圆周角的概念及定理

教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课

教学目标知识和能力

1.了解圆周角与圆心角的关系.

2.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.

3.能运用圆周角的性质解决问题.

过程和方法

1.通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.

2.通过观察图形，提高学生的识图能力.

3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力.

4.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题.

情感态度

价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.

教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.

教学难点发现并论证圆周角定理.

教学准备教师多媒体课件

问题与情境师生行为设计意图

[活动1 ]

演示课件或图片：

问题1

如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角( 和)有什么关系?

问题2

如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角( 和)和同学乙的视角相同吗?

教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.

教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物.

教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题.

教师结合示意图，给出圆周角的定义.利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧( )所对的圆心角( )与圆周角( )、同弧所对的圆周角( 、、等)之间的大小关系.教师引导学生进行探究.

教师关注：

1.问题的提出是否引起了学生的兴趣;

2.学生是否理解了示意图;

3.学生是否理解了圆周角的定义;

4.学生是否清楚了要研究的数学问题.

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学.

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法.

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.

[活动2]

问题1同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的?

问题2

同弧(弧AB )所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的?

教师提出问题，引导学生利用度量工具(量角器)动手实验，进行度量，发现结论.

在活动中，教师应关注：

1.学生是否积极参与活动;

2.学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确.

由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现.教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化.

1.拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动;

2.改变圆心角的度数;

3.改变圆的半径大小.

活动2的设计是为引导学生发现.让学生亲自动手，利用度量工具(如半圆仪、)进行实验、探究，得出结论.激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系.

[活动3]

问题1

在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况? (课件：折痕与圆周角的关系)

问题2

当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论?

问题3

另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢?

教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论.

教师关注：

1.学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果;

2.学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系.

教师巡视，请学生回答问题.回答不全面时，请其他同学给予补充.

教师演示圆心与圆周角的三种位置关系.

教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论.

学生写出已知、求证，完成证明.

教师关注：

1.学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来;

2.学生能否证明出结论.

学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动.启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化.

教师关注：

1.学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化;

2.学生添加辅助线的合理性;

3.学生是否会利用问题2的结论进行证明.

教师讲评学生的证明，板书圆周角定理.数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学.通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问题、分析问题，并能解决问题.活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明.培养学生严谨的治学态度.

问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题.培养学生思维的深刻性.

问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般.学会运用化归思想将问题转化.并启发培养学生创造性的解决问题.

[活动4]

问题1

半圆(或直径)所对的圆周角是多少度?(课件：圆周角定理推论)

问题2

90°的圆周角所对的弦是什么?

问题3

在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗?

∠ABC=30°

∠A’B’C’=30°

问题4

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗?为什么?

问题5

如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角? 问题6

如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长.

学生独立思考，回答问题，教师讲评.

问题1提出后，教师关注：

学生是否能由半圆(或直径)所对的圆心角的度数得出圆周角的度数.

问题2提出后，教师关注：

学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径.

问题3提出后，教师关注：

学生能否得出正确的结论，并能说明理由.

教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件.

问题4提出后，教师关注：

学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等.

问题5提出后，教师关注：

学生是否准确找出同弧所对的圆周角.

问题6提出后，教师关注：

1.学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD;

2.学生能否将要求的线段放到三角形里求解;

活动4的设计是圆周角定理的应用.通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用.

问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论.问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件.问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移.问题5、6是定理的应用.即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解.教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果.

[活动5]

问题

通过本节课的学习你有哪些收获?

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容.

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握.