201x-201x学年高中数学 第三章 三角函数章末复习提升 湘教版必修2

2＋tanθ－π
例 2 已知
＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin
1＋tan2π－θ
θ)的值. 解 方法一
2＋tan θ
由已知 1－tan
＝－4， θ
∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，
解得tan θ＝2.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin2 θ－3cos2θ
周期 T＝2kπ＋ 周期 T＝2kπ＋ 周期 T＝kπ 周期性
2π (k∈Z)
2π(k∈Z)
＋π(k∈Z)
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
在[2kπ－2π，2kπ＋π2] 在[2kπ－π，2kπ](k 在每个区间(kπ
单 调
(k∈Z)上都是增函 ∈Z)上都是增函 数；在[2kπ＋2π，2kπ 数；在[2kπ，2kπ
跟踪演练 1 设 f(x)＝ 1－2sin x. (1)求 f(x)的定义域； 解 由 1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x|2kπ＋56π≤x≤2kπ＋136π，k∈Z}.
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值. 解 ∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3， ∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，
4.三角函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x
y＝tan x
图象
定义R 域ຫໍສະໝຸດ Rkπ－2π ， kπ＋π2(k∈Z)
值 [－1,1]
域 x＝2kπ＋2π(k∈Z)时，
最 ymax＝1； 值 x＝2kπ－2π(k∈Z)时，
ymin＝－1
[－1,1]
(－∞， ＋∞)
x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1；x＝2kπ 无最大、 ＋π(k∈Z)时，ymin 最小值 ＝－1
第3章——
三角函数
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
1.三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容： ①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度 与角度的换算. ②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快 速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数 的定义域和一些简单三角函数的值域.
2.同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角 恒等式的证明；能逆用公式sin2 α＋cos2α＝1巧妙解题.
3.诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三 角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有 诱导公式. 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起 来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推 理运算能力和逻辑思维能力提高的目的.
kπ＋π2，0 k∈Z
k2π，0 (k∈Z)
5.三角函数的图象与性质的应用 (1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能 从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分 之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低 点与对称中心之间位置关系等.能从三角函数的图象归纳 出函数的性质.
跟踪演练 2 已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝51. (1)求 tan α 的值；
解
方法一
sin 联立方程
α＋cos
α＝51
①
sin2 α＋cos2 α＝1
②
由①得 cos α＝15－sin α，将其代入②，
整理得25sin2 α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴sin α＞0， ∴sin α＝45，
4sin θcos θ－sin2 θ－3cos2θ
＝
sin2 θ＋cos2θ
＝4tantθan－2θta＋n21θ－3＝8－4＋4－1 3＝15.
2＋tan θ
方法二
由已知 1－tan
＝－4，解得 θ
tan
θ＝2.
即csoins θθ＝2，∴sin θ＝2cos θ.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－ 2cos θ)＝cos2θ＝sin2 cθo＋s2cθos2θ＝tan21θ＋1＝15.
－π2，kπ＋2π)(k
性 ＋32π](k∈Z)上都是 ＋π](k∈Z)上都
∈Z)上都是增 函数
是减函数
减函数
轴对称图形，对称 轴对称图形，对称 中心对称
对 轴方程是 x＝kπ＋ 轴方程是 x＝kπ， 图形，对
称 π2，k∈Z；中心对 k∈Z；中心对称图 称中心
性 称图形，对称中心 形，对称中心
(kπ，0)k∈Z
∴f(x)的值域为[0， 3]， 当 x＝2kπ＋32π，k∈Z 时，f(x)取得最大值.
题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式 (1)牢记两个基本关系式 sin2α＋cos2α＝1 及csoins αα＝tan α，并 能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用 中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数 形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程 思想的应用.
例 1 求函数 y＝ sin x＋ cos x－21的定义域.
sin x≥0，
sin x≥0，
解
由题意知 cos
x－12≥0，
即 cos
x≥21，
如图，结合三角函数线知：
2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z， 2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3k∈Z，
解得 2kπ≤x≤2kπ＋3π(k∈Z)，
∴函数的定义域为x|2kπ≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.
(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、 奇偶性和对称性.在运用三角函数性质解题时，要善于运 用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合 性较强的试题完整准确地进行解答.
题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线， 能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数 线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的 定义域.
(2)诱导公式可概括为 k·2π±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公 式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是 指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是 奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若 是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把 α 看成锐角时 原函数值的符号作为结果的符号.