2019-2020学年四川省泸州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年四川省泸州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（），则sinα的值是（）A．B．C．D．3．下列函数在定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝log x C．y＝（）x D．y＝x34．已知向量＝（2，3），＝（m，4），若共线，则实数m＝（）A．﹣6B．C．D．65．首项为2，公比为3的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．3a n＝2S n﹣2B．3a n＝2S n+2C．a n＝2S n﹣2D．a n＝3S n﹣4 6．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交7．已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan（α+β）＝（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．9．已知函数f（x）＝（x﹣1）（ax+1）为偶函数，则m＝f（log23），n＝f（log25），r＝f（1）的大小关系正确的是（）A．m＞n＞r B．n＞m＞r C．m＞r＞n D．r＞m＞n10．关于函数f（x）＝sin（2x+）（x∈R），给出下列命题：（1）函数f（x）在（，）上是增函数；（2）函数f（x）的图象关于点（，0）（k∈Z）对称；（3）为得到函数g（x）＝sin2x的图象，只要把函数f（x）的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．311．如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[0，]C．[﹣，+∞]D．[﹣，0]12．设函数f（x）的定义域为R，满足，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x ﹣1）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知sin（﹣α）＝，则cos2α＝．14．已知边长为2的等边△ABC中，则向量在向量方向上的投影为．15．若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2，SB＝3，SA＝4，则此三棱锥的外接球的表面积是．16．设数列{a n}的前n项和S n满足S n﹣S n+1＝S n S n+1（n∈N*），且a1＝1，则a n＝．三、解答题：共70分．17．设平面向量＝（1，﹣2），＝（3，4）．（Ⅰ）求|3﹣|的值；（Ⅱ）若＝（2，3）且（+t）⊥，求实数t的值．18．已知函数f（x）＝2sin2x+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．19．在正项等比数列{a n}中，a4＝16，且a2，a3的等差中项为a1+a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝log2a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{}的前n项和T n．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos C＝a cos B+b cos A．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a+b＝5，求c．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点．（Ⅰ）设平面PBQ∩平面PCD＝直线l，求证：l∥BQ；（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD＝2，BC＝1，CD＝，三棱锥P﹣MBQ的体积为，求的值．22．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在[2，3]上的最大值和最小值分别为4和1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+log3（2x+1）﹣x2﹣1（x∈[1，3]），判断函数g（x）的图象与函数h（x）＝﹣3x+k（其中k∈R）的图象交点个数，并说明理由．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（），则sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解：角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（），则sinα＝，故选：D．3．下列函数在定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝log x C．y＝（）x D．y＝x3【分析】判断每个选项函数在其定义域上的单调性即可．解：在定义域上没有单调性，和在定义域上都是减函数，y＝x3在定义域R上是增函数．故选：D．4．已知向量＝（2，3），＝（m，4），若共线，则实数m＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】利用向量平行的性质直接求解．解：∵向量＝（2，3），＝（m，4），共线，∴，解得实数m＝．故选：C．5．首项为2，公比为3的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．3a n＝2S n﹣2B．3a n＝2S n+2C．a n＝2S n﹣2D．a n＝3S n﹣4【分析】根据等比数列的前n项和公式进行计算．解：因为a1＝2，q＝3，所以S n＝＝，所以3a n＝2S n+2，故选：B．6．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【分析】平行于同一条直线的两个平面平行或相交；由面面平行的判定定理，可得结论；由面面平行的性质定理，可得结论；利用反证法，可得结论．解：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即A不正确；由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即B正确；由面面平行的性质定理，可得一个平面与两个平行平面相交，交线平行，即C正确；利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即D正确．故选：A．7．已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan（α+β）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用和和角公式的运用求出结果．解：tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则：tanα+tanβ＝﹣2，tanα•tanβ＝﹣5，故＝．故选：D．8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S＝＝，高h＝1，故半圆锥的体积V＝＝，故选：D．9．已知函数f（x）＝（x﹣1）（ax+1）为偶函数，则m＝f（log23），n＝f（log25），r＝f（1）的大小关系正确的是（）A．m＞n＞r B．n＞m＞r C．m＞r＞n D．r＞m＞n【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（﹣x﹣1）（﹣ax+1）＝（x﹣1）（ax+1），变形分析可得a的值，结合二次函数的性质可得f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，据此分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝（x﹣1）（ax+1）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即（﹣x﹣1）（﹣ax+1）＝（x﹣1）（ax+1），变形可得：（a﹣1）x＝0，则有a＝1，则f（x）＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，为开口向上的二次函数，在区间（0，+∞）上为增函数，又由log25＞log23＞1，则有n＞m＞r，故选：B．10．关于函数f（x）＝sin（2x+）（x∈R），给出下列命题：（1）函数f（x）在（，）上是增函数；（2）函数f（x）的图象关于点（，0）（k∈Z）对称；（3）为得到函数g（x）＝sin2x的图象，只要把函数f（x）的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】（1），由x∈（，）时，可得2x+，由y＝sin x 的单调性即可判断；（2），由2x+＝kπ可得x＝，k∈Z，即可判断；（3），根据函数f（x）的图象平行移动规则即可判断．解：对于（1），x∈（，）时，2x+，y＝sin x在（﹣，）上不是增函数，故错；对于（2），由2x+＝kπ可得x＝，k∈Z，可得函数f（x）的图象关于点（，0）（k∈Z）对称，故正确；对于（3），函数f（x）的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得sin[2（x﹣）+]＝sin2x，故正确；故选：C．11．如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[0，]C．[﹣，+∞]D．[﹣，0]【分析】可设，且，它们的夹角为60°，然后设＝λ，λ∈[0，1]，然后结合向量的加减法运算，将表示为关于λ的函数的形式，问题即可解决．解：由已知设，则，且＜＞＝60°，由等边三角形的性质可知：，故可设，所以＝（），所以＝＝，λ∈[0，1]．易知时，原式取最小值；λ＝0或1时，原式取最大值0．故则的取值范围是．故选：A．12．设函数f（x）的定义域为R，满足，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x ﹣1）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】，∴f（x）＝2f（x+1），进而求解．解：∵，∴f（x）＝2f（x+1）当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，x∈（﹣1，0]时，x+1∈（0，1]，f（x）＝2f（x+1）＝2（x+1）x∈[，0]，x∈（﹣2，﹣1]时，x+1∈（﹣1，0]，f（x）＝2f（x+1）＝4（x+2）（x+1）∈[﹣1，0]，将函数大致图象在数值上画出，如图x∈（﹣2，﹣1]时，令4（x+2）（x+1）＝﹣，解得：x1＝，x2＝﹣，若对任意x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣，所以m≥﹣，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上．13．已知sin（﹣α）＝，则cos2α＝﹣．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα＝，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵sin（﹣α）＝cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故答案为：﹣．14．已知边长为2的等边△ABC中，则向量在向量方向上的投影为﹣1．【分析】可求出向量AB，BC的数量积，由向量在向量方向上的投影为，计算即可．解：∵＝||||•cos（π﹣A）＝2×2×（﹣cos）＝﹣2，∴向量在向量方向上的投影为＝＝﹣1．故答案为：﹣1．15．若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2，SB＝3，SA＝4，则此三棱锥的外接球的表面积是29π．【分析】将此三棱锥放在长方体中，由长方体的对角线等于其外接球的直径可得外接球的半径，再由球的表面积公式可得球的表面积．解：由题意可得将该三棱锥放在长方体中，且长方体的长宽高分别为SA＝2，SB＝3，SA＝4，设外接球的半径为R，再由长方体的对角线等于其外接球的直径可得（2R）2＝22+32+42＝29，所以4R2＝29，所以外接球的表面积S＝4πR2＝29π，故答案为：29π．16．设数列{a n}的前n项和S n满足S n﹣S n+1＝S n S n+1（n∈N*），且a1＝1，则a n＝．【分析】利用已知条件推出是等差数列，然后求解通项公式，即可求解a n．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n﹣S n+1＝S n S n+1（n∈N*），可得＝1，所以是等差数列，首项为1，公差为1，所以＝n，S n＝，a n＝＝，n≥2，（n∈N*），所以a n＝，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设平面向量＝（1，﹣2），＝（3，4）．（Ⅰ）求|3﹣|的值；（Ⅱ）若＝（2，3）且（+t）⊥，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得3﹣的坐标，可得它的模．（Ⅱ）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得t的值．解：（Ⅰ）∵向量＝（1，﹣2），＝（3，4），∴3﹣＝（0，﹣10），∴|3﹣|＝＝10．（Ⅱ）若＝（2，3）且（+t）⊥，∵+t＝（1+3t，﹣2+4t），∴（+t）•＝2（1+3t）+3（﹣2+4t）＝18t﹣4＝0，∴实数t＝．18．已知函数f（x）＝2sin2x+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，即可求解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin2x+2sin x cos x＝1﹣cos2x+sin2x＝2sin（2x﹣）+1，∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）＝2sin（2x﹣）+1∈[0，3]，即函数f（x）的值域为[0，3]．19．在正项等比数列{a n}中，a4＝16，且a2，a3的等差中项为a1+a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝log2a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n＝log2a2n﹣1，可得数列{b n}是等差数列，求得S n，再由裂项相消法求数列{}的前n项和T n．解：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意可得，解得．∴数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）由b n＝log2a2n﹣1＝log222n﹣1＝2n﹣1．可得b1＝1，又b n+1﹣b n＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{b n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则．∴．则＝．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos C＝a cos B+b cos A．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a+b＝5，求c．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理将已知条件中的边化为角，有2sin C cos C＝sin A cos B+sin B cos A，再结合正弦的两角和公式与A+B+C＝π，可知2sin C cos C＝sin C，从而解得cos C＝，再结合C的范围即可得解；（Ⅱ）由知，，解出ab的值后，利用平方和公式求出a2+b2，最后根据余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，因为2c cos C＝a cos B+b cos A，所以2sin C cos C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C．因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）由知，，所以ab＝6，又a+b＝5，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝13﹣2×6×＝7，所以c＝．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点．（Ⅰ）设平面PBQ∩平面PCD＝直线l，求证：l∥BQ；（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD＝2，BC＝1，CD＝，三棱锥P﹣MBQ的体积为，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出四边形BCDQ为平行四边形，CD∥BQ，从而直线BQ∥平面PCD，由此能证明l∥BQ．（Ⅱ）推导出BC⊥QB，PQ⊥AD，PQ⊥BC，从而BC⊥平面PBQ，进而平面BCP⊥平面PQB，过M作⊥PB于E，则ME⊥平面PBQ，点M到平面PQB的距离h＝ME，由三棱锥P﹣MBQ的体积为，求出h＝，由此能求出．解：（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，∵BQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴直线BQ∥平面PCD，∵BQ⊂平面PBQ，且平面PBQ∩平面PCD＝直线l，∴l∥BQ．（Ⅱ）解：∵∠ADC＝90°，四这形BCDQ为平行四边形，∴BC⊥QB，∵PA＝PD＝2，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，∴PQ⊥平面PAD，∴PQ⊥BC，∴BC⊥平面PBQ，∵BC⊂平面MQB，∴平面BCP⊥平面PQB，过M作ME⊥PB于E，则ME⊥平面PBQ，∴点M到平面PQB的距离h＝ME，∵三棱锥P﹣MBQ的体积为，∴V P﹣MBQ＝V M﹣BPQ＝，解得h＝，∵BC∥ME，∴M为PC的中点，∴＝．22．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在[2，3]上的最大值和最小值分别为4和1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+log3（2x+1）﹣x2﹣1（x∈[1，3]），判断函数g（x）的图象与函数h（x）＝﹣3x+k（其中k∈R）的图象交点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数对称轴为x＝1可得其在[2，3]上单调递增，即有f（2）＝1，f （3）＝4，解出a，b即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x），令G（x）＝g（x）﹣（﹣3x+k），证明其在[1，3]上单调递增，进而可得函数g（x）的图象与函数h（x）＝﹣3x+k（其中k∈R）的图象交点个数．解：（Ⅰ）由题可得函数f（x）的对称轴为x＝1，则其在[2，3]上单调递增，故f（2）＝4a﹣4a+1+b＝1，f（3）＝9a﹣6a+1+b＝4，解得a＝1，b＝0，故f（x）＝x2﹣2x+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）＝x2﹣2x+1+log3（2x+1）﹣x2﹣1＝log3（2x+1）﹣2x，令G（x）＝g（x）﹣（﹣3x+k）＝log3（2x+1）+x﹣k，任取1≤x1＜x2≤3，则G（x1）﹣G（x2）＝﹣＝+（x1﹣x2），因为x1＜x2，所以0＜＜1，即有＜0，且x1﹣x2＜0，所以y＝G（x）为R上的单调增函数，所以函数g（x）的图象与函数h（x）＝﹣3x+k（其中k∈一、选择题）的图象最多只有一个交点．。