人教版数学高中必修5课件 (62)

[学习目标] 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．

知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1．公式

(1)三角形面积公式S ＝12ah .

(2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2

ca sin B . (3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．

2．证明

(1)三角形的高的计算公式

在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 对应的边长分别为a ，b ，c ，边上的高分别记为h a ，h b ，h c ，则h a ＝b sin C ＝c sin B ，h b ＝c sin A ＝a sin C ，h c ＝a sin B ＝b sin A .

借助上述结论，如图，若已知△ABC 中的边AC ，AB ，角A ，那么AB 边上的高CD ＝b sin_A ，△ABC 的面积S ＝1

2

bc sin A .

(2)三角形的面积与内切圆

已知△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积为S ＝1

2r (a ＋b ＋c )．

如图，设△ABC 内切圆圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，

则S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝12cr ＋12br ＋12ar ＝1

2(a ＋b ＋c )r .

思考 (1)已知△ABC 的面积为3

2，且b ＝2，c ＝3，则A ＝________.

(2)在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)60°或120° (2)

3

2

解析 (1)S ＝12bc sin A ＝3

2，

∴12·2·3·sin A ＝32，∴sin A ＝3

2， 又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝60°或120°. (2)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，

∴sin C ＝c sin A a ＝2·sin 30°

1＝1，

又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝90°， ∴b ＝c 2－a 2＝22－12＝ 3. ∴S △ABC ＝12×1×3＝3

2.

知识点二 多边形的面积

对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决．

题型一 三角形的面积公式及其应用

例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝4

5，b ＝ 3.

(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．

解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝3

5.

于是sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋1

2sin A ＝3＋4310

.

又因为B ＝π

3

，b ＝3，

所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝6

5

.

于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6

5×3×3＋4310＝36＋9350

.

反思与感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根．

跟踪训练1 如图所示，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．

解 连接BD ，则四边形ABCD 的面积为

S ＝S △ABD ＋S △CDB

＝12AB ·AD sin A ＋1

2BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝1

2(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A

＝1

2(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△CDB 中，由余弦定理得

BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C .

∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，∴cos A ＝－1

2，

又A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°， ∴S ＝16sin 120°＝8 3.

题型二 三角形面积的最值问题

例2 已知△ABC 的外接圆半径为R ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，求△ABC 面积的最大值． 解 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ， 即a 2＋b 2－c 2＝2ab .

由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22，

∵C ∈(0，π)，∴C ＝π

4

.

∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22

＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin(3

4π－A )

＝2R 2sin A (

22cos A ＋2

2

sin A ) ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝R 2(1

2sin 2A ＋1－cos 2A 2)

＝R 2[

22sin(2A －π4)＋12

] ∵A ∈(0，34π)．∴2A －π4∈(－π4，54

π)

∴sin(2A －π4)∈(－2

2，1]，∴S ∈(0，2＋12R 2]，

∴面积S 的最大值为

2＋12

R 2

. 反思与感悟 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系或(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．

跟踪训练2 若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，求面积S 的最大值．

解 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)， 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )，