人教a版必修5学案:3.4基本不等式(1)(含答案)
高中数学人教版A版必修五学案:§3.4 基本不等式:√ab≤(a+b)2 (二)
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[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.知识点一基本不等式求最值1.理论依据:(1)设x ,y 为正实数,若x +y =s (和s 为定值),则当x =y 时,积xy 有最大值,且这个值为s 24. (2)设x ,y 为正实数,若xy =p (积p 为定值),则当x =y 时,和x +y 有最小值,且这个值为2p .2.基本不等式求最值的条件:(1)x ,y 必须是正数;(2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.3.利用基本不等式求最值需注意的问题:(1)各数(或式)均为正.(2)和或积为定值.(3)判断等号能否成立,“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.(4)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性.知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步:(1)阅读并理解材料;(2)建立数学模型;(3)讨论不等关系;(4)作出结论.题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有() A .最大值54B .最小值54C .最大值1D .最小值1(2)已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t的最小值为____. (3)已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为____. 答案(1)D(2)-2(3)3解析(1)f (x )=x 2-4x +52x -4=(x -2)2+12(x -2)=12⎣⎡⎦⎤(x -2)+1x -2≥1. 当且仅当x -2=1x -2,即x =3时,等号成立. (2)y =t 2+1-4t t =t +1t-4≥2-4=-2, 当且仅当t =1t,即t =1或t =-1(舍)时,等号成立, ∴y 的最小值为-2.(3)xy =12·⎝⎛⎭⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3+y 422 =12·⎝⎛⎭⎫122=3, 当且仅当x 3=y 4=12,即x =32,y =2时,等号成立, ∴xy 的最大值为3.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件.跟踪训练1(1)设a >b >0,则a 2+1ab +1a (a -b )的最小值是() A .1B .2C .3D .4(2)已知x ,y 为正数,且2x +y =1,则1x +1y的最小值为________. 答案(1)D(2)3+2 2解析(1)a 2+1ab +1a (a -b )=a 2-ab +ab +1ab +1a (a -b )=a (a -b )+1a (a -b )+ab +1ab ≥2+2=4.当且仅当a (a -b )=1且ab =1,即a =2,b =22时取“=”. (2)由2x +y =1,得1x +1y =2x +y x +2x +y y=3+y x +2x y≥3+2y x ·2x y=3+22, 当且仅当y x =2x y, 即x =2-22,y =2-1时,等号成立. 题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,则xy () A .有最大值eB .有最大值 eC .有最小值eD .有最小值 e答案C 解析由题意得⎝⎛⎭⎫142=14ln x ln y , ∴ln x ln y =14, ∵x >1,y >1,∴ln x ln y >0,又ln(xy )=ln x ln y ≥2ln x ln y =1,∴xy ≥e ,即xy 有最小值为e.(2)若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,求a 的取值范围. 解设f (x )=x x 2+3x +1=1x +1x +3, ∵x >0,∴x +1x≥2,∴f (x )≤15,即f (x )max =15, ∴a ≥15. 反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法,其一般类型有:(1)f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max .跟踪训练2(1)设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b的最小值为() A .2B .4C .1D.12(2)函数y =kx +2k -1的图象恒过定点A ,若点A 又在直线mx +ny +1=0上,则mn 的最大值为________.答案(1)B(2)18解析(1)由题意得,3a ·3b =(3)2,即a +b =1,∴1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=2+b a +a b≥2+2b a ·a b =4, 当且仅当b a =a b ,即a =b =12时,等号成立. (2)y =k (x +2)-1必经过(-2,-1),即点A (-2,-1),代入得-2m -n +1=0,∴2m +n =1,∴mn =12(2mn )≤12·⎝⎛⎭⎫2m +n 22=18, 当且仅当2m =n =12时,等号成立. 题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ,请确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),使矩形广告面积最小,并求出最小值.解设矩形栏目的高为a cm ,宽为b cm ,ab =9000.①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S =(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+225a ×40b=18500+21000ab =24500.当且仅当25a =40b 时,等号成立,此时b =58a ,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时,S 取得最小值24500,故广告的高为140cm ,宽为175cm 时,可使广告的面积最小,最小值为24500cm 2. 反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内,应用基本不等式求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.跟踪训练3一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要________小时.答案8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则t =400+16⎝⎛⎭⎫v 202v =400v +16v 400≥2400v ×16v 400=8(小时), 当且仅当400v =16v 400,即v =100时,等号成立, 此时t =8小时.1.下列函数中,最小值为4的函数是() A .y =x +4xB .y =sin x +4sin x(0<x <π) C .y =e x +4e -xD .y =log 3x +log x 81答案C解析A 中x =-1时,y =-5<4,B 中y =4时,sin x =2,D 中x 与1的关系不确定,选C.2.函数y =x 2-x +1x -1(x >1)在x =t 处取得最小值,则t 等于() A .1+2B .2C .3D .4答案B解析y =x (x -1)+1x -1=x +1x -1=x -1+1x -1+1 ≥2+1=3,当且仅当x -1=1x -1,即x =2时,等号成立. 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A .6.5mB .6.8mC .7mD .7.2m答案C解析设两直角边分别为a ,b ,直角三角形的框架的周长为l ,则12ab =2,∴ab =4,l =a +b +a 2+b 2≥2ab +2ab =4+22≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少,故选C.4.函数f (x )=x (4-2x )的最大值为________.答案2解析①当x ∈(0,2)时,x ,4-2x >0,f (x )=x (4-2x )≤12⎣⎡⎦⎤2x +(4-2x )22=2,当且仅当2x =4-2x ,即x =1时,等号成立.②当x ≤0或x ≥2时,f (x )≤0,故f (x )max =2.5.当x <54时,函数y =4x -2+14x -5的最大值为________. 答案1解析∵x <54,∴4x -5<0, ∴y =4x -5+14x -5+3 =-⎣⎡⎦⎤(5-4x )+15-4x +3 ≤-2(5-4x )·15-4x+3=1 当且仅当5-4x =15-4x,即x =1时,等号成立.1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件:①“一正”——各项为正数;②“二定”——“和”或“积”为定值;③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用基本不等式求最值,但由于其中的等号取不到,所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的,这时通常可以借助函数y =x +p x(p >0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤:(1)审题;(2)建模(列式);(3)解模;(4)作答.。
新人教A版必修5高中数学第三章3.4基本不等式(一)导学案
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解析x2+ax+1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥-x2-1⇔a≥max.
∵x+≥2,∴-≤-2,∴a≥-2.
二、填空题
7.若a<1,则a+有最______值,为________.
答案大 -1
解析∵a<1,∴a-1<0,
∴-=(1-a)+≥2(a=0时取等号),
∴a-1+≤-2,∴a+≤-1.
8.若lgx+lgy=1,则+的最小值为________.
3.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有()
A.1≤ab≤B.ab<1<
C.ab<<1 D.<ab<1
答案B
解析∵ab≤2,a≠b,∴ab<1,
又∵>>0,
∴>1,∴ab<1<.
4.已知正数0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2,其中最大的一个是()
A.a2+b2B.2C.2abD.a+b
答案2
解析∵lgx+lgy=1,∴xy=10,x>0,y>0,
A.B.bC.2abD.a2+b2
答案B
解析∵ab<2,∴ab<,∴2ab<.
∵>>0,∴>,
∴a2+b2>.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2
=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.
6.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值为()
A.0 B.-2C.-D.-3
3.基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a,b∈R);
(2)当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-2.
2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第三章 3.4 基本不等式 Word版含答案.doc
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基本不等式: ab ≤a +b2[新知初探]1.重要不等式当a ,b 是任意实数时,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.基本不等式(1)有关概念:当a ,b 均为正数时,把a +b2叫做正数a ,b 的算术平均数,把ab 叫做正数a ,b 的几何平均数.(2)不等式:当a ,b 是任意正实数时,a ,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab ≤a +b2,当且仅当a =b 时,等号成立.(3)变形:ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b22,a +b ≥2ab (其中a >0,b >0,当且仅当a =b 时等号成立).[点睛] 基本不等式成立的条件:a >0且b >0;其中等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号,即若a ≠b 时,则ab ≠a +b 2,即只能有ab <a +b2. 预习课本P97~100,思考并完成以下问题[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,a +b ≥2ab 均成立( ) (2)若a ≠0,则a +4a≥2a ·4a=4( ) (3)若a >0,b >0,则ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22( )解析:(1)错误.任意a ,b ∈R ,有a 2+b 2≥2ab 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a +b ≥2ab 成立.(2)错误.只有当a >0时,根据基本不等式,才有不等式a +4a ≥2a ·4a=4成立. (3)正确.因为ab ≤a +b 2,所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22.答案:(1)× (2)× (3)√2.若a >b >0,则下列不等式成立的是( ) A .a >b >a +b2>ab B .a >a +b2>ab >b C .a >a +b2>b >abD .a >ab >a +b2>b解析:选B a =a +a 2>a +b2>ab >b ·b =b ,因此B 项正确. 3.若x >0,则x +9x +2有( )A .最小值6B .最小值8C .最大值8D .最大值3解析:选B 由x +9x +2≥2x ·9x +2=8(当且仅当x =9x,即x =3时,取等号),故选B.4.利用基本不等式求最值,下列运用正确的是( ) A .y =|x |2+4|x |≥2|x |2·4|x |=4|x |≥0B .y =sin x +4sin x≥2sin x ·4sin x =4(x 为锐角)C .已知ab ≠0,a b +ba ≥2a b ·b a =2D .y =3x +43x ≥23x ·43x =4 解析:选D 在A 中,4|x |不是常数,故A 选项错误;在B 中,sin x =4sin x 时无解,y 取不到最小值4,故B 选项错误;在C 中,a b ,ba 未必为正,故C 选项错误;在D 中,3x ,43x 均为正,且3x=43x 时,y 取最小值4,故D 选项正确.利用基本不等式比较大小[典例] (1)已知m =a +1a -2(a >2),n =22-b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A .m >n B .m <n C .m =nD .不确定(2)若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg a +b 2,则P ,Q ,R 的大小关系是________.[解析] (1)因为a >2,所以a -2>0,又因为m =a +1a -2=(a -2)+1a -2+2,所以m ≥2(a -2)·1a -2+2=4,由b ≠0,得b 2≠0,所以2-b 2<2,n =22-b 2<4,综上可知m >n .(2)因为a >b >1,所以lg a >lg b >0, 所以Q =12(lg a +lg b )>lg a ·lg b =P ;Q =12(lg a +lg b )=lg a +lg b =lg ab <lg a +b 2=R .所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R已知a ,b ,c 都是非负实数,试比较a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2与2(a +b +c )的大小.解:因为a 2+b 2≥2ab ,所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 所以 a 2+b 2≥22(a +b ), 同理 b 2+c 2≥22(b +c ), c 2+a 2≥22(c +a ), 所以a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥22[(a +b )+(b +c )+(c +a )], 即a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥2(a +b +c ),当且仅当a =b =c 时,等号成立.[典例] 已知a ,b ,c 均为正实数, 求证:2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c3c ≥3.[证明] ∵a ,b ,c 均为正实数,∴2b a +a2b ≥2(当且仅当a =2b 时等号成立), 3c a +a3c≥2(当且仅当a =3c 时等号成立), 3c 2b +2b3c≥2(当且仅当2b =3c 时等号成立), 将上述三式相加得⎝⎛⎭⎫2b a +a 2b +⎝⎛⎭⎫3c a +a 3c +⎝⎛⎭⎫3c 2b +2b 3c ≥6(当且仅当a =2b =3c 时等号成立),∴⎝⎛⎭⎫2b a +a 2b -1+⎝⎛⎭⎫3c a +a 3c -1+⎝⎛⎭⎫3c 2b +2b 3c -1≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立), 即2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c3c≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立).已知a ,b ,c 为正实数, 且a +b +c =1,求证:⎝⎛⎭⎫1a -1⎝⎛⎭⎫1b -1⎝⎛⎭⎫1c -1≥8.证明:因为a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1, 所以1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a . 同理,1b -1≥2ac b ,1c -1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正,相乘得⎝⎛⎭⎫1a -1⎝⎛⎭⎫1b -1⎝⎛⎭⎫1c -1≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8,当且仅当a =b =c =13时,取等号.[典例] (1)已知lg a +lg b =2,求a +b 的最小值. (2)已知x >0,y >0,且2x +3y =6,求xy 的最大值. (3)已知x >0,y >0,1x +9y =1,求x +y 的最小值. [解] (1)由lg a +lg b =2可得lg ab =2, 即ab =100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a +b ≥2ab =2100 =20, 当且仅当a =b =10时,a +b 取到最小值20. (2)∵x >0,y >0,2x +3y =6, ∴xy =16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x +3y 22=16·⎝⎛⎭⎫622=32, 当且仅当2x =3y ,即x =32,y =1时,xy 取到最大值32.(3)∵1x +9y =1,∴x +y =(x +y )·⎝⎛⎭⎫1x +9y =1+9x y +y x +9=y x +9xy +10,又∵x >0,y >0, ∴y x +9xy +10≥2y x ·9xy +10=16,当且仅当y x =9xy ,即y =3x 时,等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x ,1x +9y=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =12,即当x =4,y =12时,x +y 取得最小值16.1.已知a >0,b >0,2a +1b =16,若不等式2a +b ≥9m 恒成立,则m 的最大值为( )A .8B .7C .6D .5解析:选C 由已知,可得6⎝⎛⎭⎫2a +1b =1,∴2a +b =6⎝⎛⎭⎫2a +1b ·(2a +b )=6⎝⎛⎭⎫5+2a b +2b a ≥6×(5+4)=54,当且仅当2a b =2ba时等号成立,∴9m ≤54,即m ≤6,故选C. 2.设a >b >0,则a 2+1ab +1a (a -b )的最小值是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选D 因为a >b >0,所以a -b >0, 所以a 2+1ab +1a (a -b )=a (a -b )+1a (a -b )+ab +1ab≥2a (a -b )·1a (a -b )+2ab ·1ab =4,当且仅当a (a -b )=1a (a -b )且ab =1ab ,即a =2,b =22时等号成立.[典例] 不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:(1)仓库面积S 的最大允许值是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? [解] (1)设铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米,而顶部面积为S =xy ,依题意得,40x +2×45y +20xy =3 200,由基本不等式得3 200≥240x ×90y +20xy =120xy +20xy , =120S +20S .所以S +6S -160≤0,即(S -10)(S +16)≤0, 故S ≤10,从而S ≤100,所以S 的最大允许值是100平方米,(2)取得最大值的条件是40x =90y 且xy =100, 求得x =15,即铁栅的长是15米.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为y =-x 2+18x -25(x ∈N *),求当每台机器运转多少年时,年平均利润最大,最大值是多少.解:每台机器运转x 年的年平均利润为y x =18-⎝⎛⎭⎫x +25x ,而x >0,故yx≤18-225=8,当且仅当x =5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元. 故当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.层级一 学业水平达标1.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2 B .当x >0时,x +1x≥2 C .当x ≥2时,x +1x 的最小值为2 D .当0<x ≤2时,x -1x 无最大值解析:选B A 中,当0<x <1时,lg x <0,lg x +1lg x ≥2不成立;由基本不等式知B 正确;C 中,由对勾函数的单调性,知x +1x 的最小值为52;D 中,由函数f (x )=x -1x 在区间(0,2]上单调递增,知x -1x 的最大值为32,故选B.2.下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A .lg(x 2+1)≥lg(2x ) B .x 2+1>2x C.1x 2+1≤1 D .x +1x≥2解析:选C 对于A ,当x ≤0时,无意义,故A 不恒成立;对于B ,当x =1时,x 2+1=2x ,故B 不成立;对于D ,当x <0时,不成立.对于C ,x 2+1≥1,∴1x 2+1≤1成立.故选C.3.设a ,b 为正数,且a +b ≤4,则下列各式中正确的一个是( ) A.1a +1b <1 B.1a +1b ≥1 C.1a +1b <2D.1a +1b ≥2解析:选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22≤⎝⎛⎭⎫422=4,所以1a +1b ≥21ab≥214=1. 4.四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列,则( ) A.a +d 2>bcB.a +d 2<bcC.a +d 2=bcD.a +d 2≤bc解析:选A 因为a ,b ,c ,d 成等差数列,则a +d =b +c ,又因为a ,b ,c ,d 均大于0且不相等,所以b +c >2bc ,故a +d2>bc .5.若x >0,y >0,且2x +8y =1,则xy 有( ) A .最大值64 B .最小值164C .最小值12D .最小值64解析:选D 由题意xy =⎝⎛⎭⎫2x +8y xy =2y +8x ≥22y ·8x =8xy ,∴xy ≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x =4,y =16.6.若a >0,b >0,且1a +1b =ab ,则a 3+b 3的最小值为________.解析:∵a >0,b >0,∴ab =1a +1b≥21ab,即ab ≥2,当且仅当a =b =2时取等号,∴a 3+b 3≥2(ab )3≥223=42,当且仅当a =b =2时取等号,则a 3+b 3的最小值为4 2.答案:4 27.已知正数x ,y 满足x 2+2xy -3=0,则2x +y 的最小值是________. 解析:由题意得,y =3-x 22x,∴2x +y =2x +3-x 22x =3x 2+32x =32⎝⎛⎭⎫x +1x ≥3,当且仅当x =y =1时,等号成立. 答案:38.若对任意x >0,xx 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.解析:因为x >0,所以x +1x ≥2.当且仅当x =1时取等号, 所以有x x 2+3x +1=1x +1x +3≤12+3=15,即x x 2+3x +1的最大值为15,故a ≥15.答案:⎣⎡⎭⎫15,+∞ 9.(1)已知x <3,求f (x )=4x -3+x 的最大值;(2)已知x ,y 是正实数,且x +y =4,求1x +3y 的最小值.解:(1)∵x <3, ∴x -3<0, ∴f (x )=4x -3+x =4x -3+(x -3)+3 =-⎣⎡⎦⎤43-x +(3-x )+3≤-243-x·(3-x )+3=-1, 当且仅当43-x =3-x ,即x =1时取等号, ∴f (x )的最大值为-1. (2)∵x ,y 是正实数,∴(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +3y =4+⎝⎛⎭⎫y x +3x y ≥4+2 3. 当且仅当y x =3xy ,即x =2(3-1),y =2(3-3)时取“=”号. 又x +y =4, ∴1x +3y ≥1+32,故1x +3y 的最小值为1+32.10.设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式:b +c a +c +a b +a +bc ≥6. 证明:因为a >0,b >0,c >0, 所以b a +a b ≥2,c a +a c ≥2,b c +cb ≥2,所以⎝⎛⎭⎫b a +a b +⎝⎛⎭⎫c a +a c +⎝⎛⎭⎫b c +c b ≥6, 当且仅当b a =a b ,c a =a c ,c b =b c ,即a =b =c 时,等号成立. 所以b +c a +c +a b +a +b c≥6.层级二 应试能力达标1.a ,b ∈R ,则a 2+b 2与2|ab |的大小关系是( ) A .a 2+b 2≥2|ab | B .a 2+b 2=2|ab | C .a 2+b 2≤2|ab |D .a 2+b 2>2|ab |解析:选A ∵a 2+b 2-2|ab |=(|a |-|b |)2≥0,∴a 2+b 2≥2|ab |(当且仅当|a |=|b |时,等号成立).2.已知实数a ,b ,c 满足条件a >b >c 且a +b +c =0,abc >0,则1a +1b +1c的值( ) A .一定是正数B .一定是负数C .可能是0D .正负不确定解析:选B 因为a >b >c 且a +b +c =0,abc >0,所以a >0,b <0,c <0,且a =-(b +c ),所以1a +1b +1c =-1b +c+1b +1c , 因为b <0,c <0,所以b +c ≤-2bc ,所以-1b +c ≤12bc ,又1b +1c ≤-21bc , 所以-1b +c +1b +1c ≤12bc -21bc =-32bc<0,故选B. 3.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则(a +b )2cd 的最小值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D 由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧a +b =x +y ,cd =xy ,所以(a +b )2cd =(x +y )2xy =x 2+y 2+2xy xy =x 2+y 2xy +2≥2+2=4,当且仅当x =y 时,等号成立.4.若实数x ,y 满足xy >0,则x x +y +2y x +2y 的最大值为( ) A .2-2B .2+ 2C .4+2 2D .4-2 2解析:选Dx x +y +2y x +2y =11+y x +2·y x 1+2·y x , 设t =y x >0,∴原式=11+t +2t 2t +1=1t +1+2t +1-12t +1=1+t (t +1)(2t +1)=1+12t +1 t +3. ∵2t +1t ≥22,∴最大值为1+122+3=4-2 2. 5.若两个正实数x ,y 满足1x +4y =1,且不等式x +y 4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围是________.解析:因为不等式x +y 4<m 2-3m 有解,所以⎝⎛⎭⎫x +y 4min <m 2-3m ,因为x >0,y >0,且1x +4y =1,所以x +y 4=⎝⎛⎭⎫x +y 4⎝⎛⎭⎫1x +4y =4x y +y 4x +2≥24x y ·y 4x +2=4,当且仅当4x y =y 4x,即x =2,y =8时,等号是成立的,所以⎝⎛⎭⎫x +y 4min =4,所以m 2-3m >4,即(m +1)(m -4)>0,解得m <-1或m >4.答案:(-∞,-1)∪(4,+∞)6.若正数a ,b 满足a +b =1,则13a +2+13b +2的最小值为________. 解析:由a +b =1,知13a +2+13b +2=3b +2+3a +2(3a +2)(3b +2)=79ab +10,又ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22=14(当且仅当a =b =12时等号成立),∴9ab +10≤494,∴79ab +10≥47. 答案:477.某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位:万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位:万元)满足x =3-k m +1(k 为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2016年该产品的利润y (单位:万元)表示为年促销费用m 的函数;(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?解:(1)由题意,可知当m =0时,x =1,∴1=3-k ,解得k =2,∴x =3-2m +1, 又每件产品的销售价格为1.5×8+16x x 元, ∴y =x ⎝⎛⎭⎫1.5×8+16x x -(8+16x +m )=4+8x -m =4+8⎝⎛⎭⎫3-2m +1-m =-⎣⎡⎦⎤16m +1+(m +1)+29(m ≥0).(2)∵m ≥0,16m +1+(m +1)≥216=8,当且仅当16m +1=m +1,即m =3时等号成立, ∴y ≤-8+29=21,∴y max =21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.8.已知k >16,若对任意正数x ,y ,不等式⎝⎛⎭⎫3k -12x +ky ≥2xy 恒成立,求实数k 的最小值.解:∵x >0,y >0,∴不等式⎝⎛⎭⎫3k -12x +ky ≥2xy 恒成立等价于⎝⎛⎭⎫3k -12x y +k y x ≥2恒成立. 又k >16, ∴⎝⎛⎭⎫3k -12x y +k y x ≥2k ⎝⎛⎭⎫3k -12, ∴2k ⎝⎛⎭⎫3k -12≥2,解得k ≤-13(舍去)或k ≥12, ∴k min =12.。
新版高中数学人教A版必修5习题:第三章不等式 3.4.1
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3.4基本不等式:√ab≤a+b2第1课时基本不等式课时过关·能力提升基础巩固1若x>0,则x+4x的最小值为().A.2B.3C.2√2D.4答案:D2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A.400B.100C.40D.20解析:xy≤(x+y2)2=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.答案:A3若0<x<13,则x(1−3x)取最大值时x的值是().A.13B.16C.34D.23解析:∵0<x<13,∴0<1−3x<1.∴y=x(1-3x)=13×3x(1−3x)≤13×(3x+1-3x 2)2=112. 当且仅当3x=1-3x ,即x =16时取等号.答案:B 4设a ,b ∈R ,若a ≠b ,a+b=2,则必有( ).A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab <1<a 2+b22C.ab <a 2+b22<1D.a 2+b 22<ab <1解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a 2+b 22=5,则有ab<1<a 2+b22,所以排除选项A,C,D,故选B .答案:B5若M =a 2+4a (a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( ).A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]C.[4,+∞)D.[-4,4]解析:当a>0时,M =a 2+4a =a +4a ≥2√a ·4a =4,当且仅当a =4a,即a=2时取“=”; 当a<0时,M =a 2+4a=a +4a =−[(-a )+(-4a )]≤-2√(-a )·(-4a )=−4,当且仅当-a=−4a,即a=-2时取“=”.综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).答案:A6若a>b>1,P=√lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lg a+b2,则下列结论正确的是().A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.∴R=lg a+b2>lg√ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>√lgalgb=P.∴P<Q<R.答案:B7若a>0,b>0,则2ba +ab的最小值是.解析:2ba +ab≥2√2ba·ab=2√2,当且仅当2ba=ab,即a=√2b时取“=”.答案:2√28当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x=. 解析:当−√2<x<√2时,y=x2(2-x2)≤(x 2+2-x22)2=1,当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.答案:±19已知2x +3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.解∵x>0,y>0,2x +3y=2,∴2=2x +3y≥2√6xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥√6xy.∴√xy≥√6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.10已知x>-1,试求函数y=x 2+7x+10x+1的最小值.解∵x>-1,∴x+1>0,∴y=x 2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+5≥2√(x+1)·4x+1+5=9.当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.所以函数y=x 2+7x+10x+1的最小值为9.能力提升1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a +1b的最小值是().A.2√2B.3−2√2C.3+2√2D.3+√2解析:1a +1b=2a+ba+2a+bb=2+1+ba +2ab=3+ba+2ab.∵a>0,b>0,∴1a +1b =3+b a +2a b ≥3+2√b a ·2a b =3+2√2,当且仅当b a =2a b ,即b =√2a =√2−1时“=”成立.∴1a +1b 的最小值为3+2√2.答案:C 2若x+3y-2=0,则函数z=3x +27y +3的最小值是( ).A.323B.3+2√2C.6D.9解析:z=3x +27y +3≥2√3x ·27y +3=2√3x+3y +3. ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.∴z ≥2√3x+3y +3=2√32+3=9,当且仅当3x =27y ,即x=3y=1时取“=”.答案:D3若a>0,b>0,a+b=2,则y =1a +4b 的最小值是( ).A .72B.4C.92D.5解析:依题意得1a +4b =12(1a +4b )(a +b)=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2√b a ·4a b )=92,当且仅当{a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92. 答案:C4当x >12时,函数y =x +82x -1的最小值为( ).A .92B.4C.5D.9 解析:∵x >12,∴2x −1>0. ∴y=x +82x -1=x +4x -12=x −12+4x -12+12 ≥2√(x -12)·4x -12+12=4+12=92, 当且仅当x −12=4x -12,即x =52时取等号. 答案:A 5设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y,而(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 答案:3√2★6函数y=log a (x-1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m ,n>0,则1m +2n 的最小值为 .解析:由题意,得点A (2,1),则1=2m+n.又m ,n>0,所以1m +2n =2m+n m +2(2m+n )n =4+n m +4m n ≥4+2√4=8.当且仅当n m =4m n ,即m =14,n =12时取等号,则1m+2n的最小值为8.答案:8★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.答案:[15,+∞)★8已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小.解∵f(x)=a x,∴f(x1+x22)=ax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]=12(a x1+a x2).∵a>0,且a≠1,x1≠x2,∴a x1>0,a x2>0,且a x1≠a x2,∴12(a x1+a x2)>√a x1·a x2=ax1+x22,即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.9若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,∴xy=2x+y+6≥2√2·√xy +6, 即xy-2√2√xy −6≥0,当且仅当{2x =y ,2x +y +6=xy时,等号成立. ∴(√xy −3√2)(√xy +√2)≥0. ∵√xy +√2>0,∴√xy ≥3√2,xy ≥18.又2x+y+6=12×2xy ≤12·(2x+y 2)2, ∴(2x+y )2-8(2x+y )-48≥0,∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.∵2x+y+4>0,∴2x+y ≥12.∴xy 的最小值为18,2x+y 的最小值为12.。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式:ab≤a+b2学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A
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3.4 基本不等式:ab≤a+b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景;2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式;3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题.[重点] 基本不等式的简单应用.[难点] 基本不等式的理解与应用.知识点一 两个不等式[填一填]1.重要不等式:对于任意实数a ,b ,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.基本不等式:如果a ,b ∈R +,那么ab ≤a +b2,当且仅当a =b 时,等号成立.其中a +b2为a ,b 的算术平均数,ab 为a ,b 的几何平均数.所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[答一答]1.不等式a 2+b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a +b2成立的条件有什么不同?提示:不等式a 2+b 2≥2ab对任意实数a ,b 都成立;ab ≤a +b2中要求a ,b 都是正实数.知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ,y 都是正数,(1)若x +y =s (和为定值),则当x =y 时,积xy 取得最大值.(2)若xy =p (积为定值),则当x =y 时,和x +y 取得最小值.[答一答]2.利用基本不等式求最值时,我们应注意哪些问题?提示:(1)在利用基本不等式具体求最值时,必须满足三个条件:①各项均为正数;②含变数的各项的和(或积)必须是常数;③当含变数的各项均相等时取得最值.三个条件可简记为:一正、二定、三相等.这三个条件极易遗漏而导致解题失误,应引起足够的重视.(2)记忆口诀:和定积最大,积定和最小.3.在多次使用基本不等式求最值时,我们应注意什么问题?提示:在连续多次应用基本不等式时,我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则需换用其他方法求出最值.4.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.如sin x 与4sin x ,x ∈(0,π2),两个都是正数,乘积为定值.但是由0<sin x <1,且sin x +4sin x 在(0,1)上为减函数,所以sin x +4sin x >1+41=5,等号不成立,取不到最小值.类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证:a +b +c >ab +bc +ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1, 求证:⎝⎛⎭⎫1a -1⎝⎛⎭⎫1b -1⎝⎛⎭⎫1c -1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a,可由此变形入手.[证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,c +a ≥2ca >0. ∴2(a +b +c )≥2(ab +bc +ca ),即a +b +c ≥ab +bc +ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立. ∴a +b +c >ab +bc +ca .(2)∵a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1, ∴1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a , 同理1b -1≥2ac b ,1c -1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a -1⎝⎛⎭⎫1b -1⎝⎛⎭⎫1c -1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c=8.当且仅当a =b =c =13时,等号成立.1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧,当不能直接利用不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 求证:1a +1b +1c≥9.证明:因为a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1, 所以1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c=3+⎝⎛⎭⎫b a +a b +⎝⎛⎭⎫c a +a c +⎝⎛⎭⎫c b +b c ≥3+2+2+2=9,当且仅当a =b =c =13时,取等号. 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0,求f (x )=4x +9x 的最小值;(2)设0<x <32,求函数y =4x (3-2x )的最大值;(3)已知x >2,求x +4x -2的最小值;(4)已知x >0,y >0,且1x +9y=1,求x +y 的最小值.[分析] 利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解.[解] (1)∵x >0,∴由基本不等式得 f (x )=4x +9x≥24x ·9x=236=12, 当且仅当4x =9x,即x =32时,f (x )=4x +9x 取最小值12.(2)∵0<x <32,∴3-2x >0,∴y =4x (3-2x )=2[2x (3-2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +(3-2x )22=92. 当且仅当2x =3-2x ,即x =34时取“=”.∴y 的最大值为92.(3)∵x >2,∴x -2>0,∴x +4x -2=(x -2)+4x -2+2≥2(x -2)·4x -2+2=6.当且仅当x -2=4x -2,即x =4时,x +4x -2取最小值6.(4)∵x >0,y >0,1x +9y =1,∴x +y =(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +9y =10+y x +9x y ≥10+29=16.当且仅当y x =9x y 且1x +9y =1时等号成立.即x =4,y =12时等号成立.∴当x =4,y =12时,x +y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“=”是否成立,不管题目是否要求写出符号成立的条件,都要验证“=”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a +lg b =2,求a +b 的最小值; (2)已知x >0,y >0,且2x +3y =6,求xy 的最大值. 解:(1)由lg a +lg b =2可得lg ab =2, 即ab =100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a +b ≥2ab =2100=20, 当且仅当a =b =10时,a +b 取到最小值20.(2)∵x >0,y >0,2x +3y =6, ∴xy =16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3y 22=16·⎝⎛⎭⎫622=32, 当且仅当2x =3y ,且2x +3y =6时等号成立, 即x =32,y =1时,xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按规定限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2+x2360升,司机的工资是每小时140元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式.(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. [解] (1)设所用时间为t =130x(小时),y =130x ×6×⎝⎛⎭⎫2+x 2360+140×130x,x ∈[50,100].所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y =130×152x +13x 6,x ∈[50,100].(2)y =130×152x +13x 6≥525703,当且仅当130×152x =13x6,即x =4570∈[50,100]时,等号成立.故当x =4570千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为525703元.解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是160(单位:元).解析:设该长方体容器的长为x m ,则宽为4x m .又设该容器的总造价为y 元,则y =20×4+2⎝⎛⎭⎫x +4x ×10,即y =80+20⎝⎛⎭⎫x +4x (x >0).因为x +4x≥2x ·4x=4⎝⎛⎭⎫当且仅当x =4x ,即x =2时取“=”,所以y min =80+20×4=160(元).1.给出下列条件:①ab >0;②ab <0;③a >0,b >0;④a <0,b <0,其中能使b a +ab ≥2成立的条件有( C )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:当b a ,a b 均为正数时,b a +ab ≥2,故只须a 、b 同号即可.所以①、③、④均可以.2.若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( D ) A .a 2+b 2>2ab B .a +b ≥2ab C .1a +1b >2abD .b a +ab≥2解析:∵a ,b ∈R ,且ab >0, ∴b a >0,ab>0,∴b a +a b ≥2b a ×a b=2. 当且仅当b a =ab,即a =b 时取等号.3.设a ,b 为实数,且a +b =3,则2a +2b 的最小值为( B ) A .6 B .4 2 C .2 2 D .8解析:2a +2b ≥22a +b =223=4 2.4.已知0<x <1,则当x =12时,x (3-3x )取最大值为34.解析:3x (1-x )≤3(x +1-x 2)2=34,当且仅当x =1-x 即x =12时等号成立.5.已知a >0,b >0,c >0,求证: (1)b +c a +c +a b +a +b c ≥6;(2)b +c a ·c +a b ·a +b c≥8.证明:(1)b +c a +a +c b +a +b c =b a +c a +c b +a b +a c +b c =(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )≥2+2+2=6(当且仅当a =b =c 时取“=”).(2)b +c a ·c +a b ·a +b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc=8abc abc=8(当且仅当a =b =c 时取“=”).——本课须掌握的两大问题1.基本不等式成立的条件:a >0且b >0;其中等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号,即若a ≠b 时,则ab ≠a +b 2,即只能有ab <a +b2. 2.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即(1)一正:符合基本不等式a +b2≥ab 成立的前提条件,a >0,b >0;(2)二定:化不等式的一边为定值;(3)三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成立. 以上三点缺一不可.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.。
人教版A版高中数学必修5:3.4 基本不等式:_latex class=_math-tex(_sqrt {ab}leq frac {a+b} {2})latex
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积定和最小
作业:练习,第一题,导学 案的练习题
什么结论?
猜 a 0,b 0; a b ab 2
想 当且仅当a b时,等号成立
求证:当a 0,b 0 时,a b ab .
2
证明:要证 a b ab
①
2
只要证 a b ( 2 ab )
②
要证②,只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③,只要证( a - b )2 0
例1:判断对错
1、由 a,b R 则 a b 2 ab 。
2、若
x 0 ,则
x 1 2 。
x
试判断 4 x(x 3) 与 7的大小关系?
x3
变式训练:
思考:若y x 1 (x 2)的最小值是多少? x2
例题:判断 n m (m 0, n 0) 与 2 的大小关
3.4基本不等式
第一课时
猜
想 a R,b R a2 b2 2ab
当且仅当a=b时,等号成立
问题一:
你能用已经学过的数学知识证明这个不等式吗?
证明: a2 b2 2ab (a b)2
当a b时,(a b)2 0 当a b时, (a b)2 0
系?
mn
例2:
用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆
最短。最短的篱笆是多少?
课堂小结
a2 b2 2ab(a R,b R)
类比 换元
等价转换
a b ab(a 0,b 来自 0) 2注意前提条件及 等号取到的条件
基本不等式简单应用
(a b )2 0 即:a2 b2 2ab
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
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课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型:新授课 【教学目标】1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程;【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样,4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。
2.得到结论:一般的,如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以,0)(2≥-b a ,即.2)(22ab b a ≥+4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得2a b ab +≥, 通常我们把上式写作:(a>0,b>0)2a b ab +≤2)从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明:要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证(2),只要证 a+b- ≥0 (3) 要证(3),只要证 ( - )2 (4) 显然,(4)是成立的。
河南省伊川县实验高中人教版高中数学必修五教案:3.4
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《基本不等式》教案张晓锋教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》必修5课题:3.4 基本不等式课时:1课时一、教材分析1.本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。
2.教学目标(1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。
(2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
(3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3.教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。
二、学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识,掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时,高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法,但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难,一时很难接受;从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数,很不好理解;对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察,在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外,教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力,而且图形中线段间的关系也比较隐蔽,不易被发现.因此,我以为本节课的教学难点为:从不同角度探索基本不等式的证明,能利用基本不等式的模型求解函数最值.三、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的引导下,以学生的自主探究与合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境,以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容,为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.四、教学过程设计1.创设情境【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.(请学生在学案上课前完成:4S S S =+Q 大正方形直角三角形小正方形()2222142c ab a b a b ∴=⨯+-=+.) 【思考1】在弦图中,由面积间的相等关系,得到了勾股定理这一经典等式.然而,相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢?( 生1:4S S ≥大正方形直角三角形,得ab b a 222≥+;生2:0S ≥小正方形,得()02≥-b a .) 【归纳】对于两直角边a b 、,有222a b ab +≥.【思考2】上式中何时等号成立?(请学生说明:当a b =时, 222a b ab +=;当a b ≠,222a b ab +>.)【归纳】当且仅当a b =时,等号成立.【探究1】上式对正实数是成立的,那么对任意实数a b 、,上式都成立吗?(请学生自主探究,用“比较法”证明.强调a b =和a b ≠两种情况,说明“当且仅当”的含义.)【归纳】对任意实数a b 、,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时,等号成立.2.基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>> 【引入】当0,0a b >>a a b 代替b 即可得到:)20,0a b ab a b +≥>>【说明】通常我们把上式写作(0,0)2a b ab a b +≥>>,称为基本不等式,本节课我们就来研究基本不等式.(引入课题并板书)【思考3】你能否证明基本不等式?(请学生思考完成.生1:(比较法)210222a b ab a b a b ab +-=≥+∴≥Q当且仅当a b =时,等号成立; 生2:(综合法)202a b a b ab≥∴+≥Q 当且仅当a b =时,等号成立;生3:(分析法)()()()()22,a b ab a b ab a b ab a b a b ab +≥∴+≥∴+-≥∴≥∴+≥Q要证只要证只要证只要证上式显然成立。
2020版数学人教A版必修5学案:第三章 3.4 第1课时 基本不等式 Word版含解析
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§3.4 基本不等式:ab ≤a +b2第1课时 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.知识点一 算术平均数与几何平均数一般地,对于正数a ,b ,a +b2为a ,b 的算术平均数,ab 为a ,b 的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,即ab ≤a +b2. 几何解释 如图,AB 是圆O 的直径,点Q 是AB 上任一点,AQ =a ,BQ =b ,过点Q 作PQ 垂直于AB 且交圆O 于点P ,连接AP ,PB .则PO =AB 2=a +b2.易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ,那么PQ 2=AQ ·QB ,即PQ =ab .知识点二 基本不等式常见推论由公式a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )和a +b2≥ab (a >0,b >0)可得以下结论:①a b +ba ≥2(a ,b 同号); ②21a +1b≤ab ≤a +b2≤a 2+b 22(a >0,b >0).1.对于任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab .( √ ) 2.n ∈N *时,n +2n ≥2 2.( √ )3.x ≠0时,x +1x≥2.( × )4.a >0,b >0时,1a +1b ≥4a +b.( √ )题型一 常见推论的证明例1 证明不等式a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ). 证明 ∵a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0, ∴a 2+b 2≥2ab . 引申探究1求证a +b 2≥ab (a >0,b >0).证明 方法一a +b 2-ab =12[(a )2+(b )2-2a ·b ]=12·(a -b )2≥0,当且仅当a =b ,即a =b 时,等号成立. 方法二 由例1知,a 2+b 2≥2ab .∴当a >0,b >0时有(a )2+(b )2≥2a b , 即a +b ≥2ab , a +b2≥ab . 引申探究2证明不等式⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b22(a ,b ∈R ). 证明 由例1,得a 2+b 2≥2ab , ∴2(a 2+b 2)≥a 2+b 2+2ab ,两边同除以4,即得⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b 22,当且仅当a =b 时,取等号. 反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用,注意培养应用意识.(2)不等式a 2+b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a +b 2成立的条件是不同的,前者要求a ,b 都是实数,后者要求a ,b 都是正数.跟踪训练1 当a >0,b >0时,求证:21a +1b ≤ab .证明 ∵a >0,b >0, ∴a +b ≥2ab >0, ∴1a +b ≤12ab,∴2ab a +b ≤2ab2ab=ab . 又∵2ab a +b =21a +1b ,∴21a +1b ≤ab (当且仅当a =b 时取等号). 题型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ,y 都是正数. 求证:(1)y x +xy≥2;(2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3. 证明 (1)∵x ,y 都是正数, ∴x y >0,yx >0, ∴y x +x y≥2 y x ·x y =2,即y x +xy≥2, 当且仅当x =y 时,等号成立. (2)∵x ,y 都是正数, ∴x +y ≥2xy >0,x 2+y 2≥2x 2y 2>0,x 3+y 3≥2x 3y 3>0, ∴(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3=8x 3y 3, 即(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x =y 时,等号成立.反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.跟踪训练2 已知a ,b ,c 都是正实数,求证:(a +b )(b +c )·(c +a )≥8abc . 证明 ∵a ,b ,c 都是正实数,∴a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,c +a ≥2ca >0, ∴(a +b )(b +c )(c +a )≥2ab ·2bc ·2ca =8abc ,即(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc , 当且仅当a =b =c 时,等号成立. 题型三 用基本不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品,第一年产量为A ,第二年的增长率为a ,第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x (a ,b ,x 均大于零),则( ) A .x =a +b2B .x ≤a +b2C .x >a +b2D .x ≥a +b2答案 B解析 第二年产量为A +A ·a =A (1+a ),第三年产量为A (1+a )+A (1+a )·b =A (1+a )(1+b ). 若平均增长率为x ,则第三年产量为A (1+x )2. 依题意有A (1+x )2=A (1+a )(1+b ), ∵a >0,b >0,x >0, ∴(1+x )2=(1+a )(1+b )≤⎣⎡⎦⎤(1+a )+(1+b )22,∴1+x ≤2+a +b 2=1+a +b 2,∴x ≤a +b2(当且仅当a =b 时,等号成立).反思感悟 基本不等式a +b2≥ab 一端为和,一端为积,使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.跟踪训练3 设a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =lg a +lg b 2,R =lg a +b2,则P ,Q ,R 的大小关系是( ) A .R <P <Q B .P <Q <R C .Q <P <R D .P <R <Q答案 B解析 ∵a >b >1,∴lg a >lg b >0, ∴lg a +lg b2>lg a ·lg b ,即Q >P .① 又a +b2>ab >0, ∴lga +b 2>lg ab =12(lg a +lg b ),即R >Q .② 综合①②,有P <Q <R .演绎:条件不等式的证明典例 (1)当x >0,a >0时,证明x +ax ≥2a ;(2)当x >-1时,证明x 2+7x +10x +1≥9.证明 (1)∵x >0,a >0,∴ax >0.由基本不等式可知,x +ax≥2x ·ax=2a . 当且仅当x =a 时,等号成立. (2)x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)+4x +1+5.∵x >-1,∴x +1>0. ∴(x +1)+4x +1≥24=4,∴(x +1)+4x +1+5≥9,即x 2+7x +10x +1≥9.当且仅当x =1时,等号成立.[素养评析] 逻辑推理主要有两类:从特殊到一般,从一般到特殊,演绎就是从一般到特殊的一种推理形式.在本例中,“一般”指基本不等式a +b 2≥ab .当我们对a ,b 赋予特殊值.如令a =x ,b =ax ,就有x +ax≥2a ;①再令①中的x =x +1,a =4,就有x +1+4x +1≥2 4.基本不等式的应用关键就是给a ,b 赋予什么样的值.1.若0<a <b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .a >a +b 2>ab >bB .b >ab >a +b2>aC .b >a +b 2>ab >aD .b >a >a +b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ,∴2b >a +b ,∴b >a +b2>ab .∵b >a >0,∴ab >a 2,∴ab >a .故b >a +b2>ab >a .2.下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A .lg(x 2+1)≥lg(2x ) B .x 2+1>2x C.2xx 2+1≤1 D .x +1x≥2答案 C解析 对于A ,当x ≤0时,无意义,故A 不恒成立;对于B ,当x =1时,x 2+1=2x ,故B 不成立;对于D ,当x <0时,不成立;对于C ,x 2+1≥2x ,∴2xx 2+1≤1恒成立.故选C. 3.若四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列,则( ) A.a +d 2>bcB.a +d2<bcC.a +d 2=bcD.a +d 2≤bc答案 A解析 因为a ,b ,c ,d 成等差数列,则a +d =b +c ,又因为a ,b ,c ,d 均大于0且不相等,所以b +c >2bc ,故a +d 2=b +c2>bc .4.lg 9×lg 11与1的大小关系是( ) A .lg 9×lg 11>1 B .lg 9×lg 11=1 C .lg 9×lg 11<1 D .不能确定 答案 C解析 ∵lg 9>0,lg 11>0, ∴lg 9×lg 11<⎝⎛⎭⎫lg 9+lg 1122=⎣⎡⎦⎤lg (9×11)22=⎝⎛⎭⎫lg 9922<⎝⎛⎭⎫lg 10022=1, 即lg 9×lg 11<1.5.设a >0,b >0,给出下列不等式: ①a 2+1>a ;②⎝⎛⎭⎫a +1a ⎝⎛⎭⎫b +1b ≥4; ③(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4;④a 2+9>6a . 其中恒成立的是 .(填序号)答案 ①②③解析 由于a 2+1-a =⎝⎛⎭⎫a -122+34>0,故①恒成立; 由于a +1a ≥2,b +1b≥2,∴⎝⎛⎭⎫a +1a ⎝⎛⎭⎫b +1b ≥4,当且仅当a =b =1时,等号成立,故②恒成立; 由于a +b ≥2ab ,1a +1b≥21ab, 故(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4,当且仅当a =b 时,等号成立,故③恒成立; 当a =3时,a 2+9=6a ,故④不恒成立. 综上,恒成立的是①②③.1.两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b 2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面:当a =b 时,a +b 2=ab ;另一方面:当a +b2=ab 时,也有a =b .2. 在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.一、选择题1.a ,b ∈R ,则a 2+b 2与2|ab |的大小关系是( ) A .a 2+b 2≥2|ab | B .a 2+b 2=2|ab | C .a 2+b 2≤2|ab | D .a 2+b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2+b 2-2|ab |=(|a |-|b |)2≥0,∴a 2+b 2≥2|ab |(当且仅当|a |=|b |时,等号成立). 2.若a ,b ∈R 且ab >0,则下列不等式中恒成立的是( ) A .a 2+b 2>2ab B .a +b ≥2ab C.1a +1b >2ab D.b a +a b≥2 答案 D解析 ∵a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,∴A 错误; 对于B ,C ,当a <0,b <0时,显然错误;对于D ,∵ab >0,∴b a +ab ≥2b a ·ab=2, 当且仅当a =b 时,等号成立.3.已知m =a +1a -2(a >2),n =⎝⎛⎭⎫1222x - (x <0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A .m >n B .m <n C .m =n D .m ≤n 答案 A解析 ∵m =(a -2)+1a -2+2≥2(a -2)·1a -2+2=4,n =222x -<22=4,∴m >n ,故选A.4.设f (x )=ln x,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f ⎝⎛⎭⎫a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A .q =r <p B .p =r <q C .q =r >p D .p =r >q答案 B解析 因为0<a <b ,所以a +b2>ab .又因为f (x )=ln x 在(0,+∞)上单调递增, 所以f ⎝⎛⎭⎫a +b 2>f (ab ),即p <q .而r =12(f (a )+f (b ))=12(ln a +ln b )=12ln(ab )=ln ab , 所以r =p ,故p =r <q ,故选B.5.已知a ,b ∈(0,+∞),则下列不等式中不成立的是( ) A .a +b +1ab≥2 2 B .(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4 C.a 2+b 2ab ≥2abD.2ab a +b>ab 答案 D 解析 a +b +1ab ≥2ab +1ab ≥ 22, 当且仅当a =b =22时,等号成立,A 成立; (a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥2ab ·21ab=4, 当且仅当a =b 时,等号成立,B 成立; ∵a 2+b 2≥2ab >0,∴a 2+b 2ab ≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立,C 成立;∵a +b ≥2ab ,且a ,b ∈(0,+∞), ∴2ab a +b ≤1,2aba +b≤ab , 当且仅当a =b 时,等号成立,D 不成立. 6.下列说法正确的是( )A .若x ≠k π,k ∈Z ,则⎝⎛⎭⎫sin 2x +4sin 2x min =4 B .若a <0,则a +4a≥-4C .若a >0,b >0,则lg a +lg b ≥2lg a ·lg bD .若a <0,b <0,则b a +a b ≥2答案 D解析 对于A ,x ≠k π,k ∈Z ,则sin 2x ∈(0,1].令t =sin 2x ,则y =t +4t ,函数y 在(0,1]上单调递减,所以y ≥5,即sin 2x +4sin 2x ≥5,当sin 2x =1时,等号成立.对于B ,若a <0,则-a >0,-4a >0.∴a +4a =-⎣⎡⎦⎤(-a )+⎝⎛⎭⎫-4a ≤-4, 当且仅当a =4a ,即a =-2时,等号成立.对于C ,若a ∈(0,1),b ∈(0,1), 则lg a <0,lg b <0,不等式不成立. 对于D ,a <0,b <0,则b a >0,ab >0,∴b a +ab≥2b a ·ab=2, 当且仅当b a =ab ,即a =b 时,等号成立.二、填空题7.设正数a ,使a 2+a -2>0成立,若t >0,则12log a t log a t +12.(填“>”“≥”“≤”或“<”) 答案 ≤解析 ∵a 2+a -2>0,∴a >1或a <-2(舍), ∴y =log a x 是增函数, 又t +12≥ t ,∴log a t +12≥log a t =12log a t . 8.设a ,b 为非零实数,给出不等式:①a 2+b 22≥ab ;②a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎫a +b 22;③a +b 2≥ab a +b ;④a b +b a ≥2.其中恒成立的不等式是 . 答案 ①②解析 由重要不等式a 2+b 2≥2ab ,可知①正确;a 2+b 22=2(a 2+b 2)4=(a 2+b 2)+(a 2+b 2)4≥a 2+b 2+2ab 4=(a +b )24=⎝⎛⎭⎫a +b 22,可知②正确; 当a =b =-1时,不等式的左边为a +b 2=-1,右边为ab a +b =-12,可知③不正确;当a =1,b =-1时,可知④不正确.9.已知a >b >c ,则(a -b )(b -c )与a -c2的大小关系是 .答案(a -b )(b -c )≤a -c2解析 因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,所以a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥(a -b )(b -c ),当且仅当a -b =b -c 时,等号成立.10.设a >1,m =log a (a 2+1),n =log a (a +1),p =log a (2a ),则m ,n ,p 的大小关系是 .(用“>”连接) 答案 m >p >n解析 ∵a >1,∴a 2+1>2a >a +1,∴log a (a 2+1)>log a (2a )>log a (a +1),故m >p >n . 三、解答题11.设a ,b ,c 都是正数,求证:bc a +ca b +abc ≥a +b +c .证明 ∵a ,b ,c 都是正数, ∴bc a ,ca b ,abc也都是正数, ∴bc a +ca b ≥2c ,ca b +ab c ≥2a ,bc a +abc ≥2b , 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a +ca b +ab c ≥2(a +b +c ), 即bc a +ca b +abc≥a +b +c ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.12.已知a >0,b >0,a +b =1,求证:(1)1a +1b +1ab≥8;(2)⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b ≥9. 证明 (1)1a +1b +1ab =1a +1b +a +b ab=2⎝⎛⎭⎫1a +1b , ∵a +b =1,a >0,b >0,∴1a +1b =a +b a +a +b b =2+a b +b a≥2+2=4, ∴1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a =b =12时,等号成立). (2)方法一 ∵a >0,b >0,a +b =1,∴1+1a =1+a +b a =2+b a, 同理,1+1b =2+a b, ∴⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b =⎝⎛⎭⎫2+b a ⎝⎛⎭⎫2+a b =5+2⎝⎛⎭⎫b a +a b ≥5+4=9,∴⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b ≥9(当且仅当a =b =12时,等号成立). 方法二 ⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b =1+1a +1b +1ab. 由(1)知,1a +1b +1ab≥8, 故⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b =1+1a +1b +1ab ≥9,当且仅当a =b =12时,等号成立.13.设0<a <1<b ,则一定有( )A .log a b +log b a ≥2B .log a b +log b a ≥-2C .log a b +log b a ≤-2D .log a b +log b a >2答案 C解析 ∵0<a <1<b ,∴log a b <0,log b a <0,-log a b >0,-log b a >0,∴(-log a b )+(-log b a )=(-log a b )+⎝⎛⎭⎫-1log a b ≥2,当且仅当ab =1时,等号成立,∴log a b +log b a ≤-2.14.设x ,y 为正实数,且xy -(x +y )=1,则( )A .x +y ≥2(2+1)B .xy ≤2+1C .x +y ≤(2+1)2D .xy ≥2(2+1) 答案 A解析 ∵x ,y 为正实数,且xy -(x +y )=1,xy ≤⎝⎛⎭⎫x +y 22,∴⎝⎛⎭⎫x +y 22-(x +y )-1≥0,解得x +y ≥2(2+1),当且仅当x =y =1+2时取等号.。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案(1)
![人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/ddbe4a7c04a1b0717fd5ddd1.png)
基本不等式中不等式在各种题型中均有出现,渗透在各类考试试卷中;基本不等式是不等式中高频考点之一,其应用、变形等是考试热点.本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳.1.基本不等式ab ≤a +b2基本不等式的使用条件:① 一正:a >0,b >0,即:所求最值的各项必须都是正值;② 二定:ab 或a +b 为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数; ③ 三相等:当且仅当a =b 时取等号;即:等号能否取得.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,若忽略了某个条件,就会出现错误. 2.由公式a 2+b 2≥2ab 和ab ≤a +b2可以引申出的常用结论(1)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (2)b a +a b≤-2(a ,b 异号); (3)21a +1b≤ab ≤a +b 2≤a 2+b 22(a >0,b >0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22≤a 2+b 22(a >0,b >0).3.利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x >0,y >0,且xy =P (定值).那么当x =y 时,x +y 有最小值2P .(简记:“积定和最小”) (2)如果x >0,y >0,且x +y =S (定值).那么当x =y 时,xy 有最大值S 24.(简记:“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础,利用基本不等式求最值时应注意:①非零的各数(或式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.解答技巧一:直接应用【母题一】若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值是________. 【解析】由于x >0,y >0,则x +y ≥2xy ,所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +y 22=81,当且仅当x =y =9时,xy 取到最大值81.【答案】81 【变式】1.已知f (x )=x +1x-2(x <0),则f (x )有 ( )A .最大值为0B .最小值为0C .最大值为-4D .最小值为-4【解析】∵x <0,∴f (x )=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤-x +1-x -2≤-2-2=-4,当且仅当-x =1-x ,即x =-1时取等号.【答案】C2.已知0<x <1,则x (3-3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A .13 B .12 C .34D .23【解析】∵0<x <1,∴1-x >0.∴x (3-3x )=3x (1-x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=34.当x =1-x ,即x =12时取等号.【答案】B3.(2014·成都诊断)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )=3x,若f (a +b )=9,则f (ab )的最大值为__________.【解析】∵3a +b=9,∴a +b =2≥2ab ,得ab ≤1,∴f (ab )=3ab≤3.【答案】34.已知a ,b ∈R ,且ab =50,则|a +2b |的最小值是________.【解析】依题意得a ,b 同号,于是有|a +2b |=|a |+|2b |≥2|a |·|2b |=22|ab |=2100=20,当且仅当|a |=|2b |=10时取等号,因此|a +2b |的最小值是20.【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,凑项,凑系数等.不论条件怎么变形,都需要根据条件:凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小.解答技巧二:拆项【母题二】已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t的最小值为________.【解析】∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t-4≥2-4=-2,且在t =1时取等号.【答案】-2解答技巧三:凑项【母题三】若x >2,则函数y =x +1x -2的最小值为________. 【解析】∵x >2,∴y =(x -2)+1x -2+2≥2+2=4,当且仅当x =3时取等号. 【答案】4 解答技巧四:凑系数【母题四】若0<x <83,则函数y =x (8-3x )的最大值为________.【解析】∵x >2,∴y =13(3x )(8-3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +8-3x 22=163,当且仅当x =43时取等号. 【答案】163【变式】1.函数y =x 2+2x -1(x >1)的最小值是( )A .23+2B .23-2C .2 3D .2【解析】∵x >1,∴x -1>0.∴y =x 2+2x -1=x 2-2x +2x +2x -1=x 2-2x +1+2x -1+3x -1=x -12+2x -1+3x -1=x -1+3x -1+2≥2x -1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -1+2=23+2.当且仅当x -1=3x -1,即x =1+3时,取等号.【答案】A2.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的最大值为________. 【解析】∵x >1,∴x -1>0.又x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2+1=3,当且仅当x =2时等号成立.则a ≤3,所以a 的最大值为3.【答案】33.(2014·潍坊一模)已知a >b >0,ab =1,则a 2+b 2a -b的最小值为________.【解析】a 2+b 2a -b =a -b 2+2ab a -b =a -b 2+2a -b =(a -b )+2a -b≥22.当且仅当a -b =2时,取等号.【答案】2 2 4.已知函数f (x )=2xx 2+6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <-3,或x >-2},求k 的值; (2)对任意x >0,f (x )≤t 恒成立,求t 的取值范围. 【解】(1)f (x )>k ⇔kx 2-2x +6k <0.由已知{x |x <-3,或x >-2}是其解集,得kx 2-2x +6k =0的两根是-3,-2. 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=2k ,即k =-25.(2)因为x >0,f (x )=2x x 2+6=2x +6x≤226=66,当且仅当x =6时取等号. 由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立,故t ≥66,即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66,+∞.类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值:求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.(2)知积求和的最值:明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.技巧五:换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知a >0,b >0,a +b =1,则1a +1b 的最小值为________.【解析】∵a >0,b >0,a +b =1,∴1a +1b =a +b a+a +b b =2+b a +ab≥2+2b a ·ab=4, 即1a +1b 的最小值为4,当且仅当a =b =12时等号成立. 【答案】4 【变式】1.本例的条件不变,则⎝⎛⎭⎪⎫1+1a ⎝⎛⎭⎪⎫1+1b 的最小值为________.【解析】⎝⎛⎭⎪⎫1+1a ⎝⎛⎭⎪⎫1+1b =⎝⎛⎭⎪⎫1+a +b a ⎝⎛⎭⎪⎫1+a +b b =⎝⎛⎭⎪⎫2+b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2+a b =5+2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b ≥5+4=9.当且仅当a =b =12时,取等号. 【答案】92.本例的条件和结论互换即:已知a >0,b >0,1a +1b=4,则a +b 的最小值为________.【解析】由1a +1b =4,得14a +14b =1.∴a +b =⎝ ⎛⎭⎪⎫14a +14b (a +b )=12+b 4a +a 4b ≥12+2b 4a +a4b=1.当且仅当a =b =12时取等号.【答案】13.若本例条件变为:已知a >0,b >0,a +2b =3,则2a +1b的最小值为________.【解析】由a +2b =3得13a +23b =1,∴2a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫13a +23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b =43+a 3b +4b 3a ≥43+2a 3b ·4b 3a =83.当且仅当a =2b =32时,取等号.【答案】834.本例的条件变为:已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,则1a +1b +1c的最小值为________.【解析】∵a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,∴1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c =3+b a +ca+a b +c b +a c +b c =3+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎫c b +b c ≥3+2+2+2=9.当且仅当a =b =c =13时,取等号. 【答案】95.若本例变为:已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m ·a n =22a 1,则1m +4n的最小值为________.【解析】设公比为q (q >0),由a 7=a 6+2a 5⇒a 5q 2=a 5q +2a 5⇒q 2-q -2=0(q >0)⇒q =2.a m ·a n =22a 1⇒a 12m -1·a 12n -1=8a 21⇒2m -1·2n -1=8⇒m +n -2=3⇒m +n =5,则1m +4n =15⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +4n (m +n )=15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5+⎝ ⎛⎭⎪⎫n m +4m n ≥15(5+24)=95,当且仅当n =2m =103时等号成立.【答案】956.(2012·浙江)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ) A .245B .285C .5D .6【解析】∵x >0,y >0,由x +3y =5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y +3x =1.∴3x +4y =15(3x +4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y +3x =15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy +4+9+12y x =135+15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y +12y x ≥135+15×23x y ·12yx=5(当且仅当x =2y 时取等号).【答案】C7.已知不等式(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值是( )A .2B .4C .6D .8【解析】(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y =1+a +y x +ax y≥1+a +2a ,∴当1+a +2a ≥9时不等式恒成立,故a +1≥3,a ≥4.【答案】B技巧六:构造一元二次不等式在运用该方式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2+b 22;a +b2≥ab (a ,b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.思考方式还能以保留“和(a +b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向.【变式】1.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( ) A .3 B .4 C .92D .112【解析】依题意,得2xy =-(x +2y )+8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2y 22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x =2y ,x +2y +2xy =8,即⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1时等号成立.∴(x +2y )2+4(x +2y )-32≥0,解得x +2y ≥4或x +2y ≤-8(舍去),∴x +2y 的最小值是4.【答案】B2.若正数x ,y 满足x 2+3xy -1=0,则x +y 的最小值是( ) A .23B .223C .33D .233【解析】对于x 2+3xy -1=0可得y =13(1x -x ),∴x +y =2x 3+13x ≥229=223(当且仅当2x 3=13x,即x =22时等号成立). 【答案】B3.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是________. 【解析】x 2+y 2+xy =1⇔(x +y )2-xy =1⇔(x +y )2-1=xy ≤(x +y2)2,解得-233≤x +y ≤233. 【答案】233类型四、基本不等式的应用1.某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里处.【解析】设x 为仓库与车站距离,由已知y 1=20x,y 2=0.8x .费用之和y =y 1+y 2=0.8x +20x≥20.8x ·20x =8,当且仅当0.8x =20x,即x =5时等号成立.【答案】52.创新题规定记号“⊙”表示一种运算,即a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为正实数).若1⊙k =3,则k 的值为________,此时函数f (x )=k ⊙xx的最小值为________.【解析】1⊙k =k +1+k =3,即k +k -2=0,∴k =1或k =-2(舍),∴k =1.f (x )=k ⊙x x =x +x +1x =1+x +1x ≥1+2=3,当且仅当x =1x,即x =1时等号成立.【答案】1;33.设OA →=(1,-2),OB →=(a ,-1),OC →=(-b ,0)(a >0,b >0,O 为坐标原点),若A ,B ,C 三点共线,则2a +1b的最小值是( )A .4B .92C .8D .9【解析】∵AB →=OB →-OA →=(a -1,1),AC →=OC →-OA →=(-b -1,2).若A ,B ,C 三点共线,则有AB →∥AC →, ∴(a -1)×2-1×(-b -1)=0,∴2a +b =1,又a >0,b >0,∴2a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b ·(2a +b )=5+2b a +2ab≥5+22b a ×2a b=9,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a =2a b ,2a +b =1,即a =b =13时等号成立.【答案】D4.设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0,则当xy z取得最大值时,2x +1y -2z的最大值为( )A .0B .1C .94D .3【解析】由已知得z =x 2-3xy +4y 2(*),则xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4yx-3≤1,当且仅当x =2y 时取等号,把x =2y 代入(*)式,得z =2y 2,所以2x +1y -2z =1y +1y -1y2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1y -12+1≤1.【答案】B5.已知x >0,y >0,x +y +3=xy ,且不等式(x +y )2-a (x +y )+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________.【解析】要使(x +y )2-a (x +y )+1≥0恒成立,则有(x +y )2+1≥a (x +y ),即a ≤(x +y )+1x +y恒成立.由x +y +3=xy ,得x +y +3=xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22,即(x +y )2-4(x +y )-12≥0,解得x +y ≥6或x +y ≤-2(舍去).设t =x +y ,则t ≥6,(x +y )+1x +y =t +1t .设f (t )=t +1t,则在t ≥6时,f (t )单调递增,所以f (t )=t +1t 的最小值为6+16=376,所以a ≤376,即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤-∞,376. 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤-∞,376【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用对勾函数y =x +mx(m >0)的单调性.1.小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A .a <v <abB .v =abC .ab <v <a +b2D .v =a +b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ,∴v =2s s a +s b=2sab a +b s =2ab a +b <2ab2ab=ab .又v -a =2ab a +b -a =ab -a 2a +b >a 2-a 2a +b=0,∴v >a . 【答案】A2.函数y =x 4+3x 2+3x 2+1的最小值是( )A .2 3B .2C .3D .5【解析】y =x 4+3x 2+3x 2+1=(x 2+1)2+(x 2+1)+1x 2+1=(x 2+1)+1 x 2+1+1≥2+1=3,当且仅当(x 2+1)=1x 2+1,即x =0时,取等号. 【答案】C3.(2011·湖南)设x ,y ∈R ,且xy ≠0,则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2+4y 2的最小值为________.【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+4y 2=5+1x 2y 2+4x 2y 2≥5+21x 2y 2·4x 2y 2=9,当且仅当x 2y 2=12时,等号成立. 【答案】94.(2014·贵阳适应性监测)已知向量m =(2,1),n =(1-b ,a )(a >0,b >0).若m ∥n ,则ab 的最大值为__________.【解析】依题意得2a =1-b ,即2a +b =1(a >0,b >0),因此1=2a +b ≥22ab ,即ab ≤18,当且仅当2a =b =12时取等号,因此ab 的最大值是18.【答案】185.已知x >0,y >0,且2x +8y -xy =0,求 (1)xy 的最小值; (2)x +y 的最小值.【解】(1)由2x +8y -xy =0,得8x +2y=1,又x >0,y >0,则1=8x +2y≥28x ·2y=8xy,得xy ≥64,当且仅当x =16,y =4时,等号成立. ∴xy 的最小值为64.(2)由2x +8y -xy =0,得8x +2y=1,则x +y =⎝ ⎛⎭⎪⎫8x +2y ·(x +y )=10+2x y +8y x≥10+22x y ·8yx=18.当且仅当x =12且y =6时等号成立, ∴x +y 的最小值为18.1.(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( )A .lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2+14>lg x (x >0)B .sin x +1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C .x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D .1x 2+1>1(x ∈R ) 【解析】当x >0时,x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2+14≥lg x (x >0),故选项A 不正确;而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;当x =0时,有1x 2+1=1,故选项D 不正确. 【答案】C2.已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4b的最小值是( )A .72 B .4 C .92D .5【解析】依题意,得1a +4b =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b ·(a +b )=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2b a ·4a b )=92,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a +b =2,b a =4a b,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.【答案】C3.若正数x ,y 满足4x 2+9y 2+3xy =30,则xy 的最大值是 ( )A .43 B .53 C .2D .54【解析】由x >0,y >0,得4x 2+9y 2+3xy ≥2·(2x )·(3y )+3xy (当且仅当2x =3y 时等号成立),∴12xy +3xy ≤30,即xy ≤2,∴xy 的最大值为2.【答案】C4.已知a >b >0,则a 2+16ba -b的最小值是________. 【解析】∵a >b >0,∴b (a -b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b +a -b 22=a 24,当且仅当a =2b 时等号成立.∴a 2+16b a -b ≥a 2+16a 24=a 2+64a2≥2a 2·64a 2=16,当且仅当a =22时等号成立.∴当a =22,b =2时,a 2+16b a -b取得最小值16.【答案】165.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?【解】(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x =12x +80 000x-200≥212x ·80 000x-200=200, 当且仅当12x =80 000x,即x =400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200元. (2)不获利.设该单位每月获利为S 元,则S =100x -y =100x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-200x +80 000=-12x 2+300x -80 000=-12(x -300)2-35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[-80 000,-40 000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.1.函数y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值是( )A .9B .2 3C .10D .2【解析】∵x >-1,∴x +1>0.∴y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)+4x +1+5≥2x +1⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +1+5=9.当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,取等号.【答案】A2.(2015·金华十校模拟)已知a >0,b >0,a ,b 的等比中项是1,且m =b +1a ,n =a +1b,则m +n 的最小值是( )A .3B .4C .5D .6【解析】由题意知:ab =1,∴m =b +1a =2b ,n =a +1b=2a ,∴m +n =2(a +b )≥4ab =4.【答案】B3.(2015·西安模拟)设x ,y ∈R ,a >1,b >1,若a x =b y=3,a +b =23,则1x +1y的最大值为( )A .2B .32 C .1D .12【解析】由a x =b y=3,得x =log a 3,y =log b 3,则1x +1y =1log a 3+1log b 3=lg a +lg b lg 3=lg ab lg 3.又a >1,b >1,所以ab ≤(a +b 2)2=3,所以lg ab ≤lg 3,从而1x +1y ≤lg 3lg 3=1,当且仅当a =b =3时等号成立.【答案】C4.已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +2y的最小值是_____________.【解析】∵1x +2y=(2x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2y =4+y x +4x y≥4+2y x ·4x y =8,当且仅当y =12,x =14时,等号成立. 【答案】C5.已知x >0,y >0,且2x +5y =20. (1)求u =lg x +lg y 的最大值; (2)求1x +1y的最小值.【解】(1)∵x >0,y >0,由基本不等式,得2x +5y ≥210xy .∵2x +5y =20,∴210xy ≤20,xy ≤10,当且仅当2x =5y 时,等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x +5y =20,2x =5y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =2,此时xy 有最大值10.∴u =lg x +lg y =lg(xy )≤lg 10=1.∴当x =5,y =2时,u =lg x +lg y 有最大值1.(2)∵x >0,y >0,∴1x +1y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1y ·2x +5y 20=120⎝ ⎛⎭⎪⎫7+5y x +2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7+25yx ·2x y =7+21020, 当且仅当5y x =2xy时,等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x +5y =20,5y x=2xy,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1010-203,y =20-4103.∴1x +1y 的最小值为7+21020.1.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( ) A .3 B .4 C .92D .112【解析】依题意,得(x +1)(2y +1)=9,∴(x +1)+(2y +1)≥2x +12y +1=6,即x +2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x +1=2y +1,x +2y +2xy =8,即⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1时等号成立. ∴x +2y 的最小值是4.【答案】B2.若a ,b 均为大于1的正数,且ab =100,则lg a ·lg b 的最大值是( ) A .0 B .1 C .2D .52【解析】∵a >1,b >1,∴lg a >0,lg b >0.lg a ·lg b ≤lg a +lg b24=lg ab 24=1.当且仅当a =b =10时取等号.【答案】B3.已知不等式x +2x +1<0的解集为{x |a <x <b },点A (a ,b )在直线mx +ny +1=0上,其中mn >0,则2m+1n的最小值为( ) A .4 2 B .8 C .9D .12【解析】易知不等式x +2x +1<0的解集为(-2,-1),所以a =-2,b =-1,2m +n =1,2m +1n =(2m +n )(2m+1n )=5+2m n +2n m ≥5+4=9(当且仅当m =n =13时取等号),所以2m +1n的最小值为9. 【答案】C4.(2014·成都诊断)函数f (x )=lgx2-x,若f (a )+f (b )=0,则3a +1b的最小值为_________.【解析】依题意得0<a <2,0<b <2,且lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2-a ·b 2-b =0,即ab =(2-a )(2-b ),a +b 2=1,3a +1b =a +b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a +1b =12⎝ ⎛⎭⎪⎫4+3b a +a b ≥12(4+23)=2+3,当且仅当3b a =ab ,即a =3-3,b =3-1时取等号,因此3a +1b的最小值是2+3.【答案】2+ 35.(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x 年年底出售,其销售价格为(25-x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元,则y =25x -[6x +x (x -1)]-50(0<x ≤10,x ∈N ), 即y =-x 2+20x -50(0<x ≤10,x ∈N ),由-x 2+20x -50>0,解得10-52<x <10+52.而2<10-52<3,故从第3年开始运输累计收入超过总支出.(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为y =1x [y +(25-x )]=1x (-x 2+19x -25)=19-⎝⎛⎭⎪⎫x +25x ,而19-⎝⎛⎭⎪⎫x +25x ≤19-2x ·25x=9,当且仅当x =5时等号成立,即小王应当在第5年将大货车出售,才能使年平均利润最大.1.若a ,b ∈R 且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A .a +b ≥2abB .1a +1b>2abC .b a +ab≥2D .a 2+b 2>2ab【解析】∵ab >0,∴b a >0,a b >0.由基本不等式得b a +a b ≥2,当且仅当b a =a b,即a =b 时等号成立. 【答案】C2. 函数y =log a (x +3)-1 (a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中m ,n 均大于0,则1m +2n的最小值为( )A .2B .4C .8D .16【解析】点A (-2,-1),所以2m +n =1.所以1m +2n=(2m +n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +2n =4+n m +4m n≥8,当且仅当n =2m ,即m =14,n =12时等号成立.【答案】C3.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值为________.【解析】由x 2+y 2+xy =1,得(x +y )2-xy =1,即xy =(x +y )2-1≤(x +y )24,所以34(x +y )2≤1,故-233≤x +y ≤233,当x =y 时等号成立,所以x +y 的最大值为233. 【答案】2334.已知x >0,y >0,且满足x 3+y4=1,则xy 的最大值为________.【解析】∵x >0,y >0且1=x 3+y 4≥2xy12,∴xy ≤3,当且仅当x 3=y4时取等号.【答案】35.(2014·重庆卷)若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是__________.【解析】由log 4(3a +4b )=log 2ab ,得3a +4b =ab ,且a >0,b >0,∴4a +3b =1,∴a +b =(a +b )·(4a+3b)=7+(3ab+4ba)≥7+23ab·4ba=7+43,当且仅当3ab=4ba时取等号.【答案】7+4 3。
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(4)
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高中数学《3.4 基本不等式》导学案(4)新人教A 版必修5学习目标1.理解并掌握基本不等式及变形应用.2.会用基本不等式求最值问题※ 学习重点、难点:1.利用基本不等式求最值.(重点)2.利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.231,(0)x x y x x ++=>题型一 利用基本不等式解有条件的最值问题1、若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .2、已知2x+3y=4,求xy 的最大值3、若x+3y-2=0,则3x +27y +1的最小值为 ( )A.7B.339C.1+22D.512,33y x x x =+>-12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈题型二 整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错4、已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。
5、若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值6、已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
课后练习:3、设x ,y 都是正数,且1x +2y =3, 求2x +y 的最小值;4、若正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是 .5、若实数满足4=+b a ,则b a 22+的最小值是多少6、若x+2y-2=0,则3x +9y +1的最小值是多少7、若+∈R y x ,且14=+y x ,求yx 12+的最小值8、已知0,0x y >>,且341x y +=,求x y +的最小值。
10、 已知0,0x y >>且1161x y +=,求使不等式2x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
3.4 基本不等式教案(14)2020-2021学年高一数学人教A版必修五第三章
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§3.4 基本不等式(第一课时)【教材分析】基本不等式是人教版必修 5 第 3 章 第 4 节第一课时内容。
本节课的主要学习任务是通过研究赵爽“弦图”中的面积关系,寻找相等关系和不等关系为思路启发研究不等关系,培养学生直观想象能力。
并从重要不等式中观察、抽象出基本不等式, 多角度探究、理解与证明基本不等式。
探究基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,不等式的证明是本节课的核心部分,也是本节课的重点,其中利用基本不等式解决最值问题为本节课的难点。
【学情分析】网课期间,停课不停学,使用万彩动画制作和钉钉平台直播授课。
本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣,也利用了几何画板动态演示,学生可以从中直观感知猜想出不等关系。
通过基本不等式的证明中让学生感受数形统一的辩证性。
对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考,及知识应用的升华。
【设计思想】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具,同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。
因此对于本节课的教学内容,我从在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入新课,告诉学生会标源于中国古代数学家赵爽的“弦图”作出的设计,以个别提问为主研究基本不等式,引导学生观察“弦图”的构成,思考利用面积关系研究问题。
多角度证明重要不等式。
通过重要不等式,学生类比得到基本不等式。
引导学生分析基本不等式的几何解释,感受几何直观与代数证明的紧密结合时,让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功,享受学习的乐趣。
【教学目标】 一、知识与技能1.2a b+的证明过程,了解这个基本不等式的几何意义,并掌握取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题; 2.通过实例探究抽象基本不等式,体会特殊到一般的数学思想方法;3.通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题、解决问题的能力,并能进行简单应用。
高中数学最新学案 第3章 第10课时 基本不等式的证明(1)(学生版) 新人教A版必修5
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3.4基本不等式的证明(1)【学习导航】学习要求1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价1.算术平均数: 2.几何平均数3.设a ≥0,b ≥0则2a b+的关系为4.基本不等式的证明方法: 【精典范例】例1..设a 、b 为正数, 求证明:2a b+³点评:1.不等式证明的方法:(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法2.本题对a ≥0,b ≥0时仍成立,且题中等号当且仅当a=b 时成立.3.把不等式2a b+³≥0,b ≥0)称为基本不等式4.由本题可知,两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释:半径不小于半弦. 例2. 利用基本不等式证明下列不等式: (1) 已知a>0,求证 a+12a³ (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->点评:1..基本不等式的变形公式: (1) 222(,)a b ab a bR +澄(2) 22(,)2a b ab a b R +N(3) ,)a b a b R ++澄(4) 2()(,)2a b ab a b R ++N2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题,尤其是不等式两边均为三项,可将一边变成六项,分成三组.对每一组用基本不等式.3.注意严格不等式的证明方法.思维点拔:1.上面两例在于:(1)揭示基本不等式的内容与证法.(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧,以让学生初步领会不等式证明的基本方法.2.基本不等式的推广:n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.即若a i ≥0(i=1,2,…,n),12na a a n++鬃?(n>1,n ÎN)追踪训练1.设P为正数,求下列各组数的算术平均数与几何平均数.学习札记(1)2与8(2)3与12(3)P与9P(4)2与22p2.已知a>1求证a+11a-≥33.已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥1 34.已知a , b , c不全相等的三个正数, 且。
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3.4 基本不等式:ab ≤a +b 2(一) 自主学习知识梳理1.如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2________2ab (当且仅当________时取“=”号).2.若a ,b 都为________数,那么a +b 2________ab (当且仅当a ________b 时,等号成立),称上述不等式为________不等式,其中________称为a ,b 的算术平均数,________称为a ,b 的几何平均数.3.基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b 22 (a ,b ∈R );(2)当x >0时,x +1x≥________; 当x <0时,x +1x≤________. (3)当ab >0时,b a +a b≥________; 当ab <0时,b a +a b≤________. (4)a 2+b 2+c 2________ab +bc +ca ,(a ,b ,c ∈R ).自主探究 1.下面是基本不等式ab ≤a +b 2的一种几何解释,请你补充完整. 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC =a ,CB =b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连结AD ,BD .由射影定理可知,CD =____________,而OD =____________,因为OD ________CD ,所以a +b 2________ab ,当且仅当C 与O ________,即________时,等号成立.2.当a >0,b >0时,21a +1b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22这是一条重要的基本不等式链,请你给出证明.对点讲练知识点一 利用基本不等式比较大小例1 已知正数0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,则a +b ,2ab ,2ab ,a 2+b 2,其中最大的一个是( )A .a 2+b 2B .2abC .2abD .a +b总结 (1)大小比较除了用比较法,也可利用已知的不等式.(2)本题是选择题,因此也可以采用赋值法,取特殊值解决.变式训练1 设0<a <b ,且a +b =1,在下列四个数中最大的是( )A.12B .bC .2abD .a 2+b 2知识点二 利用基本不等式证明不等式例2 设a 、b 、c 都是正数,求证:bc a +ca b +ab c≥a +b +c .总结 在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.变式训练2 已知a ,b ,c 为不等正实数,且abc =1. 求证:a +b +c <1a +1b +1c.知识点三 利用基本不等式解含参数问题例3 a >b >c ,n ∈M 且1a -b +1b -c ≥n a -c,求n 的最大值.总结 解决恒成立问题时,常用分离参数的方法求出参数的取值范围.变式训练3 已知不等式(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .8B .6C .4D .21.设a ,b 是两个正实数,用min(a ,b )表示a ,b 中的较小的数,用max(a ,b )表示a ,b 中的较大的数,则有min(a ,b )≤21a +1b≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22≤max(a ,b ).当且仅当a =b 时,取到等号.2.两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b 2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘=’号”这句话的含义要有正确的理解.一方面:当a =b 时,a +b 2=ab ;另一方面:当a +b 2=ab 时,也有a = b .课时作业一、选择题1.已知a >0,b >0,则a +b 2,ab , a 2+b 22,2ab a +b中最小的是( ) A.a +b 2 B.ab C.a 2+b 22 D.2ab a +b2.已知m =a +1a -2 (a >2),n =2212x -骣琪琪桫(x <0),则m 、n 之间的大小关系是( )A .m >nB .m <nC .m =nD .m ≤n3.设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a +b =2,则必有( )A .1≤ab ≤a 2+b 22B .ab <1<a 2+b 22C .ab <a 2+b 22<1 D.a 2+b 22<ab <1 4.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0,12恒成立,则a 的最小值为( ) A .0 B .-2 C .-52D .-3 5.如果正数a ,b ,c ,d 满足a +b =cd =4,那么( )A .ab ≤c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值唯一B .ab ≥c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值唯一C .ab ≤c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值不唯一D .ab ≥c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值不唯一题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6.若lg x +lg y =1,则2x +5y的最小值为________. 7.若a <1,则a +1a -1有最______值,为________. 8.设正数x ,y 满足x +y ≤a ·x +y 恒成立,则a 的最小值是______.三、解答题9.已知a 、b 、c 都是实数,求证:a 2+b 2+c 2≥(a +b +c )23.10.已知x >y >0,xy =1,求证:x 2+y 2x -y≥2 2.§3.4 基本不等式:ab ≤a +b 2(一) 知识梳理1.≥ a =b2.正 ≥ = 基本a +b 2 ab 3.(2)2 -2 (3)2 -2 (4)≥自主探究 1.ab a +b 2≥ ≥ 重合 a =b 2.证明 由于ab ≤a +b 2成立, 只须证明ab ≥21a +1b 和 a 2+b 22≥a +b 2成立即可. ∵ab -21a +1b =ab -2ab a +b =(a +b )ab -2ab a +b =ab (a +b -2ab )a +b =ab (a -b )2a +b≥0 ∴ab ≥21a +1b ,即21a +1b≤ab. ∵⎝⎛⎭⎪⎫a 2+b 222-⎝⎛⎭⎫a +b 22=a 2+b 22-(a +b )24 =2(a 2+b 2)-(a +b )24=a 2+b 2-2ab 4=(a -b )24≥0. ∴ a 2+b 22≥a +b 2,即a +b 2≤ a 2+b 22. 所以21a +1b≤ ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22. 对点讲练例1 D [因为a 、b ∈(0,1),a ≠b ,所以a +b>2ab ,a 2+b 2>2ab ,所以,最大的只能是a 2+b 2与a +b 之一.而a 2+b 2-(a +b)=a(a -1)+b(b -1),又0<a<1,0<b<1,所以a -1<0,b -1<0,因此a 2+b 2<a +b ,所以a +b 最大.]变式训练1 B [∵ab<⎝⎛⎭⎫a +b 22,∴ab<14,∴2ab<12. ∵a 2+b 22>a +b 2>0, ∴ a 2+b 22>12, ∴a 2+b 2>12. ∵b -(a 2+b 2)=(b -b 2)-a 2=b(1-b)-a 2=ab -a 2=a(b -a)>0,∴b>a 2+b 2,∴b 最大.]例2 证明 ∵a 、b 、c 都是正数,∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数. ∴bc a +ca b ≥2c ,ca b +ab c ≥2a ,bc a +ab c≥2b , 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a +ca b +ab c ≥2(a +b +c),即bc a +ca b +ab c≥a +b +c. 变式训练2 证明 ∵1a +1b ≥21ab =2c ,1b +1c ≥21bc =2a ,1c +1a ≥21ac =2 b ∴2⎝⎛⎭⎫1a +1b +1c ≥2(a +b +c), 即1a +1b +1c≥a +b + c. ∵a ,b ,c 不全相等,∴a +b +c<1a +1b +1c . 例3 解 方法一 ∵1a -b +1b -c ≥n a -c,且a>b>c. ∴n ≤a -c a -b +a -c b -c =(a -c )2(a -b )(b -c )∵对a 、b 、c 上式都成立,∴n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a -c )2(a -b )(b -c )min(a -c )2(a -b )(b -c )≥(a -c )2⎣⎡⎦⎤(a -b )+(b -c )22=4. ∴n ≤4,∴n 的最大值为4.方法二 ∵a>b>c ,∴a -c a -b +a -c b -c =(a -b )+(b -c )a -b +(a -b )+(b -c )b -c=2+b -c a -b +a -b b -c≥2+2=4. ∴n ≤4,∴n 的最大值为4.变式训练3 C [只需求(x +y)⎝⎛⎭⎫1x +a y 的最小值大于等于9即可,又(x +y)⎝⎛⎭⎫1x +a y =1+a·x y +y x +a ≥a +1+2 a·x y ·y x =a +2 a +1,等号成立仅当a·x y =y x即可,所以(a)2+2 a +1≥9,即(a)2+2 a -8≥0求得a ≥2或a ≤-4(舍去),所以a ≥4,即a 的最小值为4.] 课时作业1.D [方法一 特殊值法.令a =4,b =2,则a +b 2=3,ab =8, a 2+b 22=10,2ab a +b =83.∴2ab a +b最小. 方法二 2ab a +b =21a +1b ,由21a +1b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22.可知2ab a +b 最小.] 2.A [∵m =(a -2)+1a -2+2≥2(a -2)×1a -2+2=4,n =22-x 2<22=4.∴m>n.] 3.B [∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22,a ≠b ,∴ab<1,又∵a 2+b 22>a +b 2=1, ∴a 2+b 22>1,∴ab<1<a 2+b 22.] 4.B [x 2+ax +1≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0,12上恒成立⇔ax ≥-x 2-1⇔a ≥⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫x +1x max ∵x +1x≥2,∴-⎝⎛⎭⎫x +1x ≤-2,∴a ≥-2.] 5.A [∵a +b ≥2ab ,∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22=4,当且仅当a =b =2时取等号.c +d ≥2cd ,∴c +d ≥2cd =4,当且仅当c =d =2时取等号. 故c +d ≥ab ,当且仅当a =b =c =d =2时取等号.]6.2解析 ∵lg x +lg y =1,∴xy =10,∴2x +5y =2x +x 2≥2. 7.大 -1解析 ∵a<1,∴a -1<0,∴-⎝⎛⎭⎫a -1+1a -1=(1-a)+11-a≥2, ∴a -1+1a -1≤-2,∴a +1a -1≤-1. 8. 2解析 由已知a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y x +y max , ∵x +y 2≤ x +y 2成立,∴x +y ≤2·x +y ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y x +y max =2,∴a ≥ 2. 9.证明 ∵a 2+b 2≥2ab ①b 2+c 2≥2bc ②c 2+a 2≥2ac ③a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2④由①+②+③+④得:3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c)2即a 2+b 2+c 2≥(a +b +c )23. 10.证明 ∵xy =1∴x 2+y 2x -y =(x -y )2+2xy x -y =(x -y )2+2x -y=(x -y)+2x -y ≥2(x -y )·2x -y=2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x -y =2x -y xy =1,即⎩⎪⎨⎪⎧ x =6+22y =6-22时取等号.。