高三数学阶段性检测

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江苏省扬州中学2024届高三上学期1月月考数学

江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学 2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B ⋃=（）A. ()5,0- B. ()6,2- C.()6,0- D. ()5,2-2. (2＋3i)(2－3i)＝A.5B. －1C. 1D.73. 已知向量()()1,2,3,1a b == ，则a 在a b +上的投影向量为（）A.B. C.24,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 已知函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn ln sgn 11x x ⨯+=”是“1x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（）A. 10- B. 11- C. 13- D. 15-6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知24,AB BC PAD ==△和QBC △均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为150︒，则该刍薨的体积为（）A.B.C.D. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（）A. 1B. 2C. D. 48. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在最值，且在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，满足()f x ≥恒成立，则ω的取值范围是（）A. 1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B. 120,,133⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.1150,,636⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D. 110,,163⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且M ，N 相互独立，则()()1P N M P N +=C. 由两个分类变量X ，Y 的成对样本数据计算得到28.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断X ，Y 独立D. 若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10. 已知圆O ：224x y +=，过直线l ：60x y +-=上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（）A. 若点P 的坐标为(1,5)，则PA = B. PAO面积的最小值为C. 直线AB 过定点22,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 4AB ⎫∈⎪⎪⎭11. 已知()()2log ,2xf x x xg x x =+=+，若()()2f a g b ==，则（）A. 2b a = B. 2a b += C. 1a b ->D.324ab <<-12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（）A. 存在点P 满足平面//PBD 平面11B D CB. 当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D -的外接球体积为C. 若()101DP DA λλ=≤≤ ，则PQ PB -最小值为32D. 若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知1sin cos 5αα+=-，()0,πα∈，则tan α=__________.14.数列{}n a 满足11a =，且()22*113202,n n n n a a a a n n ---+=≥∈N ，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()f x =__________.①()()2f x f x x ⋅-=-；②函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增.16．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________.的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，②首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na na⋅前n 项和n T 的表达式.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,,22AB CD AB BC AB BC CD PD PC ⊥====∥，设,,E F M 分列为棱,,AB PC CD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAM ；（2）若PA PM =，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 如图，在ABC 中，BAC ∠，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC 面积的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，斜率为2的直线l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，ABD △面积为169．（1）求C 的方程；（2）当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN 周长的最小值．21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。

山东省名校考试联盟2023-2024学年高三上学期12月阶段性检测数学答案及评分细则

山东名校考试联盟2023年12月高三年级阶段性检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．35； 14．3281； 15．6−； 16．2a ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】（1）方法一：因为等差数列{}n a 中，2616a a +=，所以48a =， …………………………………2分又因为15355()5(2)3022a a a S +===，所以36a =， …………………………………4分所以122a d ==，，2n a n =. …………………………………5分方法二：由，，得 …………………………………2分解得 …………………………………4分所以 ………………………………5分（2）由（1）得2n S n n =+， ………………………………7分所以ABC △. ……………………… 12分【评分说明】 1.方法一中没有标注t 的取值范围，不扣分；2.方法二中没有指出等号成立的条件扣一分.20．【解析】（1）连接1AB ，设11A B AB M =，则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥，………………1分因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC平面111ABB A A B =，AM ⊂平面11ABB A ，所以AM ⊥平面1A BC ，因为BC ⊂平面1A BC ，AM BC ⊥，…………………2分又在直三棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BC ⊥， …………………………………3分因为11AM BB B =，AM ，1BB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ，………………………………4分又因为AB ⊂平面11ABB A ，所以AB BC ⊥； …………………………………5分（2）由（1）得AM ⊥平面1A BC ，则直线AC 与平面1A BC 所成的角为6ACM π∠=，在正方形11ABB A 中，2,2AB AM AC BC =====，…………… 7分建立以B 为原点的空间直角坐标系B xyz −，如图所示：(0,2,0)A ，(2,0,0)C ，(0,1,1)M ， ………………………8分设11(2,2,2)A E A C λλλλ==−−，[0,1]λ∈，则11(2,22,22)BE BA A E λλλ=+=−−，又(0,2,0)BA =设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，则20(1)(1)0n BA y n BE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+−+−=⎪⎩，取1x =，则0y =，1z λλ=−，故曲线()n y f x =在2x =−处的切线斜率为12n −．………………………………………2分（2）因为()22e −x f x k 对任意x ∈R 恒成立，则()22122e e −−+−=x x x x f x k对任意x ∈R 恒成立． ……………………………………3分令212()e −−+=x x x g x ，则()()42e −'=xx x g x ，故()g x 在(,0]−∞上单调递减，在(0,4)上单调递增，在[4,)+∞上单调递减 …………4分又(0)1g =−，且当4x >时， ()0g x >， ………………………………………5分故()g x 的最小值为(0)1g =−，故1k −，即k 的取值范围是(,1]−∞−． ………………………………………6分(3) ()1111n f n '−=−−−−=−．当1x ≠−时，()()()()()211111.11n n n n n x x f x x x x x x −−−−−'=−+−++−=−=−−+………………7分因此当n 为奇数时，()2311231n n n x x x x f x x n n −=−+−++−−．此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧+−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩ 则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减．此时(0)10n f =>．1()1f x x =− 显然有唯一零点，无最小值．当2n 时，()2312222212231−=−+−++−−n nn f n n()2123212220.321−⎛⎫⎛⎫=−+−++−< ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭n n n n 且当2x >时，()()()231211231311,321n n n n x x x x f x x n n x x n x x x x n n −−⎛⎫⎛⎫=−+−++− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=−+−++−<− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭由此可知此时()n f x 不存在最小值．从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值．………………………………… 8分当2()n k k *=∈N 为偶数时，()2311231n nn x x x x f x x n n−=−+−+−+−，此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩则()n f x 在(,1]−∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()111111110,2321n f n n n⎛⎫⎛⎫=−+−++−+> ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ 即()(1)0n n f x f >，当n 为偶数时，()n f x 没有零点．………………………………… 9分在不等式()ln 1(0)1x x x x +>>+中令1x n =可得11ln 1n n n +>+，分别取,1,,21n k k k =+−可知 ()2111111112342121111111223224211111112322111122−=−+−++−−⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++k f k kk k k k k k k……………………………10分 1222ln ln ln ln ln 2,121++<+++==+−k k k k k k k k…………………………11分即()211ln 2k m f =>−．从而当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−． ……………… 12分综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−．。

高三数学阶段性试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + b，若f(1) = 0，f(2) = 4，则a、b的值为：A. a=1, b=1B. a=2, b=1C. a=1, b=2D. a=2, b=22. 下列命题中正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则ac < bc3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 24，则数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)5. 若等比数列{an}的公比q > 1，首项a1 > 0，则下列结论正确的是：A. an > 0B. an < 0C. an > a1D. an < a16. 函数y = 2^x + 3在定义域内的值域为：A. (3, +∞)B. [3, +∞)C. (0, +∞)D. [0, +∞)7. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，∠B = 30°，则sinC的值为：A. 1/2B. √3/2C. 1/√3D. √38. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 2]上单调递增，则下列结论正确的是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c > 0D. a < 0, b < 0, c > 09. 在直角坐标系中，若点P(x, y)到点A(2, 1)的距离等于点P到直线x + y - 3 = 0的距离，则点P的轨迹方程为：A. x + y - 3 = 0B. (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 + y^2 = 910. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上有极值，则f(x)在区间[0, 2]上的极值点为：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = -1二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则a、b、c的取值范围分别为______。

山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)

山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<，所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增，结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=，代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=，即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3，长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=，所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×，所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠，所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===，若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−，若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知，要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，需22a−<，解得1a <−，所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ，【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−，则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =，当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =；当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解，若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+，设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−，由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈，又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+，所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x ′=，得x m =，当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减，当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+，令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′，令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>，所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解；（2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−，因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=，即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−，则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =，所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数，由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−，所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值；（2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形；（3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）1− （2）证明见解析（3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′，令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号，则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′，则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++，所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾；当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾；所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′，此时()()08ln 2f x f >=，矛盾；当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′，此时()()08ln 2f x f >=，矛盾；因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′，当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增；当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减；此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意；当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ．（2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <．【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个，两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4，则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意；当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意；综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意；当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意；当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。

湖南省长沙市2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题含答案

长沙市2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷（答案在最后）时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B = （）A.()1,1- B.()0,1 C.[)0,1 D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】根据题意，可得{}{}11,0A x x B x x =-<<=≥，故{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=.故选：C .2.已知复数z 满足i 12i =-+z ，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i 12i =-+z 212i (12i)i2i i iz -+-+⋅⇒===+2i z ⇒=-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A B +有8个样本点，则()P AB =（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】依题意计算可得()12P A =，()13P B =，()23P A B +=，再由概率的加法公式计算即可得1()6P AB =.【详解】根据概率公式计算可得()61122P A ==，()41123P B ==，()82123P A B +==；由概率的加法公式可知()()()()P A B P A P B P AB +=+-，代入计算可得1()6P AB =故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{a n }的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到5151035S a d =+=，511413a a d a =+=，解得答案.【详解】5151035S a d =+=；511413a a d a =+=，解得3d =，11a =.故选：D5.已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（）A.2- B.2C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+-⎪⎝⎭，利用二项式展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=求出24x y 的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅，令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2rrr r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅，令5214r r -=⎧⎨+=⎩，解得r =3，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-，又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80，所以4080m -=，解得2m =-.故选：A.6.如图，正方形ABCD 中，2,DE EC P = 是直线BE 上的动点，且(0,0)AP x AB y AD x y =+>>，则11x y+的最小值为（）A. B. C.43+ D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定图形，用,AB AE 表示向量AD，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形ABCD 中，2DE EC =，则2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=- ，而AP xAB y AD =+ ，则(22)()33A B x AE A x P AB y AB y E y A --=++=，又点,,B P E 共线，于是2()13x y y -+=，即13y x +=，而0,0x y >>，因此313111)(444()333x y x x y y x y x y ++=+=+++≥+，当且仅当3x y y x =，即3332y -==时取等号，所以当33,22x y ==时，11x y +取得最小值43+.故选：C 7.设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()e 1,0xf x x x =--≥.利用导数判断单调性，证明出0.03e 10.03->.构造函数()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03<，得到c b >；构造函数()()()ln 1,01xh x x x x =+-≥+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103>，即为b a >.即可得到答案.【详解】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以c b >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以b a >.综上所述：c b a >>.故选：C8.已知()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，tan tan 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭παβ，则()cos 44+=αβ（）A.7981-B.7981C.4981-D.4981【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.【详解】()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫ ⎪--⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，222612tan 2tan 21tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫ ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭-.()()2221tan 2tan 2cos 2261n2si ta n αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()221tan 2cos 21s 6ta i 2n n αβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()()2cos 16c sin os αβαβαβ-⨯=--，()1sin 3αβ-=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，又因为tan tan 32⎛⎫-=⎪⎝⎭παβ，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，则11cos sin ,sin cos 62αβαβ==，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=()()241cos 12sin 129922αβαβ=-=-⨯=++.()()2179cos 442cos 221218181αβαβ+=+-=⨯-=-.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.81.510n n a +=，所以 4.81.5(1)6.31.511010n n n a ++++==所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{a n }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=；②1260F F P ∠=︒；③PO 平分12F PF ∠；④点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，能使双曲线Ｃ的离心率为1+）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】AD 【解析】【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c 的等量关系，从而确定离心率.【详解】③PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =，点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：120PF PF ⋅=，1260F F P ∠=︒，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；若选②④：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，可得四边形12F QF P 为矩形，即12PF PF ⊥，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；故选：AD11.如图，ABCD 是底面直径为2高为1的圆柱1OO 的轴截面，四边形1OO DA 绕1OO 逆时针旋转()0θθπ≤≤到111OO D A ，则（）A.圆柱1OO 的侧面积为4πB.当0θπ<<时，11DD AC ⊥C.当3πθ=时，异面直线1A D 与1OO 所成的角为4πD.1A CD 【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由圆柱的侧面积公式可得；对于B ，由线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于C ，由题知，11DO D 为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；对于D ，作1D E DC ⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理得1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=【详解】对于A ，圆柱1OO 的侧面积为2112ππ⨯⨯=，A 错误；对于B ，因为0θπ<<，所以11DD D C ⊥，又111DD A D ⊥，所以1DD ⊥平面11A D C ，所以11DD AC ⊥，B 正确；对于C ，因为111//A D OO ，所以11DA D ∠就是异面直线1A D 与1OO 所成的角，因为113DO D π∠=，所以11DO D 为正三角形，所以1111DD A D ==，因为111A D DD ⊥，所以114DA D π∠=，C 正确；对于D ，作1D E DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，所以DC ⊥平面11A D E ，所以1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯= ，所以()1maxA CD S = ，D 错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，某景区共有,,,,A B C D E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.【答案】32【解析】【分析】将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，分析可得只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可.①走BA 路线：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，3157426，共6种；②走BC 路线：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6种；③走BE 路线：7513426，7543126，7621345，7624315，共4种；综上，共有()266432⨯++=种检测顺序.故答案为：3213.已知函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值的集合为______.【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2π42n T ω==+，由函数在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数可得12ω≤，然后对ω的取值逐一验证，然后可得π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭取值.【详解】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，3πππ2442T nT +=-=，得π,21T n n =∈+Z ，所以2π42n Tω==+，又函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以7πππ212212T ≥-=，即6πT ≥，所以12ω≤，所以，ω的可能取值为2,6,10±±±.当0ω>时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，经检验，2,6,10ω=时不满足题意；当0ω<时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω+≤≤-+∈Z ，经检验，2,6ω=--时满足题意.所以，12f π⎛⎫-⎪⎝⎭的可能取值为ππ1ππsin ,sin 11262122f f ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定ω的可能取值，再通过验证即可求解.14.斜率为1的直线与双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）交于两点,A B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC BC ⊥，OAC 和OBC △的重心分别为,P Q ，ABC V 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为1k ，2k ，3k ，若1238k k k =-，则双曲线E 的离心率为______.【解析】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值22b a ，取,AC BC 的中点,M N ，得到2122AC BC b k k k k a ⋅=⋅=，再由AC BC ⊥，22OR b k a=，结合所以1238k k k =-，求得b a =c e a ==.【详解】若直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=有两个交点,G H ，设,G H 的中点为K ，联立方程组22221y kx mx y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222222222()20b a k x a kmx a m a b ----=，可得22222G H a km x x b a k +=-，则22222G H K x x a kmx b a k+==-，又由(,)K K K x y 在直线y kx m =+上，可得22222222K a km b my m b a k b a k=+=--，所以22K OKK y b k x ka ==，所以22GH OK b k k a⋅=，即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值22b a，如图所示，取,AC BC 的中点,M N ，因为OAC 的重心P 在中线OM 上，OBC △的重心Q 在中线ON 上，所以1OP OM k k k ==，2OQ ON k k k ==，可得22OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=，即2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=，又由AC BC ⊥，可得1AC BCk k ⋅=-，可得22122()b k k a⋅=-因为AC BC ⊥，且ABC V 的外心为点R ，则R 为线段AB 的中点，可得22OR ABb k k a ⋅=，因为1AB k =，所以22OR b k a=，所以2321238()b k ak k =-=-，所以b a =，所以c e a ===.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设函数()()2ln f x x ax x a =-++∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）e11,e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()f x '，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得ln x a x x =-，构造函数()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为最值问题，即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()2ln ,f x x x x f x =-++的定义域为()0,∞+，()212121x x f x x x x-++=-++='，令()0f x '>，则2210x x --<，解得01x <<，令()0f x '<，则2210x x -->，解得1x >.∴函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.【小问2详解】令()2ln 0f x x ax x =-++=，则ln xa x x=-.令()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2221ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-='.令()0g x '>，解得1e x <≤，令()0g x '<，解得11ex ≤<.()g x ∴的单调递减区间为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,e ，()min ()11g x g ∴==.又()111e ,e e e e e g g ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，a ∴的取值范围是e 11,e ⎛⎤-⎥⎝⎦.16.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，四边形11CC D D 为矩形，平面11CC D D ⊥平面,ABCD E 为线段1CD 的中点，且BE CE =.（1）求证：AD ⊥平面11BB D D ；（2）若4,2AB AD ==，直线1A E 与平面11BB D D 所成角的正弦值为155，求二面角1D AB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到1D B BC ⊥，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面11CC D D ⊥平面ABCD 得到1AD D D ⊥，最后根据线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设()10DD t t =>，利用已知条件和线面角的坐标公式求出t ，再利用面面角的坐标公式求解即可.【小问1详解】在1BCD 中，E 为线段1CD 的中点，且BE CE =，所以1D E CE BE ==，所以112BE CD =，1BCD 为直角三角形，且190CBD ∠=︒，所以1D B BC ⊥，因为底面ABCD 为平行四边形，AD BC ∥，所以1AD D B ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，所以1D D DC ⊥，因为平面11CC D D ⊥平面ABCD ，平面11CC D D 平面1,ABCD DC D D =⊂平面11CC D D ，所以1D D ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以1AD D D ⊥，因为11111,,D D D B D D D D B =⊂ 平面11BB D D ，所以AD ⊥平面11BB D D .【小问2详解】因为AD ⊥平面11,BB D D BD ⊂平面11BB D D ，所以AD BD ⊥，由（1）知11,D D AD D D ⊥⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1D D BD ⊥，所以1,,DA DB DD 两两垂直，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt ADB △中，4,2AB AD ==，所以DB ==，设()10DD t t =>，则()()()()10,0,0,2,0,0,2,0,,,0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，易知平面11BB D D 的一个法向量为D =2,0,0，设直线1A E 与平面11BB D D 所成的角为θ，则111sin cos ,5A E DAA E DA A E DAθ⋅====，解得t =，所以((110,0,,2,0,D AD =-，设平面1ABD 的法向量为 =s s ，则12020AB m x AD m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =)m = ，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，则cos,5m nm nm n⋅===，易知二面角1D AB D--是锐角，故二面角1D AB D--的余弦值为5.17.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a≤.认真完成不认真完成总计男生5a a女生总计60若根据小概率值0.10α=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++++++.α0.100.050.01xα2.7063.841 6.635【答案】（1）20（2）分布列见解析，()85E X=【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出a 的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据X 的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【小问1详解】根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得()()2244802060555516 2.7066020801580a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--，得57.38a >.易知a 为5的倍数，且60a ≤，所以60a =，所以该培训机构学习软笔书法的女生有806020-=（人）.【小问2详解】因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632⨯=+（人），学习行书的有210432⨯=+（人），所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46410C 1510C 21014P X ====，()3164410C C 8081C 21021P X ====，()2264410C C 9032C 2107P X ====，()1364410C C 2443C 21035P X ====，()44410C 14C 210P X ===.X 的分布列为：X01234P114821374351210所以()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()12,,2,3F F A 为椭圆C 上一点，且到1F ，2F 的距离之和为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段AB （不含端点）相交于点Q ，与椭圆C 相交于点,M N ，若2MNAQ BQ⋅为常数，求AQM V 与AQN △面积的比值.【答案】（1）2211612x y +=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线MN 的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果.【小问1详解】由椭圆的定义得1228AF AF a +==，所以4a =.又()2,3A 为椭圆C 上一点，所以22491a b+=，将4a =代入，得212b =，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.【小问2详解】因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以()2,3B --，直线AB 的方程为32y x =.设()()2,311Q t t t -<<，则直线MN 的方程为()32y t k x t -=-，联立得()221161232x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，可得()()()222243832432480k x kt k x t k ++-+--=，由点Q 在椭圆内，易知Δ0>，不妨令()()1122,,,M x y N x y ，则()12282343kt k x x k -+=+，()221224324843t k x x k --⋅=+，所以()()()()()()()2222222221212122248116123211443k k t k MNkx x k x x x x k ⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+.又()()()()()2222222332233131AQ BQ t t t t t ⋅=-+-+++=-，所以()()()()2222222248116123213431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-为常数，则需满足()22221612321k t k t+---为常数，（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即()22161232k k +=-，解得12k =-.将12k =-代入()12282343kt k x x k -+=+，可得124x x t +=，得1222x x t +=，所以Q 为MN 的中点，所以1AQM AQNS MQ S NQ== .【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项na（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项na （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k-=--（2）()()*1,211n na n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101kk a q a a a q-++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。

高三数学阶段测试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^2 + 1答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)，只有选项B满足条件。

2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an是（）A. 29B. 31C. 33D. 35答案：B解析：等差数列的第n项公式为an = a1 + (n-1)d，代入得a10 = 2 + (10-1)×3 = 31。

3. 函数y = log2(x+1)的图像与直线y = x的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由于log2(x+1)的定义域为x > -1，且当x = 0时，y = 1，所以函数图像与直线y = x有两个交点。

4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示复数z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等，因此z位于实轴上。

5. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a > b，那么a^2 > b^2B. 如果a > b，那么ac > bcC. 如果a > b，那么a/c > b/cD. 如果a > b，那么a/c < b/c答案：B解析：选项B是正确的，因为当c > 0时，如果a > b，那么ac > bc；当c < 0时，如果a > b，那么ac < bc。

二、填空题（每题10分，共40分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的最大值是______。

答案：8解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。

天津市第二十中学2025届高三上学期第一次阶段性检测数学试题

天津市第二十中学2025届高三上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题1．已知集合{}2540A xx x =-+≥∣，集合{}Z 12B x x =∈-≤∣，则集合()R A B ⋂ð为（） A ．()1,3 B ．{}2,3 C ．(]1,3 D ．{}1,2,32．在ABC V 中，“60A =︒”是“sin A 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．如图5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（）A ．相关系数r 变大B ．相关指数2R 变大C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强4．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()e e x xf x x --=B ．()221sin 2ln x f x x x+=⋅C ．()e e x xf x x-+=D ．()221cos 2ln x f x x x+=⋅5．已知2log 0.42a =，0.4log 2b =，031log 0.4c =.，则（） A ．a b c >> B ． b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>6．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机曲取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K 牌的条件下，第二次抽到K 牌的概率为（） A ．14B ．113C ．126 D ．1177．定义运算a bad bc c d =-，若sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<，则β等于 A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 8．在锐角△ABC 中，()222S a b c =--，2a =，则△ABC 的周长的取值范围是（） A ．(]4,6B．(2⎤⎦C．(2⎤⎦D．(2⎤⎦9．已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-，有下列命题：①5π8x =为函数()f x 图象的一条对称轴 ②将()f x 的图象向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[]0,t 上的最大值为()0g ，则t 的最大值为3π4③()f x 在[]0,a 上有3个零点，则实数a 的取值范围是9π13π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭④函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增其中错误的命题个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题10．i 是虚数单位，则复数34i1i+=+. 11．在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是．12．已知随机变量~(6,)B p ξ，且()2E ξ=，则(32)D ξ+=.13．从0，1，2，3，4，5六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．14．已知0a >，0b >，且111a b +=，则1411a b +--的最小值为.15．设R a ∈，函数2sin 2π,0()474,0x x f x x x a x <⎧=⎨-+->⎩，若()f x 在区间(),a -+∞内恰有4个零点，则a 的取值范围是.三、解答题16．在ABC V 中9,cos 16B =，5b =，23a c =. (1)求a ； (2)求sin A ； (3)求cos(2)B A -.17．已知函数()()()cos 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标；（2）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象，求函数()y g x =在3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间和最值.18．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1111,2A A A B AB ===，四边形ABCD 和1111D C B A 都是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，点E 为棱BC 的中点(1)求证：1ED ∥平面11AA B B ；(2)求平面1A DE 与平面ABCD 所成角的余弦值； (3)求点B 到平面1C DC 的距离. 19．已知函数()()ln R f x x m x m =-∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m >时，()f x 的图象恒在x 轴上方，求m 的范围；(3)若存在不相等的实数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：120m x x <<+. 20．已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．(1)求曲线y =f x 在2x =处的切线斜率； (2)求证：当0x >时，()1f x >； (3)证明：()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭．。

高三数学阶段性测试卷(附答案)

高三数学阶段性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a2(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)A.66B.99C.144D.297(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )A.(－∞，－4) (1，∞)B.[－4，1]C.(－∞，－4] [1，∞)D.(－4，1)(5)设函数f(x)＝1－x2＋log12(x－1)，则下列说法正确的是( D)A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)A.－1B.0C.－1或0D.－1或4(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域y( C)A B C D(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f(x ＋1)＝x 2＋2，则f －1(x ＋1)的表达式是 ( B )A.2x －2B.2x －1C.2x ＋2D.2x ＋1(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是 ( D )A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )A.7个B.8个C.9个D.10个二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2）． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o＝(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与yB CD＝(1a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f－1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝12(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (π3－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)．（I ）求f (x )的解析式；（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π6)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋ϕ），其中sin ϕ＝a a 2＋1，cos ϕ＝1a 2＋1，∴2π|ω|≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1．又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π3），即 12（sin0＋a cos0）＝12（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．令u ＝x ＋π3，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1．同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0．又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m2∈（－1，1）．又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根．∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分条件．令m ＝56，n ＝16，由于方程t 2＋56t ＋16＝0有两个不等的实根－13，－12，且－13，－12∈(－1，1)，∴ 方程sin 2（x ＋π3）＋56sin （x ＋π3）＋16＝0在（－5π6，π6）内有两个不等的实根，但｜m ｜＋｜n ｜＝56＋16＝1，故“｜m ｜＋｜n ｜＜1”不是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的必要条件．综上，“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分不必要条件．(18)（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1).(I)求函数f (x )的定义域、值域；(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.(I)解：由4－a x ≥0,得a x ≤4．当a ＞1时，x ≤log a 4；当0＜a ＜1时，x ≥log a 4．即当a ＞1时，f (x )的定义域为(－∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为[log a 4，＋∞)．令t ＝4－a x ，则0≤t ＜2，且a x ＝4－t 2，∴ f (x )＝4－t 2－2t －1＝－(t ＋1)2＋4，当t ≥0时，f (x )是t 的单调减函数，∴f (2)＜f (x )≤f (0)，即－5＜f (x )≤3， ∴ 函数f (x )的值域是(－5，3]．(II)若存在实数a 使得对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a ＞1不满足条件；若0＜a ＜1，则log a 4＜2，且f (x )是x 的减函数．当x ＞2时，a x ＜a 2．由于0＜a 2＜1，∴t ＝4－a x ＞3，∴f (x )＜0，即f (x )≥0不成立．综上，满足条件的a 的取值范围是．(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ． (Ⅰ)求证：直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小．DBACP(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA 中，AD ＝a ，PD ＝a ，P A ＝2a ，)∴ AD 2＋PD 2＝P A 2，即 PD ⊥AD ．同理，PD ⊥CD ． (第19题) 又AD 、CD ⊂平面ABCD ，AD CD ＝D ，∴ 直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)解：如图，连接AC 和BD ，设AC BD ＝O ．由(I)知AC ⊥PD ．又 AC ⊥BD ，且PD 、BD ⊂平面PBD ，PD BD ＝D ，∴ 直线AC ⊥平面PBD ．过点O 作OE ⊥PB ，E 为垂足，连接AE ．由三垂线定理知 AE ⊥PB ，∴ ∠AEO 为二面角A －PB －D 的平面角． ∵ AB ⊥AD ，由三垂线定理知 AB ⊥P A ，∴ 在ΔPAB 中，AE ＝P A ·AB PB ＝23a ，在ΔABD 中，OA ＝22a ，在ΔAOE 中，sin ∠AEO ＝AEOA＝22a 23a ＝32，即 ∠AEO ＝60o ，∴ 二面角A －PB －D 为60o ．(20)（本小题满分12分）以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b （k ＜0），则旺季的最高价格为－bk元/件，利润函L （x ）＝（x －100）·（kx ＋b ）＝kx 2－（100k －b ）－100b ，x ∈[100，－bk]，D BACP OE当x ＝100k －b 2k ＝50－ b 2k 时，L （x ）最大，由题意知，50－ b 2k ＝140，解得－ b k ＝180，即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×23＝120（元/件）．现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n （m ＜0），则淡季的最高价格为－nm＝120（元/件），即n ＝－120m ，利润函数L （t ）＝（t －100）·（mt ＋n ）＝（t －100）·（mt －120m ）＝－m （t －100）·（120－t ），t ∈[100，120]． ∴ t －100＝120－t ，即t ＝110时，L （t ）为最大，∴ 在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．(21)（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．（I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n +1＞50成立的正整数n 的最小值．解：（I ）设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，其中a 1≠0，q ≠0．由题知⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ①a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， ②由②×7－①得 6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0，即 2q 2－5q ＋2＝0，解得 q ＝2或q ＝12．∵ 等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴ a n ＝2·2n -1＝2n ．（II ）由（I ）得 b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－（1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ）．设 T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③ 则 2T n ＝ 1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④由③－④得－T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝－（n －1）2n ＋1－2，∴ S n ＝－（n －1）·2n ＋1－2．要使S n ＋n ·2n +1＞30成立，即要－（n －1）·2n ＋1－2＋n ·2n +1＞50，即要 2n ＞26． ⑤ ∵ 函数y ＝2x 是单调增函数，且24＝16＜26，35＝32＞26，由⑤得n 的最小值是5．(22)（本小题满分14分）已知F 1(－2，0)，F 2(2，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 的两个交点为M ，N ，且|MN |的最小值为6． (I)求椭圆C 的方程；(II)设A ，B 为椭圆C 的长轴顶点．当|MN |取最小值时，求∠AMB 的大小．解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其中c ＝2，a 2－b 2＝4．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN ⊥x 轴，则MN 的方程为x ＝－2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2(1－4a 2)＝b 4a 2，∴ |y 1－y 2|＝b 2a ，即|AB |＝2b 2a．若直线MN 不与x 轴垂直，则设MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得 x 2a 2＋k 2(x 2＋4x ＋4)b 2＝1，即 (a 2k 2＋b 2)x 2＋4a 2k 2x ＋a 2(4k 2－b 2)＝0．△＝(4a 2k 2)2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(4k 2－b 2)＝4a 2b 2[(a 2－4)k 2＋b 2]＝4a 2b 4(1＋k 2)， ∴ |x 1－x 2|＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b2，∴ |MN |＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b 2·1＋k 2＝2ab 2(1＋k 2)a 2k 2＋b2＝2b 2a ·1＋k 2k 2＋b 2a2＞2b 2a ．综上，|MN |的最小值为2b 2a ．由题知 2b 2a＝6，即 b 2＝3a ．代入a 2－b 2＝4，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1(舍)，或a ＝4．∴ b 2＝12． ∴ 椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A (－4，0)，B (4，0)．当|MN |取得最小值时，MN ⊥x 轴．根据椭圆的对称性，不妨取M (－2，3)，∠AMB 即直线AM 到直线MB 的角．∵ AM 的斜率k 1＝3－0－2＋4＝32，BM 的斜率k 2＝3－0－2－4＝－12，∴ tan ∠AMB ＝k 2－k 11＋k 1k 2＝－12－321－12×32＝－8．∵ ∠AMB ∈(0，π)，∴ ∠AMB ＝π－arctan8．。

天津市第二十中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段性检测数学试题(含解析)

2024—2025第一学期高三数学学科第一次阶段性检测一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.1.已知集合，集合，则集合为（）A. B. C. D.2.在中，若是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A.相关系数变大B.相关指数变大C.残差平方和变大D.解释变量与预报变量的相关性变强4.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A. B.C. D.5.已知，则（）A.B.C. D.6.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回.在第一次抽到{}2540A xx x =-+≥∣{}12B x x =∈-≤Z ∣()R A B ⋂ð()1,3{}2,3(]1,3{}1,2,3ABC V :60,:sin p A q A ==p q (),x y ()3,10D r 2R x y ()f x ()f x ()e e x x f x x --=()221sin2ln x f x x x +=⋅()e e x x f x x -+=()221cos2ln x f x x x +=⋅2log 0.40.40.312,log 2,log 0.4a b c ===a b c >>b a c >>c a b >>a c b>>牌的条件下，第二次抽到牌的概率为（）A. B. C. D.7.定义运算､若，则等于（）A. B. C. D.8.在锐角中，，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.9.已知函数，有下列命题：①为函数图象的一条对称轴②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为③在上有3个零点，则实数的取值范围是④函数在上单调递增其中错误的命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二､填空题：本题共6小题，共29分.10.是虚数单位，则复数__________.11.在的展开式中，的系数是__________.12.已知随机变量，且，则__________.13.从六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数.其中偶数的个数为__________.K K 14113126117a b ad bc c d =-sin sin 1πcos ,cos cos 72αβαβααβ==<<<βπ12π6π4π3ABC V 222(),2S a b c a =--=ABC V (]4,6(4,2⎤⎦(6,2⎤+⎦(2⎤+⎦()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-5π8x =()f x ()f x π4()g x ()g x []0,t ()0g t 3π4()f x []0,a a 9π13π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦i 34i 1i +=+522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x ()6,B p ξ~()2E ξ=()32D ξ+=0,1,2,3,4,514.已知，且，则的最小值为__________.15.设，函数，若在区间内恰有4个零点，则的取值范围是__________.三､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，.（1）求；（2）求；（3）求.17.（本小题12分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标；（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.18.（本小题12分）如图，在四棱台中，，四边形和都是正方形，平面，点为棱的中点0,0a b >>111a b +=1411a b +--a ∈R ()2sin2π,0474,0x x f x x x a x <⎧=⎨-+->⎩()f x (),a ∞-+a ABC V 92cos ,5,163a Bbc ===a sin A ()cos 2B A -()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x ()f x 12π12()g x ()y g x =π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1111,2A A A B AB ===ABCD 1111A B C D 1AA ⊥ABCD E BC（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.19.（本小题12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围；（3）若存在不相等的实数，使得，证明：.20.（本小题16分）已知函数.（1）求曲线在处的切线斜率；（2）当时，求证：；（3）证明：.1ED ∥11AA B B 1A DE ABCD B 1C DC ()()ln f x x m x m =-∈R ()f x 0m >()f x x m 12,x x ()()12f x f x =120m x x <<+()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()y f x =2x =0x >()1f x >()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭2024—2025第一学期高三数学学科第一次阶段性检测一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】解：集合或，则，集合，故.故选：B.先求出集合，再结合补集､交集的定义，即可求解.本题主要考查集合的混合运算，属于基础题.2.【答案】A【解析】略3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系，相关系数和相关指数，属于简单题.由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【解答】解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小.故选C.4.【答案】B 【解析】解：根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，在区间上，函数图象与轴存在交点，由此分析选项：对于A ，，其定义域为，有为偶函数，不符合题意；对于B ，，其定义域为，有{}2540{4A x x x x x =-+≥=≥∣∣1}x ≤R {14}A xx =<<∣ð{}{}121,0,1,2,3B x x =∈-≤=-Z∣(){}R 2,3A B ⋂=ð,A B ()3,10D y x r 2R ()3,10D y x r 2R ()f x {}0x x ≠∣()0,∞+x ()e e x x f x x --={}0x x ≠∣()()()e e e e ,x x x x f x f x f x x x-----===-()221sin2ln x f x x x+=⋅{}0x x ≠∣为奇函数，其图象关于原点对称，当时，函数图象与轴存在交点，符合题意；对于C ，，当时，，必有恒成立，该函数图象在区间上与轴不存在交点，不符合题意；对D ，于，其定义域为，有为偶函数，不符合题意.故选：B.根据题意，由函数的图象分析的性质，由此分析选项，综合可得答案.本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题.5.【答案】C【解析】解：，，则，故.故选：C.根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解.本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由题意，第一次抽到牌后剩余51张扑克牌，剩余牌3张，故第二次抽到牌的概率为.故选：D.根据题意，第一次抽到牌后剩余51张扑克牌，剩余牌3张，进而求解即可.本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题.掌握两角和与差的正弦函数公式的运用.()()()()222211sin 2ln sin2ln ,x x f x x x f x f x x x++-=-⋅=-⋅=-ππ2x k =+()(),sin20,0k x f x ∈==Z x ()e e x xf x x-+=0x >e e 0,0x x x +->>()0f x >()0,∞+x ()221cos2ln x f x x x+=⋅{}0x x ≠∣()()()()222211cos 2ln cos2ln ,x x f x x x f x f x x x++-=-⋅=⋅=()f x 2log 0.40.40.420.4,log 2log 10a b ===<=0.30.30.30log 1log 0.4log 0.31=<<=1c >c a b >>K K K 315117=K K根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到的值，根据，利用同角三角函数间的基本关系求出，再根据求出，利用两边取正切即可得到的值，根据特殊角的三角函数值即可求出.【解答】解：依题设得：..又，.故选D.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，及三角形面积公式，结合二倍角公式及和差化积公式化简，属于难题.根据结合三角形面积公式，得到和，再由正弦定理得到的周长可表示为，再根据和差化积和二倍角公式进行化简，最后结合角的范围求得答案.【解答】解：根据，得到，化简得，根据()sin αβ-π02βα<<<()cos αβ-cos αsin α()βααβ⎡⎤=--⎣⎦tan ββ()sin cos cos sin sin αβαβαβ⋅-⋅=-=()π130,cos 214βααβ<<<∴-= 1cos ,sin 7αα=∴= ()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=⋅--⋅-⎣⎦131147=-=π3β∴=222()S a b c =--3cos 5A =4sin 5A =ABC V ()52sin sin 2l a b c B C =++=++222()S a b c =--()12sin 21cos 2b c A b c A ⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⨯-()sin 21cos A A =-，化简得，解得（舍）.又因为为锐角三角形，故.再由正弦定理，，则的周长可表示为，再根据和差化积公式得到：，再根据二倍角公式得到，下面讨论，根据题意得到，则，得到，故，故，故.9.【答案】B【解析】解：由，可得，对于①，当时，对于②，，当，则，()21cos A =-25cos 8cos 30A A -+=3cos,cos 15A A ==ABC V 4sin 5A =254sin sin sin 24b c a B C A ====ABC V ()52sin sin 2l a b c B C =++=++25sincos 22B C B C l +-=+⨯π25sin cos 22A B C --=+⨯π2252cos 22B C A C l ---=+=+π2cos 2A C --π02A <<π0π2A C <--<πππ,2222A A A A C A C --<<--<-<π2cos cos 122A A C --<…π2cos 12A C --<…(6,2l ⎤∈+⎦()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-()()()2222πcos sin cos sin 2sin cos cos2sin224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+=+ ⎪⎝⎭5π8x =5π5ππ2884f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππππ224244g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]0,x t ∈πππ2,2444x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦由于在上的最大值为，所以，故，故的最大值为，故②正确；对于③，令，则，可得，故的正零点有，要使在上有3个零点，则，故③错误，对于④，当，则，故在上单调递减，故④错误.故选：B.根据三角恒等变化化简，根据对称轴处取得最值判断①，根据平移判断②，根据零点求值判断③，根据正弦函数的单调区间判断④.本题考查三角函数的性质，属中档题.二､填空题：本题共6小题，共29分.10.【答案】【解析】解：.故答案为：.根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.11.【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得.所以的系数为.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.()g x []0,t ()0g π7π244t +≤3π4t ≤t 3π4()π204f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π2π,4x k k +=∈Z ππ,82k x k =-+∈Z ()f x 3π7π11π15π,,,,8888r = ()f x []0,a 11π15π88a ≤<ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3π5ππ3π2,,44422x ⎡⎤⎡⎤+∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭71i 22+()()()()34i 1i 34i 71i 1i 1i 1i 22+-+==++-+71i 22+x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()55315522C C 20,1,2,3,4,5rr r r r r r T x x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭532r -=1r =2x 15C 210⨯=12.【答案】12【解析】【分析】本题考查二项分布的期望和方差，考查推理能力和计算能力，属于基础题.先求出和，再利用即可求解.【解答】解：因为随机变量，所以，又因为，所以.故答案为12.13.【答案】52【解析】【分析】本题考查排列的应用，考查分类､分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质.分2种情况讨论：①､若0在个位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②､若0不在个位，且由于0不能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①､若0在个位，此时只须在中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有个没有重复数字的三位偶数；②､若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有个没有重复数字的三位偶数；综合可得，共有个没有重复数字的三位偶数.故答案为52.13p =()()413D n p p ξ=⋅⋅-=()()329D D ξξ+=()6,B p ξ~()62E np p ξ===13p =()()12416333D n p p ξ=⋅⋅-=⨯⨯=()()32912D D ξξ+==1,2,3,4,525A 20=24432⨯⨯=203252+=14.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正数满足，可得，所以结合基本不等式即可求解.【解答】解：正数满足，，解得同理则，当且仅当时取等号（此时.的最小值为4.故答案为：4.15.【答案】【解析】解：①当在区间有4个零点且在区间没有零点时，满足，无解；②当在区间有3个零点且在区间有1个零点时，满足，或,a b 111a b +=01a b a =>-()1414141111111a a ab a a a +=+=+-------,a b 111a b+=01ab a ∴=>-1,a >1,b >141411111a ab a a +=+-----()14141a a =+-=- (3)2a =3)b =1411a b ∴+--371,,224⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x (),0a -[)0,∞+()Δ164740522a a ⎧=--<⎪⎨-≤-<-⎪⎩()f x (),0a -[)0,∞+()()Δ16474000322a f a ⎧⎪=-->⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩者解得③当在区间有2个零点且在区间有2个零点时，满足，解得，综上所述，的取值范围是.分类讨论，分在区间有4个零点且在区间没有零点，在区间有3个零点且在区间有1个零点和在区间有2个零点且在区间有2个零点三种情况求解即可.本题考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于难题.三､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】解：（1）在中，，设，则，，解得，；（2）由（1）得，由正弦定理得，即解得.（3）是锐角，且，()Δ164740322a a ⎧--=⎪⎨-≤-<-⎪⎩72;4a <≤()f x (),0a -[)0,∞+()()Δ16474000312a f a ⎧⎪=-->⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩312a <≤a 371,,224⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x (),0a -[)0,∞+()f x (),0a -[)0,∞+()f x (),0a -[)0,∞+ABC V 92cos ,5,163a Bbc ===2a k =3,0c k k =>2294259cos 23216k k B k k +-∴==⨯⨯2k =24a k ∴==4,6,sin a c B ====sin sin a bA B=4sin A =sin A =π,sin sin ,4a b A A <=<=∴ π4A <，.17.【答案】解：（1）根据函数的部分图象，可得，.再由图象知：，又，故有.令，解得，故函数的对称中心为.（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得的图象，再向右平移个单位，得到的图象，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象.令，求得，sin22sin cos 2A A A ∴===1cos28A ==()cos 2cos cos2sin sin2B A B A B A∴-=+91168=⨯5764=()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><πϕ<32π5ππ2,4123A ω=⋅=+2ω∴=5π22π,12k k ϕ⨯+=∈Z 5ππ,6ϕϕ<∴=-()5π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5ππ2π62x k -=+2ππ,32k x k =+∈Z 2ππ,0,32k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ()f x 125πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π12()cos 2πcos2y x x =-=-()cos21g x x =-+2ππ22π,k x k k -≤≤∈Z πππ,2k x k k -≤≤∈Z可得的减区间为，结合，可得的单调减区间为.，故当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为.【解析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题.（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由图象过点求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，得出结论；（2）由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的单调性､余弦函数的定义域和值域，得出结论.18.【答案】（1）证明：连接，在四棱台中，且，又四边形是正方形，故，点为棱的中点，则，故，即四边形为平行四边形，则平面平面，故平面；（2）由于平面，四边形是正方形，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，()g x ππ,π,2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π2,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2πx =()g x ()112--+=π26x =()gx 1+()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+A ω5π,212⎛⎫⎪⎝⎭ϕ()f x ()sin y A x ωϕ=+()g x 1A B 1111ABCD A B C D -11A D ∥AD 1112A D AD =ABCD BC ∥,AD BC AD =E BC BE ∥1,2AD BE AD =11A D ∥11,BE A D BE =11A D EB 1D E∥11,A B D E ⊄111,AA B B A B ⊂11AA B B 1ED ∥11AA B B 1AA ⊥ABCD ABCD A 1,,AB AD AA ,,x y z由于，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，故由图知平面与平面所成角为锐角，故平面与平面（3）由（2）可知，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设点到平面的距离为，则.【解析】1）连接，先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；1111,2A A A B AB ===()()()10,0,1,0,2,0,2,1,0A D E ()()10,2,1,2,1,0DA ED =-=-1A DE (),,m x y z = 100m DA m ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020yz x y -+=⎧⎨-+=⎩1x =()1,2,4m =ABCD ()0,0,1n =cos ,m n m n m n ⋅<>===1A DE ABCD 1A DE ABCD ()()()()11,1,1,0,2,0,2,2,0,2,0,0C D C B ()()()10,2,0,1,1,1,2,0,0BC DC DC ==-=1C DC (),,u s t g = 100u DC u DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020s t g s -+=⎧⎨=⎩1t =()0,1,1u =B 1C DC d BC u d u ⋅=== 1A B 1D E∥1A B 1A DE ABCD（3）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.19.【答案】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，所以在上是增函数；②当时，由得，所以在上是增函数，由得，所以在上是减函数；故时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由的图象恒在轴上方，可得，因为且，不等式两边同时除以，可得，设可得令，解得，令，解得所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为，所以，即，所以的范围是；（3）证明：，1C DC ()f x ()0,∞+()1m x m f x x x-=-='0m ≤()0f x '>()f x ()0,∞+0m >()0f x '>x m >()f x (),m ∞+()0f x '<0x m <<()f x ()0,m 0m ≤()f x ()0,∞+0m >()f x (),m ∞+()0,m ()f x x ()ln 0f x x m x =->0x >0m >mx 1ln xm x>()ln ,x h x x =()21ln ,xh x x-='()0h x '>0e x <<()0h x '<e,x >()h x ()0,e ()e,∞+e x =()h x ()1e eh =max 1()h x m>11em >m ()0,e ()ln ,0f x x m x x =->则，由（1）可知，当时，在上是增函数，故不存在不相等的实数，使得，所以，由，得，即，不妨设，则，要证，只需证，即证，只需证令只需证，即证令，则，所以在上是增函数，所以，即成立，故成立.【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间（含参）､利用导数研究恒成立与存在性问题､利用导数求函数的最值（含参）､利用导数解（证明）不等式，属于较难题.()1m x m f x x x-=-='0m ≤()f x ()0,∞+12,x x ()()12f x f x =0m >()()12f x f x =1122ln ln x m x x m x -=-()2121ln ln m x x x x -=-120x x <<21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-212112ln ln x x x x x x -<-+2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 0,1t t t -->+()()1ln 11t g t t t t -=->+()2221210(1)(1)t g t t t t t +=-=>++'()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 01t t t -->+120m x x <<+（1）求出函数的导数，讨论的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；（2）问题转化为，设，利用导数求出，即可求出结果；（3）易得，由得，要证，只需证，只需证，令，只需证，即证，令，利用导数研究单调性即可得证.20.【答案】解：（1）对函数求导，可得，则曲线在处的切线斜率为；（2）证明：当时，，即，即，而在上单调递增，因此原不等式得证；（3）证明：设数列的前项和，则；当时，，由（2），，故，不等式右边得证；要证，只需证：对任意的，()f x m ()f x 1ln x m x >()ln x h x x=max ()h x 0m >()()12f x f x =21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 01t t t -->+()()1ln 11t g t t t t -=->+()f x ()()()221ln 121x f x x x x x+=-++'()y f x =2x =()1ln3234f =-'0x >()1f x >()2ln 112x x x ++>()()2ln 102xg x x x =+->+()()()220,1(2)x g x g x x x =>++'()0,∞+()()00,g x g >={}n a n ()1ln !ln 2n S n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭111a S ==2n ≥11111111ln 1ln 11122111n n n n a S S n f n n n n -⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭()02n a n <≥11n S S ≤=56n S ≤()22112,116n n k k k n a f k ==⎛⎫⎛⎫≥-=-≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑令，则，当时，，函数在上单调递减，则，即，则，因此当时，，当时，累加得，又，故，即得证.【解析】（1）对函数求导，求出的值即可得解；（2）令，先利用导数求出的单调性，由此容易得证；（3）设数列的前项和，可得当时，，由此可知，证得不等式右边；再证明对任意的，令，利用导数可知，由此可得.再求得，由此可得证不等式左边，进而得证.本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.()()()()2ln 121x x h x x x +=+-+()222(1)x h x x '=-+0x >()0h x '<()h x ()0,∞+()0h x <()()()2ln 121x x x x ++<+()()()()222211221414x x x x x f x x x x ++-<⋅-=<++2k ≥22111111114(1)4(1)122321f k k k k k ⎛⎫⎛⎫-<<=- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭4n ≥()441111111111111,1257792321252110n nk k k a f k n n n ==⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()233353511ln210.69410.041,ln 1 1.10.69310.017522222a f a -=-=-<⨯-=-=-<--=()()2324110.0410.01750.1585106nnkk k k a aa a ==-=--+-=++=<∑∑()f x ()2f '()()1g x f x =-()g x {}n a n ()1ln !ln 2n S n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2n ≥10n n n a S S -=-<11n S S ≤=()22112,116nnk k k n a f k ==⎛⎫⎛⎫≥-=-≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑()(2)()ln 12(1)x x h x x x +=+-+()()()2ln 121x x x x ++<+()4110n k k a =-<∑23,a a --。

高三数学阶段性试卷及答案

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心是：A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(1, 0)$D. $(0, 0)$2. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的取值为：A. $0$B. $1$C. $-1$D. 无解3. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{3}{4}$4. 下列命题中，正确的是：A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$5. 已知函数$y = \log_2(x + 1)$的图象上一点$P(x, y)$，若点$P$到直线$y = x$的距离为1，则$x$的值为：A. $1$B. $\sqrt{3} - 1$C. $\sqrt{3} + 1$D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 56$，则公差$d$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，若点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：A. $(2, -1)$B. $(1, -2)$C. $(-2, 1)$D. $(-1, 2)$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 = 1$，$S_3 = 7$，则公比$q$的值为：A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 3D. $\frac{1}{3}$9. 若函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h, k)$，则下列不等式中正确的是：A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $ah^2 + bh + c > 0$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$，则$f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

安徽省亳州市第十八中学2024届高三3月阶段性检测试题数学试题

安徽省亳州市第十八中学2024届高三3月阶段性检测试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设02x π≤≤，且1sin 2sin cos x x x -=-，则（）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤ C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤ 2．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π3．已知随机变量X 的分布列如下表：X 1-0 1 P a b c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（） A ．13b ≤ B ．23b ≤ C ．13b ≥ D ．23b ≥ 4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A ．B ．C ．D ．5．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<6．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表: 20()P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”730x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B 31C 5D 518．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（）A ．01a <<或a e =B ．1a e <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a << 9．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1-10．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若AB R =，则实数a 的值可以为（） A ．2 B ．1C ．0D ．2-11．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数 245 11 12 28 2516 22 12 54 2616 22 12 50 2728 16 15 59 2832 17 14 63 2951 21 28 100 30 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.512．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题

山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题一、单选题1．已知()(){}23230,02x A x x x B x x ⎧⎫+=∈--==∈≤⎨⎬-⎩⎭Q R∣，则A B =I （）A ．{}B ．{C ．{}2D ．∅2．幂函数()23f x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θo ，空气的温度是0C θo ，那么mint 后物体的温度θ（单位：C o ）可由公式()01010ktθθθθ-=+-⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C o 的物体，放到15C o 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C o ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.54．如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（）A．(22mB．(23mC．(22mD．(23m5．若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m -++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（） A ．2B ．4C ．6D ．86．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21n n S n T =+，则35=a b （） A ．9B ．10C ．11D ．127．若2x =是函数()222e xax x f x +-=的极小值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1∞--B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞8．已知函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+->在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．93,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（） A ．112a =B ．数列{}1n a -为等比数列C ．312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3332nn S n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭10．已知幂函数()()293mf x m x =-的图象过点1,n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（）A ．23m =-B ．()f x 为偶函数C ．n =D ．不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-∞11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()2g x +的图象关于直线2x =-对称，且()()()111f x f x f x -++=+-，则（）A ．()g x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．3为()y f x =的一个周期D ．20251()0i g i ==∑三、填空题12．已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 .13．已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ⎧≥=⎨<⎩，若关于x 的方程()()2560f x f x -+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是．14．已知三棱锥A BCD -的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD ==O 的半A BCD -体积的最大值为．四、解答题15．已知函数()2π2sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)已知ABC V 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c ，若π1212C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2c =，求ABCV 面积的最大值． 16．已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.17．已知函数()33x x af x a+=-．(1)若()f x 为奇函数，求a 的值；(2)当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．18．已知函数()()28ln 1e x f x ax bx =+++．(1)若()f x '在R 上单调递减，求a 的最大值； (2)证明：曲线()y f x '=是中心对称图形； (3)若()8ln2f x …，求a 的取值范围．19．若存在1,1,2,2,,,n n L 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n =L 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．(1)判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． (2)请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；(3)从1,2,,4n L 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <．。

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题(含答案)

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x||x|<1}，集合B={x|y=x}，则A∩B=( )A. (−1,1)B. (0,1)C. [0,1)D. (1,+∞)2.已知复数z满足iz=−1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则P(AB)=( )A. 23B. 12C. 13D. 164.已知等差数列{a n}的前5项和S5=35，且满足a5=13a1，则等差数列{a n}的公差为( )A. −3B. −1C. 1D. 35.已知(1x+my)(2x−y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为( )A. −2B. 2C. −1D. 16.如图，正方形ABCD中，DE=2EC，P是线段BE上的动点，且AP=x AB+y AD(x>0,y>0)，则1x +1y的最小值为( )A. 22B. 23C. 4+233D. 47.设a=3103，b=ln1.03，c=e0.03−1，则下列关系正确的是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b8.已知(1tanα−β2−tanα−β2)[1+tan(α−β)tanα−β2]=6，tanαtan(π2−β)=3，则cos(4α+4β)=( )A. −7981B. 7981C. −4981D. 4981二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是( )A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D. 记地震里氏震级为n(n =1,2,⋯,9,10)，地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列10.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①PF 1⋅PF 2=0;②∠F 1F 2P =60∘;③PO 平分∠F 1PF 2；④点P 关于原点对称的点为Q ，且|PQ |=|F 1F 2|，能使双曲线C 的离心率为1+ 3的条件组合可以是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④11.如图，矩形ABCD 是底面直径为2，高为1的圆柱OO 1的轴截面，四边形OO 1DA 绕OO 1逆时针旋转θ(0≤θ≤π)到四边形OO 1D 1A 1，则( )A. 圆柱OO 1的侧面积为4πB. 当0<θ<π时，DD 1⊥A 1CC. 当θ=π3时，异面直线A 1D 与OO 1所成的角为π4D. ▵A 1CD 面积的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

天津市和平区2025届高三数学下学期线上学习阶段性评估检测试题含解析

天津市和平区2025届高三数学下学期线上学习阶段性评估检测试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5} 2．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a ＝（）A．B．1 C．2 D．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元） 1 2 4 5销售额y（万元）10 26 35 49依据上表可得回来方程x的等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元5．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a6．闻名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．48．已知函数f（x）＝cos x﹣|sin x|，那么下列命题中假命题是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点C．f（x）是周期函数D．f（x）在[﹣π，0]上是增函数9．已知函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．10．设复数z满意（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝．11．二项式的绽开式中，常数项为（用数字作答）12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC ＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是若X表示摸出黑球的个数，则EX＝．14．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2取得最小值为时，a+b＝．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•1，则tan A＝，•．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f（C）＝0，若sin B ＝2sin A，求a，b的值．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1CC1．（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（3）在（2）的条件下，若AB，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．18．（15分）已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合（I）求椭圆C的方程；（II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值（III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？19．已知正项等比数列{a n}满意a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{b n}满意b n＝1+2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若λ＞0，且对全部的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范围．20．已知函数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x），若存在区间，使得函数g （x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的最大值．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故选：B．2．|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3，∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的充分非必要条件．故选：A．3．因为点P（2，2）满意圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2．故选：C．4．由题意，（1+2+4+5）＝3，（10+26+35+49）＝30．∵回来方程x的等于9，∴30＝9×3+a，∴a＝3∴y＝9x+3当x＝6时，y＝9×6+3＝57万元故选：D．5．∵a，b＞1，c，∴c＜a＜b．故选：B．6．依据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，解除A，又由x＞0时，有e x＞e﹣x，即有e x﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，解除D，当x→+∞时，f（x）→+∞，解除C；故选：B．7．依据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x，则p ＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c，则焦距为2c＝2故选：A．8．对于A，函数f（x）＝cos x﹣|sin x|，定义域为R，且满意f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣|sin（﹣x）|＝cos x﹣|sin x|＝f（x），f（x）为定义域R上的偶函数，A正确；对于B，x∈[﹣π，0]时，sin x≤0，f（x）＝cos x﹣|sin x|＝cos x+sin x sin（x），且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，B正确；对于C，依据正弦、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2π的周期函数，C正确；对于D，x∈[﹣π，0]时，f（x）sin（x），且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上先减后增，D错误．故选：D．9．∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R，∵y＝2a2﹣4a，a∈R，∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，∵函数f（x），f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．10．由（1+i）z＝3﹣i，得z1﹣2i，∴|z|；故答案为：．11．依题意，二项式的绽开式的第k+1项为：T k+1•，由80解得，k＝6，所以常数项为：112，故答案为：112．12．∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面A1MB，∵M是AA1的中点，∴3，∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：4．故答案为：4．13．恰有一个黑球的概率P．由题意可得：X＝0，1，2．P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．可得X的分布列：X 0 1 2P∴EX12．故答案为：．14．因为a＞0，b＞0，所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，所以（a+4b）2≥16ab，则（a+4b）28，当且仅当即a＝1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b．故答案为：8，15．以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，∴D（，），E（，），M（，），N（，），∴（a，），（﹣a，），且•1，∴﹣a21①，又AC＝3，∴a2+b2＝9②，联立①②得，a2，在△ABC中，由余弦定理得，cos A．因为A为等腰三角形的顶角；且cos A，∴sin A；∴tan A；sin；∴cos B＝cos（）＝sin；∴••3×2a×cos B＝﹣3．故答案为：，．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分为14分）解：（1）∵f（x）sin2x﹣cos2x sin2x sin（2x）﹣1， (4)分∴当2x2kπ，即x＝kπ（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分此时自变量x的集合为：{x/x＝kπ，k∈Z}…7分（2）∵f（C）＝0，∴sin（2C）﹣1＝0，又∵0＜C＜π，∴2C，可得：C，…9分∵sin B＝2sin A，由正弦定理可得：b＝2a①，又c，∴由余弦定理可得：（）2＝a2+b2﹣2ab cos，可得：a2+b2﹣ab＝3②，…13分∴联立①②解得：a＝1，b＝2…14分17．如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC的法向量，又，设BC1与平面ABC所成角为θ，则．（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，∵EA⊥EB1，∴∴y＝1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点．（3）∵A（0，0，），则，设平面AEB1的法向量m＝（x1，y1，z1），则∴，取m＝（1，1，），∵，∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，∴平面A1B1E的法向量，∴cos＜m，，∴二面角A﹣EB1﹣A1为45°．18．（Ⅰ）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，∴，解得a＝2，，，∴椭圆C的方程为．…（2分）证明：（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB，（*）设直线BD的方程为，联立，∴△＝﹣8b2+64＞0，解得﹣2b＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②，将①、②式代入*式整理得0，∴k AD+k AB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．解：（Ⅲ）|BD||x1﹣x2|，设d为点A到直线BD：的距离，∴，∴，当且仅当b＝±2时取等号，∵±2，∴当b＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．19．（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，a1＝2，2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去），可得a n＝2n；b n＝1+2log2a n＝1+2log22n＝1+2n；（2）c n＝a n•b n＝（2n+1）•2n，前n项和S n＝3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2n，2S n＝3•4+5•8+7•16+…+（2n+1）•2n+1，两式相减可得﹣S n＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1＝6+2•（2n+1）•2n+1，化简可得S n＝2+（2n﹣1）•2n+1；（3）若λ＞0，且对全部的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，即为2λ2﹣kλ+2的最大值，由0，可得{}递减，可得n＝1时，取得最大值，可得2λ2﹣kλ+2，即为k＜2λ的最小值，可得2λ22，当且仅当λ时取得最小值2，则k＜2．20．（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx（x＞0），这时的导数，令f'（x）＝0，即，解得x＝1，令f'（x）＞0得到x＞1，令f'（x）＜0得到0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；故函数f（x）在x＝1时取到最小值，故f（x）min＝f（1）＝1；（2）当a＞0时，函数导数为，若a＝1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，若a＞1时，，当x＞1或时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，即函数f（x）在区间，（1，+∞）上单调递减，在区间上单调递增．若0＜a＜1时，，当或0＜x＜1时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，1），上单调递减，在区间上单调递增．综上，若a＝1时，函数f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间，若a＞1时，函数f（x）的减区间为，（1，+∞），增区间为，若0＜a＜1时，函数f（x）的减区间为（0，1），，增区间为．（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）＝x2﹣xlnx．令g'（x）＝2x﹣lnx﹣1，，当时，g''（x）≥0，g'（x）为增函数，，g（x）为增函数，g（x）在区间上递增，∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，∴g（x）＝k（x+2）﹣2在上至少有两个不同的正根，，令，求导得，，令，则，所以G（x）在递增，，G（1）＝0，当，G（x）＜0，∴F'（x）＜0，当x∈[1，+∞），G（x）＞0，∴F'（x）＞0，所以F（x）在上递减，在[1，+∞）上递增，∴，∴，∴k的最大值为．。

江西省新余市2025届高三阶段性教学质量检测试题数学试题

江西省新余市2025届高三阶段性教学质量检测试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)2．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．83．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．04．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（）A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]5．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1xxf x e e -=--，若()1f a =，则()f a -=( )A ．1-B ．1C ．3D ．3-6．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（）A ．32B ．12C ．78 D ．987．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（） A ．30B ．31C ．32D ．338．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（） A ．12B ．22C 3D ．2311．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π12．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（） A 31B 31C 132D 132二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学阶段性检测

高三数学阶段性检测高三数学阶段性检测数学试题(选修物理学科卷)一.填空题:(共14小题,每题5分,共计70分)1．集合的元素个数是▲ .2．函数的最小正周期为_____▲_____.3．函数在(0,2)上是增函数且函数是偶函数,请用〝＜〞将. 连接起来为_________▲_________.4．定义在R上的函数的值域是(0,2)则－1的值域为▲.5．数列中,如果,并且任意正整数都有成立,则的值等于____▲___.6．若则的最大值与最小值之和为▲.7．已知一个算法如右图:则输出后的＝▲.8．已知是圆上两点,为坐标原点,且,则▲ .9．向面积为S的△ABC内任投一点P,则随机事件△PBC的面积大于的概率为▲___.10．已知{正实数},有不等式,依次类推可得一般结论________▲__________.11．已知复数,,则复数的虚部等于_ ▲____.12．设,若A.B.C三点共线,且,则的值为____▲____.13．若…的方差为3,则…的方差为▲.14．直角坐标系中横坐标.纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好通过(∈N_)个格点,则称函数为阶格点函数．下列函数:①;②;③ ;④,其中是一阶格点函数的有▲ (只填写符合条件的函数序号). 二．解答题15．(本题14分,)已知,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动(Ⅰ)求证:无论点E在AB上的任何位置D1E⊥A1D(Ⅱ)求三棱锥E-DD1C的体积.16．(本题 14分) 已知 .(Ⅰ)试求的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)若,试求的值域.17．(15分)当实数变化时,直线:与直线都过一个定点.(Ⅰ)求出这个定点;(Ⅱ)点在怎样的曲线上?求出这条曲线的方程,并写出该曲线的焦点坐标.18．(15分)已知f(_)=(_－1), g(_)=4(_-1),数列﹛an﹜中,对任意正整数n,等式(an+1－an)g(an)+f(an)=0都成立.且a1=2 当n≥2时an≠1,设bn=an－1 (Ⅰ)求证数列﹛bn﹜是等比数列;(Ⅱ)设Sn为数列﹛nbn﹜前n项和,Tn=Sn+ 求Tn的取值范围.19．(16分)某造船厂年最高造船量是20艘,已知造船_艘的产值函数为(单位:万元),成本函数为(单位:万元).又在经济学中,函数的边际函数定义为:.求:(Ⅰ)利润函数及边际利润函数;(提示:利润＝产值－成本)(Ⅱ)年造船量安排多少艘时,可使造船厂的年利润最大?(Ⅲ)求边际利润函数的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?20．(16分)设A,B是函数图象上任意两点,且,点M的横坐标为.(Ⅰ)求证M点的纵坐标为定值;(Ⅱ)若,且,求;(Ⅲ)已知,,为数列的前项和,若对于一切都成立,求的取值范围.数学(选修物理学科)加试题(总分40分)(第1题和第2题为必做题;第3－6题选做2题;10分4＝40分)一.必做题:(共2题每题10分,计20分)1.求曲线直线.轴围成的封闭图形的面积.2.如图,在直角梯形OABC中,∠COA＝∠OAB＝,OC=2,OA=AB=1.SO⊥平面OABC,SO＝1,以OC,OA,OS分别为_轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系O－_yz.(Ⅰ)求与的夹角的余弦值;(Ⅱ)设,满足平面SBC,求的坐标.二．选题:(从3—6题中任选2题每题 10分,共20分.如果多于2题以得分少的计分)3. (选修4－5不等式选讲)已知a,b为正实数,求函数的最小值4.(选修4－1几何证明与选讲)半圆的圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上,且半圆与两直角边相切.若斜边长为,半圆半径为,求直角三角形的面积S.5.(选修4－2矩阵与变换)求矩阵A＝的逆矩阵.6. 求椭圆的中心坐标.焦点坐标.长轴和短轴的长,以及准线方程.。

2023届河北省高三上学期阶段性检测一数学试卷及答案

2022--2023学年第一学期第一次阶段测试卷高三数学考试说明：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,3A =-，2=12B x x ≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}1,1,2- D.{}1,1,2,3-2.已知命题p ：N x ∃∈，e <0x （e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（）A.N x ∀∈，e <0xB.N x ∀∈，e >0xC.N x ∃∈，e 0x ≥ D.N x ∀∈，e 0x ≥3.设0.3log a =，b =，0.10.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c<< B.c a b<< C.a c b << D.c b a<<4.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.xy -=B.13log y x =C.y =D.12y x =-5.已知函数()cos f x x =，()()14g x x f x '=+，则()g x 的图像大致是（）A.B.C.D.6.已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（）A.17B.17C.47D.177.已知函数()=y f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2f x x x =+，则当[]4,6x ∈时，()=f x （）A.2712x x -+B.2920x x -+-C.2712x x -+- D.2920x x -++8.已知函数()()πsin 03f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω，设甲：函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，乙：ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。