3.2.1一元二次不等式的解法
简单的一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
一元二次不等式的概念
我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中
称为 一元二次 不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的 集合 称为解集.
知识点二
“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋Leabharlann ＝0√ 1 D.xx<－2或x＞1
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
1 ∴由 2x －x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－2，
2
1 ∴不等式的解集为xx<－2或x＞1 .
1
2
3
4
解析
答案
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是 A.1 B.2 C.3 √ D.4
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
解答
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
§3.2.1一元二次不等式的解法及其应用
一元二次不等式解法及其应用
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
1
一元一次不等式的解法回顾
例题:解一元一次不等式 例题 解一元一次不等式:ax>b 解一元一次不等式
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
2
. .
解的讨论: ① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论:对 ax>b
2
1 1 ( , ) 2 3
,则
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
9
x3 <0 2.解不等式 x + 7 解不等式 .
. .
x3 ≤0 2. 变式题)解不等式 x + 7 (变式题 . 变式题) ( . x3 ≥ 1 2. (变式题)解不等式 x + 7 变式题)
. .
.
3 4
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
13
3,不等式(x-2)2(x-1)>0 的解集为 . ,不等式 - - 4,不等式(x+1) (x-1) ≤0 的解集为 . ,不等式 + -
2பைடு நூலகம்
1 <x 5,不等式 x , 的解集为
.
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
10
.
分式不等式的解法: 先移项通分标准化, (2) ) 分式不等式的解法: 先移项通分标准化, 则
.
f ( x) > 0 f ( x) g ( x) > 0; g ( x)
一元二次不等式及其解法
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法
考点二十二 一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为 (1)当a ＞0时，解集为{x |x ＞ba }.(2)当a ＜0时，解集为{x |x ＜ba }.2. 一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x ≠－b2a ，x ∈R } Rax 2＋bx ＋c <0(a ＞0){x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间． 3．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )＞0f (x )·g (x )＞0，f (x )g (x )＜0f (x )·g (x )＜0； (2) f (x )g (x )≥0⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≥0， g (x )≠0，， f (x )g (x )≤0⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤0，g (x )≠0，； (3)f (x )g (x )＞m f (x )g (x )－m ＞0f (x )－m ·g (x )g (x )＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x －1)2(x －2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}． 5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解．典例剖析题型一 一元二次不等式解法 例1 解下列不等式 (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2． 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}． 变式训练 解不等式0＜x 2－x －2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集． 题型二 分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________．答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1. 解题要点 求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0． 题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________． 答案 －3解析 由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练 已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________． 答案 －1，－2解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值．题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 由⎩⎨⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1. 变式训练 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0， 即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析 由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ； a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论： 讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．答案 {x |x <－1或1<x <2} 解析 (x －2)(x 2－1)<0， (x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2． 3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________．答案 (－2,1)解析 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________． 答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a，解得a ＝－6，b ＝5， 不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析 由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、 填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－12，1 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________． 答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为________．答案 {x |m ＜x ＜1m }解析 当0<m <1时，m <1m.4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________． 答案 {x |－1<x <12}解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}.5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－43，1 解析 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝ca ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.6．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 解析 原不等式可化为：4x －4x 2>－3，① 且4x －4x 2≤0，② 解①得：－12<x <32，解②得：x ≤0或x ≥1，①，②取交集得：－12<x ≤0或1≤x <32，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32. 7．函数f (x )＝x －2－13x －x 2的定义域是________． 答案 {x |2≤x <3}解析 要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，3x －x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，0<x <3，所以2≤x <3，即函数的定义域为{x |2≤x <3}．8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案 [1,19)解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对于一切x ∈R 恒成立． (1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1. 若a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意； 若a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)＜0，解得1＜a ＜19. 综上可知，a 的取值范围是1≤a ＜19.9．（2015广东文）不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 a ≥－5解析 由题意，分离参数后得，a ≥－(x ＋4x )，设f (x )＝－(x ＋4x)，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5， 故a ≥－5.11．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，则a 的值为______． 答案 3解析 ∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}， ∴1－a <0，即a >1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0， 其解集为{x |－3<x <1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.二、解答题12．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1. 解析 由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8.由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1，即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．13．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解析 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a ≤－1，g (－1)≥0，解得－3≤a ≤1.。
高中数学第3章3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A必修5.ppt
变式训练1 解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
解：(1)原不等式可化为 2x2－3x－2＜0， ∴(2x＋1)(x－2)＜0. 故原不等式的解集是{x|－12＜x＜2}． (2)原不等式可化为 2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为{x|x≤－12或 x≥1}．
考点二 解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
变式训练 2 已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为 {x|－12＜x＜13}，求 2x2＋bx＋a＜0 的解集． 解：∵ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－12＜x＜13}， ∴－12，13是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根．
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －12＋13＝－ab －12×13＝2a
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
知新盖能
一元二次不等式的解法 一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
3.2 一元二次不等式及其解法(1)
2．总结其中的规律，并尝试完成课本第 77 页的表格 0 0
0
二次函数 y ax 2 bx c (a 0) 的图象
一元二次方程 ax2 bx c 0
ax2 bx c 0 (a 0) 的解集 ax2 bx c 0 (a 0) 的解集
5．已知集合 U x x 3x 2 0 ， A x x 3或x 1 ，则 CU A
2
D． {x | 4 x 1或2 x 3} ．
6．不等式 2 x 2x 8 的正整数解集为
2
．
课堂反思
b x x 2a
无实根
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2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．
3 自学检测
1 求下列不等式的解集 （1） x 3x 4 0
2
（2） x 5x 6 0
2
（3）4 x 4 x 1 0
2
（4） x 2 x 3 0
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系； 2．掌握图象法解一元二次不等式的方法。 3．掌握含有字母系数的不等式的解法。
2 学习指导
阅读教材 P76-78,回答下面问题： 1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式． 2 2 2．探究不等式 x 5x 0 与二次函数 y x 5x 的零点之间的关系．
四，当堂训练
1．与不等式 ( x 3)( x 5) 0 的解集相同的是（
x 3 0 x 3 0 A． B． x 5 0 x 5 0 2．在下列不等式中，解集为 的是（
）
x 3 0 D． x 5 0
3.2.1一元二次不等式及其解法
∴b= -a，c= -2a∴不等式 2+1)+b(x-1)+c＞2ax， ， ∴不等式a(x ＞ ， 可化为(x 可化为 2+1)+(-1)(x-1)+(-2)＜2x， ＜ ， 即x2-3x＜0，解得0＜x＜3，∴选A. ＜ ，解得 ＜ ＜ ，
故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x <-1或1．“三个二次”之间的关 三个二次” 系
1 设不等式ax + bx + 1 < 0的解集是{x | −1 < x < }, 求a ⋅ b. 3
2
变式：已知二次不等式ax 2 + bx + c < 0的解集是 1 1 2 {x | x < 或x > }，求关于x的不等式cx -bx+a>0的解集. 3 2
题3：解不等式2x2+x -3>0 解不等式2
因为△ 解： 因为△= 1+24=25>0 的解是x 方程 2 x2 +x -3=0 的解是 1=-3/2 , x2=1 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x <-3/2或x> 1} 或
题4：解不等式 2x2 + 3x +5 >0 ：解不等式解：整理，得 2x2 - 3x - 5< 0 整理， 因为△ 因为△= 9+40 = 49 > 0 的解是x 方程 2 x2 -3x -5=0 的解是 1=5/2 , x2=-1
若f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在区间 在区间 [n,+∞)上恒成立，则 上恒成立， 上恒成立
3.2.1 一元二次不等式及其解法
解不含参数的一元二次不等式
例 1：解下列不等式：
(1) 2x2－3x－2＞0
(2) －3x2＋6x＞2
(3) 9x2－6x＋1＞0 (4) x2－4x＋5＞0
解：(1)∵Δ＝25＞0，且方程2x2－3x－2＝0 的两根分别为 x1＝－12，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2＞0 的解集为
，即bc＝＝－－1a2a ，
∴不等式bx2＋2ax－c－3b＜0 即为 －ax2＋2ax＋15a＜0， 即x2－2x－15＜0，解得－3＜x＜5. ∴所求不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
给出了一元二次不等式的解集，则可知二 次项的符号和一元二次方程的两根，由根与系数的关系可知a、 b、c 之间的关系．
.
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
(1)(5－x)(x＋1)≥0
(1){x | 1 x 5}
(3) 1 x2 3x 5 0 2
.
(4)∵Δ＝16－20＝－4＜0，方程x2－4x＋5＝0 无实根，
∴不等式x2－4x＋5＞0 的解集为R.
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.2.1 一元二次不等式的解法
2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.把握图像法解一元二次不等式的方法.3.培育应用数形结合、分类争辩思想方法的力气．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发状况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种方法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以推断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观看图像，确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观看函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3依据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再依据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．小结(1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2)一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，依据以上争辩，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间． (2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答 二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集． 例1解不等式：3x 2＋5x －2>0.解 方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观看图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 依据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？答 集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟 在具体求解一元二次不等式的过程中，要亲热结合一元二次方程的根的状况以及二次函数的图像来确定不等式的解集．跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解 方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解 方法一 方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观看图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二 在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观看图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟 当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常接受方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解． 跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0.解 不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三 含参数的一元二次不等式的解法 例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )． 反思与感悟 含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)争辩二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)争辩判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数；(3)当Δ>0时，争辩相应一元二次方程两根的大小；(4)最终依据系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m . (3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，明显－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分别，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分别，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－ 5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1， 故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类争辩，为了做到分类“不重不漏”，争辩需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的争辩：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的争辩：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的争辩：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． 答案 －2<m <2解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方， 所以Δ＝(m )2－4×1×1<0， 所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0 ⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． 二、力气提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又由于a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为 (x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时， 不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .(3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。
3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)
(3)m＜0
3 1 时，原不等式变为x＋ x－ ＜0， m m
1 3 解得 ＜x＜－ .综上，m＝0 时，解集为 R； m m m＞0 m＜0
3 1 时，解集为x－ ＜x＜ m m 1 3 x ＜x＜－ 时，解集为 m m ； .
解 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； (2)当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a， 此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； (3)当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
课前探究学习
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【训练3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋a2－1≤0的解集是 (－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a，b的值．
解 由题意可知，a＜0，且－1,2 是方程 ax2＋bx＋a2－1＝0
的根， a＜0， －1＋2＝－b， a 所以 a2－1 －1×2＝ ， a
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
一元二次不等式的有关概念 1． ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx (1)一元二次不等式：形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式． ＋c＜0(≤0)(其中a≠0) (2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式 x的值 成立的______叫这个一元二次不等式的解． 所有解 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组 成的集合，叫做一元二次不等式的解集．
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
3.2.1 一元二次不等式的解法(一)
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
练习.若关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为 { x | x 2或x 1}，求不等式cx2 bx a 0
2
的解集. （1 ，2） 2
一、基础知识讲解
分式不等式的解法
f (x) g(x) 0
f ( x) g( x) 0,
f
(
x)
0.
g(x) 0 f (x) g( x) 0 f (x)
解：∵方程(x-a)(x+1)=0的解为 x=a，或x=-1
∴当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a} 当a=-1时，原不等式无解 当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}
变式：解不等式 x2+(1-a)x-a<0（a∈R）
拓展.解不等式 2a2x2-ax-1<0（a∈R）
小结:含参数的一元二次不等式的解法
因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
例1：解不等式4x2-4x +1>0
解:
由于4x2-4x+1=(2x-1)2>0
另解： 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
Δ =b2-4ac
Δ >0
Δ =0
Δ <0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的解
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
有两个相异实根 x1,2=
b b2 4ac (x1<x2) 2a
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于 取中间”)
答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)
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即时训练 3-1:(1)不等式 x 1 ≤3 的解集是
;
x
解析:(1)原不等式等价于 x 1 -3≤0⇔ 1 2x ≤0⇔ 2x 1 ≥0⇔x(2x-1)≥0,且 x
x
x
x
≠0,解得 x≥ 1 或 x<0. 2
答案:(1){x|x≥ 1 或 x<0} 2
(2)不等式 2x 1 >1 的解集是
3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法
课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌 握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等 式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
自主学习
知识探究
1.一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0), 其中a≠0,且a,b,c为常数. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的 解 ,一元二次 不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的 解集 .
一元二次不等式及其解法
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应 方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方 程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0， 那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有 其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪 一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他 参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义 只含有 1 个 未知数，并且未知数的 最高次数为 2 的 不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等 式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 式的 解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三 例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2， 求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法3.2 一元二次不等式及其解法本课时的研究目标如下：1.掌握一元二次不等式的解法（重点）。
2.能够根据“三个二次”之间的关系解决简单问题（难点）。
基础·初探】1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2.一元二次不等式的一般形式1) ax^2 + bx + c。
0 (a ≠ 0)。
2) ax^2 + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0)。
3) ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
4) ax^2 + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)。
3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集。
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）1) mx^2 - 5x < 0 是一元二次不等式。
（×）解析：当 m = 0 时，是一元一次不等式；当m ≠ 0 时，它是一元二次不等式。
2) 若 a。
0，则一元二次不等式 ax^2 + 1.0 无解。
（×）解析：因为 a。
0，所以不等式 ax^2 + 1.0 恒成立，即原不等式的解集为 R。
3) x^2 - x。
0 为一元二次不等式。
（×）解析：因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错误。
答案】(1) × (2) × (3) ×二次函数与一元二次不等式的关系】考虑一元二次不等式 f(x)。
0（或 f(x)。
0）。
1.判别式Δ = b^2 - 4ac。
2.求出方程 f(x) = 0 的解集 {x | x1 < x < x2}，其中 x1 和x2 分别是 f(x) = 0 的两个实根。
3.画出函数 y = f(x) 的图像。
4.根据 f(x)。
0（或 f(x) < 0）的条件，得到一元二次不等式的解集。
高中数学第三章不等式3.2第一课时一元二次不等式的解法高一5数学
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简单的分式不等式在求解时多化为
fx gx
解得pq＝＝－16，16 .
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－
1 6
x2＋1Biblioteka 6x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
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1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴交点的横坐标．
图象知不等式的解集为xx<－12或x>1
.
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法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x
－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－
1 2
，x2＝1；
画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．
观察图象，可得原不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
一元二次不等式的2种方法 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋ bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求 解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解， 当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x< q.有口决如下“大于取两边，小于取中间”．
高二数学一元二次不等式及其解法
是
x1 x2 ?
否
原不等式的解集为R
原不等式的解集为 ｛x|x R且x x1 ｝
原不等式的解集为 ｛x| x x1或x x2 ( x1 x2 )｝
结束
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吐出来啊。”慕容凌娢给了许晨涵一个死鱼眼。“你不也吃的很开心吗。”“你那么好心的请我，我怎么忍心拒绝呢。” 许晨涵笑嘻嘻的吐了吐舌头，“时间不早了，我先走了。”“走好啊！”看着她穿过斑马线，慕容凌娢低下了头，“好 奇怪啊，我怎么会保有一丝希望……”回到家，慕容凌娢喝着剩下的半杯奶茶，环顾了一下客厅四周，和往常一样冷清， 毕竟大多数时间家里都只有自己一个。不然自己也不会过如此凌乱的‘吃土’生活了……说多了都是泪啊。“喵～”一 道黑影敏捷的窜到了慕容凌娢的怀里，温顺的蹭了蹭她手。“Jasmine,我现在就只有你了。”慕容凌娢一把抱住茉莉并 且想要狂抓她那两只柔软的耳朵。“喵～喵呜～”茉莉惊险的躲开了慕容凌娢的魔爪，顺势吧不知从何处翻出的玉石坠 子抛到了凌娢的手中。“这是什么？”慕容凌娢仔细端详起不明来由的坠子。坠子上的血玉引起了她的注意。这是一块 非常美丽的玉石，周身翠绿，犹如碧波潭水光滑剔透的表面，似乎能透出彩光。在这块玉石的中心，存在着一抹鲜艳的 红，仿佛一朵盛开的花，被定格在最美的时刻。透过光线观察，慕容凌娢觉得这是一块真正的玉，一块价值连城的玉。 “Jasmine,你真是个天才，不当搜救犬实在是太可惜了。”慕容凌娢伸手就要抱住茉莉。“喵～喵～……(我是只高贵 的猫，不要把我和那些愚蠢的汪星人联系到一起！)”茉莉此时内心是拒绝的。在躲避凌娢熊抱的同时，茉莉打翻了还 没喝完的奶茶。奶茶理所当然的溅在了血玉上。血玉发出了殷红的光泽，毫无预兆的把慕容凌娢笼罩在其中。慕容凌娢 只是觉得眼前一道红光闪过，便失去了知觉。(古风一言)愿你遇良人，与你欢喜城，长歌暖浮生。第003章 把某人认作 自己的闺蜜当慕容凌娢再次醒来，发现自己身处于一条幽静的小巷子里。“嗯？这个梦做的很宏伟啊！”慕容凌娢若无 其事的拍了拍校服上的尘土，“场景都这么真实……还都是仿古建筑。”慕容凌娢兴奋的以为这次的穿越只是自己的一 个梦。“没想到那只冰淇淋效果这么好，居然能控制人的梦境……店主姐姐绝对不是什么普通人，唉！居然连名字都没 有问呢。”她似乎已经把自己对冷品店店主那些不友好的事情全忘了。沿着幽静的小巷子走到了尽头，慕容凌娢被眼前 的场景惊呆了，这里竟是一条繁华的街道。人们还都穿着古装。天呐！我不会是被带到某个古装剧的剧组里来了吧？她 终于怀疑起这不是梦。毕竟梦里请不来这么多的龙套。话说怎么没有摄像机呢？导演呢？慕容凌娢大大方方的走入了人 群中，想要寻找摄像机，丝毫没有发现其余人都用怪异的目光看着她。“哟！这位姑娘，看你这身打扮想必不是本地人 吧！”有一人突然挡在了慕
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【例5】 解下列不等式： x－3 (1) <0； x＋2
x＋1 (2) ≤1； 2x－3 2x＋1 (3) <0. 1－x [思路探索] 将分式不பைடு நூலகம்式等价转化为一元二次不等式或 一元一次不等式组．
解
x－3 (1) <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， x＋2
∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． x＋1 x＋1 (2)∵ ≤1，∴ －1≤0， 2x－3 2x－3 －x＋4 x－4 ∴ ≤0，即 ≥0. 3 2x－3 x－ 2
（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，
写出不等式的解集；三写
例1 求不等式 4x2－4x＋1 > 0的解集
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是 1 x1 x 2 2， 所以,原不等式的解集是
1 x | x 2
注:4x2－4x＋1 <0
无解
再看一例
例2 求不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 的解集 解: －x2 ＋2x－3 > 0
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。 记忆口诀：
大于0取两边， 小于0取中间.
解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲” （1）转化为不等式的“标准”形式(a>0);一 看 （2）算△,解相应一元二次方程的根；二算
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解为50<x<60. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
所以,原不等式的解集是
然后想像图象形状
1 x | x , 或x 2. 2
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
点评
（2）.解不等式 －3x2＋6x > 2
解: ∵－3x2＋6x >2
3 x 2－ 6 x ＋ 2 < 0
∵方程的解3x2－6x+2 =0的解是
3 3 x1 1 , x2 1 . 3 3
3 3 x 1 所以,原不等式的解集是 x | 1 3 3
例3
m和汽车车速x km/h有如下关系: s 1 x 1 x 2 .
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那
x2 -2x+3 < 0
因为△ =-8<0,
方程x2 -2x+3 =0无实数根
所以,原不等式的解集是 Φ
注:x2 -2x+3 >0
xR
练习1.（1）解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解 是 1 x1 , x2 2. 2
题型一 分式不等式的解法 分式不等式的解法
fx fx 先整理成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤ 0)，再化成整式不等 gx gx 式来解； fx (1) >0⇔f(x)· g(x)>0； gx fx (2) <0⇔f(x)· g(x)<0； gx gx≥0， fx· fx (3) ≥0⇔ gx gx≠0； gx≤0， fx· fx (4) ≤0⇔ gx gx≠0.
开口方向； 对称轴
b b 4ac x ; 2a
2
b 4ac b 2 , 顶点 坐标 2a 4a
b x 2a
问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司.
3 此不等式等价于(x－4)x－ ≥0 2
3 且 x－ ≠0， 2
3 解得 x< 或 x≥4. 2
3 ∴原不等式的解集为xx< 或x≥4 2
.
1 x＋ 2x＋1 2 (3)由 <0 得 >0， 1－x x－1
1 此不等式等价于x＋ (x－1)>0， 2
x(35 x) 先化简不等式 >1.5x 整理得 x2 5x 0 20
这是一个关于解一元二次不等式的问题
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
即：ax bx c 0 或 ax bx c （a 0 0)
2 2
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
x(35 x) 如果选择 A 公司,则 >1.5x (0<x<17)要成立. 20
分析:假设一次上网 x 小时( 0 x 17, x N * ) 公司 A 收取的费用为: 1.5x (元) 公司 B 收取的费用为: x{1.7 [1.7 ( x 1) 0.1]} (元) 2 x(35 x) 即 (元 ) 20
1 解得 x<－ 或 x>1， 2
1 ∴原不等式的解集为xx<－ 或x>1 2 .
例6 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
解
①当 a2－1＝0 时，a＝1 或－1.
若 a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 1 若 a＝－1，则原不等式为 2x－1<0 即 x< ，不合题意，舍去． 2 ②当 a2－1≠0 时，即 a≠± 1 时，原不等式的解集为 R 的条件
2 a －1<0， 是 2 2 Δ＝[－a－1] ＋4a －1<0.
3 解得－ <a<1. 5
综上 a
3 的取值范围是－ ，1. 5
小结:1.利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
(1)先求出Δ和相应方程的解， (2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解 注:若a<0时,先变形! 2. 二次函数
一元二次方程的根 一元二次不等式的解 三个二次问题都可以通过图形实现转换
课外思考:
图象
x3 0 如何求解？ ⑴简单的分式不等式 x7
作业:课本 P80 A 组 1，5
函数
f ( x) x2 5 x
y
方程
不等式
x 5x 0
2
x 5x 0
2
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x 5x 0
2
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
一元二次不等式可用图象法求解 x
关键在于快速准确捕捉图像的特征
0
O
ax 2 bx c 0的解集
x x1 {R x |xx1或 x } x2 x 1 x x 2
x1
x1=x2
x
2
x
ax 2 bx c 0的解集
函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0
画出函数y=x2+9x-7110的图 象,由图象得不等式的解集为 {x|x <-88.94, 或 x>79.94 } 在这个实际问题中,x>0,所以这辆 汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
利用二次函数图象能解一元二次不等式！ 问：y= ax2＋bx＋c（a>0）的图象与x轴的交点情 况有哪几种？ 一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)
y
一元二次函数
0
0
f (x)=ax 2 bx c(a 0)
§3.2 一元二次不等式 及其解法
复习：一元二次方程与一元二次函数
(1)一元二次方程的解法 ax2 bx c 0(a 0)
因式分解法(十字相乘） 公式法：
b c 韦达定理 x1 x2 , x1 x2 a a (2)一元二次函数 y ax2 bx c(a 0)
20
180
么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)
刹车距离是指汽车 解:设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h,根据题意 ,得到 刹车后由于惯性往前滑 1 1 2 x x 39.5. 行的距离 20 180 移项整理,得 x2+9x-7110>0. 显然△>0, 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即 x1≈-88.94, x2≈79.94