mb +r r与()2b a -r r 共线，所以()2a mb k b a -+=r r r r ，即2b a mb ka k +=-r r r u u r，所以12m kk=⎧⎨=-⎩，解得12m =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量共线，属于容易题. 5．若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β=（ ） A ．17-B ．17C ．67D ．76【答案】B【解析】利用角的变换()βαβα=+-，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为()βαβα=+-，所以11tan()tan 123()]=11+tan()t tan t an 716an[αβααβααβαβ-+-+-==+⋅+=, 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于容易题. 6．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度【答案】B【解析】∵cos(2)cos[2()]36y x x ππ=+=+，∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数cos2y x =的图像向左平移6π个单位． 选B ．7．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3C ．163D ．±3【答案】B【解析】试题分析：3sin 5θ==，解得3m =. 【考点】三角函数的定义. 8．已知扇形圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于（） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【详解】221122263S r r r παπ==⨯=⇒=扇形弧长263l r ππα==⨯=故答案选C 【点睛】本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 9．若02a π<<，3sin()35πα-=，则sin α的值（ ）A ．B ．310C D ．310-【答案】B【解析】利用角的变换()33ππαα=--,代入两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 因为02a π<<，3sin()35πα-=， 所以032ππα<-<，故4cos()35πα-=，所以sin sin[()]sin cos()sin()cos 333333ππππππαααα=--=---431552=-⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正弦公式，属于中档题.10．已知正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =u u u v u u u v ，则EB EC ⋅=u u u v u u u v（） A ．13- B ．12-C ．23-D ．-1【答案】C【解析】化简2EB EC ED DB DC ⋅=+⋅u u ur u u u u u u v r u u u v u u u r ，分别计算3ED =，1DB DC ==，代入得到答案. 【详解】2EB EC ()()()ED DB ED DC ED ED DB DC DB DC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅u u u v u u u u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r v u u u r u u u r正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =u u u v u u u v13AD ED DB DC =⇒===222EB EC (133ED DB DC ⋅=+⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v故答案选C 【点睛】本题考查了向量的计算，将2EB EC ED DB DC ⋅=+⋅u u ur u u u u u u v r u u u v u u u r 是解题的关键，也可以建立直角坐标系解得答案.11．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0C ．[0，1]D ．[1【答案】D【解析】由题意，求213()22f x x x =-+的增区间，再求()13122f x y x x x==-+的减区间，从而求缓增区间. 【详解】 因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+， 令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=，由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为[1,3]， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目. 12．已知3()|sin |2f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q L ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=u u u u r u u u u rL ，则15n n ++L 的值为（ ）A ．1532B ．45C ．452D ．1534【答案】C【解析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴260A O C ︒∠=，32//A D A C Q ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥u u u u r u u u u r．则2222()cos 6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，1545352n n ++==L 答案选C 【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA u u u u r ，OD uuu r是关键二、填空题13．已知向量()2,1a =r ，(),2b x =-r ，若//a b r r ，则a b +=r r___________.【答案】()2,1--【解析】根据向量平行可得b r，由向量坐标运算即可求解.【详解】//a b r r Q ,2(2)x ∴⨯-=,解得4x =-，(4,2)b ∴=--r，(2,1)(4,2)(2,1)a b ∴+=+--=--r r，故答案为：()2,1-- 【点睛】本题主要考查了平行向量，向量的坐标运算，属于容易题. 14．若幂函数()f x 的图象过点()4,2，则()8f =______.【答案】【解析】设()af x x =，将点()4,2代入函数()y f x =的解析式，求出实数a 的值，即可求出()8f 的值. 【详解】设()a f x x =，则()442af ==，得12a =，()12f x x∴=，因此，()128822f ==.故答案为22. 【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.15．给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.【答案】2 【解析】【详解】12x y OA OC -=⋅u u u r u u u r 12x y OB OC -+=⋅u u u r u u u r 2()22cos ,x y OA OB OC OD OC OD OC +=+⋅=⋅=<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值为216．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，下列结论中： ①函数()f x 关于8x π=-对称；②函数()f x 关于(,0)8π对称；③函数()f x 在3(,)88ππ是增函数，④将2y x =的图象向右平移34π可得到()f x 的图象． 其中正确的结论序号为______ ． 【答案】①②③【解析】把()f x 化成()()sin f x A wx ϕ=+的型式即可。
2019-2020学年江苏省镇江市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）若集合{0A =，1}，集合{0B =，1}-，则(A B =U )A ．{0}B ．{0，1，1}-C ．{0，1，0，1}-D ．{1，1}-2．（5分）命题“x R ∀∈，20x x +>”的否定是( )A ．x R ∀∈，20x x +<B ．x R ∀∈，20x x +„C ．x R ∃∈，20x x +„D ．x R ∃∈，20x x +>3．（5分）若幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点(4,2)，则(α= )A ．12-B ．2-C ．2D ．12 4．（5分）设函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„，则1()(2f = ) A ．1- B ．1 C ．12- D ．2 5．（5分）求值tan(1140)(-︒= )A ．3B ．3C ．3-D ．3-6．（5分）已知方程8x e x =-的解0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则(k = )A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）函数(22)sin x x y x -=-在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）《九章算术）是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，间勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾（短直角边）BC 长5步，股（长直角边）AB 长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形(DEBF D ，E ，F 分别在边AC ，AB ，BC 上）边长为多少？在如图所示中，在求得正方形DEBF 的边长后，可进一步求得tan ACE ∠的值为( )A ．264229B ．144229C ．611D ．229144二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）若0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A ．22a b <B ．11a b >C ．122a b <<D ．a b ab +<10．（5分）在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．222y x x =++B ．1(0)y x x x -=+>C ．3sin y x =-D ．||1x y e =+ 11．（5分）使不等式110x +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x … C ．1x <-或1x > D ．10x -<<12．（5分）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有( )A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在降低D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）有一块半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形钢板，则该钢板的面积为 2cm ．14．（5分）函数2()||(1)f x x lg x =++为 （在“奇”、“偶”、“非奇非偶”中选一个填空）函数，值域为 ．15．（5分）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/)km s 和燃料的质量M （单位：)kg 、火箭（除燃料外）的质量m （单位：)kg 的函数关系是2000(1)M v ln m =+．已知该火箭的最大速度可达到10/km s ，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值为 ．16．（5分）已知x ，y 为正数，且1412x y+=+，则x y +的最小值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计82分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集为R ，设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()3||g x x =-B ．（1）求A B I 和R B ð；（2）若集合{|40}C x x p =+<，C A ⊆，求实数p 的取值范围．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，两锐角α，β的始边都为x 轴非负半轴，终边分别与单位圆O 交于A ，B 两点，若点A 的横坐标为72，点B 的纵坐标为10． （1）分别求sin α，tan β的值；（2）求2αβ+的值．19．（12分）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值． 20．（12分）某市将举办2020年新年大型花卉展览活动，举办方将建一块占地10000平方米的矩形展览场地ABCD ，设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米．场地中间设计三个矩形展览花圃①，②，③，其中花圃②与③是全等的矩形，每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径．其中①号花圃的一边长度为25米，如图所示．设三个花圃占地总面积为S 平方米，矩形展览场地的BC 长为x 米．（1）试将S 表示为x 的函数，并写出定义域；（2）问应该如何设计矩形场地的边长，使花圃占地总面积S 取得最大值．21．（12分）已知函数2()6(f x x ax a =--为常数，)a R ∈．给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3x g x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =．（1）当5a =时，求不等式2(())0f g x …的解集；（2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数（不需写出选择过程和理由），该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x „的解集为[s ，]t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >．对选择的()g x 和任意[2x ∈，4]，不等式(())0f g x „恒成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数1()1x f x x-=+． （1）证明函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数；（2）求函数(tan )y lnf x =的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在(4x π∈，)2π，使得不等式(tan )tan 0f x a x +„能成立，试求实数a 的取值范围．2019-2020学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）若集合{0A =，1}，集合{0B =，1}-，则(A B =U )A ．{0}B ．{0，1，1}-C ．{0，1，0，1}-D ．{1，1}-【解答】解：Q 集合{0A =，1}，集合{0B =，1}-，{0A B ∴=U ，1，1}-．故选：B ．2．（5分）命题“x R ∀∈，20x x +>”的否定是( )A ．x R ∀∈，20x x +<B ．x R ∀∈，20x x +„C ．x R ∃∈，20x x +„D ．x R ∃∈，20x x +>【解答】解：Q 原命题“x R ∀∈，都有20x x +>”∴命题“x R ∀∈，都有20x x +>”的否定是：0x R ∃∈，有2000x x +„故选：C ．3．（5分）若幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点(4,2)，则(α= )A ．12-B ．2-C ．2D ．12【解答】解：幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点(4,2)，则42α=，解得12α=． 故选：D ．4．（5分）设函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„，则1()(2f = ) A ．1- B ．1 C ．12- D【解答】解：Q 函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„，∴211()122f log ==-， 故1()12f =-． 故选：A ．5．（5分）求值tan(1140)(-︒= )A ．3B ．3C ．3-D ．3-【解答】解：tan(1140)tan1140tan(618060)tan 603-︒=-︒=-⨯︒+︒=-︒=-．故选：D ．6．（5分）已知方程8x e x =-的解0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则(k = )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由方程8x e x =-可得80x e x +-=，令()8x f x e x =+-，f Q （1）1870e e =+-=-<，f （2）222860e e =+-=->，所以函数的零点d 的存在性定理可得，函数的零点在区间(1,2)上，由题意可知1k =， 故选：B ．7．（5分）函数(22)sin x x y x -=-在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：()(22)sin()(22)sin ()x x x x f x x x f x ---=--=-=，则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，当0x π<<时，()0f x >，排除D ，当02x π<<时，()f x 为增函数，排除C ，故选：A ．8．（5分）《九章算术）是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，间勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾（短直角边）BC 长5步，股（长直角边）AB 长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形(DEBF D ，E ，F 分别在边AC ，AB ，BC 上）边长为多少？在如图所示中，在求得正方形DEBF 的边长后，可进一步求得tan ACE ∠的值为( )A ．264229B ．144229C ．611D ．229144【解答】解：设正方形DEBF 边长为x ，则DE DF BF BE x ====，5CF x =-，12AE x =-， 2111(12)(5)51230222ABC ADE CDF DEBF S S S S x x x x x ∆∆∆∴=++=-+-+=⨯⨯=． ∴6017x =． 由12tan 5ACB ∠=，12tan 17BE BCE BC ∠==， 得121214414451785tan tan()1212229229151785ACE ACB BCE -∠=∠-∠===+g ． 故选：B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）若0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A ．22a b <B ．11a b >C ．122a b <<D ．a b ab +<【解答】解：0a b <<，则下列不等式中：22a b <不正确；11a b>正确；122a b <<不正确；0a b ab +<<正确．因此BD 正确．故选：BD ．10．（5分）在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．222y x x =++B ．1(0)y x x x -=+>C ．3sin y x =-D ．||1x y e =+【解答】解：对于A ，2222(1)1y x x x =++=++，故其最小值为1；对于B ，当0x >时，12y x x -=+…，当且仅当1x =时取等号，故其最小值为2； 对于C ，因为sin [1x ∈-，1]，所以3sin [2y x =-∈，4]，故其最小值为2； 对于D ，因为||[1x e ∈，)+∞，所以||1[2x y e =+∈，)+∞，故其最小值2， 故选：BCD ．11．（5分）使不等式110x +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x >B ．0x …C ．1x <-或1x >D ．10x -<< 【解答】解：不等式110x +>，即10x x +>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <-． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <-，或1x >． 故选：AC ．12．（5分）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有( )A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在降低D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米【解答】解：由图形知，可以以点O 在地面上的垂足为原点，OP 所在直线为y 轴，与OP 垂直的向右的方向为x 轴建立坐标系，设sin()y A x k ωϕ=++，x 表示时间．由题意可得：40A =，45k =，(2P π-，85)， 6T =，可得263ππω==， 故有点P 离地面的高度40sin()4540cos 45323h x x πππ=++=+． A ．经过3分钟，40cos 3)4553h π=⨯+=．点P 首次到达最低点，正确．B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面的高度分别为：h （4）40cos(4)45253π=⨯+=，h （8）40cos(8)45253π=⨯+=． ∴第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高．正确． C ．从第7分钟至第9分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在降低， 而从第9分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度开始上升．D ．由40cos 45653x π+=，化为：1cos 32x π=，取33x ππ=，可得1x =． 结合图形可得：摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米．因此正确． 综上可得：ABD 正确．故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）有一块半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形钢板，则该钢板的面积为 300π 2cm ．【解答】解：钢板的面积22212030300360360n R S cm πππ⨯⨯===． 故答案为：300π．14．（5分）函数2()||(1)f x x lg x =++为 偶 （在“奇”、“偶”、“非奇非偶”中选一个填空）函数，值域为 ．【解答】解：根据题意，2()||(1)f x x lg x =++，其定义域为R ，且2()||(1)()f x x lg x f x -=++=，即()f x 为偶函数；又由||0x …，且2(1)10lg x lg +=…，则有()0f x …，故()f x 的值域为[0，)+∞；故答案为：偶，[0，)+∞15．（5分）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/)km s 和燃料的质量M （单位：)kg 、火箭（除燃料外）的质量m （单位：)kg 的函数关系是2000(1)M v ln m =+．已知该火箭的最大速度可达到10/km s ，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值为 12001e - ．【解答】解：由题意可得：2000(1)10M v ln m =+=．解得：12001M e m+=， 解得：12001M e m=-， 故答案为：12001e -．16．（5分）已知x ，y 为正数，且1412x y+=+，则x y +的最小值为 7 ． 【解答】解：因为1412x y +=+， 则144(2)22[(2)]()2334722y x x y x y x y x y x y++=++-=+++-=+++=++…． 故答案为：7 四、解答题（本大题共6小题，共计82分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集为R ，设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =B ．（1）求A B I 和R B ð；（2）若集合{|40}C x x p =+<，C A ⊆，求实数p 的取值范围．【解答】解：（1）解220x x -->得，1x <-或2x >，{|1A x x ∴=<-或2}x >，解3||0x -…得，33x -剟，{|33}B x x ∴=-剟，{|31A B x x ∴=-<-I „或23}x <„，{|3R B x x =<-ð或3}x >；（2）Q {|},4p C x x C A =<-⊆， ∴14p --„，解得4p …， p ∴的取值范围是[4，)+∞．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，两锐角α，β的始边都为x 轴非负半轴，终边分别与单位圆O 交于A ，B 两点，若点A ，点B ． （1）分别求sin α，tan β的值；（2）求2αβ+的值．【解答】解：（1）由题可知：72(A 2，310(B 10 2sin 10α∴=，1tan 3β=， （2）由题意得：1tan 7α=；22122tan 33tan 201141()3tan βββ⨯===>--，所以β也为锐角； 13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯． 又αQ ，2β是锐角，02αβπ∴<+<，24παβ∴+=．19．（12分）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【解答】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-Q22sin 23sin cos 1x x x =+-3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-， 22T ππ∴==， 令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈Q ，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π； ∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-， 当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．20．（12分）某市将举办2020年新年大型花卉展览活动，举办方将建一块占地10000平方米的矩形展览场地ABCD ，设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米．场地中间设计三个矩形展览花圃①，②，③，其中花圃②与③是全等的矩形，每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径．其中①号花圃的一边长度为25米，如图所示．设三个花圃占地总面积为S 平方米，矩形展览场地的BC 长为x 米．（1）试将S 表示为x 的函数，并写出定义域；（2）问应该如何设计矩形场地的边长，使花圃占地总面积S 取得最大值．【解答】解：（1）100001000010000532552(1525)531035015()S x x x x=-⨯-⨯⨯---⨯⨯=-+，[50x ∈，200]．（2）10000103501527350S x x-⨯g „，当且仅当100x =时取等号． 应该设计矩形场地的边长分别为100，100时，使花圃占地总面积S 取得最大值．21．（12分）已知函数2()6(f x x ax a =--为常数，)a R ∈．给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3x g x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =．（1）当5a =时，求不等式2(())0f g x …的解集；（2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数（不需写出选择过程和理由），该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x „的解集为[s ，]t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >．对选择的()g x 和任意[2x ∈，4]，不等式(())0f g x „恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当5a =时，2()560f x x x =--…，解得6x …，或1x -„．由不等式2(())0f g x …，可得：2()36x g x =…，2()31x g x =-„， 由36x …，解得33log 61log 2x =+…．由2()31x g x =-„，无解．∴不等式2(())0f g x …的解集为：3[1log 2+，)+∞．（2）令4()cos [1t g x x ==∈-，1]． 函数2224(())6()624a a y f g x t at t ==--=---． 分类讨论：[12a ∈-，1]时，4(())f g x 的最小值为：264a --． 1]2a <-时，4(())f g x 的最小值(1)5f a =-=-． 12a >时，4(())f g x 的最小值f =（1）5a =--． （3）32()()log g x g x x ==，[2x ∈，4]，可得()[1g x ∈，2]．转换为：)[1t ∈，2]．260t at --„，Q 任意[2x ∈，4]，不等式(())0f g x „恒成立，可得：160a --„，4260a --„，解得：1a …． ∴实数a 的取值范围是[1，)+∞．22．（12分）已知函数1()1x f x x-=+． （1）证明函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数；（2）求函数(tan )y lnf x =的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在(4x π∈，)2π，使得不等式(tan )tan 0f x a x +„能成立，试求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）证明：任取111x x -<<，则110x +>，210x +>，12121212121211()()1120(1)(1)x x f x f x x x x x x x x x ----++-==<--++， 故()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）由题意可得，1241tan (tan )01tan x k x k x f x x ππππ⎧≠+⎪⎪⎪≠-+⎨⎪-⎪=>⎪+⎩，k z ∈， 解可得，44k x k ππππ-+<<+，故x 的范围(,)44k k ππππ-++，k z ∈， 因为1tan 1tan ((tan())((tan ))1tan 1tan x x ln f x ln ln f x x x+--==-=--+，故为奇函数， （3）由(,)42x ππ∈可得tan 1x >，设tan t x =， 故原题可转化为存在1t >，使得101t at t -++„， 因为1t >，所以21331t t -++-…，即2113222211a t t t t t =-+-+++--剟，当且仅当1t 时取等号， 故a 的取值范围为(-∞，3-．。
(3份试卷汇总)2019-2020学年江苏省镇江市高一数学下学期期末经典试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( )A ．①随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法2．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，则|2|a b -=（ ）A ．12B ．22C ．23D ．83．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．7616π+B ．6012π+C ．4416π+D ．4412π+4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ）A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里5．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A 3B 3C ．34D ．326．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）人数据甲乙 丙 丁平均数x 8.6 8.9 8.9 8.2方差2s 3.5 3.5 2.1 5.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知::2:3:4a b c =，则ABC ∆最大角的余弦值是( ) A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 8．函数x y x x=+的图象是（ ） A ． B ． C ．D ．9．若0,0x y >>，且211x y +=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-10．已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ,在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直11．函数321x y x -=-的图像与函数cos 1y x =+，()x ππ-≤≤的图像的交点个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A 6B 3C ．22D 6二、填空题：本题共4小题13．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是_____.14．函数33()sin log2f x x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的零点个数为__________．15．如图，点M为正方形边ABCD上异于点,C D的动点，将ADM∆沿AM翻折成PAM∆，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是__________.(填序号)（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行.（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM16．数列{}n a的前n项和为n S，11a=，*12()n na S n+=∈N，则4a=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末考试数学试题与答案
扬州市2019—2020学年度第一学期期末调研试题高 一 数 学2020.1（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效．一、选择题（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 4 2. 与角330-o 终边相同的最小正角是（ ）A ．30-oB ．330oC ．30oD ． 60o3. 若)11fx =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ． 10 4. 已知幂函数()()23mf x m x-=-在()0,+∞为单调增函数，则实数m 的值为（ ）A ．2± C ．2 D ． 2- 5. 若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A ．B ．CD 6. 已知0.6 1.21.2log 0.6, 1.2,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ． c b a << 7. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8.已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()21f x x mx =++，且()12f =-，则实数m 的值为（ ）A ．4-B ．0C ．4D ．29.1cos80cos10-o o的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．810. 已知函数0()(2)20x x f x f x x ⎧≤=⎨-+>⎩2， ，，则()2log 12f 的值为（ ）A ．12B ．5C ．194D ．11411. 在平行四边形ABCD中，AB =2AD =，135A ∠=︒，,E F 分别是,AB AD上的点，且AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD μ=u u u r u u u r，（其中,(0,1)λμ∈），且41λμ+=.若线段EF 的中点为M ，则当||MC u u u u r 取最小值时，μλ的值为（ ）A ．36B ．37C ．38D ．3912．已知函数()cos([])2f x x π=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是（ ）①函数1()2y f x =+为偶函数； ②()f x 的值域为[]1,1-；③()f x 为周期函数，且周期4T =； ④()f x 与7|1og |l y x =-的图象恰有一个公共点．A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）13.设12,e e u r u u r是平面内的一组基底，若,,A B C 三点共线，且()121232,12AB e e BC e me m R =-=+∈u u u r r r u u u r r r，则实数m 的值为 ．14.若()21544tan ,tan παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则4tan πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 15. 已知物体初始温度是0T ,经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2ktT T T T αα-=+-g ，（T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90Co 的热水，在10C o 室温下，温度降到50C o 需要30分钟，那么降温到20C o 时，需要分钟.16. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=．且当01x ≤≤时，()3log ()f x a x =-．若对于任意[1,0]x ∈-，都有321()1log 35f x tx --≥-，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6道题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为集合A ，函数()()024.g x log x =-的定义域为集合B ，全集U R =．（1）若1a =，求A B I ； （2）若U A B ⊆ð，求a 的取值范围． 18．（本小题满分12分） 已知角α的终边过点()34P ,-.（1）求()()tan 2sin 7cos 2απαα-π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭的值；（2）若β为第二象限角，且4sin 5β=，求()cos αβ+的值. 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(5,4)B -，(1,1)C -． （1）分别求出以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长； （2）是否存在实数t ，使得向量AC tOB -u u u r u u u r与向量垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当[]0,2x π∈时，函数()g x 的单调递增区间；（3）若将函数()f x 图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到()y k x =的图象. 若()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值. 21．（本小题满分12分） 已知函数()()22x x af x a R =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()2110f x f x ++-<； （3）设()()sin 2g x f x =，当,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的最小值为2，求θ的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t 的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．2019—2020学年度第一学期期末检测试题高 一 数 学 参 考 答 案一、选择题1~5 DCBDD 6~10 ACBBC 11~12 BC 二、填空题13. 8-； 14. 322； 15．90； 16．7[,1]3-． 三、解答题17. 解：由函数sin y x =的值域为[1,1]-，得函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为[1,1]A a a =-+ ……2分又由40102x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得142x ≤<，即1[,4)2B = …4分 （1）当1a =时，[0,2]A =，所以1[,2]2A B =I ； …6分（2）因为U R =，所以1(,)[4,)2UB =-∞+∞U ð 由UA B ⊆ð，得112a +<，或14a -≥， ……8分 解得12a <-，或5a ≥所以a 的取值范围为1(,)[5,)2-∞-+∞U …………………10分18．解：（1）因为角α的终边经过点(3,4)P -，所以5r OP ===由三角函数定义可知，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α== ………………2分所以sin tan(2)15cos sin sin 2cos 6sin(7)cos()2ααπαπαααπαα-===+-+-；……………………6分 （2）因为4sin 5β=，所以22249cos 1sin 1()525ββ=-=-=由β是第二象限角，知cos 0β<，所以3cos 5β=- ……………9分由（1）知，sin 54α=-，3cos 5α=所以()33447cos cos cos sin sin 555525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……12分19．解：（1）(4,2)AB =-u u u r ，(2,3)AC =-u u u r ，…………………2分 由(2,1)AB AC +=--u u u r u u u r，得5||=+，…………4分由(6,5)AB AC -=-u u u r u u u r ，得||AB AC -=u u u r u u u r故以线段AC AB ,……7分（2）(5,4)OB =-u u u r ，由向量AC tOB -u u u r u u u r与向量垂直，得()0AC tOB OB -⋅=u u u r u u u r u u u r，又因为()()()325,34AC tOB t t t -=--=+--u u u r u u u r2，-5，4， ………9分 所以()()()2553440t t +⨯-+--⨯=， 所以2241t =-. ………………12分 20．解（1）表格中①填:_____712π_____， ()f x 的解析式为:()f x =_____2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭………4分 （2）()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-≤-≤+222,33k x k k z ππππ∴-≤≤+∈ ……………………6分 []0,2x π∈Q 20,3x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即()g x 的单调递增区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………8分 注：若学生写成20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦U 5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，建议扣1分. （3）()()2sin 226k x f x x πθθ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， Q ()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭2sin 2066k ππθ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,6k k z πθπ∴-=∈ 即,212k k z πθπ=-+∈ ……………10分 min 12πθ∴=……………………12分21．解：（1）()f x Q 为定义在[]1,1-上奇函数， ()()f x f x ∴-=-在[]1,1-上恒成立，2222x x x x a a--⎛⎫∴+=-+ ⎪⎝⎭， ()12102x x a ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭在[]1,1-上恒成立，等价于10a +=，即1a =-； ……3分（2）()122xxf x =-，任取1211x x -≤<≤，()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭ ()1212211211122221222x x x x x x x x +⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1211x x -≤<≤Q1222x x ∴< ()()12f x f x ∴< 即()f x 在[]1,1-上为单调递增函数， ……5分Q ()f x 为奇函数，∴ ()()2110f x f x ++-<等价于()()211f x f x +<-， Q ()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，21111x x ∴-≤+<-≤，)1x ⎡∴∈-⎣ …………………7分（3）解：()()sin 2sin 21sin 222xxg x f x ==-令sin 2x t =()122tth t ∴=-由()1222tt h t =-=解得2t =或22t=-（舍去），12t ∴= ………9分即1sin 22x =,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 2,26x πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 1sin 62π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ∴由三角函数图像可知5266ππθ<≤，即51212ππθ<≤. ………12分22．解：（1）因为()f x 在区间[1,1]-上不单调，则111a -<+<，解得20a -<<即a 的取值范围(2,0)-； ……2分（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||g x x ax a f x x x ax a x a x a x =---⋅=----+-+⋅(21)||x x =-函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，等价于对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立，（*）当12t ≤时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与（*）式矛盾，不合题意 当12t >时，由[,1]x t ∈可知，210x ->，||0x >，所以()0g x >恒成立，即（*）成立又在区间[,1]t 上实数t 必须满足1t <综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2； ……5分（3）令2(=()|2|h xf x x x ++） 方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根 等价于函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点因为222(2)1,10(=()|2|221, 02a x a x h x f x x x x ax a x -+-+-<<⎧++=⎨--+≤<⎩）且()h x 在0x =处图象不间断当2a =-时，23, 10()=243, 02x h x x x x -<<⎧⎨++≤<⎩无零点； ……6分当2a ≠-时，由于()2(2)1h x a x a =-+-+在(1,0)-单调，∴在(1,0)-内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12,x x ，并且12x x <若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26, 10()22,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点有以下两种情形：①若110x -<<，202x <<，则15(1)(0)0(1)(5)0919(0)(2)0(1)(95)0515a a h h a a a h h a a a ><-⎧-⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<--<<<⎩⎩⎪⎩或.………9分②若1202x x <<<，则248(1)01104 022111(0)09(2)05(1)(0)051a a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧∆=--><->⎪⎪<<⎪⎪<<⎪⎪<⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪->-<<⎩⎩． ……11分 综合①②得，实数a的取值范围是91,)5. ……12分。
江苏省镇江市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析
【详解】（1）花圃①的另一条边的长为 ,
花圃②与③一边 长为 ，另一条边的长为 ，
【详解】
以 为原点,过 且平行于地面的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 为摩天轮， 为圆上的动点，设 到地面的高为 .
由题设有 ,
故 ，其中 .
对于A,令 ，则 ，解得 ，
故点P首次到达最低点所需的时间为 分钟,故A正确.
对于B，当 时， ，当 时， ，
因为 ，故 ，故B正确。
对于C,当 ， ，
【详解】 ,
由基本不等式有 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 即 的最小值为 。
故答案为： 。
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构。求最值时要关注取等条件的验证。
四､解答题
17.已知全集为R，设函数 的定义域为集合A，函数 的定义域为集合B。
三､填空题
13.有一块半径为30cm,圆心角为 的扇形钢板,则该钢板的面积为________cm2。
【答案】
【解析】
【分析】
求出圆心角的弧度数后利用公式可求扇形的面积.
【详解】因为圆心角为 ，故其弧度数为 ，
所以扇形的面积为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查扇形的面积计算，扇形的面积公式有两个，注意根据题设条件合理选取，还要注意角的大小为弧度数，不是角度，本题属于基础题。
6.已知方程 的解在 内，则 ( )
A。 0B. 1C。 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用零点存在定理可求 的值.
江苏省镇江市云阳中学2019-2020学年高一数学理联考试题含解析
江苏省镇江市云阳中学2019-2020学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合，，则▲．参考答案：略2. 下列图形中，不可作为函数图象的是( )参考答案：C略3. （5分）已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A．2cm B．C．4cm D．8cm参考答案：C考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题．分析：由铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，我们易求出铜块的体积，我们设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，我们易根据熔化前后体积相等，易构造一个关于a的方程，解方程即可示出所铸成的铜块的棱长．解答：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3=64解得a=4cm故选C点评：本题考查的知识点组合几何体的面积与体积问题，熔化前后体积相等，是解答本题的关键．4. 设向量，，若，则x=（）A. B. -1 C. D.参考答案：C【分析】根据即可得出，解出即可．【详解】．故选：【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定参考答案：C略6. 下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若和都是单位向量，则D. 两个相等向量的模相等参考答案：D7. 有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒（）A．21 B．24 C．27 D．30参考答案：C略8. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的函数的零点的公式，可得零点，利用奇函数的性质求出．当x≤0时的零点，求出不等式的解集，然后推出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，函数的对称轴为：x=1，开口向上，x2﹣2x﹣3=0解得x=3，x=﹣1（舍去）．当x≤0时，函数的开口向下，对称轴为：x=﹣1，f（x）=0，解得x=﹣3，x=1（舍去），函数是奇函数，可得x=0，当x≤0时，不等式f（x）≥0，不等式的解集为：[﹣3，0]．当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为：4．故选：A．9. 若幂函数在上是增函数，则A．>0 B．<0 C．=0 D．不能确定参考答案：A10. 下列说法正确的是（）A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B．函数的定义域和值域可以是空集C．函数的定义域和值域一定是数集D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了参考答案：A【分析】利用函数的定义知：要求定义域中的元素在值域中有唯一的元素与之对应，定义域、值域是非空的，函数的定义域和值域相同的两个函数，不一定是同一函数，从而判定结论的真假．【解答】解：由函数的定义：设A，B是非空数集，若存在法则f：对于A中的每一个x都有B中唯一确定的y与之对应，称f：A→B的函数．函数的值域中的每一个数可以有定义域中多个的自变量与其对应所以B，C错，A正确．函数的定义域和值域相同的两个函数，不一定是同一函数，故函数的对应关系也就不确定，故D错．故选：A【点评】本题主要考查函数的定义；函数的三要素：定义域、值域、对应法则，同时考查了分析问题的能力，属于易错题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是等差数列{}的前项和，若则的最大值是参考答案：9略12. 函数y=e2x﹣1的零点是．参考答案：【考点】函数的零点．【分析】令y=0，求出x的值，即函的零点即可．【解答】解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，故答案为：0．13. 若，则的最大值是。
江苏省镇江市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ）A ．若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；C ．若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；D ．当22(0)()02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．2．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭3．函数5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nD ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β5．ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()a c b a b c ab -+++=，则角C 的大小是（ ） A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π 6．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-A ．高一学生被抽到的可能性最大B ．高二学生被抽到的可能性最大C ．高三学生被抽到的可能性最大D ．每位学生被抽到的可能性相等8．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥B ．若m αγ=，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥9．为研究需要，统计了两个变量x ，y 的数据·情况如下表:x1x 2x 3xn xy1y 2y3yn y其中数据x 1、x 2、x 3…x n ，和数据y 1、y 2、y 3，…y n 的平均数分别为x 和y ，并且计算相关系数r ＝-1.8，回归方程为y b x a ∧∧∧=+，有如下几个结论：①点(x ，y )必在回归直线上，即y ＝b x +a ∧；②变量x ，y 的相关性强； ③当x ＝x 1，则必有1y y ∧=；④b ＜1．其中正确的结论个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．410．在中，角对应的边分别是，已知，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．412．下列命题中正确的是（ ）A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 二、填空题：本题共4小题13．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r ，则r =______.（精确到0.1%）（参考数据1102 1.072≈）14．已知变量,x y 之间满足线性相关关系 1.31y x =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：m =_____.x1 2 3 4 y0.1 m3.1415．在数列中，，则.16．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
镇江市2019.10.9月考高一数学参考答案及评分标准
高一数学参考答案及评分标准2019.10.10一．填空题二．解答题：15.解：（1）2{|540,A x x x x =-+≤∈Z }{1,2,3,4}=. …… 3分 则{1,2,4}A B =I ； …… 6分（2）{1,2,3,4,5}A B =U ， …… 9分 则)(B A C U ⋃{1,0,6,7}=-. …… 12分 16.解：解： p 的真值集合为(1,2]P =-,……3分q 的真值集合为[1,1]Q m m =-+,……6分由p 是q 的充分不必要条件，P ∴是Q 的真子集……9分1112m m -≤-⎧∴⎨+≥⎩，解得m ≥2. ……12分17.解：由4)(≥x f 得：0)1(2≥--+m x m x ，即0)1)((≥+-x m x .……4分 则对应方程的根为m x =1，或12-=x . ……5分①当1->m 时，不等式解集为(,1][,)m -∞-+∞U ； ②当1-=m 时，不等式解集为R ；③当1-<m 时，不等式解集为(,][1,)m -∞-+∞U .……11分综上：①当1->m 时，不等式解集为(,1][,)m -∞-+∞U ； ②当1-=m 时，不等式解集为R ；③当1-<m 时，不等式解集为(,][1,)m -∞-+∞U .……14分18.解：（1）集合{}22(32)0A x x mx m =-+-=中有两个不同元素1x ，2x ，则方程22(32)0x mx m -+-=有两个不等的实数根， …… 2分 则2(2)4(32)0m m ∆=-->，则2320m m -+>，即(1)(2)0m m -->， …… 5分 故1m <或2m >； …… 7分 （2）方程22(32)0x mx m -+-=的两根为1x ，2x ，则1212232x x m x x m +=⎧⎨=-⎩， …… 10分故2222121212()242(32)x x x x x x m m +=+-=--2464,(,1)(2,)m m m =-+∈-∞⋃+∞ …… 12分2374()44m =-+7[,)4∈+∞. …… 14分19.解： (1）设该厂的月获利为y 元,依题意得(160020)(5000300)y x x x =--+22013005000x x =-+-， …… 4分若13000y ≥，则2201300500013000x x -+-≥ …… 6分 解之得：2045x ≤≤， …… 7分 (2）由(1）知(160020)(5000300)y x x x =--+ 22013005000x x =-+-26520()161252x =--+，2045x ≤≤ …… 10分 ∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为16125元， …… 12分 答：当月产量满足2045x ≤≤时，每月获得的利润不少于13000元，当每月产量为32件或33件时，可获得最大利润16125元. …… 14分20.解：（1）二次函数()f x 满足()()123f x f x x +-=-， 可设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22(1)()(1)(1)()f x f x a x b x c ax bx c +-=++++-++223ax a b x =++=- …… 3分 故223a a b =⎧⎨+=-⎩，解之得：1,4a b ==-，又(0)1f =-，则1c =-，故2()41f x x x =--； …… 5分 （2）222()()(42)21h x f x m x m x mx m =+-+=-+- 2()1x m =--函数的对称轴为x m =， …… 7分① 若1m ≤-，则2min ()(1)(1)10h x h m =-=---=，则2m =-或0m =，显然2m =-； ② 若11m -<<，则min ()()10h x h m ==-≠，此时m 无解；③ 若1m ≥，则2min ()(1)(1)10h x h m ==--=，则2m =或0m =，显然2m =；综上：2m =-或2m =. …… 10分 （3）当}11{≤≤-∈x x x ,不等式()8h x <恒成立，法一：()8h x <，则2()18x m --<，则33m x m -<<+， …… 12分 由题意：)3,3(}11{+-⊆≤≤-m m x x ，故3131m m -<-⎧⎨+>⎩， ……13分故22m -<<. …… 14分法二：222()()(42)21h x f x m x m x mx m =+-+=-+-2()1x m =--由二次函数的保号性可得：(1)8(1)8h h -<⎧⎨<⎩， …… 11分则22(1)18(1)18m m ⎧---<⎨--<⎩， …… 12分 解之得：313313m m -<+<⎧⎨-<-<⎩，则22m -<<. …… 13分综上：当}11{≤≤-∈x x x ,不等式()8h x <恒成立，22m -<<. …… 14分。
江苏省镇江市2019-2020学年高一下学期期末数学试题解析版
2019-2020学年江苏省镇江市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1. 已知a R ∈，复数()12z a i i i=++（i 为虚数单位）为实数，则a =（ ） A. 1B. 1-C. 2D. 2-2. 已知直线l经过(2,1),1)A B --两点，则直线l 的倾斜角是( ) A. 30B. 60︒C. 120︒D. 150︒3. 已知(3,2),(2,3),(4,5)A B C -，则△ABC 的BC 边上的中线所在的直线方程为( ) A. 10x y ++= B. 10x y +-= C. 50x y +-=D. 50x y --=4. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过点()4,0-，则实数a值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB 的长度，工程人员测得隧道两端的A ，B 两点到C 点的距离分别为3km AC =，4km BC =，且60ACB ∠=︒，则隧道AB 长度为（ ）A.B.C.D. 6. 在ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且3BC BE =，则DE =（ ） A.5263AC AB + B. 1263AC AB -+ C.56AC AB + D. 5463AC AB -+ 7. 已知椭圆22:1169x y C +=左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4D. 2的8. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2e =，过点()1,2Q -的直线1与椭圆相交于A ，B 两点，若点Q 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A. 2或18B. 2或8C.12或18D.12或8 二、多选题9. 已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（ ） A. //a b B. ()a b c +⊥ C. a b c +=D. 53c a b =+10. 点P 在圆1C ：221x y +=上，点Q 在圆2C ：2286210x y x y +--+=上，则（ ） A. PQ 的最小值为1 B. PQ 的最小值为2 C. 两个圆心所在的直线斜率为34D. 两个圆的圆心所在的直线斜率为4311. 已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A. 2ωω=B. 31ω=-C. 210ωω++=D. ωω>12. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，4ABC S =△，且b =则（ ）A. 1cos 2B =B. cos B =C. a c +=D. a c +=三、填空题13. 已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______. 14. 已知直线1l ：0x y a ++=与直线2l ：0x y +=之间的距离为2，则实数a 的值为______.15. 圆()()22124x y ++-=关于直线1x =对称的圆的标准方程为______.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且满足2sin 22os 3c =A A ，sin()4cos sinB C B C-=，则bc=__________．四、解答题17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①1 cos cos sin sin2 b A C a B C b=-；②1sin cos sin2cos2b B Cc B B+=；③cos2cosb Aa cB+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知D是BC上的一点，2BC BD AB=>，AD=6AB=，若_______，求ACD△的面积.18. 在直角坐标系中，已知四边形ABCD的三个顶点分别为()5,1A-，()1,1B，()2,3C.（1）证明：AB BC⊥；（2）若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标以及直线AD的方程.19. 已知向量()1,3a =，()1,3b=-，(),2cλ=.（1）若3a mb c=+，求实数m，λ的值；（2）若()()2a b b c+⊥-，求a与2b c+的夹角θ的余弦值.20. 已知椭圆M与椭圆22:195x yN+=有相同的焦点，且椭圆M过点()0,2.（1）求M长轴长；（2）设直线2y x=+与M交于,A B两点（A在B的右侧），O为原点，求·OAOB.21. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与y轴相切，点()2,4P在圆C上.（1）求圆C的方程；（2）若直线l：()140m x y m++++=与圆C交于A，B两点，且8AB=，求实数m的值.22. 如图，O为坐标原点，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>右顶点和上顶点分别为A，B，3OA OB+=，OAB的面积为1．的（1）求C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的两点，且//MN AB ，记直线BM ，AN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，证明：12k k ⋅为定值．2019-2020学年江苏省镇江市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1. 已知a R ∈，复数()12z a i i i=++（i 为虚数单位）为实数，则a =（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】求出()()1221z a i i a i i=++=-+-，再由z 是实数，能求出a . 【详解】解：∵()12z a i i i=++（i 为虚数单位）为实数，()()2212221iz a i i ai i a i i i=++=++=-+-，∴10a -=，解得1a =. 故选：A .【点睛】本题考查实数值的求法，考查复数定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2. 已知直线l 经过(2,1),1)A B --两点，则直线l 的倾斜角是( ) A. 30 B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】A【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角．【详解】由题意直线的斜率为1(1)1(2)3k --==--，∴倾斜角为30． 故选：A ．【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角． 3. 已知(3,2),(2,3),(4,5)A B C -，则△ABC 的BC 边上的中线所在的直线方程为( ) A. 10x y ++= B. 10x y +-= C. 50x y +-= D. 50x y --=【答案】C 【解析】 【分析】求出BC 中点坐标，由两点式写出直线方程，再化为一般式． 【详解】由题意边BC 的中点为(1,4)D ，∴中线AD 方程为234213y x --=--，整理得50x y +-=． 故选：C ．【点睛】本题考查求直线方程，直线方程有多种形式，可根据条件用相应形式写出直线方程，然后整理为一般式．4. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过点()4,0-，则实数a 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆过的点的坐标代入可得a 的值． 【详解】解：因为椭圆过()4,0-，所以2161a =，0a >，所以4a =， 故选：B .【点睛】本题考查椭圆的性质，属于基础题．5. 如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB 的长度，工程人员测得隧道两端的A ，B 两点到C 点的距离分别为3km AC =，4km BC =，且60ACB ∠=︒，则隧道AB 长度为（ ）A.C.【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理，不难求出AB 的长，即隧道的长. 【详解】解：在ABC 中，由已知得3km AC =，4km BC =，且60ACB ∠=︒， 故2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠2234234cos60=+-⨯⨯︒13=，故AB =故选：D .【点睛】本题考查余弦定理在实际问题中的应用，属于基础题．6. 在ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且3BC BE =，则DE =（ ） A.5263AC AB + B. 1263AC AB -+ C.56AC AB + D. 5463AC AB -+ 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平面向量的线性运算以及三角形法则求解即可. 【详解】如图所示：∵在ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且3BC BE =， 则12DE DA AE AC AB BE =+=-++， ()11112323AC AB BC AC AB AC AB =-++=-++-1263AC AB =-+故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理的应用，属于基础题.7. 已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【答案】B 【解析】试题分析：因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =，故选B. 考点：椭圆的性质.8. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为e =()1,2Q -的直线1与椭圆相交于A ，B 两点，若点Q 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A. 2或18B. 2或8C.12或18D.12或8 【答案】A 【解析】【分析】由题意的离心率及a ，b ，c 之间的关系可得a ，b 的关系，设A ，B 的坐标，由题意可得A ，B 的坐标的关系，分焦点在x ，y 轴两种情况讨论，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，作差求出AB 的斜率的表达式，将坐标的关系代入求出斜率的值.【详解】解：由题意可得2c e a ==，所以2234c a =，由a ，b ，c 之间的关系可得22314b a -=，所以2214b a =，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得1212x x +=，1222y y +=-， 因为A ，B 在椭圆上，当焦点在x 轴上时，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b --+=， 所以2121221212111428y y b x x x x a y y -+=-⋅=-⋅=-+-； 当焦点在y 轴上时，则22112222222211y x a by x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可得2222121222y y x x a b --=-， 所以21212212121422y y x x a x x b y y -+=-⋅=-⋅=-+-， 综上所述直线l 的斜率为：2或18， 故选：A .【点睛】本题考查求椭圆的方程及由中点坐标作差求直线斜率的方法，属于中档题．二、多选题9. 已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（ ） A. //a b B. ()a b c +⊥ C. a b c += D. 53c a b =+【答案】BD 【解析】 【分析】直接计算各向量的坐标，根据向量平行、垂直、相等的概念进行验证即可． 【详解】由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠，A 错；()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.B 正确，C 错误；53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==，D 正确．故选：BD【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行，垂直的坐标表示，考查运算求解能力． 10. 点P 在圆1C ：221x y +=上，点Q 在圆2C ：2286210x y x y +--+=上，则（ ） A. PQ 的最小值为1 B. PQ 的最小值为2 C. 两个圆心所在的直线斜率为34D. 两个圆的圆心所在的直线斜率为43【答案】BC 【解析】 【分析】根据配方法将圆2C 化为标准方程，并写出两圆的圆心坐标和半径.当1C 、P 、Q 和2C 按照该顺序四点共线时，PQ 取得最小值，为1221C C --，代入数据进行运算即可；而两个圆心所在的直线斜率为303404-=-，即选项C 正确.【详解】解：圆221:1C x y +=的圆心为()0,0，半径为1；圆2C 的标准方程为()()22434x y -+-=，圆心为()4,3，半径为2.当1C 、P 、Q 和2C 按照该顺序四点共线时，PQ 取得最小值，为122132C C --==，即选项B 正确； 两个圆心所在直线斜率为303404-=-，即选项C 正确. 故选：BC .【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化、圆与圆的位置关系，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A. 2ωω= B. 31ω=-C. 210ωω++=D. ωω>【答案】AC 【解析】 【分析】 根据复数运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确， 32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误， 21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误， 故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．12. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，4ABC S =△，且b =则（ ） A. 1cos 2B =B. cos B =C. a c +=D. a c +=【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B b C a c =-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c +=【详解】∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 的整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==，∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵4ABC S =△，且3b =，11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题13. 已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______.【答案】 (1). 3- (2). 【解析】【分析】根据a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，利用复数相等，建立方程求出a ，b 即可得到结论.【详解】∵()123ai b a i +=++∴123b a a =⎧⎨=+⎩， 解得31a b =-⎧⎨=⎩，则333a bi i +=-+===故答案为：（1）3-；（2）【点睛】本题主要考查复数相等的应用以及复数的模的求法，属于基础题.14. 已知直线1l ：0x y a ++=与直线2l ：0x y +=，则实数a 的值为______.【答案】2±【解析】【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出.=，解得2a =±. 故答案为：2±.【点睛】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 圆()()22124x y ++-=关于直线1x =对称的圆的标准方程为______.【答案】()()22324x y -+-=【解析】【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变.【详解】∵圆()()22124x y ++-=的圆心()1,2-关于直线1x =对称的点为()3,2； ∴对称圆的圆心为()3,2，半径为2，故对称圆的方程为：()()22324x y -+-=，故答案：()()22324x y -+-=. 【点睛】本题主要考查考查有关圆的对称问题，属于基础题.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222os c =A A ，sin()4cos sin B C B C -=，则b c=__________．【答案】1+【解析】试题分析：因为222os 3c =A A ，所以1cos 3A A +=，化简得sin()32A π-=所以23A π=．又因为sin()4cos sin B C B C -=，所以sin cos cos sin 6cos sin B C B C B C +=，所以sin 6cos sin A B C =，即22262c a b a c ca+-=⨯，整理得2222330a c b +-=.又2222212()2a b c bc b c bc =+-⋅-=++，所以22250b bc c --=，两边除以2c 得22()50b b c c--=，解得1b c =+考点：余弦定理.【思路点睛】因为222os 3c =A A ，化简得sin()32A π-=所以23A π=．又因为sin()4cos sin B C B C -=，所以sin 6cos sin A B C =，由正弦定理和余弦定理整理得2222330a c b +-=.，化简可的22250b bc c --=，两边除以2c 得22()50bb c c --=，即可求得b c. 四、解答题17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①1cos cos sin sin 2b A C a B C b =-；②1sin cos sin 2cos 2b B C c B B +=；③cos 2cos b A a c B+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知D 是BC 上的一点，2BC BD AB =>，AD =6AB =，若_______，求ACD △的面积.【答案】选法见解析，面积为：【解析】【分析】分别对三个条件进行变形化简，均可得到3B π=，然后在ABD △中利用余弦定理求出BD ，再利用三角形的面积公式可得其面积. 【详解】若选择①，则1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B =-， 因为sin 0B ≠.所以1cos cos sin sin 2A C A C -=-，即()1cos 2A C +=-， 因为()B AC π=-+，所以()1cos cos 2A C B +=-=-，即1cos 2B =， 因为0B π<<.所以3B π=.若选择②，则21sin cos sin sin 2cos 2B C C B A B +=，即2sin cos sin sin cos cos B C C B B A B +=故()sin sin cos B B C A B +=.因为()sin sin 0B C A +=≠.所以sin B B =，所以tan B =因为0B π<<，所以3B π=.若选择③，则sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，即()sin 2sin cos B A C B +=，因为()sin sin 0B A C +=≠.所以1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=.在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅， 即228362612BD BD =+-⨯⨯⨯，解得4BD =或2BD =. 因为26BC BD AB =>=，所以4BD =，因为2BC BD =，所以11sin 64222ACD ABD S S AB BD B ==⋅=⨯⨯⨯=△△【点睛】此题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了学生的计算能力，属于中档题.18. 在直角坐标系中，已知四边形ABCD 的三个顶点分别为()5,1A -，()1,1B ，()2,3C .（1）证明：AB BC ⊥；（2）若四边形ABCD 为平行四边形，求点D 的坐标以及直线AD 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）()6,1，2110x y --=.【解析】【分析】（1）证明0AB BC ⋅=，即可得出结论.（2）若四边形ABCD 为平行四边形，可得CD BA =，OD OC BA =+.利用斜率计算公式可得：AD k ，利用点斜式即可得出直线AD 的方程.【详解】（1）证明：()4,2AB =-，()1,2BC =，∵440AB BC ⋅=-+=，∴AB BC ⊥，即AB BC ⊥；（2）解：若四边形ABCD 为平行四边形，则CD BA =，∴()()()2,34,26,1OD OC BA =+=+-=.∴点D 坐标为()6,1.11256AD k --==-， ∴直线AD 的方程为：()126y x -=-，化为：2110x y --=.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、直线的点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 19. 已知向量()1,3a =，()1,3b =-，(),2c λ=.（1）若3a mb c =+，求实数m ，λ的值；（2）若()()2a b b c +⊥-，求a 与2b c +的夹角θ的余弦值.【答案】（1）01m λ=⎧⎨=-⎩ （2【解析】【分析】 （1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得m ,λ的值.（2）根据向量坐标的加减法运算,可得2,a b +,b c -结合向量垂直的坐标关系,即可求得λ的值.进而表示出2b c +,即可由向量的坐标运算求得夹角θ的余弦值.【详解】（1）由3a mb c =+,得()()()1,3,33,6m m λ=-+,即13336m m λ=-+⎧⎨=+⎩解得01m λ=⎧⎨=-⎩. （2）()21,9a b +=,()1,1b c λ-=--.因为()()2a b b c +⊥-,所以190λ--+=,即8λ=.令()26,8d b c =+=, ,则10cos 10a da d θ==⋅=. 【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.20. 已知椭圆M 与椭圆22:195x y N +=有相同的焦点，且椭圆M 过点()0,2. （1）求M 的长轴长；（2）设直线2y x =+与M 交于,AB 两点（A 在B 的右侧），O 为原点，求·OAOB .【答案】(1)(2)43-. 【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）根据题意，列出224,2a b b -==，求得a 的值，即可得到椭圆的长周长； （2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得12,x x ，得,A B 的坐标，即可求解故OA OB ⋅. 试题解析：（1）由题意得设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22954,2ab b -=-==， 所以28a =，则的长轴长为2a =.（2）由222184y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2380x x +=，解得1280,3x x ==-，则()820,2,,33A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故43OA OB ⋅=-. 21. 已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求实数m 的值.【答案】（1）()22525x y -+=；（2）3；m 的值73-或1-. 【解析】【分析】（1）由题意设圆心坐标，由圆C 与y 轴相切，可得半径，再根据点()2,4P 在圆C 上，由两点间的距离公式求出参数的值，进而写出圆的方程；（2）先求出圆心到直线的距离，然后根据圆的弦长公式AB =.【详解】（1）由题意设圆心坐标为(),0C a ，0a >，半径r a =，因为点P 在圆上，所以PC r =，即()()222204a a -+-=，0a >，解得：5a =，所以圆C 的方程为：()22525x y -+=；（2）由（1）得圆心()5,0到直线l 的距离d ==，半径=5r ，所以弦长AB==8=，整理得：29d =，即3d =，3=，整理231070m m ++=，解得：73m =-或1-，都符合题意， 所以m 的值73-或1-. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法以及弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22. 如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点和上顶点分别为A ，B ，3OA OB +=，OAB的面积为1．（1）求C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的两点，且//MN AB ，记直线BM ，AN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得C 的方程.（2）设直线MN 的方程12y x m =-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，用此两点的坐标表示12k k ⋅，联立直线MN 的方程和椭圆的方程后消去y ，利用韦达定理可证12k k ⋅为定值.也可以设()00,M x y ，求出MN 的方程后再求出N 后可证12k k ⋅为定值.【详解】（1）解：由题意知，3,11,2a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 由于0a b >>，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=． （2）证明：由(1)得()2,0A ，()0,1B ，直线AB 的斜率为12-． （方法一）因为//AB MN ，故可设MN 的方程为12y x m =-+． 设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立221,21,4y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得222220x mx m -+-=， 所以122x x m +=，从而212x m x =-．直线BM 的斜率111111112x m y k x x -+--==，直线AN 的斜率222221222x m y k x x -+==--， 所以()()()211221122121111111112242222x m x m x x m x mx m m k k x x x x -+-+----+-⋅=⋅=--()()()()12122121121121111111122142242222x x m x x x m m x x m m m x m m x x x x x x -+++--⋅+-+-==-- 1211211114224x x x x x x -==-．故1214k k ⋅=为定值． （方法二）设()00,M x y ，220014x y +=． 因为//MN AB ，所以MN 的方程为()0012y x x y =--+， 联立()00221,21,4y x x y x y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得()20000220x x y x x y -++=， 解得0x x =（舍去）或02x y =，所以点N 的坐标为0012,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则0012001112224x y k k y x -⋅=⋅=-，即12k k ⋅为定值14． 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。
2019-2020学年镇江市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年镇江市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线l过点P(1,2)且倾斜角是直线x−2y=0倾斜角的2倍，则直线l的方程是()A. 3x−4y+5=0B. x−y=0C. 4x−3y+2=0D. 2x−y=02.已知向量，，，若()，则()A. 2B. −2C. 8D. −83.设A，B均为非空集合，则“x∈A∩B”是“x∈A∪B”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4.若一个正三棱柱的三视图如下所示，则该三棱柱的体积为()A. B. C. D. 85.若圆(x−1)2+(y−3)2=4与圆(x+2)2+(y+1)2=a+5有且仅有三条公切线，则a=()A. −4B. −1C. 4D. 116.m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是()A. 若m//α，α//β，则m//βB. 若m//α，//β，则α//βC. 若m//α，α⊥β，则m⊥βD. 若m//α，m⊥β，则α⊥β7.直线l经过点P(−3,4)且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是()A. y−4=−43(x+3) B. y−4=34(x+3)C. y+4=−43(x−3) D. y+4=34(x−3)8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 2πa 2B. πa 2C. πa 2D. 5πa 29.设向量a⃗，b⃗ ，c⃗都是单位向量，且2a⃗=b⃗ −√3c⃗，则a⃗，b⃗ 的夹角为()A. π6B. π4C. π3D. 2π310. 在矩形ABCD 中，若AB =3，AD =4，E 是CD 的中点，F 在BC 上，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −5B. −6C. −7D. 11311. 设a >0，b >0若log 2a 与log 2b 的等差中项为2，则1a +2b 的最小值为( )A. 8B. √22C. 2√2D. 1412. 如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实(虚)线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知关于z 的实系数方程z 2+4z +m =0两虚数根为z 1、z 2，且满足|z 1−z 2|=2，则m 的值为______14. 若x ∈R ，√y 有意义且满足x 2+y 2−4x +1=0，则yx 的最大值为______ ．15. 设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则xz +zx 的值是______． 16. 已知点A 与点B 在同一平面内，若A 在B 的北偏西m°，B 在A 的东偏南n°，则m°+n°= ______°.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在三棱锥P −ABC 中，AP =AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，BC ⊥AB ，D ，E 分别为PB ，BC 的中点． (1)求证：DE//平面PAC ； (2)求证：AD ⊥DE ．18.已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且(b2+c2−a2)tanA=bc．(1)求角A的大小；(2)求sin(A+10°)·［1−tan(A−10°)］的值．19.(1)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x+y−8=0和l2：x−3y+10=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．(2)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点，且|AB|=9，求该抛物线的方程．20.已知球的表面积为8π，球内接正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为何值时，正三棱柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？21.判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x−y+7=0，x+y=1；(2)x−3y−10=0，y=x+5；3(3)3x−5y+10=0，9x−15y+30=0．22.分别求满足下列条件的圆的方程：(Ⅰ)圆心为(0,−3)，过点(3,1)；(Ⅱ)圆心为坐标原点，且与直线4x+2y−1=0相切；(Ⅲ)圆过点(0,1)和(0,3)，半径等于2．【答案与解析】1.答案：C解析：解：设直线x−2y=0倾斜角为α，可得tanα=12，∴直线l的倾斜角为2α，其斜率k=tan2α=2tanα1−tan2α=43，∴直线的方程为y−2=43(x−1)化为一般式可得4x−3y+2=0故选：C．设直线x−2y=0倾斜角为α，可得tanα=12，直线l的斜率k=tan2α，由二倍角公式可得斜率，可得方程．本题考查直线的倾斜角，涉及二倍角的正切公式，属基础题．2.答案：C解析：试题分析：由已知可得．考点：平面向量数量积坐标运算．3.答案：A解析：解：若x∈A∩B，则x∈A，且x∈B，则x∈A∪B，若x∈A∪B，若x∈A∩∁A∪B B，则x∉A∩B，所以x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分非必要条件．故选：A．由集合交集，补集的定义可以判断出充分性．本题考查简易逻辑，以及集合的交并补，属于基础题．4.答案：B解析：试题分析：观察三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为，设底面正三角形的棱长为，则有，所以该正三棱柱的体积为，选B．考点：1.三视图；2.空间几何体的体积．5.答案：C解析：解：∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆相外切，圆心坐标A(1,3)，B(−2,−1)，半径r=2，R=√ a+5，则|AB|=√(−2−1)2+(−1−3)2=√9+16=√25=5，则√ a+5+2=5，即√ a+5=3，平方得a+5=9，得a=4，故选：C．根据公切线条数，确定两圆是外切关系，结合外切条件进行求解即可．本题主要考查两圆位置关系的应用，结合公切线条数判断两圆是外切是解决本题的关键，是基础题．6.答案：D解析：试题分析：A.若则或;A错.B.若则或B错；C.若则或或C错;D．存在直线，使，，又，故选D．考点：1.线与面，面与面平行的判定；2.线与面，面与面垂直的判定．7.答案：B解析：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线的点斜式方程，点到直线的距离公式以及直线的一般式方程，若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为k，利用点到直线的距离公式，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由k 的值及已知点的坐标写出切线方程即可．解：显然点(−3,4)在圆x2+y2=25上，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−3不满足题意，当直线l的斜率存在时，设切线方程的斜率为k，则切线方程为y−4=k(x+3)，即kx−y+3k+4=0，=5，∴圆心(0,0)到直线的距离d=√k2+1，解得k=34(x+3)．则切线方程为y−4=34故选：B．8.答案：B解析：本题主要考查了三棱柱的几何性质，考查了球的几何性质，学生的空间想象力是解决本题的关键所在。
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江苏省镇江市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷
高一数学 2020．1
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若集合A ＝{0，1}，集合B ＝{0，﹣1}，则A B ＝
A ．{0}
B ．{0，1，﹣1}
C ．{0，1，0，﹣1}
D ．{1，﹣1}
2．命题“R x ∀∈，20x x +>”的否定是
A ．R x ∀∈，20x x +<
B ．R x ∀∈，20x x +≤
C ．R x ∃∈，20x x +≤
D ．R x ∃∈，20x x +>
3．若幂函数()(Q)f x x αα=∈的图象过点(4，2)，则α＝
A ．12−
B ．﹣2
C ．2
D ．12
4．设函数2410()log 0
x x f x x x ⎧−≤=⎨>⎩，，，则1()2f ＝ A ．﹣1 B ．1 C ．12−
D ．22 5．求值tan(﹣1140°)＝
A ．3
B ．3
C ．3−
D ．3− 6．已知方程8x e x =−的解0x ∈(k ，k ＋1)(k ∈Z)，则k ＝
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．函数(22)sin x x y x −=−在[﹣π，π]的图象大致为
8．《九章算术)是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早
一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，间勾中
容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾(短直角边)BC 长5步，
股(长直角边) AB 长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF
(D ，E ，F 分别在边AC ，AB ，BC 上)边长为多少？在如图所示中，在
求得正方形DEBF 的边长后，可进一步求得tan ∠ACE 的值为
A ．264229
B ．144229
C ．611
D ．229144
第8题 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．若a ＜b ＜0，则下列不等式中正确的是
A ．22a b <
B ．11a b
> C ．122a b << D ．a b ab +< 10．在下列各函数中，最小值为2的函数是
A ．222y x x =++
B ．1(0)y x x x −=+>
C ．3sin y x =−
D ．1x y e =+
11．使不等式110x
+>成立的一个充分不必要条件是 A ．x ＞2 B ．x ≥0 C ．x ＜﹣1或x ＞1 D ．﹣1＜x ＜0
12．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速
逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有
A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点
B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高
C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直
在降低
D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米 第12题
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．有一块半径为30cm ，圆心角为120°的扇形钢板，则该钢板的面积为 cm 2．
14．函数2()lg(1)f x x x =++为 （在“奇”、“偶”、“非奇非偶”中选一个填空）函
数，值域为 ．
15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (单位：km /s )和燃料的质量M(单位：kg)、
火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系是M 2000ln(1)v m
=+．已知该火箭的最大速度可达到10km/s ，则燃料质量与火箭(除燃料外)质量的比值为 ．
16．已知x ，y 为正数，且1412x y
+=+，则x y +的最小值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计82分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知全集为R ，设函数2()lg(2)f x x x =−−的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．
（1）求A B 和R B ；
（2）若集合C ＝{}40x x p +<，C ⊆A ，求实数p 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，两锐角α，β的始边都为x 轴非负半轴，终边分别
与单位圆O 交于A ，B 两点，若点A 的横坐标为
10，点B 的纵坐标为10
． （1）分别求sin α，tan β的值；
（2）求α＋2β的值．
已知函数()2sin (sin )1f x x x x =−．
（1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；
（2）当x ∈[0，
2π]时，求函数()f x 的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
某市将举办2020年新年大型花卉展览活动，举办方将建一块占地10000平方米的矩形展览场地ABCD ，设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米．场地中间设计三个矩形展览花圃①，②，③，其中花圃②与③是全等的矩形，每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径．其中①号花圃的一边长度为25米，如图所示．设三个花圃占地总面积为S 平方米，矩形展览场地的BC 长为x 米．
（1）试将S 表示为x 的函数，并写出定义域；
（2）问应该如何设计矩形场地的边长，使花圃占地总面积S 取得最大值．
21．（本小题满分12分） 已知函数2()6f x x ax =−−(a 为常数，a ∈R)．给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3x g x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =．
（1）当a ＝5时，求不等式2(())f g x ≥0的解集；
（2）求函数4(())y f g x =的最小值；
（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())f g x ≤0的解集为[s ，t ]，其中常数s ，t ∈R ，且s ＞0．对选择的()g x 和任意x ∈[2，4]，不等式(())f g x ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．
已知函数1()1x f x x
−=+． （1）证明函数()f x 在(﹣1，+∞)上为减函数；
（2）求函数ln (tan )y f x =的定义域，并求其奇偶性；
（3）若存在x ∈(
4π，2π)，使得不等式(tan )tan 0f x a x +≤能成立，试求实数a 的
取值范围．
参考答案。