高一数学必修5课件：本章整合1
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高中数学新教材必修一第五章《三角函数》(1)全套课件
（新教材）第五章 三角函 数（1）
全套课件
1.1 任意角
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11 月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦 标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接 直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
360o 2 rad,
180o rad,
1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360o ,
rad 180o ,
1 rad
180
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角度 制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
1、角的范围
初中角的定义： 从一个点出发引出的两条射线构成的 几何图形(0°,360°)
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
1、花样游泳中，运动员旋转的周数如何 用角度计算来表示？
2、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度 如何表示才比较合理？
2．我们可以使线段 OP 的长为多少，能简化上述计算？
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1.1 任意角
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11 月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦 标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接 直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
360o 2 rad,
180o rad,
1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360o ,
rad 180o ,
1 rad
180
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角度 制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
1、角的范围
初中角的定义： 从一个点出发引出的两条射线构成的 几何图形(0°,360°)
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
1、花样游泳中，运动员旋转的周数如何 用角度计算来表示？
2、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度 如何表示才比较合理？
2．我们可以使线段 OP 的长为多少，能简化上述计算？
新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 本章整合
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真题放送
专题一
专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 数列的通项公式的求法 数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析 式.围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项 的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公 式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法. 1.辅助数列法 利用数列的递推公式,构造一个新的数列(等差或等比数列),由新 数列的通项公式求得通项公式.
方法如下:由an+1-an=f(n),得 当n≥2时,an-an-1=f(n-1),an-1-an-2=f(n-2),…
a3-a2=f(2),a2-a1=f(1). 将以上n-1个等式叠加,得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1), 所以an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1. 为了书写方便,也可以用横式来写:
∴an+an-1=3(an-1+an-2)或 an-3an-1=-(an-1-3an-2),
∴{an+an-1}是首项为 a2+a1=7,公比为 3 的等比数列,{an-3an-1}
是首项为 a2-3a1=-13,公比为-1 的等比数列.
∴an+an-1=7×3n-2(n≥2),
①
an-3an-1=(-1)n-2(-13)(n≥2),
解:由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), …
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1. 当n≥2时,将以上n-1个等式两端分别相加,得
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专题一
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综合应用
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专题一 数列的通项公式的求法 数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析 式.围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项 的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公 式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法. 1.辅助数列法 利用数列的递推公式,构造一个新的数列(等差或等比数列),由新 数列的通项公式求得通项公式.
方法如下:由an+1-an=f(n),得 当n≥2时,an-an-1=f(n-1),an-1-an-2=f(n-2),…
a3-a2=f(2),a2-a1=f(1). 将以上n-1个等式叠加,得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1), 所以an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1. 为了书写方便,也可以用横式来写:
∴an+an-1=3(an-1+an-2)或 an-3an-1=-(an-1-3an-2),
∴{an+an-1}是首项为 a2+a1=7,公比为 3 的等比数列,{an-3an-1}
是首项为 a2-3a1=-13,公比为-1 的等比数列.
∴an+an-1=7×3n-2(n≥2),
①
an-3an-1=(-1)n-2(-13)(n≥2),
解:由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), …
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1. 当n≥2时,将以上n-1个等式两端分别相加,得
高中数学必修五全册PPT课件
在△ABC 中，sinA B C＝
，则△ABC 是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
[答案] C
[解析] 由正弦定理，得 a b c＝
B C＝
设 a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于 c>b>a，故角 C 是△ABC 中最大的角，
因为 cosC＝b2＋2aa2b－c2＝5k22＋×53kk×2－3k7k2 ＝－12<0， 所以 C>90°，即△ABC 为钝角三角形
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边 c＝________.
[答案] 3 [解析] 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－ 2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3.
已知三边解三角形
在△ABC 中：(1)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最 大角；
(2)a:b:c＝1: 3:2，求 A、B、C. [解析] (1)∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大， 又 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12. ∴最大角 C＝120°.
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
人教A版高中数学必修第一册 第5章 三角函数 课件(1)(共38张PPT)
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周 奇期 偶性 性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
第五章
人教2019A版必修 第一册
三角函数
小结与复习
知识框图
三 角 函 数
பைடு நூலகம்
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
解得ab＝ ＝－ －41， .
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋6π)的 值域，但对整个函数的最值的取得与 a 有关系，故对 a 进行分 类讨论．
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
[解析] 原函数变形为 y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a42. 当 0≤a≤2 时，－a2∈[－1,0]， ∴ymax＝1＋b＋a42＝0.① ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4② 由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6(与 0≤a≤2 矛盾)．
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除b记作a|b，表示存在整数k，使得b=ak。
02 03
同余概念
同余是数论中的一个重要概念，表示两个整数除以某个正整数余数相同。 例如，a和b对模m同余记作a≡b(mod m)，表示存在整数k，使得 a=b+km。
素数概念
素数是只有1和本身两个正因数的自然数，是数论研究的基础对象之一。 例如，2、3、5、7等都是素数。
绝对值不等式解法
绝对值不等式的定义
01
含有绝对值符号的不等式。
绝对值不等式的解法
02
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为分段函数或一元一
次不等式组进行求解。
绝对值不等式的性质
03
包括对称性、非负性等。
04
函数与导数应用
函数概念及性质回顾
函数定义
函数是一种特殊的对应关 系，它表达了自变量与因 变量之间的依赖关系。
数列的性质
包括周期性、有界性、单调性等。
等差数列与等比数列
等差数列定义
01 相邻两项之差为常数的数列。
等差数列的通项公式
02 an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列的性质
包括对称性、可加性等。
03
等比数列定义
04 相邻两项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式
05 an=a1*q^(n-1)，其中q为公比。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象：振 幅、周期、相位变换对图象的影
响。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
振幅变换
A的变化对函数图象的影响，包括上下平移和伸缩 变换。
周期变换
ω的变化对函数图象的影响，包括左右平移和伸 缩变换。
相位变换
人教B版高中数学必修5全一册课件
������
=
5 . 11
(2)在通项公式an=3n+2n中,依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项 分别为a1=3×1+21=5,a2=3×2+22=10,a3=3×3+23=17, a4=3×4+24=28,a5=3×5+25=47.
-13-
1.1.1
探究一
正弦定理
探究二 探究三 探究四 探究五
课堂篇 合作学习
(1)将本例3(2)④中的数列变为1,11,111,1 111,…结果如何? (2)变为5,55,555,5 555,…结果又如何?
9 99 999 9 999 解: (1)可将数列各项都乘 9, 再除以 9, 即改写为 , , , ,… 9 9 9 9 10������ - 1 n 分子可以用 10 -1 表示, 数列通项公式为 an = . 9
-5-
2
2 1
2
2
2
(3)先将原数列变形为 1+2,2+4,(
1 2
1
1
),4+16 , ……, 应填 3+8, 即 8 ,
1
1
25
1.1.1
一
正弦定理
二 三 四
首页
课前篇 课前篇 自主预习 自主预习
课堂篇 合作学习
三、数列与函数的关系 【问题思考】 1.填空: 在数列{an}中,对于每一个正整数n(或n∈{1,2,…,k}),都有一个数 an与之对应,因此,数列可以看成以正整数N+(或它的有限子集 {1,2,…,k})为定义域的函数an=f(n),即当自变量按照从小到大的顺 序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果 f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…,f(n),…,其图象是一系列孤立的点.
苏教版高中数学必修5全册完整课件
思考题：
(06江西)在△ABC中设
a
b命题p: c
s命i题nqB: △ABsCi是n等C边三s角i形n，A那么
命题p是命题q的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既充分也不必要条件
结论
12
“正边弦角定互理化和” 是余解弦决定三理角的 问题应常用用的
一个策略
3
正余定理掌握住 三角地带任漫步 边角转化是关键 正余合璧很精彩
B
π 2
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
b2sinAc分o析：sB a2cosAsinB
b a a b 思路二：2 a2 c2 b2 2ac
2 b2 c2 a2 2bc
sbi2(n2aB2 sci2nAbc2 )osaB2(sb2in2cA2coas2 )AsinB
bs2ci2 nbA4 sai2cn2 Ba04
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76,
c a sin C 20sin 76 30(cm). sin A sin 40
(2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24,
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
3
3 2
练习：
1. (05天津)已知ΔABC中， b2 c2 - bc a2 ,
c 1 3,求A和 tanB的值 . b2
A
3
tan
B
1 2
例题分析：
例3.在△ABC中，
22
22
(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B)
高中数学人教A版必修5课件：本章整合1
余弦定理 ������2 = ������ 2 + ������ 2 -2������������cos������,������ 2 = ������ 2 + ������2 -2������������cos������,������ 2 = ������2 + ������ 2 -2������������cos������ cos������ =
专题一
专题二
专题三
专题一 判断三角形的形状 判断三角形的形状,一般有以下两种途径:将已知条件统一化成 边的关系,用代数方法求解;将已知条件统一化成角的关系,用三角 知识求解. 应用在△ABC中,角A,B均为锐角,且cos A>sin B,则△ABC的形状 是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 提示:借助于正弦定理转化为讨论A+B的范围.
专题一
专题二
专题三
应用 已知海岛 A 四周 8 海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行, 在某处望见岛 A 在北偏东 75° ,航行 20 2 海里后, 见此岛在北偏东30° ,若货轮不改变航向继续前进,有无触礁危险? 解:如图,在△ABC 中,依题意得 BC=20 2(海里),
∠ABC=90° -75° =15° , ∠BAC=60° -∠ABC=45° .
4 6 3 , 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.(2015· 福建高考)若△ABC 中,AC= 3,A=45° ,C=75° ,则 BC= .
解析:由三角形内角和定理知 B=60° , 由正弦定理得:
答案: 2
3 sin60°
=
高中数学必修五课件
建模技巧
根据实际问题，选择合适的决策变量，建立目标 函数和约束条件。
3
模型转化
对于一些非标准形式的线性规划问题，需要通过 模型转化将其转化为标准形式。
求解线性规划问题方法
单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的基本 方法，需要掌握其基本原理和计算步 骤。
对偶理论
对偶理论是线性规划中的重要内容， 通过求解对偶问题可以得到原问题的 解。
重点难点分析及学习建议
重点
一元二次不等式、数列、数学归 纳法、平面解析几何初步等是必 修五的重点内容，需要重点关注
和掌握。
难点
圆锥曲线与方程、概率统计等部 分可能存在一定的难度，需要加
强练习和理解。
学习建议
针对重点和难点内容，建议制定 详细的学习计划，多做练习题， 及时复习和总结。同时，积极参 与课堂讨论和探究活动，加深对
的例子。
高阶导数
03
介绍高阶导数的概念和求法，并给出相应的例子。
导数在函数中的应用
导数与单调性
通过导数判断函数的单调性， 并给出相应的例子。
导数与极值
通过导数判断函数的极值点， 并给出求极值的方法。
导数与最值
通过导数求函数的最值，并给 出相应的例子。同时介绍导数 在实际问题中的应用，如优化 问题等。
三角形的面积公式
如底乘高的一半、两边及其夹角正弦值的乘积的 一半等。
实际应用问题举例
测量问题
利用解三角形的方法， 解决测量中的高度、距
离等问题。
振动问题
利用三角函数的周期性 ，描述物体的振动现象
。
交流电问题
利用正弦、余弦函数描 述交流电的电压、电流 等物理量随时间的变化
规律。
其他领域应用
根据实际问题，选择合适的决策变量，建立目标 函数和约束条件。
3
模型转化
对于一些非标准形式的线性规划问题，需要通过 模型转化将其转化为标准形式。
求解线性规划问题方法
单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的基本 方法，需要掌握其基本原理和计算步 骤。
对偶理论
对偶理论是线性规划中的重要内容， 通过求解对偶问题可以得到原问题的 解。
重点难点分析及学习建议
重点
一元二次不等式、数列、数学归 纳法、平面解析几何初步等是必 修五的重点内容，需要重点关注
和掌握。
难点
圆锥曲线与方程、概率统计等部 分可能存在一定的难度，需要加
强练习和理解。
学习建议
针对重点和难点内容，建议制定 详细的学习计划，多做练习题， 及时复习和总结。同时，积极参 与课堂讨论和探究活动，加深对
的例子。
高阶导数
03
介绍高阶导数的概念和求法，并给出相应的例子。
导数在函数中的应用
导数与单调性
通过导数判断函数的单调性， 并给出相应的例子。
导数与极值
通过导数判断函数的极值点， 并给出求极值的方法。
导数与最值
通过导数求函数的最值，并给 出相应的例子。同时介绍导数 在实际问题中的应用，如优化 问题等。
三角形的面积公式
如底乘高的一半、两边及其夹角正弦值的乘积的 一半等。
实际应用问题举例
测量问题
利用解三角形的方法， 解决测量中的高度、距
离等问题。
振动问题
利用三角函数的周期性 ，描述物体的振动现象
。
交流电问题
利用正弦、余弦函数描 述交流电的电压、电流 等物理量随时间的变化
规律。
其他领域应用
人教B版高中数学必修五第一章归纳与总结课件共24张
a
所以
4? sin? 6
?
2，
33
sin
a? A?
b sin
? B
3? 4 1? 2
?
6．
23
温故知新
题型二：正、余弦定理的实际应用 【例2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向 的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/ 小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船 甲同时从B处出发沿北偏东α 的方向追赶渔船乙， 刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值.
【特别提醒】应用正弦定理时，一定要注意解的个数.
跟踪训练
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
A= ? ,a=3,b=4,则 a? b = ( C )
6
sin A?sin B
A.3 3
B.6 3
C.6
D.18
【解析】 由正弦定理 a ? b 可得sinB= bsin A
sin A sin B
∴
cosA? ?
1?
sin2
A
?
?
4 ,
5
又 a ? 3 5，b=5 ，由a2=b2+c2-2bccosA ，得 (3 5)2 ? 52 ? c2 ? 2?5? c? (? 4),
5
整理得，c2+8c-20=0,解得，c=2或c=-10(舍), ∴c=2.
总结升华
正、余弦定理体现了三角形中的边角关系，能实现 边角的互化，应用这两个定理可解决以下几类问题：
? 1 bc sin A 2
? 1 ac sin B 2
解决已知两边及其夹角求三角形面积
典例解析
题型一：利用正、余弦定理解三角形
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公式变形式： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a b c sin A= , sin B= ， sin C= 2R 2R 2R
a:b:c=sinA:sinB:sinC
利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下 两类问题： 1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AAS
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
SSA
(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ， C=30o，求a , b和B.
例2. 在△ABC中，已知 求a,A,C. c=1 , b 3, B 60 ,
例3. 在△ABC中，已知
ca=2, 6, A 45 ,
求b和B,C.
1.1.1正弦定 理
复习三角形中的边角关系
（一）三角形中的边角关系 1、角的关系 A B C 180
2、边的关系
3、边角关系
abc, ab c
大角对大边，小边对小角
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系 2、边的关系
A B 90
2 2
3、边角关系
a b c sin A sin B sin C
a b c
2
探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
正弦定理及其应用
1、正弦定理形式的提出
a b c = = =2R sinA sin B sin C
R是 ABC 的外接圆的半径
正弦定理的推导：
a b c =2R sin A sin B sin C
C
5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是 A、0 B、1 C、2 AD、无数个
a b c sin A= , sin B= ， sin C= 2R 2R 2R
a:b:c=sinA:sinB:sinC
利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下 两类问题： 1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AAS
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
SSA
(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ， C=30o，求a , b和B.
例2. 在△ABC中，已知 求a,A,C. c=1 , b 3, B 60 ,
例3. 在△ABC中，已知
ca=2, 6, A 45 ,
求b和B,C.
1.1.1正弦定 理
复习三角形中的边角关系
（一）三角形中的边角关系 1、角的关系 A B C 180
2、边的关系
3、边角关系
abc, ab c
大角对大边，小边对小角
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系 2、边的关系
A B 90
2 2
3、边角关系
a b c sin A sin B sin C
a b c
2
探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
正弦定理及其应用
1、正弦定理形式的提出
a b c = = =2R sinA sin B sin C
R是 ABC 的外接圆的半径
正弦定理的推导：
a b c =2R sin A sin B sin C
C
5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是 A、0 B、1 C、2 AD、无数个
高中数学必修五课件 整书全套
典例突破 两角任一边
变式1. 在∆������������������中，已知B=45º，C=60º，a=12cm，解此 三角形．
【解析】∵ B=45º，C=60º
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第一章 解三角形 §1.1.1 正弦定理
目标定位 学习目标和重难点
【学习目标】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
【重、难点】 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
3. 解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解 三角形．
自主探究 （二）深层探究
1. 对定理的证明，教材用___等__高__法____方法证明了直角三角 形和锐角三角形的情况，为证明任意三角形中的正弦定理， 还需要证明__钝__角__三__角__形___三角形的情况.
2. 请给出上述情况下的定理的证明.
知识链接 三角形中的边角关系
问题1. 在一个三角形中，有几个角？有几条边？ 【答案】 三个角，三条边
问题2. 在一个三角形中，三个内角有怎样的数量关系？三条边 有怎样的数量关系？ 【答案】 三个内角和等于180°；三条边满足：任意两边 之和大于第三边，任意两边只差小于第三边.
问题3. 在一个三角形中，边与角有怎样的数量关系？ 【答案】 大边对大角
自主探究 （二）深层探究
证明：当∆������������������是钝角三角形时，设������为钝角，边������������上的高为
������������，如图,
则在Rt∆������������������中，������������ = ������sin������；
2019版数学人教A版必修5课件：第一章 本章整合 .pdf
再用三角形内角和定理求出第三个角 解三角形
已知两边和它们的夹角:先用余弦定理
求出另一边和一角,再求出第三个角
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本章整合
知识建构综合应用源自真题放送专题一专题二
专题三
专题一 判断三角形的形状 根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判 断三角形的形状,需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的 关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型, 此类题目要求准确地把握三角形的分类,三角形按边的关系分为等 腰三角形、等边三角形和不等边三角形;三角形按角的关系分为锐 角三角形、直角三角形和钝角三角形. 判断三角形的形状,一般有以下两种途径:将已知条件统一化成 边的关系,用代数方法求解;将已知条件统一化成角的关系,用三角 知识求解,在解三角形时常用的结论有:
< π, C>0⇔0<C<
π.
2
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知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
应用1若a,b,c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,
则△ABC一定是( ).
A.直角三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
提示:由直线与圆相离,得圆心到直线的距离大于半径,列出关于
本章整合
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知识建构
综合应用
真题放送
������ sin������
=
������ sin������
=
������ sin������
已知两角和一边:先求第三个角,
正弦定理
再用正弦定理求出另两边
解三角形 已知两边及其中一边的对角:先用
人教A版高中数学必修五课件1章归纳整合.pptx
专题一 正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、 正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题 目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的 选择和方程思想的应用．
【例1】 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， 设 a，b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2 和bc＝21＋ 3，求
由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
专题三 解斜三角形在实际问题中的应用
解斜三角形应用题的步骤： (1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用
题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角 等．
(2)根据题意画出图形． (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通 过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模 型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后 作答．
专题四 函数与方程思想
与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就 是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各 量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的 值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联 系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设 了由已知探索未知的桥梁．
⇔A＝B 或 A＋B＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为
边，如：sin A＝2aR(R 为△ABC 外接圆半径)，cos A＝b2＋2cb2c－a2
等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．
4．解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题 来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型 的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出 示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已 知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化， 哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的 要求．
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• 1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三 边，并且大边对________，小边对________．
• 2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定理，即________．
• [答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2＋b2＝c2
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
3．解三角形 (1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形． (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而 进一步求出其他的边和角)． (3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方 法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数．
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5 9 3，而
35 2<
9
3<1，
∴当 B 为锐角时，满足 sinB＝593的 B 的取值范围为
60°<B<90°.
∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以
• 当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示，也可类似证明．
• 对正弦定理的理解： • (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． • (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． • (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与
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