圆周角定理及推论

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24.1.4圆周角

第1课时圆周角定理及推论

教学内容

1．圆周角的概念．

2．圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半．

推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键

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1．重点：

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

2．难点：

运用数学分类思想证明圆周角的定理．

3．关键：

探究圆周角的定理的存在．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：

（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有

一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等．

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题：

如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设

E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的

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A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠

EAF、∠

EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．

老师点评：

1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”

（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

∴∠AOC=∠ABO

∴∠ABC=∠AOC

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（2）如图，圆周角∠ABC的两边

AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．

老师点评：

连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠

ABC．

（3）如图，圆周角∠ABC的两边

AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．

老师点评：

连结O

A、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC

现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，?同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、

（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

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分析：

BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC 的中点，?只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：

BD=CD

理由是：

如图24-30，连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB

∴BD=CD

三、巩固练习

1．教材P92思考题．

2．教材P93练习．

四、应用拓展例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠

A、∠

B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：

===2R．

分析：

要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．

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证明：

连接CO并延长交⊙O于D，连接DB

∵CD是直径

∴∠DBC=90°

又∵∠A=∠D

在Rt△DBCxx，sinD=，即2R= 同理可证：

=2R，=2R ∴===2R

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．圆周角的概念；