圆周角定理

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圆的十大定理

圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。

这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。

二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。

这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。

三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。

这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。

四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。

五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。

这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。

六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。

这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。

七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。

八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。

这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。

九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。

这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。

十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。

圆周角定理及推论

24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92思考题．2．教材P93练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．连接CO并延长交⊙O于D，连接DB∵CD是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBCxx，sinD=，即2R=同理可证：=2R，=2R∴===2R五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．。

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析一圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

二圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠利用圆周角定理的推论求角的度数BABA O例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．例3（2016·山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．利用圆周角定理的推论进行推理论证例4 （2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5 如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．分析：由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．利用圆内接四边形的性质求度数例6（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）利用圆内接四边形的性质进行推理证明例 7 （2015南京）（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．圆周角定理与相似三角形的综合例 8 （2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长；（2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．(第26题)例 9 （肇庆市2012）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BEC ∽△ADC ；（3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．圆内接四边形性质的综合应用例10 （2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC ＝β．求证：（1）∠ABD ＝90°－β （2）CD ⊥DF ；（３）BC=2CD ．圆周角定理与函数的综合例 1 1 如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，（1）求证：△ACE ∽△CBE ；（2）若AB=4，设OE=x （0＜x ＜2），CE=y ，请求出y 关于x 的函数解析式图7。

圆周角定理课件

(2)因为△ABE∽△ADC，所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝AD·AE. 又 S＝12AB·AC·sin ∠BAC，且 S＝12AD·AE，所以 AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 则 sin ∠BAC＝1. 又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC＝90°.
2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径．求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接 BE，因为 AE 为直径，所以∠ABE＝90°. 因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
5．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
利用圆周角进行计算
[例 2] 如图，已知 BC 为半⊙O 的直径， AD⊥BC，垂足为 D，BF 交 AD 于 E，且 AE ＝BE.
(1)求证： AB＝ AF ； (2)如果 sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求 AD 的长． [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接 AC，构造 Rt△ABC.
4．如图，△ABC ຫໍສະໝຸດ 接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则
∠OCD 的度数是
()
A．40° C．50°
B．25° D．60°
解析：连接 OB.因为∠A＝50°，所以弦 BC 所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝12∠BOC ＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A

圆周角定理课件

如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.
图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似． (2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝ AD·AE.
又 S＝12AB·ACsin∠BAC 且 S＝12AD·AE，故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.
1．解答本题(2)时关键是利用 AB·AC＝AD·AE 以及面积 S ＝12AB·ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值．
圆周角定理
1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2) 推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径．
在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．
如图 2－1－5，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直
径作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若∠BAC＝50°，则

圆周角定理

∵∠1=∠2,∴ = ,
∴BF=CG, = ,
∴∠FBD=∠GCE.
又 ∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴ = ,
∴AB=AC.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
它们互补(如本题).
(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研
究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,
然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之
间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆
周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后
第二讲
直线与圆的位置关系
一
圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解
剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:
圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】如图,已知△ABC 内接于☉O, = , 点是

圆周角定理课件

3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．
【示例2】如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ，连接 AF ，所以 ADCF 是平行四边形，故 CD＝AF.
证明连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一圆中相关角度数的求解
【例 1】在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．

初三数学圆周角知识点

初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。

(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。

(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。

2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。

2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。

3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。

初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。

圆周角定理及其推论

分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
画多少个？它们有什么关系？为什么？
反过来呢？
D
A
推论1：同圆或等圆中：
C O·
同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等. E
B
探究三：
如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为 180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论?
反过来呢？
C
推论2：
A
·O
B
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
O
∴ ∠BAC = 12∠BOC.
B
C
猜想：一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半
1、圆心在圆周角的边上 2 、圆心在圆周角的内部.
C
C
O·
O·
A
B
A
B
D
3、圆心在圆周角的外部
C
O·
D
B
A
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
探究二：
在一个圆中，并画出A⌒B所对的圆周角能
24.3 圆周角
1.圆周角的概念：
顶点在圆上，并且两
C
边都与圆还另有一个交
点的角叫做圆周角。
O
B
2.一个角是圆周角的条件：
①顶点在圆上；
A
②两边都和圆相交。
练习:指出下图中的圆周角.
A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
C O
√
O D
×
O
E
O
O
B
×
×
√F
探究一：
A
如图，等边△ABC的三个顶点

圆周角定理

圆周角定理圆周角定理，又称为圆心角定理，是指在一个圆中，它对应的弧所对的圆周角的度数是一定的。

这一定理在几何学和三角学中有着重要的应用。

本文将介绍圆周角的定义、性质以及相关应用。

圆周角的定义在一个圆中，以圆心为顶点，连接圆上的两个点，所得到的角即为圆周角。

圆周角用字母“∠”来表示，其中小写的字母表示圆弧，如∠ABC，表示以圆心O为顶点的角，对应的圆弧为AB和AC。

圆周角的性质性质一：圆周角的度数是一定的在同一个圆中，不论圆周角对应的圆弧长度如何变化，其圆周角的度数是不变的。

这一性质可以用公式表示如下：∠ABC = (∠AOB) / 2 = (s / r) × 180°其中，“∠ABC”表示圆周角的度数，∠AOB表示对应的圆心角的度数，s表示圆弧的长度，r表示圆的半径。

性质二：垂直弧所对的圆周角是180°在圆中，对于垂直弧所对的圆周角，其度数恒为180°。

而垂直弧指与半径垂直的弧。

圆周角的应用圆周角定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：应用一：扇形面积计算利用圆周角定理可以计算圆内的扇形面积。

假设扇形对应的圆心角为θ°，则扇形的面积等于圆的面积乘以θ/360°。

可以用以下公式表示：扇形面积= (θ / 360°) × πr²其中，r表示扇形的半径。

应用二：圆锥的体积计算圆锥的体积计算也可以利用圆周角定理实现。

假设圆锥的底面半径为r，高度为h，底角为θ°，则圆锥的体积可以用以下公式表示：圆锥体积= (θ / 360°) × πr² × h / 3应用三：三角函数的定义在三角学中，三角函数的定义与圆周角密切相关。

以正弦函数为例，其定义可以通过圆周角在单位圆上的投影来说明。

对于角θ对应的圆周角，在单位圆上的投影点坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。

圆周角定理课件

总结和回顾
圆周角定理是几何学中重要的概念，它帮助我们理解和解决与圆相关的各种问题。
2 计算问题
通过圆周角的公式，我们可以解决各种与圆相关的数学计算问题。
3 工程应用
圆周角的概念在建筑、设计和工程领域有广泛应用，帮助解决实际问题。
圆周角定理的证明
1
步骤一
通过绘制辅助线和应用几何定理，建立圆周角定理的几何模型。
2
步骤二
利用圆周角的定义和性质，推导出圆周角定理的数学表达式。
圆周角的弦长
圆周角对应的弦长等于圆半径乘以2sin(圆周角的度数/2)。
圆周角的性质
相等的圆周角
当两个圆周角的圆心角度数相等时，其圆周角相等。
互补的圆周角
两个互补的圆周角的度数和为 360度。
切线与圆周角
切线与相交弦所对的圆周角相等。
圆周角的应用
1 几何证明
圆周角的性质在几何证明中经常被本节课的演示文稿，让我们一起探索圆周角的定理以及其应用。
圆周角定义
圆周角指的是以圆心为顶点的角，其两条边分别是与圆相交的弧，通常用字母表示，如∠ABC。
圆周角的公式
圆周角的度数
圆周角的度数等于其对应的弧所对的圆心角的度数。
圆周角的弧长
圆周角对应的弧长等于圆周长乘以圆周角的度数除以360。
3
步骤三
进行严格的逻辑推理和证明，验证圆周角定理的准确性。
圆周角定理的例题
例题一
在半径为5cm的圆中，∠ABC 对应的弧长为15cm，求∠ABC 的度数。
例题二
已知∠ABC的度数为60度，圆半径为8cm，求∠ABC对应的弦长。
例题三
若两个圆周角的圆心角相等，一个圆周角的度数为110度，求另一个圆周角的度数。

数学知识点：圆周角定理_知识点总结

数学知识点：圆周角定理_知识点总结
顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。

圆周角的特点:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:
解题规律:
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。

一圆周角定理

F B E O O H D G C
是半圆的直径,P是半圆上的例３，如图，BC是半圆的直径是半圆上的如图，是半圆的直径一点,过的中点Ａ，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足Ａ，作一点过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证求证：为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证：ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦＡ
圆周角定理
圆周角的定义：圆周角的定义：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角。与圆相交的角。圆周角定理：圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半。弧的度数的一半。推论1：同弧（或等弧）推论：同弧（或等弧）上的圆周角相等。同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。相等。推论2：半圆（或直径）推论：半圆（或直径）上的圆周角等于90度。度反之，度的圆周角所对的弦为直径度的圆周角所对的弦为直径。反之， 90度的圆周角所对的弦为直径。
2 1 3
Ｐ
4
Ｂபைடு நூலகம்
ＥＦＤ
Ｃ
内接于⊙ 例４，如图， ΔABC内接于⊙Ｏ，如图， ABC内接于ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证于点Ｈ，求证：ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证：ＯＡＢ＝∠ （１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ）ＯＡＡＨ＝１ＡＢ（２）ＯＡＡＨ＝１／２ＡＢＡＣ
ＡＢ D ．ＯＨＣ
例1，如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC ，如图， ABC中 AB=AC，外接圆⊙O的弦AE BC于点求证： ⊙O的弦AE交于点D 外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：
AB = AD × AE
2
A
B E
D
C
的两条高, 例2，如图，设AD,CF是ΔABC的两条高, ，如图，是 ABC的两条高 AD,CF的延长线交 ABC的外接圆的延长线交Δ 的外接圆O AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE ⊙O的直径求证: 的直径, 是⊙O的直径,求证: (1)ABAC=ADAE (2)DG=DH A

圆周角的定理及推论的应用

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

圆周角概念和性质

圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ．分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。

圆周角定理

判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４．如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
ＢＤＣ例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ．的度数与的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？的度数与的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结：圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦（或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

圆周角定理课件

∴ACDD＝BEDD，即63＝E5D，
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB，又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一与圆周角定理相关的证明例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__．应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相__等__．推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对

“圆”来如此——圆周角定理

“圆”来如此——圆周角定理【圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等（知其1即知其3）这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【注意】同弧所对圆周角相等，在三角形全等、相似方面，有着极为广泛的应用！【垂径定理】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【知2求3】“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．【四点共圆】•3点确定一个圆•4点可以共圆•5点也可以共圆•几何题，一定要寻找特殊图形、特殊变换、特殊关系！【点与圆】圆外1点与圆的距离关系，做与圆心的连线即可。

寻找特殊关系学会转化【切线判定】【定义法】和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；【距离法】和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；【定理法】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；【总结】通常情况下，要证明切线，就需要连接切点与半径。

在证明垂直关系即可。

【圆与圆】·连心线是对称轴．·两圆相切时，切点一定在对称轴上．·如果两圆⊙O_1、⊙O_2相交于A、B两点，那么O_1O_2垂直平分AB．·如果两个半径不相等的圆O_1、圆O_2相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线O_1O_2上，并且直线O_1O_2平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．·如果两条外公切线分别切圆O_1于A、B两点、切圆O_2于C、D两点，那么两条外公切线长相等，且AB、CD都被O_1O_2垂直平分．。

圆周角定理

圆的十大定理

圆周角定理及推论

圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析

圆周角定理 课件

圆周角定理 课件

圆周角定理

圆周角定理 课件

初三数学圆周角知识点

圆周角定理及其推论

圆周角定理

圆周角定理课件

数学知识点：圆周角定理_知识点总结

一 圆周角定理

圆周角的定理及推论的应用

圆周角概念和性质

圆周角定理

圆周角定理 课件

“圆”来如此——圆周角定理

圆周角定理课件

圆周角定理课件

圆周角定理课件

一圆周角定理

圆周角定理课件