安徽师大附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
高二上学期期末考试_数学(文)有答案-精品
南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学命题人：高二文科数学备课组(内容：必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i＋1 i ＝A．－2i B.12i C．0 D．2i2．下列选项叙述错误的是A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．若命题p：x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈p：x0∈R，x2＋x＋1＝0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件3．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为A．1百万件 B．2百万件 C．3百万件 D．4百万件4．“k>4”是“方程x2k－4＋y210－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是A.12B.13C.14D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 A ．870 B ．30 C ．6 D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝110．设函数f(x)＝13x 3－a2x 2＋2x ＋1，若f(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞) B．[22，＋∞) C ．(－∞，－22) D ．(－∞，－22] 答题卡二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f(x)，若函数f(x)在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f(x)的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x －1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a∈R)．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：(平均每天喝500 ml以上为常喝，体重超过50 kg为肥胖)已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为4 15 .(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？附参考数据：(参考公式：2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交抛物线C 于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与抛物线C 是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a∈R，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD⊥CD，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝aln x. (1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案 必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C 【解析】根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.10．C 【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a∈R)定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos π3y ＝3＋tsin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分) 15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分) 补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .(2分)又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(3分)所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，(5分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分) (2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分) 即x ＝2tp (y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f′(x)＝x(2＋cos x)，令f′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e ＝53.19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k 行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)， 由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分) 由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)， 由⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k1＋2k 2. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分)若存在满足题设的Q 点，则MQ⊥DP，由MQ →·DP →＝0， 整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h′(x)＝x ＋ax ≥0在()0，＋∞上恒成立，即a≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分) (2)不等式f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0等价于x 0＋1x 0<aln x 0－ax 0，整理得x 0－aln x 0＋1＋a x 0<0.设m ()x ＝x －aln x ＋1＋ax，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分) 由m′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2.因为x>0，所以x ＋1>0，即令m′()x ＝0，得x ＝1＋a. ①当1＋a≤1，即a≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值． 令m ()1＋a ＝1＋a －aln(1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<aln(a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln(a ＋1)． 考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分) ③ 当1＋a≥e ，即a≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减， 只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1.综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。
安徽省安徽师大附中2016-2017学年高二上学期第一次月考(10月)数学试卷
安师大附中2016～2017学年度第一学期10月月考高 二 数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2、123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．12231,l l l l l ⊥⊥⇒∥3l B ． 122,l l l ⊥∥313l l l ⇒⊥ C ．1l ∥2l ∥3123,,l l l l ⇒共面 D ．123123,,,,l l l l l l ⇒共点共面3、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ）A ．12．1．21+ D ．22+4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中与AD 1成60°角的面对角线的条数是（ ） A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．10条5、如图，若Ω是长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是（ ）A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台（第5题图） （第6题图） (第7题） （第8题图）6、如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．②③④D ．②③7．如图直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为（ ）A2VB ．3VC ．4VD ．5V 8、在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小等于a 的概率为（ ）A ．22 B ．π22 C ．61 D ．π619、一个棱长为a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A ．273πaB ．22πaC ．2114πa D ．243πa10、如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面''EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分，那么12:V V 为（ ）A ．3：2B ．7：5C ．8：5D ．9：5（第10题图） （第11题图）（第12题图） 11、已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为（ ）cm 2.A ．1BC ．2D ．12、如图是一个由三根金属杆PA 、PB 、PC 组成的支架，三根金属杆PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60°，一个半径为1的小球放在支架上且与三根金属杆都接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．2 C ．3 D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的余弦值为______________． 14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，AA 1=4，则异面直线AB 1与A 1D 所成的角的余弦值为 ．15、如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度: cm ）, 则此几何体的表面积是______cm 2.（第15题图） （第16题图） （第18题图）16、如右图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 、R 分别是棱BC 、CD 、DD 1的中点．下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与QR 所成的角为60°;④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，则三棱锥E-FGH 体积是定值；⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则OM ON的最大值是2.其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18、（本小题满分10分）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2，求证：（1）E ，F ，G ，H 四点共面；（2）EG 与HF 的交点在直线AC 上．AE B CF A'B'C'V V 12第12题19、(本小题满分12分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位：cm)．（1）画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；（2）设M为AB上的一点，N为BB’中点，且AM=4，证明：平面GEF∥平面DMN.20．(本小题满分12分)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若MN=BC=4，PA=4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=AB=2，AB ⊥BC，BC=3．（1）在棱AC上求一点M，使得AB1∥平面BC1M，说明理由；（2）若D为AC的中点，求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．22、(本小题满分12分)如图，棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 、G 分别为棱1CC 、11C D 、AB 的中点.（1）求异面直线AC 与FG 所成角的大小； （2）求证：AC ∥平面EFG .23、(本小题满分12分)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，D 、E 分别为BC 、CA 的中点，F 为CD 的中点. 若在线段PB 上存在一点Q ，使得平面ADQ ∥平面PEF .（1）求PQQB的值； （2）设AB PA ==4，求三棱锥Q PEF -的体积；。
安徽2016-2017学年高二上学期期中考试文科数学试题 Word版含答案
安徽师范大学附属中学期中考查高二文科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列说法正确的是（）A．任意三点可确定一个平面 B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形 D．一条直线和一个点确定一个平面2、某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）第2题图A． B． C． D．3、已知水平放置的ΔABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中''''1,''B OC O A O===那么原ΔABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．仅有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．35、在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A．2π3B．4π3C．5π3D．2π6、对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）'y'第3题图A．平行 B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线 7、若有直线m 、面α、β，n 和平下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α 8、如图正方体中,o ,1o 为底面中心,以1oo 所在直线为旋转轴,线段1BC 形成的几何体的正视图为（ ）第8题图 9、给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足l =⊥⊥βαγβγα ,,,则γ⊥l ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l③已知a,b 是异面直线，βα,为两个平面，若αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα// ④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个 10、在棱长为2的正方体内有一四面体A －BCD ，其中 B ，C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示， 则四面体A －BCD 的体积为( )A.83 B ．2 C.43D ．1 11、设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个(A)(B)(C)(D)112.异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππ C ．]3,6[ππD ．]32,6[ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.） 13.已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的半径是 .14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ．15、已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P到面ABC 的距离为 ．16、棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为_______________.三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17、（8分）如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示(单位：cm)。
2016-2017年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是．（填上你认为正确的所有说法的序号）15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f（x）相切？（只需写出结论）2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由，得z＝i（1﹣i）＝1+i．故选：B．3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）＝2x+3f′（2）+，令x＝2，则f′（2）＝4+3f′（2）+，即2f′（2）＝﹣，∴f′（2）＝﹣．故选：D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【解答】解：由表格得＝5，＝0.9，∵回归直线方程为＝bx+7.9，过样本中心，∴5b+7.9＝0.9，即b＝﹣，则方程为＝﹣x+7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就减少1.4个单位，故选：B．8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选：B．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）＝ax2+bx+c的导数为f′（x）＝2ax+b，即有f′（1）＝0，即2a+b＝0，①又f（1）＝3，即a+b+c＝3②，又f（2）＝8，即4a+2b+c＝8，③由①②③解得，a＝5，b＝﹣10，c＝8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c＝0，且4a+2b+c＝8，且＝3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且4a+2b+c＝8，解得a＝﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且＝3，解得a＝﹣不为非零整数，不成立．故选：A．二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为1．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是②④．（填上你认为正确的所有说法的序号）【解答】解：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病，显然错误；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病，根据统计，是正确的；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人，显然错误；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人，也有可能，故正确．故答案为②④．15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的数不是偶数．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题．其否定一定是一个特称命题，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．故答案为：存在一个能被2整除的数不是偶数．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故填：．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5，f（3）＝13，f（4）＝25，∴f（2）﹣f（1）＝4＝4×1．f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4∴f（5）＝25+4×4＝41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（2）﹣f（1）＝4×1，f（3）﹣f（2）＝4×2，f（4）﹣f（3）＝4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）＝4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）＝4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【解答】解：（I）当k＝0时，f（x）＝﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．当k＞0时，f'（x）＝3kx2﹣6x＝3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．（II）当k＝0时，函数f（x）不存在最小值．当k＞0时，依题意f（）＝﹣+1＞0，即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表： 【解答】解：（Ⅰ）七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100＝56（分），八年级学生竞赛平均成绩（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）． …（6分） （Ⅱ）…（8分） ∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2x 3﹣3x ． （Ⅰ）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切，求t 的取值范围； （Ⅲ）问过点A （﹣1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f （x ）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f′（x）＝0得，x＝﹣或x＝，∵f（﹣2）＝﹣10，f（﹣）＝，f（）＝﹣，f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝2﹣3x0，且切线斜率为k＝6﹣3，∴切线方程为y﹣y0＝（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．。
安徽师大附中2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=12．直线xtan+y+2=0的倾斜角α是（）A．B．C．D．﹣3．抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，1）D．（1，0）4．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣45．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．24 B．12 C．6 D．36．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=07．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（）A．43 B．72 C．86 D．908．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．9．直角坐标平面内，过点P（2，1）且与圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0相切的直线（）A．有两条B．有且仅有一条C．不存在D．不能确定10．直线L过点且与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条11．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且=0，则|+|=（）A．B．2C．D．212．若曲线y=+1与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．设点A（1，0），B（﹣1，0），若直线2x+y﹣b=0与线段AB相交，则b的取值范围是．14．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，则炮击的方位角是（南、北）偏（东、西）度．三、解答题17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18．椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．20．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．21．求过两圆x2+y2﹣1=0和x2﹣4x+y2=0的交点，且与直线x﹣y﹣6=0相切的圆的方程．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．2016-2017学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题．2．直线xtan+y+2=0的倾斜角α是（）A．B．C．D．﹣【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．【解答】解：∵直线xtan+y+2=0的斜率为﹣tan=，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，1）D．（1，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）故选C．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．4．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0）， ∴抛物线y 2=2px 的焦点（2，0），∴p=4， 故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．5．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由短轴长为，离心率为，可求得，所以可求△ABF 2的周长．【解答】解：由题意，从而得，故选C ．【点评】本题主要考查椭圆几何量之间的关系，利用了椭圆的定义，属于基础题．6．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6x=0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．2x +y ﹣3=0B ．x ﹣2y +1=0C ．x +2y ﹣3=0D ．2x ﹣y ﹣1=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN 垂直，由圆心与P 坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出弦MN 所在直线的斜率，从而可得弦MN 所在直线的方程． 【解答】解：x 2+y 2﹣6x=0化为标准方程为（x ﹣3）2+y 2=9 ∵P （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为，∴弦MN所在直线的斜率为2，∴弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．故选D．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直与弦MN所在的直线是解本题的关键．7．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（）A．43 B．72 C．86 D．90【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；椭圆的定义．【分析】首先确定m，n的取值，确定两种类型一是m，n都在1～8之间选值，一是m在9，10中选取，n在1～8中选取，求出椭圆数即可．【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m≠n，所以有两类，一类是m，n从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56令一类是m从9，10，两个数字中选一个，n从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72故选B．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，椭圆的定义，组合知识，考查学生分析问题解决问题的能力．8．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先表示出渐近线方程，利用求得tanα=，根据α的范围确定tanα范围，进而确定的范围，同时利用c=转化成a和c的不等式关系求得的范围，即离心率的范围．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用．9．直角坐标平面内，过点P（2，1）且与圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0相切的直线（）A．有两条B．有且仅有一条C．不存在D．不能确定【考点】圆的切线方程．【分析】由点P（2，1）、圆的方程，确定P在圆外，则过P与圆相切的直线有两条．【解答】解：由点P（2，1）、圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0，可得4﹣2+1+2﹣4=1＞0，∴点P在圆外，则过点P且与圆相切的直线有两条．故选A【点评】此题考查了点与圆的位置关系，以及圆的切线方程，当点在圆内时，过此点不能作圆的切线；当点在圆上时，过此点作圆的切线，此时切线只有一条；当点在圆外时，过此点作圆的切线，此时切线有两条．故判断出点P与圆的位置关系是解本题的关键．10．直线L过点且与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件．当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，综上，满足条件的直线共有3条，故选C．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，双曲线的渐近线的性质，注意考虑斜率不存在的情况，这是解题的易错点．11．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且=0，则|+|=（）A．B．2C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由点P在双曲线上，且=0可知|+|=2||=||．由此可以求出|+|的值．【解答】解：根据题意，F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且=0，∴|+|=2||=||=2．故选B．【点评】把|+|转化为|||是正确解题的关键步骤．12．若曲线y=+1与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：y=+1可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=，则实数k的取值范围为（，]．故选A．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．设点A（1，0），B（﹣1，0），若直线2x+y﹣b=0与线段AB相交，则b的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【分析】由题意知，两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程2x+y﹣b=0中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围．【解答】解：由题意得：两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，∴b∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、点与直线的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= 8．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由题意易得圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故两圆圆心在第一象限的角平分线上，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，∴a=5+2，或a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2）和（5﹣2，5﹣2），故两圆心的距离|C1C2|= [（5+2）﹣（5﹣2）]=8，故答案为：8【点评】本题考查直线和圆的位置关系，其中根据已知分析出圆心在第一象限的角平分线上，进而设出圆心坐标是解答的关键．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．16．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，则炮击的方位角是北（南、北）偏东（东、西）30度．【考点】解三角形的实际应用．【分析】建立坐标系，因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，写出中垂线的方程，又|PB|﹣|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上，写出双曲线方程，将这两个方程联立方程组，解出交点P的坐标，由PA斜率计算炮击的方位角．【解答】解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（﹣3，0）、A（3，0）、C（﹣5，2），因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上因为k BC=﹣，BC中点D（﹣4，），所以直线PD的方程为y﹣=（x+4）①又|PB|﹣|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P（x，y），则双曲线方程为﹣=1（x≥0）②联立①②，得x=8，y=5，所以P（8，5），因此k PA==，故炮击的方位角为北偏东30°．故答案为：北；东；30．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用、解三角形的实际应用．要充分利用三角形的边角关系，利用三角函数、正弦定理、余弦定理等公式找到问题解决的途径．三、解答题17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得，解不等式组求得a的范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a ≤﹣1．∴a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．18．椭圆+y 2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是 2x +4y﹣3=0 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设这条弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则，两式相减再变形得，再由弦中点为（，），求出k ，由此能求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣，故这条弦所在的直线方程y ﹣=﹣（x ﹣），整理得2x +4y ﹣3=0．故答案为：2x +4y ﹣3=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程的求法，用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．20．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．21．求过两圆x2+y2﹣1=0和x2﹣4x+y2=0的交点，且与直线x﹣y﹣6=0相切的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求圆的方程为x2+y2﹣1+λ（x2﹣4x+y2）=0，利用与直线x﹣y﹣6=0相切，求出λ，即可得出结论．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣1+λ（x2﹣4x+y2）=0（λ≠﹣1），即（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣4λx﹣1=0．∴x2+y2﹣=0．∴圆心为（，0），半径，∴=，∴，解得．又∵圆x2﹣4x+y2=0与直线x﹣﹣6=0相切，∴所求圆的方程为3x2+3y2+32x﹣11=0或x2+y2﹣4x=0．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，属于中档题．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．【考点】椭圆的标准方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．【解答】解：（1）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上∴|F1F2|=|PF2|，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴．（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）≥0即2k2﹣m2+1≥0则，且由已知α+β=π，得．化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0∴整理得m=﹣2k．∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．。
2017-2018学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m2．（3分）设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面（）A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0 9．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形10．（3分）如果直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．112．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（9分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，l3：x+y﹣1=0，且l1与l2间的距离是．（1）求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体EFABCD的体积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题2．（3分）设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面（）A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个【分析】当P与a（或者b）构成的平面恰与b（或者a）平行时，为0个，否则是1个．【解答】解：∵a，b为异面直线，∴a，b不平行，过p做a的平行线有且只有一条设为c，同样过p做b的平行线有且只有一条设为d．a，b的平行线只能组成一个平面，设为平面A．如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P 且与a，b都平行的平面不存在；如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a，b都平行的平面有且只有一个．综上，过点P与a，b都平行的平面不存在或只有一个．故选：C．【点评】本题考查满足条件的平面个数的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH 与MN成60°角，DE⊥MN．【解答】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：对于①，G、H分别为DE、BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，DE⊥AF，MN∥AF，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正四面体的结构特征等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0【分析】直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．【解答】解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选：D．【点评】选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．9．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的定义，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．10．（3分）如果直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】直线l过圆心（2，﹣1），设直线l：y=kx+（﹣1﹣2k），由直线l不过第三象限，得到直线l的斜率k≤0，且﹣1﹣2k≥0，由此能求出l的斜率的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+2y=0，∴（x﹣2）2+（y+1）2=5，∵直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，∴直线l是直径，过圆心（2，﹣1），设直线l：y+1=k（x﹣2），即y=kx+（﹣1﹣2k），∵直线l不过第三象限，∴直线l的斜率k≤0，且纵截距：﹣1﹣2k≥0，解得k≤﹣．∴l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴sin∠B1AD1===，故答案为：．【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是中档题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是．【分析】将三棱锥放入到长方体内，利用余弦定理能求出直线SC与AB所成角的余弦值．【解答】解：将三棱锥放入到长方体内，则∠DSC是直线SC与AB所成角，长方体的高SA=2，AB=，SC=4，BC=，CD==5，∴△DSC中，cos∠DSC==．∴直线SC与AB所成角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（9分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，l3：x+y﹣1=0，且l1与l2间的距离是．（1）求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：．【分析】（1）将直线l2的方程化为2x﹣y﹣=0，利用两条平行线l1与l2间的距离公式能求出a．（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x﹣y+c=0上，且=•，求出2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0．若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=•，由此能求出存在点P（，）同时满足三个条件．【解答】解：（1）将直线l2的方程化为2x﹣y﹣=0，∴两条平行线l1与l2间的距离d==，由a＞0，解得a=3．（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x﹣y+c=0上，且=•，解得c=或c=，所以2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0．若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=•，即|2x0﹣y0+3|=|x0+y0﹣1|，所以x0﹣2y0+4=0或3x0+2=0．由于点P在第一象限，所以排除3x0+2=0．联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，解得（舍去）；联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，解得，所以存在点P（，）同时满足三个条件．【点评】本题考查实数值的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查两平行线间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体EFABCD的体积．【分析】（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）由线面垂直的判定定理，证出BD⊥平面ABEF，求出三棱锥D﹣AEF的体积，再求得四棱锥E﹣ABCD的体积，作和得答案．【解答】（1）证明：取AD的中点N，连接MN、NF，在△DAB中，∵M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=，又∵EF∥AB，EF=，∴MN∥EF，MN=EF，则四边形MNFE为平行四边形，∴EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；（2）解：∵EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EB，∵∠ABD=90°，即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF内的相交直线，∴BD⊥平面ABEF，∴BD是三棱锥D﹣AEF的高线，在Rt△BDC中，BD==3，而△AEF面积S=×EF×BE=，×BD=××3=，因此可得三棱锥D﹣AEF的体积V=S△AEF又四棱锥E﹣ABCD得体积V=，∴多面体EFABCD的体积V=．【点评】本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。
安徽省师大附中2016-2017学年高二上学期期末考试物理试卷 Word版含答案
安徽师范大学附属中学 期末考查高 二 物 理 试 卷命题教师：张克余审题教师：邓秀明一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～12题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。
） 1.图所示的磁场中，有三个面积相同且相互平行的线圈S 1、S 2和S 3，穿过S 1、S 2和S 3的磁通量分别为Φ1、Φ2和Φ3，下列判断正确的是（ ）A ．Φ1最大B ．Φ2最大C ．Φ3最大D ．Φ1=Φ2=Φ32.来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将 ( )A ．竖直向下沿直线射向地面B ．相对于预定地点向东偏转C ．相对于预定地点，稍向西偏转D ．相对于预定地点，稍向北偏转3. 如图所示，等边三角形ABC 处于匀强电场中，其中电势 φA ＝φB ＝0，φC ＝φ.保持该电场的电场强度的大小和方向不变，让等边三角形以A 点为轴在纸面内顺时针转过30°，则此时的B 点电势为( )A.33φB.12φ C ．－33φ D ．－12φ4. 如图所示的电路中，O 点接地，当原来断开的开关K 闭合时，电路中 A 、B 两点的电势变化情况是（ ） A ． 都降低 B ． 都升高C ． ΦA 升高，ΦB 降低D ． ΦA 降低，ΦB 升高5. 如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、c ，以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场，其运动轨迹如图。
若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是 ( ) A ．a 粒子动能最大 B ．c 粒子速率最大C ．c 粒子在磁场中运动时间最长D ．它们做圆周运动的周期c b a T T T << 6．两个电荷量相等但电性相反的带电粒子a 和b 分别以速度v a 和v b 射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，磁场宽度为d ，两粒子同时由A 点出发，同时到达B 点，已知A 、B 连线与磁场边界垂直，如图所示，则( )O a b c AA ．两粒子的轨道半径之比R a ∶R b ＝3∶1B ．两粒子的质量之比m a ∶m b ＝1∶2C ．a 粒子带正电，b 粒子带负电D ．两粒子的速度之比v a ∶v b ＝1∶27. 按如下图所示的电路连接各元件后，闭合开关S ，L 1、L 2两灯泡都能发光．在保证灯泡安全的前提下，当滑动变阻器的滑动触头向左移动时，下列判断正确的是（ ）A ． L 1变暗B ． L 1变亮C ． L 2变暗D ． L 2变亮8. 将长为0.2m ，电流强度为1 A 的导体棒放入匀强磁场中，测得安培力大小为0.2N, 匀强磁场强度B 大小可能为：A ．0.5 TB ．1TC ．1.5TD ．2T 9.如图所示装置可演示磁场对通电导线的作用。
安徽省安徽师范大学附属中学2016-2017学年高二上学期入学测试物理试卷带答案
安师大附中2016~2017学年高二年级入学测试物理试卷注意事项：（1）请将答案填写在答题卡相应位置上，否则作答无效，考试结束，只交答题卡；（2）该试卷满分100分，考试时间100分钟。
一．单项选择题（共8小题，每题4分，共32分）1．如图甲所示，静止在光滑水平面上的长木板B（长木板足够长）的左端放着小物块A，某时刻，B受到水平向左的外力F的作用，F随时间t的变化规律如图乙所示，即F=kt，其中k为已知常数．若A、B之间的滑动摩擦力F f的大小等于最大静摩擦力，且A、B的质量相等，则下列图中可以定性地描述物块A的v﹣t图象的是（）A．B．C．D．2．飞镖运动正以其独有的魅力风靡全世界．如图为飞镖大赛中一选手水平抛出三支飞镖，打到竖直飞镖盘上的情况如图所示，不计空气阻力，根据飞镖的位置和角度可以推断（）A．三支飞镖不可能从同一高度抛出B．三支飞镖不可能以相同速度抛出C．①号与②号飞镖可能从同一点抛出D．②号与③号飞镖可能从同一点抛出3．质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为E p=﹣，其中G为引力常量，M为地球质量．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．某卫星原来在半径为r l的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为r2，则此过程中因摩擦而产生的热量为（）A．mgR2（﹣）B．mgR2（﹣）C．（﹣）D．（﹣）4．如图，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态．若将a和b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用f1、f2和f3表示．则（）A．f1=0，f2≠0，f3≠0 B．f1≠0，f2=0，f3=0C．f1≠0，f2≠0，f3=0 D．f1≠0，f2≠0，f3≠05．小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点，A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度6．某小船船头垂直指向洒岸渡河，若水流速度突然增大，其它条件不变，下列判断正确的是（）A．小船渡河的时间不变B．渡河时间减少C．小船渡河时间增加 D．小船到达对岸地点不变7．我国将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神州十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神州十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（）A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接8．如图所示，小球从离地高为H的位置A由静止释放，从C点切入半圆轨道后最多能上升到离地面高为h的B位置．再由B位置下落，再经轨道由C点滑出到离地高为H′的位置．速度减为零，不计空气阻力，则（）A．（H﹣h）＞（h﹣h′）B．（H﹣h）＜（h﹣h′）C．（H﹣h）=（h﹣h′）D．不能确定（H﹣h）与（h﹣h′）的大小关系二．多选题（共4题，每题5分，共20分；答错不得分，漏答得2分）9．如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则（）A．t1时刻小球动能最大B．t2时刻小球动能为0C．t2～t3这段时间内，小球的动能先减小后增加D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能和重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能10．质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为V，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（）A．受到向心力为m B．受到的摩擦力为μmC．受到的摩擦力为μmg D．受到的合力方向斜向左上方11．如图所示，可视为质点的，质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（）A．小球能通过最高点的最小速度为B．若在最高点管道对小球施加弹力大小为mg，则这个力的方向可能向下，也可能向上C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道有向上的作用力D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时与管道间有相互作用力12．如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v1，匀速向右运动，一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v2（v2＞v1）滑上传送带，最后滑块返回传送带的右端已知滑块与传送带的动摩擦因数为μ，关于这一过程的下列判断，正确的有（）A．滑块滑上传送带上的加速度大小为μgB．滑块向左滑动后离开左端的最大距离为C．滑块返回传送带右端的速率为v2、D．从滑块滑上传送带到离开所用时间大于三．实验题（每空2分，共14分）13．某物理兴趣小组的同学在研究弹簧弹力的时候，测得弹力的大小F和弹簧长度l的关系如图1所示，则由图线可知：（1）弹簧的劲度系数为N/m．（2）为了用弹簧测定两木块A和B间的动摩擦因数μ，两位同学分别设计了如图2所示的甲、乙两种方案．①为了用某一弹簧测力计的示数表示A和B之间的滑动摩擦力的大小，你认为方案更合理．②若A和B的重力分别为10.0N和20.0N．当A被拉动时，弹簧测力计a的示数为6.0N，b 的示数为11.0N，c的示数为4.0N，则A和B间的动摩擦因数为．14．某实验小组在做“验证机械能守恒定律”实验中，提出了如图1所示的甲、乙两种方案：甲方案为用自由落体运动进行实验，乙方案为用小车在斜面上下滑进行实验．（1）组内同学对两种方案进行了深入的讨论分析，最终确定了一个大家认为误差相对较小的方案，你认为该小组选择的方案是，理由是．（2）若该小组采用图甲的装置打出了一条纸带如图2所示，相邻两点之间的时间间隔为0.02s，请根据纸带计算出B点的速度大小为m/s．（结果保留三位有效数字）（3）该小组内同学根据纸带算出了相应点的速度，作出v2﹣h图线如图3所示，请根据图线计算出当地的重力加速度g=m/s2．（结果保留三位有效数字）四．计算题15．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G．求：（1）月球的质量；（2）月球的第一宇宙速度．16．如图所示，传送带与水平面之间的夹角为θ=37°，以v=2m/s的恒定速率逆时针转动．一个质量为m=1kg的小物块以初速度v0=10m/s从传送带两端A、B之间的中点开始沿传送带向上运动．已知物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，A、B之间的距离为L=20.4m．求：（g 取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）（1）物体沿传送带向上运动的最大距离为多少？（2）物体在传送带上运动的总时间？（3）物体在传送带上由于摩擦而产生的热量为多少？17．如图所示，半径R=0.5m的光滑圆弧面CDM分别与光滑斜面体ABC和斜面MN相切于C、M点，O为圆弧圆心，D为圆弧最低点．斜面体ABC固定在地面上，顶端B安装一定滑轮，一轻质软细绳跨过定滑轮（不计滑轮摩擦）分别连接小物块P、Q （两边细绳分别与对应斜面平行），并保持P、Q两物块静止．若PC间距为L1=0.25m，斜面MN足够长，物块P质量m1=3kg，与MN间的动摩擦因数μ=，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（1）小物块Q的质量m2；（2）烧断细绳后，物块P第一次到达D点时对轨道的压力大小；（3）烧断细绳后，物块P第一次过M点后0.3s到达K点，则MK间距多大？（4）烧断细绳后，物块P在MN斜面上滑行的总路程．安师大附中2016~2017学年高二年级入学测试物理试卷答案一、单项选择二、多项选择三、实验题13、（1）300 （2）①甲②0.3014、（1）甲乙实验中斜面与小车之间有摩擦力，且不能忽略，小车运动过程中机械能守恒（2）1.37（3）9.75四、计算题15、解：（1）设月球质量为M，“嫦娥一号”的质量为m，根据牛顿第二定律得：G=m解得：M=．（2）设绕月飞船运行的线速度为V，飞船质量为m0，则有：G=又M=，联立解得：V=．答：（1）月球的质量M为；（2）月球的第一宇宙速度为．16、解：（1）物体经过时间t1沿传送带向上运动速度为零，在时间t1内，物体的位移为x1，传送带位移为x2，mgsinθ+μmgcosθ=ma1，v0=a1t1，x1=a1t12，x2=vt1，解得：a1=10m/s2，t1=1s，x1=5m，x2=2m，物体沿传送带向上运动的最大距离为：x1=5m；（2）：v=a1t2，x3=a1t22，x4=vt2，解得：t2=0.2s，x3=0.2m，x4=0.4m，mgsinθ﹣μmgcosθ=ma2，v′=v+a2t3，x5=vt3+a2t32，x6=vt3，x5=L+x1﹣x3，a2=2m/s2，x5=15m，t3=3s，x6=6m，v′=8m/s，t=t1+t2+t3，解得：t=4.2s；（3）设物体在传送带上相对传送带运动的总路程为x，有：x=（x1+x2）+（x4﹣x3）+（x5﹣x6），解得：x=16.2m，设物体在传送带上由于摩擦而产生的热量为Q，有：Q=μmgxcosθ，解得：Q=64.8J；17、【解答】解：（1）根据共点力平衡条件，两物体的重力沿斜面的分力相等，有m1gsin53°=m2gsin37°解得m2=4kg（2）滑块由P到D过程，由动能定理，得根据几何关系，有h=L1sin53°+R（1﹣cos53°）在D点，支持力和重力的合力提供向心力F D﹣mg=m解得F D=78N由牛顿第三定律得，物块P对轨道的压力大小为78N．（3）PM段，根据动能定理，有解得v M=2m/s沿MN向上运动过程，根据牛顿第二定律，得到a1=gsin53°+μgcos53°=10m/s2根据速度时间公式，有v M=a1 t1解得t1=0.2s所以t1=0.2s时，P物到达斜面MN上最高点，故返回过程，有沿MN向下运动过程，根据牛顿第二定律，有a2=gsin53°﹣μgcos53°=6m/s2故，根据运动学公式，有x MK=﹣=0.17m即MK之间的距离为0.17m．（4）最后物体在CM之间来回滑动，且到达M点时速度为零，对从P到M过程运用动能定理，得到mgL1sin53°﹣μmgcos53°L总=0解得L总=1.0m即物块P在MN斜面上滑行的总路程为1.0m．。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版缺答案
2016-2017学年高二上学期文科数学期末试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.若复数（a +i ）（1+2i ）是纯虚数（i 是虚数单位，a 是实数），则a 等于（ ） A.B.2C.-D.-22.已知某物体的运动方程是s =+t ，则当t =3s 时的瞬时速度是（ ）A.2m /sB.3m /sC.4m /sD.5m /s 3.运行如图程序，则输出的结果是（ ）A.9B.11C.17D.19 4.“x =1”是“x 2-2x +1=0”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是（ ） A.B.C.D.6. 为了解1500名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为50的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ） A.40 B.20 C.30 D.127.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A.2B.4C.6D.128.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A.3B.4C.5D.6 9.点P 为△ABC 边AB 上任一点，则使S △PBC ≤S △ABC 的概率是（ ）A.B.C.D.10.若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象可能（）A. B. C. D.11．过点M（1，1）的直线与双曲线22143x y-=交于A，B两点，且点M平分AB，则直线AB的方程为（）A.4x+3y-7=0B.3x+4y+1=0C.3x-4y-7=0D.4x-3y-1=012.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A.（-2，2）B.[-2，2]C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2]∪[2，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果．已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 ______ ．14.设命题p：，则¬p为 ______ ．15.函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是 ______ ．16.已知直线2x-y+4=0与抛物线x2=4y相交于A，B两点，O是坐标原点，P是抛物线弧AOB上的一点，则△ABP面积的最大值是 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分)17.设x，y为实数，且+=，求x+y的值．18.设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足＜0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了其中20名学生的成绩进行分析．右图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；（Ⅱ）学校决定从成绩在[110，120）的学生中任选2名进行座谈，求这2人的成绩都在[110，120）的概率．20.为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=．21.已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°．（1）求△F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程．22.已知函数f(x)=x3-(a∈R)．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)在[0，2]上的最大值；(Ⅱ)若对任意x∈(0，+∞)，有f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．。
安徽省合肥市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
安徽省合肥市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={x|mx2﹣2x+1=0}中只有一个元素，则实数m的值为（）A.0B.1C.2D.0或12.用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*且n＞1），由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）A. B.+﹣C.+﹣D.+﹣﹣3.已知条件p：k=q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.64B.72C. 80D.1125.已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列，则数列{a n}的通项公式为（）A.2n﹣4B.2n﹣3C.2n﹣2D.2n﹣16.已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017lnx，则f′（2017）=（）A.2016B.﹣2016C.2017D.﹣20177.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A.2B.3C.4D.58.若关于x 的不等式|x-1|+|x ﹣2|＞log 4a 2恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.（﹣2，2）B.（﹣∞，﹣2）C.（2，﹢∞）D.（﹣2，0）∪（0，2）9.已知命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q ：向量a =（﹣2，﹣1），b =（λ，1）的夹角为钝角的充要条件为λ∈（﹣，+∞）.关于以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A.命题“p ∨q ”为假B.命题“p ∨￢q ”为假C.命题“p ∧q ”为真D.命题“p ∧￢q ”为真10.已知不等式组构成平面区域Ω（其中x ，y 是变量），若目标函数z=ax+6y （a ＞0）的最小值为﹣6，则实数a 的值为（ ） A. B. C.3 D.611.若数列{a n }满足a 1= ，a n+1=[a n ]+（[a n ]与{a n }分别表示a n 的整数部分与小数部分），则a 2016=（ ） A.3023+B.3023+C.3020+D.3020+12.已知F 为抛物线y 2=ax （a ＞0）的焦点，M 点的坐标为（4，0），过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，延长AM ，BM 交抛物线于C ，D 两点，设直线CD 的斜率为2k ，且12k ，则实数a 的值为（ ）A.8第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.已知双曲线－=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，一个焦点为（，0），则双曲线的离心率为 .14.已知正数x 、y 满足+=1，则x+2y 的最小值为 . 15.已知f （x ）为偶函数，当x ≤0时，f （x ）=e ﹣x ﹣1﹣x ，则曲线y=f （x ）在点（1，2）处的切线方程是 .16.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足，则△ABC 面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知公差为正数的等差数列{a n }满足：a 1=1，且2a 1，a 3﹣1，a 4+1成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 2，a 5分别是等比数列{b n }的第1项和第2项，求数列的前n 项和T n .18.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）当x ∈[0，2π]时，求f （x ）的值域；（Ⅱ）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （2A）a=4，b+c=5，求 △ABC 的面积.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车.某日，交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾驶员60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾驶员血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.（Ⅰ）求这60名驾驶员中属于醉酒驾车的人数（图中每组包括左端点，不包括右端点）；（Ⅱ）求这60名驾驶员血液中酒精浓度的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），求事件|x﹣y|≤10的概率.20.（本小题满分12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，.（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE；（Ⅱ）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积.已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）判断f（x）在区间（2，+∞）内的单调性，并证明；（Ⅲ）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值域恰为（1，+∞），求实数a与r的值.22.（本小题满分12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点（其中O为坐标原点），求△OAB面积的最小值.安徽省合肥市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13. 14.18 15. 16.三、解答题17.解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0）.由2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列，得，……………………………………2分则2（1+3d+1）=（1+2d﹣1）2，解得（舍去）或d=2，……………………………………4分所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1.……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，b1=a2=3，b2=a5=9，则等比数列{b n}的公比q=3，于是是以为首项，以为公比的等比数列. ……………………………………7分所以T n=.……………………………………10分18.解：（Ⅰ）由题得，.………………………2分因为x∈[0，]，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，……………………………………4分所以∈[0，1+].即f（x）的值域为[0，1+].……………………………………5分（Ⅱ）因为，所以.…………………………7分因为A∈（0，π），∈（，），所以,解得A=.…………………9分因为a=4，b+c=5，所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得16=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=25-3bc，解得bc=3. ……………………………………11分所以S=bcsinA=×3×=,即△ABC的面积为.……………………………………12分19.解：（Ⅰ）依题意知，醉酒驾驶员即血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人.……………………………………3分（Ⅱ）由频率分布直方图知，60名驾驶员的血液中酒精浓度的平均值=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）.………6分（Ⅲ）由题得，第五组和第七组的人数分别为：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中. ……………………………………7分设第五组中6人分别为a、b、c、d、e、f，第七组中3人分别为A、B、C.则从9人中抽出2人的所有可能结果组成的基本事件如下：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，A），（a，B），（a，C），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（b，A），（b，B），（b，C），（c，d），（c， e），（c，f），（c，A），（c，B），（c，C），（d，e），（d，f），（d，A），（d，B），（d，C），（e，f），（e，A），（e，B），（e，C），（f，A），（f，B），（f，C），（A，B），（A，C），（B，C），共36种.………9分其中两人在同一组中的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b， f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），（A，B），（A，C），（B，C），共18种.…………………………11分用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==.……………………………12分20.解：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE. ……………………………2分因为四边形BDEF是矩形，所以BF∥DE.因为BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE. ……………………………4分因为BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF=B，所以平面BCF∥平面ADE.……………………………5分（Ⅱ）连接AC交BD于点O.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC. ……………………………7分因为ED，BD⊂平面BDEF，ED∩BD=D，所以AO⊥平面BDEF.……………………………8分所以AO为四棱锥A﹣BDEF的高，又四边形ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形.又BF=BD=a，则.……………………………10分因为，所以.……………………………12分21.解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即log a+log a=0,所以，解得m=±1. ………………………………2分当m=﹣1时，f（x）无意义.故m的值为1. ………………………………3分（Ⅱ）函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减.由（Ⅰ）得，.设2＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=.………4分因为2＜x1＜x2，所以0＜x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣2（x1﹣x2）﹣4，因为a＞1，所以f（x2）＜f（x1）.所以函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减. ………………………………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）得，.由，得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）.又因为，所以f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）. ………………………………8分令f（x）=1，则=a，解得.所以f（）=1. ………………………………9分当a＞1时，＞2，此时f（x）在区间（2，+∞）内单调递减.所以当x∈（2，）时，f（x）∈(1，+∞）. ………………………………10分由题意,得r=2，a﹣2=，解得a=5.所以当x∈（r，a﹣2），f（x）的值域恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2.………12分22.解：（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为，即bx+ay﹣ab=0.由直线L与圆相切，得.①……………………………………1分因为抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所以c=1. ……………………………………2分即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得（舍去）.…………………………………3分所以b2=a2﹣1=3.故椭圆C的标准方程为.……………………………………4分（Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，.……………………………5分当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0.所以.……………………………………7分因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0.即.……………………………………8分将代入，得，整理，得7m2=12（k2+1），所以点O到直线AB的距离.……………………………………10分因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时，取等号.由d•AB=OA•OB，得，所以，即弦AB的长度的最小值是.所以△OAB的最小面积为.综上，△OAB面积的最小值为.……………………………………12分。
安徽省宿州市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)(b卷) (word版含答案)
2016-2017学年安徽省宿州市高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若直线l的斜率为，则其倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．150°2．“a=1”是“a2=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．命题“若A=B，则sinA=sinB”的逆否命题是（）A．若sinA≠sinB，则A≠B B．若sinA=sinB，则A=BC．若A=B，则sinA≠sinB D．若A≠B，则sinA≠sinB4．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=05．在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣3）到xOy平面的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．6．一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t=4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．2πC．2π+4 D．3π+48．双曲线C：﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．9．在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件可推出a∥b的是（）A．a⊊α，b⊊β，α∥βB．a∥α，b⊂βC．a⊥α，b⊥α D．a⊥α，b⊊α10．平面截球得到的半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．20πB．C．D．100π11．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．设点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（6，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹加上A，B两点所表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．命题“存在x∈R，使得x2﹣x+2＜0”的否定是．14．若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为．15．函数f（x）=x3﹣3x2+x在点（1，f（1））处的切线方程为．16．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，若动圆P与圆M外切并与圆N内切，则动圆圆心P的轨迹方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知p：方程x2+2x+m=0无实数根，q：方程+y2=1是焦点在x轴上的椭圆，若“非p”与“p且q”同时为假命题，求实数m的取值范围．18．已知圆C的方程是：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0．（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）求圆C中过点P（3，1）且长度最短的弦AB所在的直线方程．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PB；（3）若PC=BC=2，求三棱锥P﹣ABC的体积．20．抛物线C顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P（2，2）．（1）求抛物线的标准方程和焦点坐标；（2）直线l：x﹣y﹣1=0与抛物线C相交于M，N两点，求|MN|．21．椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F1（﹣2，0），离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）求以点P（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，求实数a的取值范围．2016-2017学年安徽省宿州市高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若直线l的斜率为，则其倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tanθ=，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tanθ=，∴θ=60°，故选：B．2．“a=1”是“a2=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2=1得a=1或﹣1，则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，故选：A3．命题“若A=B，则sinA=sinB”的逆否命题是（）A．若sinA≠sinB，则A≠B B．若sinA=sinB，则A=BC．若A=B，则sinA≠sinB D．若A≠B，则sinA≠sinB【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】直接通过命题的逆否命题的定义，写出原命题的逆否命题即可．【解答】解：有原命题的逆否命题的定义可知：命题“若A=B，则sinA=sinB”的逆否命题是：若sinA≠sinB，则A≠B．故选A．4．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．5．在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣3）到xOy平面的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】在空间直角坐标系中，点A（x，y，z）到xOy平面的距离是|z|．【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣3）到xOy平面的距离d=|﹣3|=3．故选：C．6．一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t=4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数的物理意义，求出函数在t=4处的导数即可．【解答】解：∵s=s（t）=t2﹣t+2，∴s'（t）=2t﹣1，∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），即s'（4）=2×4﹣1=7（米/秒），故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．2πC．2π+4 D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的一半．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的一半，∴该几何体的体积V==π．故选：A．8．双曲线C：﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1，可得a=2，b=，则c=．双曲线的离心率为：．故选：B．9．在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件可推出a∥b的是（）A．a⊊α，b⊊β，α∥βB．a∥α，b⊂βC．a⊥α，b⊥α D．a⊥α，b⊊α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】A中，根据面面平行的几何特征，可判断出与b没有公共点，但a与b 可能平行或异面B中，根据线面平行的几何特征，可判断出与b没有公共点，但a与b可能平行或异面C中，根据线面垂直的性质定理可得a∥bD中，根据线面垂直的定义可得a⊥b．【解答】解：对于A，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b没有公共点，即a与b 平行或异面；对于B，若a∥α，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a∥b；对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b；故选：C．10．平面截球得到的半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．20πB．C．D．100π【考点】球的体积和表面积．【分析】作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式进行计算即可．【解答】解：作出球的轴截面图，由题意知BC=3，球心到这个平面的距离为4，即OC=4，∴球的半径OB==5，∴球的表面积为4π×52=100π．故选D．11．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．12．设点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（6，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹加上A，B两点所表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【考点】轨迹方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣6，0），B（6，0）所以由已知，=化简，得4x2﹣9y2=144（x≠±6）动点M的轨迹加上A，B两点所表示的曲线是双曲线．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．命题“存在x∈R，使得x2﹣x+2＜0”的否定是任意x∈R，都有x2﹣x+2≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x∈R，使得x2﹣x+2＜0”，则命题的否定是：任意x∈R，都有x2﹣x+2≥0．故答案为：任意x∈R，都有x2﹣x+2≥0．14．若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为4．故答案为：415．函数f（x）=x3﹣3x2+x在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．【解答】解：求导数，可得f′（x）=3x2﹣6x+1，∴f′（1）=﹣2，∵f（1）=1﹣3+1=﹣1，∴函数f（x）=x3﹣3x2+x在点（1，f（1））处的切线方程为：y+1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．16．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，若动圆P与圆M外切并与圆N内切，则动圆圆心P的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【分析】由两圆的方程分别找出圆心M与N的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆P的半径为r，根据圆P与M外切，得到圆心距PM等于两半径相加，即PM=r+1，又圆P与N内切，得到圆心距PN等于两半径相减，即PN=5﹣r，由PM+PN等于常数2a，MN等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出圆心P 在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，根据a与b的值写出此椭圆方程即可．【解答】解：由圆M：（x+1）2+y2=1和圆N：（x﹣1）2+y2=25，得到M（﹣1，0），半径r1=1，N（1，0），半径r2=5，设圆P的半径为r，∵圆P与M外切而又与N内切，∴PM=r+1，PN=5﹣r，∴PM+PN=（r+1）+（5﹣r）=2a=6，又MN=2c=2，∴a=3，c=1，∴b=2，∴圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为3，短半轴为2，的椭圆上，则圆心P的轨迹方程为：，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知p：方程x2+2x+m=0无实数根，q：方程+y2=1是焦点在x轴上的椭圆，若“非p”与“p且q”同时为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出关于p，q成立的m的范围，根据p，q的真假，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答】解：由p：方程无实根是真命题，得△=4﹣4m＜0，解得m＞1；由q：方程是焦点在轴上的椭圆是真命题，得m﹣1＞1，解得m＞2；因为“非p”与“p且q”同时为假命题，所以p是真命题，q是假命题，故，解得：1＜m≤2，综上所述，m的取值范围是{m|1＜m≤2}．18．已知圆C的方程是：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0．（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）求圆C中过点P（3，1）且长度最短的弦AB所在的直线方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意得圆的标准方程，即可求圆C的圆心坐标和半径；（2）由圆的性质得，当弦AB所在直线与CP垂直时，弦AB的长最短，即可求圆C中过点P（3，1）且长度最短的弦AB所在的直线方程．【解答】解：（1）由题意得圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=25圆C的圆心坐标为（2，1）和半径为5．…（2）由圆的性质得，当弦AB所在直线与CP垂直时，弦AB的长最短，所以直线AB的方程为x=3．…19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PB；（3）若PC=BC=2，求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明DE∥PA，利用线面平行的判定定理，证明DE∥平面PAC；（2）证明AB⊥平面PBC，即可证明：AB⊥PB；（3）若PC=BC=2，利用三棱锥的体积公式求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA．因为PA⊆平面PAC，且DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC．…（2）证明：因为PC⊥平面ABC，且AB⊆平面ABC，所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC=C．所以AB⊥平面PBC．又因为PB⊆平面PBC，所以AB⊥PB．……20．抛物线C顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P（2，2）．（1）求抛物线的标准方程和焦点坐标；（2）直线l：x﹣y﹣1=0与抛物线C相交于M，N两点，求|MN|．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的标准方程，可得焦点坐标；（2）直线l：x﹣y﹣1=0与抛物线C相交于M，N两点，利用韦达定理、弦长公式求|MN|．【解答】解：（1）设抛物线的方程为y2=mx（m≠0），代入P （2，2）得m=2所以抛物线的标准方程为y2=2x，焦点坐标为．…（2）将y=x﹣1代入y2=2x得x2﹣4x+1=0，设M（x1，y1），N（x1，y1）可得．…21．椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F1（﹣2，0），离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）求以点P（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，并求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出A、B的坐标，代入椭圆方程，作差求得AB所在直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），由题意c=2，又，得a=4，∴b2=a2﹣c2=12．∴椭圆E的标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E的方程得：①，②，①﹣②得：，∵点P（2，1）为AB的中点，∴．即．∴点P（2，1）为中点的弦AB所在直线的方程为y﹣1=（x﹣2），化为一般式方程：3x+2y﹣8=0．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（2）问题转化为在区间（0，2]上恒成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）．当a=1时，，定义域为（0，+∞）．其导函数为令f'（x）＞0可得：x＞1；令f'（x）＜0可得：0＜x＜1．故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），f（x）的极小值为，无极大值．（2）f（x）的导函数为，由函数f（x）在区间（0，2]上为减函数可得：f'（x）≤0即x2+ax﹣2≤0在区间（0，2]上恒成立，即在区间（0，2]上恒成立，设，可知y=g（x）在（0，2]上单调递减，所以a≤g min（x）=g（2）=﹣1．故所求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．2017年3月10日。
2016-2017学年安徽省合肥一中等省级名校联考高二上学期期末数学试题(文科)(解析版)
2016-2017学年安徽省合肥一中等省级名校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．（5分）下列四种说法中，正确的是（）A．A={﹣1，0}的子集有3个B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件D．命题“∀x∈R，x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R使得x2﹣3x﹣2≤04．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或126．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，其所有棱长都相等，E、F分别为侧棱PB、PC的中点，则△AEF在侧面PBC上的投影为（）A． B． C．D．7．（5分）已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且CG=BC．CH=CD，则直线FH与直线EG（）A．平行B．相交C．异面D．垂直8．（5分）已知双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，且其右焦点F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．=1 D．﹣=19．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．10．（5分）“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或2112．（5分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB=1时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．120°或60°D．150°或30°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0=x0﹣1”的否定是．14．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．15．（5分）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．16．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．18．（10分）求下列直线的方程：（1）过点（2，1）和点（a，2）的直线方程；（2）过点A（5，﹣2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的两倍的直线方程．19．（12分）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．20．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=4和圆外一点A（1，2）．（1）若直线m经过原点O，且圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，求直线m的方程；（2）若经过A的直线l与圆C相切，求切线l的方程．21．（13分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．22．（13分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．2016-2017学年安徽省合肥一中等省级名校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=150°故选D．【点评】本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．3．（5分）下列四种说法中，正确的是（）A．A={﹣1，0}的子集有3个B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件D．命题“∀x∈R，x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R使得x2﹣3x﹣2≤0【分析】A．写出A的子集，注意空集不要忘记；B．写出原命题的逆命题，再判断真假；C．先根据复合命题的真假，再运用充分必要条件的定义判断即可；D．由全称性命题的否定是特称性命题，即命题的否定形式加以判断．【解答】解：A．集合A={﹣1，0}的子集为∅，{﹣1}，{0}，{﹣1，0}，即4个，故A错；B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，若m=0，则am2=bm2，故逆命题为假，故B错；C．若命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，若命题p∧q为真，则p，q 均为真，故“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，即C正确；D．由含有一个量词的命题的否定得，命题“∀x∈R，x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R使得x2﹣3x﹣2＜0”，故D错．故选C．【点评】本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，复合命题的真假及充分必要条件的判定，命题的否定等，熟记这些知识点是迅速解题的关键，本题是一道基础题．4．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．5．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．6．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，其所有棱长都相等，E、F分别为侧棱PB、PC的中点，则△AEF在侧面PBC上的投影为（）A． B． C．D．【分析】根据题意，画出△AEF在侧面PBC上的投影即可．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，所有棱长都相等，E、F分别为侧棱PB、PC的中点，则点A在侧面PBC上的射影是BC的中点，△AEF在侧面PBC上的投影如图所示．故选：B．【点评】本题考查了投影的定义与应用问题，是基础题．7．（5分）已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且CG=BC．CH=CD，则直线FH与直线EG（）A．平行B．相交C．异面D．垂直【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线，从而EF∥BD且EF=BD，由CG=BC．CH=DC，得在四边形EFHG中，EF∥HG，即E，F，G，H四点共面，且EF≠HG，由此能得出结论．【解答】解：：∵四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点，∴EF为三角形ABD的中位线，∴EF∥BD且EF=BD，又∵CG=BC．CH=DC，∴△CHG∽△CDB，且HG∥BD，HG=BD，∴在四边形EFHG中，EF∥HG，即E，F，G，H四点共面，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形，∴直线FH与直线EG相交，故选：B．【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出EF∥HG且EF≠HG，是解答本题的关键．8．（5分）已知双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，且其右焦点F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．=1 D．﹣=1【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得=，又由其焦点坐标可得a2+b2=25，联立解可得a2、b2的值，将其代入双曲线的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1的焦点在x轴上，若其渐近线方程为y=±x，则有=，又由其右焦点F2（5，0），即c=5，则有a2+b2=25，解可得a2=16，b2=9；即双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线的焦点位置，关键是掌握双曲线的渐近线方程．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，其高为1，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：底面为直角梯形的四棱锥，高为1，底面面积S==．该几何体的体积V==．故选D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．（5分）“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．11．（5分）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21【分析】依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值．【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=﹣；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21．故选C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题．12．（5分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB=1时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．120°或60°D．150°或30°【分析】判断曲线的形状，利用三角形的面积求出∠AOB，推出原点到直线的距离，建立方程求出直线的斜率，然后求解倾斜角．【解答】解：曲线y=，表示的图形是以原点为圆心半径为的上半个圆，过定点P（2，0）的直线l设为：y=k（x﹣2）．（k＜0）即kx﹣y﹣2k=0．S△AOB=1．∴××sin∠AOB=1，可得∠AOB=90°，三角形AOB是等腰直角三角形，原点到直线的距离为：1．∴1=，解得k=±，∵k＜0．∴k=﹣，∴直线的倾斜角为150°．故选：A．【点评】本题考查直线与曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0=x0﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），ln x ≠x﹣1．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1；故答案为：∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1；【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，求出∠S=，可得=，即可得出结论．【解答】解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即BB′的长是蚂蚁爬行的最短路程，∵圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，∴∠S=，∴=，设圆锥SO的底面半径为r，则2πr=，∴r=．故答案为：．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，弧长公式，关键是能求出=．16．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【分析】由p且q为真可知p和q为均真，p为不等式恒成立问题，转化为求函数的最小值问题，q中为二次方程有解问题，转化为△≥0．由此能求出结果．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立问题、求的最小值问题、命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，考查化量与转化思想，是基础题．18．（10分）求下列直线的方程：（1）过点（2，1）和点（a，2）的直线方程；（2）过点A（5，﹣2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的两倍的直线方程．【分析】（2）分类讨论，用点斜式求直线的方程，并化为一般式．（2）分类讨论，用截距式求直线的方程，并化为一般式．【解答】解：（1）当a=2时，直线的斜率不存在，直线方程为x=2，当a≠2时，由两点式求得直线的方程为=，即x﹣（a﹣2）y+a﹣4=0．综上可得，要求直线的方程为x=2或x﹣（a﹣2）y+a﹣4=0．（2）当直线经过原点时，由于直线的斜率为﹣，故直线的方程为y=﹣x，即2x+5y=0．当直线不经过原点时，设直线方程为+=1，把点A（5，﹣2）代入可得+=1，求得m=，∴直线的方程为x+=1，即x+2y﹣1=0．综上可得，要求的直线的方程为2x+5y=0，或x+2y﹣1=0．【点评】本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（12分）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．【分析】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE是平行四边形，得出AE∥MN，故而MN∥平面PAD；（2）根据面面平行的性质可得MQ∥PA，于是Q为PB的中点．【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE，NE，∵N是PC的中点，E是PD的中点，∴NE CD，∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB的中点，∴AM CD，∴AM NE，∴四边形AMNE是平行四边形，∴AE∥MN，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2）假若平面MNQ∥平面PAD，又平面PAB∩平面PAD=AD，平面MNQ∩平面PAB=MQ，∴PA∥MQ，∵M是AB的中点，∴Q是PB的中点．∴当Q是PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面平行的性质，属于中档题．20．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=4和圆外一点A（1，2）．（1）若直线m经过原点O，且圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，求直线m的方程；（2）若经过A的直线l与圆C相切，求切线l的方程．【分析】（1）圆C的圆心为（﹣1，0），半径r=2，圆C上恰有三个点到直线m 的距离为1，则圆心到直线m的距离恰为1，由于直线m经过原点，圆心到直线m的距离最大值为1．所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC的直线，故直线方程可求；（2）先假设直线方程，再利用点线距离等于半径求解，需注意斜率不存在时也成立．【解答】解：（1）圆C的圆心为（﹣1，0），半径r=2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1则圆心到直线m的距离恰为1…（2分）设直线方程为y=kx，d==1，k无解…（3分）直线斜率不存在时，直线方程为x=0显然成立，所以所求直线为x=0…（5分）（2）设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），d==2，k=，所求直线为y﹣2=（x﹣1），即x﹣3y+5=0…（6分）斜率不存在时，直线方程为x=1…（7分）．【点评】本题主要考查直线与圆轭位置关系，要充分利用圆的特殊性简化解题．21．（13分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．【分析】（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（4分）（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…（8分）因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．…（10分）由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．…（11分）△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…（12分）所求体积等于．…（13分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和体积的计算，同时考查了推理论证和计算能力，属于中档题．22．（13分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（II）把直线PQ的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】（I）解：∵椭圆E经过点A（0，﹣1），且离心率为，∴b=1，=，∴c=1，a=．∴椭圆E的方程为：+y2=1．（II）证明：由题设知，直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠2），代入+y2=1，得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0．由条件可知△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，则x1+x2=，x1x2=，从而直线AP，AQ的斜率之和为：k AP+k AQ=+=+=2k+（2﹣k）=2k+（2﹣k ）=2k﹣2（k﹣1）=2．所以直线AP、AQ斜率之和为定值2．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．21。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．84．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．635．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．7．如果等差数列{an }中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．1010．关于x的不等式x2+x+c＞0的解集是全体实数的条件是（）A．c＜B．c≤C．c＞D．c≥11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．912．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= ．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= ．16．当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19．等比数列{an }中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据题意，由正弦定理可得=，变形可得c=•sinC，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，c=，b=，B=120°，由正弦定理可得： =，即c=•sinC=，即c=；故选：D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】题目给出了a2=8，a5=64，直接利用等比数列的通项公式求解q．【解答】解：在等比数列{an }中，由，又a2=8，a5=64，所以，，所以，q=2．故选A．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．63【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先根据已知条件建立方程组求出首项与公差，进一步利用等差数列前n项和公式求出结果．【解答】解：等差数列{an }中，设首项为a1，公差为d，，解得：d=2，a1=1，所以：故选：B5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量． 【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01， 每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3， 又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B ．6．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】从5个小球中选两个有C 52种方法，列举出取出的小球标注的数字之和为3或6的有{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．本题也可以不用组合数而只通过列举得到事件总数和满足条件的事件数．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C 52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选A7．如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么a 1+a 2+…+a 7=（ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和． 【分析】由等差数列的性质求解． 【解答】解：a 3+a 4+a 5=3a 4=12，a 4=4，∴a 1+a 2+…+a 7==7a 4=28故选C8．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+，第2次S=+，第3次S=++，此时n=8不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．故选C．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．10【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知可得：AC=AB，进而利用三角形面积公式即可计算得解AB的值．【解答】解：∵AB：AC=8：5，可得：AC=AB，又∵∠A=60°，面积为10=AB•AC•sinA=AB ×AB ×，∴解得：AB=8． 故选：A ．10．关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是（ ）A ．c ＜B ．c ≤C ．c ＞D ．c ≥ 【考点】二次函数的性质．【分析】由判别式小于零，求得c 的范围．【解答】解：关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是判别式△=1﹣4c ＜0，解得 c ＞， 故选：C ．11．设变量x 、y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y 的最小值．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC ，A （2，0），B （1，1），C （3，3）， 则目标函数z=2x+y 的最小值为3， 故选B12．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△CBD中根据三角形的内角和定理，求出∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，从而利用正弦定理求出BC．然后在Rt△ABC中，根据三角函数的定义加以计算，可得旗杆AB的高度．【解答】解：∵△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，在△CBD中，CD=2米，根据正弦定理可得BC==米，∵Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan∠ACB=•tan60°=3，即旗杆高，3米．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= （3，4）．【考点】交集及其运算．【分析】先利用解分式不等式化简集合B，再根据两个集合的交集的意义求解A∩B．【解答】解：A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故答案为：（3，4）．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为1，3，5 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，利用等差数列的性质能求出这三个数．【解答】解：在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，∴a1=﹣1，a5=﹣1+4d=7，解得d=2，∴a=﹣1+2=1，b=﹣1+2×2=3，c=﹣1+2×3=5，∴这三个数为1，3，5．故答案为：1，3，5．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= 64 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，从而求出a3=4，a7=16，再由等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出a11．【解答】解：∵单调递增的等比数列{an}中，a 1•a9=64，a3+a7=20，∴a3•a7=a1•a9=64，∴a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，解方程x2﹣20x+64=0，得a3=4，a7=16，∴，解得，∴a 11=a 1q 10=2×（）10=64．故答案为：64．16．当x ＞﹣1时，函数y=x+的最小值是 1 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x ＞﹣1，∴函数y=x+=（x+1）+﹣1≥﹣1=1，当且仅当x+1=，且x ＞﹣1，即x=0时等号成立，故函数y 的最小值为1． 故答案为：1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b ．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B 的正弦值，再由△ABC 为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B 的值，和余弦定理直接可求b 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． （1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x 2﹣ax+b ＞0的解集． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集，不等式与方程的关系求出a 、b 的值； （2）由（1）中a 、b 的值解对应不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}， ∴方程ax 2+bx ﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；（2）由（1）得不等式为x 2﹣x ﹣＞0， 即2x 2﹣x ﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x 2﹣x ﹣1=0的两个实数根为：x 1=﹣，x 2=1；因而不等式x 2﹣x ﹣＞0的解集是{x|x ＜﹣或x ＞1}．19．等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I ）由a 1=2，a 4=16直接求出公比q 再代入等比数列的通项公式即可．（Ⅱ）利用题中条件求出b 3=8，b 5=32，又由数列{b n }是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n 项和S n ．【解答】解：（I ）设{a n }的公比为q 由已知得16=2q 3，解得q=2∴=2n（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设{bn}的公差为d，则有解得．从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以数列{bn}的前n项和．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设每间虎笼的长、宽，利用周长为36m，根据基本不等式，即可求得面积最大值时的长、宽；（2）设每间虎笼的长、宽，利用面积为32m2，根据周长的表达式，利用基本不等式，即可求得周长最小值时的长、宽．【解答】解：（1）设虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知x+2y=36．设每间虎笼的面积为S，则S=xy．由于x+2y≥2=2，∴2≤36，得xy≤162，即S≤162．当且仅当x=2y时等号成立．由解得故每间虎笼长为18 m，宽为9 m时，可使面积最大，面积最大为162m2．（2）由条件知S=xy=32．设钢筋网总长为l，则l=x+2y．∵x+2y≥2=2=16，∴l=x+2y≥48，当且仅当x=2y时，等号成立．由解得故每间虎笼长8m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？【考点】独立性检验．【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出X方，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：…3分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得X2===≈3.03因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关…6分（II）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b 2），（b1，b2）}其中ai 表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选3人，至少有1人是女性”．则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分。
安徽师大附中2015_2016学年高二数学上学期期中试题文
安徽师大附中2015～2016学年第一学期期中考查高 二 数 学（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.直线l 过点A （1,2），且不经过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. (0,21) 2.直线06:1=++ay x l 与023)2(:2=++-a y x a l 平行，则1l 与2l 间的距离为（ ） A. 2 B.328 C. 3 D. 338 3.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ）A. 2)1()1(22=-++y xB. 2)1()1(22=++-y xC. 2)1()1(22=-+-y xD. 2)1()1(22=+++y x4.已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m =（ ） A.23 B. 38 C. 32或83 D. 23或385.双曲线)0(132222≠=-a ay a x 的渐近线与虚轴所在的直线所成的锐角为（ ）A. ︒30B. ︒45C. ︒60D. ︒756.已知F 是抛物线x y =2的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 （ ） A.43 B.1 C. 45 D. 47 7.已知点集}0222|),{(22≤---+=y x y x y x M ，}022|),{(22≥+--=y x y x y x N ， 则N M 所构成平面区域的面积为（ ）A. πB. π2C. π3D. π48.已知),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA 是圆02:22=-+y y x C 的一条切线，A 是切点，若PA 长度最小值为2，则k 的值为 （ ） A. 3 B. 221 C. 22 D. 29.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A. B. (11) C. 1 D. )10,5(10.1F 、2F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于A 、B 两点，已知11BF AF ⊥，︒=∠301ABF ，则椭圆的离心率为（ ） A. 226- B. 236- C. 26- D. 36-二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
(优辅资源)安徽省师大附中高二第一学期期中考试题数学(文)Word版含答案
安徽师范大学附属中学 期中考查高二数学试卷（文）命题教师：曹多保 审题教师：张家武时间120分钟，满分100分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真的是( )A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 2．设P 是异面直线a ，b 外的一点，则过点P 与a ，b 都平行的平面( )A ．有且只有一个B ．恰有两个C ．不存在或只有一个D ．有无数个 3．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝05．如图所示的是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在原正四面体中，给出下列结论：① GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 所成角为60°；④DE 与MN垂直．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．πD ．6π7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )A ．45B ．35CD8．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A ．3x －2y ＋2＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝09．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．当AE ⊥PB 时，AEF ∆一定为直角三角形 B ．当AF ⊥PC 时，AEF ∆一定为直角三角形 C ．当EF ∥平面ABC 时，AEF ∆一定为直角三角形D ．当PC ⊥平面AEF 时，AEF ∆一定为直角三角形10．如果直线l 将圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0平分，且不通过第三象限，则l 的斜率的取值范围是( )A.12-,⎛⎫∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.12,-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.12,+⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．1 12．已知点()1,0A -，()1,0B ，()0,1C ，直线()0y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．()0,1B ．1122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ C ．1123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)13．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，若圆C的面积最小，则圆C 的方程为________．14．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值为________．15．在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于A ，B 两点，O为坐标原点，若圆上有一个C 满足5344OC OA OB →→→=+，则r = ．16．在三棱锥S ABC -中，090SAB SAC ACB ∠=∠=∠=，2AC =，BC =，SB =则直线SC 与AB 所成角的余弦值是 ．三、解答题(本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分9分) 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2. (1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 318．(本题满分9分)如图所示，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的正方形，AA 1＝3，点E 在棱B 1B 上运动． (1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)当三棱锥B 1-A 1D 1E 的体积为23时，求异面直线AD ，D 1E 所成的角．19．(本小题满分10分)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．20．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，2AB =，EB =1EF =，BC =，且M 是BD的中点．（1）求证：EM ∥平面ADF ； （2）求多面体EFABCD 的体积．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：()()22454x y -+-=和圆2C ：()()22314x y ++-=．（1）若直线1l 过点()2,0A ，且与圆1C 相切，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点()4,0B ，且被圆2C 截得的弦长为2l 的方程； （3）直线3l 的方程是52x =，证明：直线3l 上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线4l 和5l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线4l 被圆1C 截得的弦长与直线5l 被圆2C 截得的弦长相等．高二上学期期中考试数学文试卷答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中13．[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝5 [解析] 由题易知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径为|PQ |2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.14．[答案] 6415．[答案] r16．（文）[答案（理）[答案]三、解答题(本大题共6个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．解：(1)将直线l 2的方程化为2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －－1222＋（－1）2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 由a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x－y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.由于点P 在第一象限，所以排除3x 0＋2＝0.联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P （19，3718）同时满足三个条件．18．[解析](1)证明：连接BD ， 因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， 因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以B 1B ⊥AC .又因为B 1B ∩BD ＝B ， 所以AC ⊥平面B 1BDD 1. 因为D 1E ⊂平面B 1BDD 1， 所以AC ⊥D 1E .(2)因为V 三棱锥B 1-A 1D 1E ＝V 三棱锥E -A 1B 1D 1，EB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1.所以V 三棱锥E -A 1B 1D 1＝13S △A 1B 1D 1·EB 1.又因为S △A 1B 1D 1＝12A 1B 1·A 1D 1＝1，所以V 三棱锥E -A 1B 1D 1＝13EB 1＝23，所以EB 1＝2.因为AD ∥A 1D 1，所以∠A 1D 1B 1为异面直线AD ，D 1E 所成的角． 在Rt △EB 1D 1中，可求得ED 1＝2 2.因为D 1A 1⊥平面A 1ABB 1，所以D 1A 1⊥A 1E .在Rt △EA 1D 1中，cos ∠A 1D 1E ＝222＝12，所以∠A 1D 1E ＝60°，所以异面直线AD ，D 1E 所成的角为60°.19．[解析] (1)方程即(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0.∴－17<t <1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴t ＝37时，r max ＝477，此时圆面积最大，所对应的圆的方程得⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 在圆内． ∴8t 2－6t <0，即0<t <34.20．解析：（221．解析：。
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2016-2017学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=12．直线xtan+y+2=0的倾斜角α是（）A．B．C．D．﹣3．抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，1）D．（1，0）4．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣45．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．24 B．12 C．6 D．36．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=07．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（）A．43 B．72 C．86 D．908．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．9．直角坐标平面内，过点P（2，1）且与圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0相切的直线（）A．有两条B．有且仅有一条C．不存在D．不能确定10．直线L过点且与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条11．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且=0，则|+|=（）A．B．2C．D．212．若曲线y=+1与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．设点A（1，0），B（﹣1，0），若直线2x+y﹣b=0与线段AB相交，则b的取值范围是．14．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，则炮击的方位角是（南、北）偏（东、西）度．三、解答题17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18．椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．20．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．21．求过两圆x2+y2﹣1=0和x2﹣4x+y2=0的交点，且与直线x﹣y﹣6=0相切的圆的方程．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．2016-2017学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题．2．直线xtan+y+2=0的倾斜角α是（）A．B．C．D．﹣【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．【解答】解：∵直线xtan+y+2=0的斜率为﹣tan=，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，1）D．（1，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）故选C．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．4．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．5．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．24 B．12 C．6 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由短轴长为，离心率为，可求得，所以可求△ABF2的周长．【解答】解：由题意，从而得，故选C．【点评】本题主要考查椭圆几何量之间的关系，利用了椭圆的定义，属于基础题．6．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P 坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出弦MN 所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．【解答】解：x2+y2﹣6x=0化为标准方程为（x﹣3）2+y2=9∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为，∴弦MN所在直线的斜率为2，∴弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．故选D．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直与弦MN所在的直线是解本题的关键．7．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（）A．43 B．72 C．86 D．90【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；椭圆的定义．【分析】首先确定m，n的取值，确定两种类型一是m，n都在1～8之间选值，一是m在9，10中选取，n在1～8中选取，求出椭圆数即可．【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m≠n，所以有两类，一类是m，n从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56令一类是m从9，10，两个数字中选一个，n从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72故选B．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，椭圆的定义，组合知识，考查学生分析问题解决问题的能力．8．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先表示出渐近线方程，利用求得tanα=，根据α的范围确定tanα范围，进而确定的范围，同时利用c=转化成a和c的不等式关系求得的范围，即离心率的范围．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用．9．直角坐标平面内，过点P（2，1）且与圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0相切的直线（）A．有两条B．有且仅有一条C．不存在D．不能确定【考点】圆的切线方程．【分析】由点P（2，1）、圆的方程，确定P在圆外，则过P与圆相切的直线有两条．【解答】解：由点P（2，1）、圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0，可得4﹣2+1+2﹣4=1＞0，∴点P在圆外，则过点P且与圆相切的直线有两条．故选A【点评】此题考查了点与圆的位置关系，以及圆的切线方程，当点在圆内时，过此点不能作圆的切线；当点在圆上时，过此点作圆的切线，此时切线只有一条；当点在圆外时，过此点作圆的切线，此时切线有两条．故判断出点P与圆的位置关系是解本题的关键．10．直线L过点且与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件．当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，综上，满足条件的直线共有3条，故选C．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，双曲线的渐近线的性质，注意考虑斜率不存在的情况，这是解题的易错点．11．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且=0，则|+|=（）A．B．2C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由点P在双曲线上，且=0可知|+|=2||=||．由此可以求出|+|的值．【解答】解：根据题意，F 1、F 2分别是双曲线x 2﹣=1的左、右焦点．∵点P 在双曲线上，且=0，∴|+|=2||=||=2．故选B ．【点评】把|+|转化为|||是正确解题的关键步骤．12．若曲线y=+1与直线y=k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k 的取值范围．【解答】解：y=+1可化为x 2+（y ﹣1）2=4，y ≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y ≥1的部分．直线y=k （x ﹣2）+4过定点p （2，4），由图知，当直线经过A （﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP ==，由直线与圆相切得d==2，解得k=，则实数k 的取值范围为（，]．故选A ．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．设点A（1，0），B（﹣1，0），若直线2x+y﹣b=0与线段AB相交，则b的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【分析】由题意知，两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程2x+y﹣b=0中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围．【解答】解：由题意得：两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，∴b∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、点与直线的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= 8．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由题意易得圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故两圆圆心在第一象限的角平分线上，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，∴a=5+2，或a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2）和（5﹣2，5﹣2），故两圆心的距离|C1C2|= [（5+2）﹣（5﹣2）]=8，故答案为：8【点评】本题考查直线和圆的位置关系，其中根据已知分析出圆心在第一象限的角平分线上，进而设出圆心坐标是解答的关键．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．16．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，则炮击的方位角是北（南、北）偏东（东、西）30度．【考点】解三角形的实际应用．【分析】建立坐标系，因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，写出中垂线的方程，又|PB|﹣|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上，写出双曲线方程，将这两个方程联立方程组，解出交点P的坐标，由PA斜率计算炮击的方位角．【解答】解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（﹣3，0）、A（3，0）、C（﹣5，2），因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上因为k BC=﹣，BC中点D（﹣4，），所以直线PD的方程为y﹣=（x+4）①又|PB|﹣|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P（x，y），则双曲线方程为﹣=1（x≥0）②联立①②，得x=8，y=5，所以P（8，5），因此k PA==，故炮击的方位角为北偏东30°．故答案为：北；东；30．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用、解三角形的实际应用．要充分利用三角形的边角关系，利用三角函数、正弦定理、余弦定理等公式找到问题解决的途径．三、解答题17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得，解不等式组求得a的范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a ≤﹣1．∴a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．18．椭圆+y 2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是 2x +4y﹣3=0 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设这条弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则，两式相减再变形得，再由弦中点为（，），求出k ，由此能求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣，故这条弦所在的直线方程y ﹣=﹣（x ﹣），整理得2x +4y ﹣3=0．故答案为：2x +4y ﹣3=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程的求法，用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．20．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．21．求过两圆x2+y2﹣1=0和x2﹣4x+y2=0的交点，且与直线x﹣y﹣6=0相切的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求圆的方程为x2+y2﹣1+λ（x2﹣4x+y2）=0，利用与直线x﹣y﹣6=0相切，求出λ，即可得出结论．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣1+λ（x2﹣4x+y2）=0（λ≠﹣1），即（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣4λx﹣1=0．∴x2+y2﹣=0．∴圆心为（，0），半径，∴=，∴，解得．又∵圆x2﹣4x+y2=0与直线x﹣﹣6=0相切，∴所求圆的方程为3x2+3y2+32x﹣11=0或x2+y2﹣4x=0．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，属于中档题．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．【考点】椭圆的标准方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．【解答】解：（1）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上∴|F1F2|=|PF2|，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴．（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）≥0即2k2﹣m2+1≥0则，且由已知α+β=π，得．化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0∴整理得m=﹣2k．∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．。