8.截面图形性质

I z0 y0 0
§3.5 平行移轴公式和转轴公式
tg 2 0 2I zy Iz I y
可求得 0 和 0 90两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。
截面对于惯性矩为极值的一对坐标轴的惯性积必为零
I z0 y0 0
由 tg 2 0
2I zy Iz I y
I z1 y d A
A 2 1
I z1 cos2 y 2 d A sin 2 z 2 d A
A A
2 sin cos zy d A
A
I z cos2 I y sin 2 2 I zy sin cos
利用二倍角函数公式
cos 2 1 1 cos 2 2 1 2 sin 1 cos 2 2 2 sin cos sin 2
i ci
Az
80
z yc
Ay
i
A1 yc1 A2 yc 2 A A1 A2 5 700 60 1200 39.7(mm ) 700 1200
ci
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示
A1 800mm2 , zc1 0, yc1 0.
z
yc
Ay A

A1 yc1 A2 yc 2 A1 A2
60 1100 34.7( mm ) 1100 800
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
yБайду номын сангаас
10 10
解法三：负面积法
A1 9600 mm2 , zc1 40mm, yc1 60mm A2 70110mm2 , zc 2 45mm, yc 2 65mm
y
y
I z1 y1
2 Iz Iy
A dA C D
2 将前两式相加得
sin 2 I zy cos 2
E O
z
B
z
I z1I y1I z I y
上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直 的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原 点的极惯性矩
§3.5 平行移轴公式和转轴公式
y
求：Iz1、Iy1、Iz1y1。
dA 在坐标系 ozy 和坐标系oz1y1 的 坐标分别为（z，y ）和（z1 ， y1 ）
A dA
y1 y cos z sin
C
y
z1 z cos y sin
代入惯性矩的定义式：
D
E
O
z
B
z
I z1 y d A
A 2 1
§3.5 平行移轴公式和转轴公式
6、惯性矩与极惯性矩的关系：
y
I p 2 dA ( y 2 z 2 )dA
A A
z

dA
y z
y 2 dA z 2 dA I z I y o
A A
图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒 等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
A
I y z 2 dA ( zc b)2 dA zc2 dA b 2dA 2b zc dA I yc b2 A
A A A A A
I zy yzdA ( yc a)( zc b)dA
A A
yc zc dA abdA a zc dA b yc dA I zcyc abA
截面几何 材料
载荷
内力
应力
应变
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
§3.4.1
一、静矩（面积矩）
1、定义：
y
静矩和形心
dSz ydA
dA对z轴的微静矩: dA对y轴的微静矩:
dSy zdA
z
dA
y
Sz
z
Sy
yd A zd A
A A
o
2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。
I z1 I y1 Iz Iy 2 Iz Iy Iz Iy 2 Iz Iy 2 cos 2 I zy sin 2 cos 2 I zy sin 2
I z 1 y1
2 Iz Iy 2
sin 2 I zy cos 2
3.5.3 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩
求出 sin 2 0 , cos2 0 代入转轴公式可得：
I max I z 0
min y0
Iz I y 2
(
Iz Iy 2
) 2 I zy
2
§3.5 平行移轴公式和转轴公式
I z1
Iz I y 2

Iz I y 2
cos 2 I zy sin 2
Iz I y 2 Iz I y 2
y
A dA y C
E O
z
B
D
z
I z1
cos 2 I zy sin 2
§3.5 平行移轴公式和转轴公式
I z1 I y1 Iz Iy 2 Iz Iy Iz Iy 2 Iz Iy 2 cos 2 I zy sin 2 cos 2 I zy sin 2
求形心： Ai z ci A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 z
80
y
40 9600 45 ( 7700 ) 19.7( mm ) 9600 7700
C0
C2 C1
yc
Ay
i
ci
A
A1 yc1 A2 yc 2 A1 A2
A
z

dA y z
I z y 2 dA,
o
图形对y轴的惯性矩:
2、量纲：m4、mm4。
I y z dA
2 A
2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。 4、惯性矩的取值恒为正值。 5、极惯性矩：（对o点而言） I p

A
2 dA
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
z
60 9600 65 ( 7700 ) 39.7( mm ) 9600 7700
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
§3.4.2
1、惯性矩的定义： dA对z轴的惯性矩:
惯性矩和惯性积
y
dA对y轴的惯性矩:
图形对z轴的惯性矩:
dIz y 2dA dIy z 2dA
3、静矩的值可以是正值、负值、或零。
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
y
4、静矩和形心的关系
z
dA
y
由平面图形的形心公式
o
z
yC

y dA A , zC
A

z dA A
A
Sz
可知
Sy

A
ydA AyC
静矩和形心的关系
A
zdA Az C
结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。
2、形心确定的规律：
（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。 （2）图形有两个对称轴时，形心必在这两对称轴的交点处。
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：
基本图形----指面积、形心位置已知的图形
Szz Szizi A yci S S A ci iiy
哈尔滨工业大学本科生课
截面图形的几何性质
§3.4.1 静矩和形心 §3.4.2 惯性矩和惯性积 §3.5.1 平移轴公式
§3.5.2 转轴公式
§3.5.3 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩
哈尔滨工业大学本科生课
静矩，惯性矩，惯性积 特性：
(1) 纯几何量，与材料的力学性质无关
(2) 从不同角度反映了截面的几何特征——称为截面的几何性质
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩 （或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积） 之和：
I z I zi ，I y I yi ，I zy I ziyi
§3.5 平行移轴公式和转轴公式 3.5.2 惯性矩和惯性积的转轴公式
已知：A、Iz、Iy、Izy、。
S y S yi Ai zci
四、组合图形的形心：
yc
S zi A
i
zc
S A
yi i
A Az
A
Ai yci
i ci
利用基本图形 的结果， 可使组合图形 的形心计算简单
§3.4 静矩、惯性矩、惯性积及其性质
例 试确定下图的形心。 解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形 y
7、简单图形惯性矩的计算 ⑴ 圆形截面：
1 4 实心（直径D）—— I z I y D 64
yc c zc
1 空心（外径D，内径d）——I z I y ( D 4 d 4 ) 64 ⑵ 矩形截面： h h 1 2 2 1 bh3 2 2 2 3 2 3 2 I y dA y bdy Izz A y dA h y bdy bh h A 12 2 12 yc 2
10
A1 700mm2 , zc1 45mm, yc1 5mm A2 1200 mm2 , zc 2 5mm, yc 2 60mm
2)、求形心
120
C2
c(19.7;39.7)
C1
A1 z c1 A2 z c 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7(mm) 700 1200