双曲线的综合讲义

合集下载

双曲线讲义(学生版)

双曲线专题讲义1.2.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 3．点P (x 0，y 0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的关系(1)双曲线内(含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2>1；(2)双曲线上⇔x 20a 2－y 20b 2＝1；(3)双曲线外(不含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2<1.求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c 2＝a 2＋b 2转化为关于a ，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k ＝±ba ＝±c 2－a 2a ＝±c 2a2－1＝±e 2－1. 双曲线定义1. 已知P 是双曲线1366422=-y x 上一点,F 1,F 2是双曲线的两个焦点,若|PF 1|＝17,则|PF 2|的值为________．2. 已知点F 1(0,－13)、F 2(0,13),动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26,则动点P 的轨迹方程为( ) A .y ＝0 B .y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C .x ＝0(|y |≥13) D .以上都不对3. 若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．参考答案：1. 33 2. C 3. 18 双曲线方程的认识1. (2013·福建)双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1C .653D ．－653 2. 若方程15222=---ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（）A ．52<<kB ．5>kC ．2<k 或5>kD ．以上答案均不对3. 方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．4. 已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线,则m 的值等于（） A ．－30 B ．10 C ．－6或10 D ．－30或3A ．2322-=-y xB ．()12322±¹-=-x y xC ． 2322=-y x面积是9,则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．73. 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为__________．参考答案：1.A 2.B 3. 2 3 双曲线性质离心率1. 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点.若在双曲线上存在点P .使21PF PF ^,且°=Ð3021F PF ,则双曲线的离心率为___________.2. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( )A . 6B . 3C .2D .333. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F D 的最小内角为30°，则C 的离心率为（）A ．2B ．26C ．23D ．34. 如图,1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF D 为等边三角形,则双曲线的离心率为（）A ．4B ．7C ．332 D ．3 5. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uuu r uuu r,则双曲线的离心率是（）A B C D 6. 双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e Î,则k 的取值范围是（）A . (10,0)-B . (12,0)-C . (3,0)-.D . (60,12)-- 参考答案：1. 13+ 2-6 BDBCB渐近线1. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±2. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3. 已知0a b ＞＞,椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +,双曲线2C 的方程为22221y x a b -=,1C 与2C 的离心率之积为2,则2C 的渐近线方程为（）. 0A x ±= .0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±=4. 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ,满足||||212F F PF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A ．043=±y xB ．034=±y xC ．053=±y xD ．045=±y x5. 1F 、2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ,)0>b 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于点A 、B ,若2ABF D 为等边三角形,则该双曲线的渐近线的斜率为( )（A ）33±（B ）2± （C ）15± （D ）6± 参考答案： ACBBD直线与双曲线位置关系 1. 若直线2y kx =+与双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ,直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长.【答案】（1）16322=-y x ；（2）5316.2. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点2F 的直线l交双曲线于A 、B 两点,1F 为左焦点．(1) 求双曲线的方程；(2) 若AB F 1D 的面积等于62,求直线l 的方程．【答案】(1) 1322=-y x ；(2) )2(-±=x y .3. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ,点P 在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与双曲线交于不同的两点E 、F ,若OEF D 的面积为,O 为坐标原点,求直线l 的方程.【答案】（1）222x y -=;（220y -+=20y +-=. 中点弦1. 直线l 经过11P （，）与双曲线1222=-y x 交于A B 、两点,且P 平分是线段AB ,那么直线l 的方程为（） A 、210x y --= B 、230x y +-= C 、210x y -+= D 、不存在2. 若双曲线的中心为原点,F (3,0)是双曲线的焦点,过F 的直线l 与双曲线相交于P ,Q 两点,且PQ 的中点为M (－12,－15),则双曲线的方程为( )A .16322=-y xB . 14522=-y xC 13622=-y xD . 15422=-y x3. 已知双曲线191622=-y x 及点)1,2(P ,是否存在过点P 的直线l ,使直线l 被双曲线截得的弦恰好被P 点平分？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由. 【答案】不存在.4. 已知直线l 交双曲线2212y x -=于A B 、不同两点,若点(1,2)M 是线段AB 的中点,求直线l 的方程及线段AB 的长度【答案】。

3.2.1 双曲线知识点与题型讲义(选择性必修一)

3.2.1 双曲线知识点与题型讲义一、知识框架二、考点解析考点一双曲线的定义【例1】（1）到两定点()()123,0,3,0F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（） A ．椭圆B ．两条射线C ．双曲线D ．线段（2）已知双曲线22:125144y x C -=的上、下焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若214PF =，则1PF =（） A ．38 B ．24C ．38或10D ．24或4【跟踪训练】1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支2.已知平面中的两点12(2,0)F F ，(-2,0)，则满足{}12|1M MF MF -=的点M 的轨迹是（） A ．椭圆B ．双曲线C ．一条线段D ．两条射线3．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．9C ．1或9D ．7点二双曲线定义的运用【例2】（1）已知双曲线2217x y m -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于A 、B 两点，且AB 4=，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则m 的值为（）A ．8B ．9C ．16D ．20(2)设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于A． B． C．D．【跟踪训练】1．已知12,F F 是双曲线22(0)x y m m -=>的两个焦点，点P 为该双曲线上一点，若12PF PF ⊥，且12PF PF +=m =（）A ．1B C D ．32．已知双曲线C :221916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于A ．24B ．36C ．48D ．963．已知点P 是双曲线22184x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左､右焦点，若12F PF △的外接圆半径为4，且12F PF ∠为锐角，则12PF PF ⋅=（） A ．15B ．16C ．18D ．20【例2-2】方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <-【跟踪训练】1.若m 为实数，则“12m <<”是“曲线C ：2212x y m m +=-表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； 12PF F S ∆④利用公式＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．12PF F S ∆(2)方法二：利用公式＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．2．若k ∈R ，则3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若曲线2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（）A ．1m <B ．0m <C ．102m -<< D ．112m <<考点三双曲线标准方程【例3】在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点()()3,0,6,3--；（2）a =()2,5-，焦点在y 轴上. (3)过点(3，离心率e；(4)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4)．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：【跟踪训练】1．焦点在x 轴上，实轴长为4，虚轴长为( )A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2214816x y -=D ．2211648x y -=2．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213y x -= D ．2213x y -= 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（）A ．2213218x y -=B ．2211832x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=4．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=考点四渐近线【例4】已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．3y =±【跟踪训练】1．双曲线22124x y -=的渐近线方程为（）A ．y =B ．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±2．双曲线2233x y -=的顶点到渐近线的距离是__________.3．已知双曲线22122:1x y C a b -=(0,0)a b >>以椭圆222:143x yC +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则1C 的渐近线方程为( )A 0y ±=B ．0x =C ．20x =D 20y ±=5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()16,0F -、()26,0F ，点M 在双曲线C的右支上，点()0,4N ．若1△MNF 周长的最小值为4，则双曲线C 的渐近线方程为________．。

(完整word版)双曲线讲义

圆锥曲线第二讲双曲线一双曲线的定义平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支.例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线.例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形：（16=；（26=练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.二双曲线的标准方程（1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确（2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确例1 若方程22123x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______.(3,2)(3,)-+∞U例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在y 轴上的双曲线.例3 方程221cos 2010sin 2010x y ︒︒-=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线.练习1 若方程2221523x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1三双曲线的定义及其标准方程的应用例1 若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16例2 在ABC V 中，,,a b c 为其三边边长，点B ，C 的坐标分别为(1,0)B -，(1,0)C ，则满足1sin sin sin 2C B A -=的顶点A 的轨迹方程为______.224141()32x y x -=>例 3 已知(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于P ，则点P 的轨迹方程为________.221(1)8y x x -=>例4 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____.9练习1在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC V 的顶点(6,0),(6,0)A C -，若顶点B在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B -=______.56练习2若点P 是以(A B 为焦点，实轴长为2210x y +=的一个交点，则PB PA +的值为______.例3 已知2225:(2)4A x y ++=e ，221:(2)4B x y -+=e ，动圆P 与A e ，B e 都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为_____.221(0)3y x x -=>练习4 已知双曲线的方程2214y x -=，点A 的坐标为(0)，B 是圆2x +2(1y =上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为1四双曲线的简单几何性质注：（1）标准方程中参数,,a b c ，其中c 最大，,a b 大小关系不确定.（2）我们把ce a=称为双曲线的离心率且1e >.22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a=±.（3）如果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.（求离心率的范围）（4）122PF PF c +≥,122PF PF c -<.（求离心率范围）（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率e =（6）共轭双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共轭双曲线.三双曲线的定义练习（5.3）已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=，与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）D .A 实轴长相等 .B 虚轴长相等 .C 焦距相等 .D 离心率相等四双曲线标准方程的求解（先定位后定量）例1（调研）设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为4)，则此双曲线的标准方程是______.22145y x -=例2 （调研）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为________.22131********y x -= 练习1（简单）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为_______.221169x y -= 例2（5.3）已知双曲线:C 22221x y a b -=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为_______.221205x y -= 五双曲的简单几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点，两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.例 1（简单）设双曲线22221x y a b-=，的虚轴长为2，焦距为近线的方程为_______.y x =例2（练透）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为_____.12y x =±.练习1（调研）设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，1234PF PF =，则12PF F V 的面积等于_____.24例2（简单）若直线1y kx =+与双曲线221916y x -=的一条渐近线垂直，则实数k=____.43±六双曲线的离心率离心率的取值问题例1（练透）12,F F 是双曲线:C 22221x y a b-=的左右焦点，过1F 的直线l 与C 的左右两支分别交于,A B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为例2（练透）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线，则双曲线的离心率为____.练习1（练透）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F V 的最小内角为30︒，则C 的离心率为练习2（练透）设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.3练习3（练透）设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +=u u u r u u u u r u u u u rg ，O为坐标原点，且12PF =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为1离心率的范围问题双曲线的离心率范围问题主要考查两点：（1）利用三角形的三边关系得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.（2）若果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.通过余弦定理得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.例1 （调研）已知双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为_____.53. 例2（调研）已知(1,2),(1,2)A B -，动点P 满足AP BP ⊥u u u r u u u r ，若双曲线22221x y a b-=的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是____.12e <<练习1（5.3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是_____.(1,3]练习2（练透）点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率取值范围是_______.4(1,]3练习3（练透）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE V 是锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为______.(1,2) 七双曲线的综合问题例1 （练透）设双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为____.11。

双曲线讲义

双曲线及其标准方程（一）学习目标 1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．1.定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹。

12,F F 叫做双曲线的，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的．反思：设常数为2a ，2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是；2a >12F F 时，轨迹．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是．2.标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴）其焦点为 1(,0)F c -，2(,0)F c ．例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式。

已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为．例2 ：已知双曲线的焦点在坐标轴上，且双曲线上两点21,P P 的坐标分别为()3,42-，9,54⎛⎫⎪⎝⎭求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线的焦点在坐标轴上，且双曲线上两点21,P P 的坐标分别为)7,26(,)72,3(---，求双曲线的标准方程．例3 方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，求角α所在的象限.作业1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是(6,0)，那么实数k 的值为（）． A ．25- B ．25 C ．1- D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（）． A. 5 B. 13 C. 5 D. 134.如果22121x y k k+=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()2,1-D ．()(),22,-∞-⋃+∞5．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=. 则动点P 的轨迹方程．6.与椭圆2244x y +=的公共焦点，且过点)1,2(M 的双曲线的标准方程为___ .7.过双曲线3422y x -=1左焦点1F 的直线交双曲线的左支于N M ,两点，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为____________.8．实半轴长等于52，并且经过)2,5(-B 的双曲线的标准方程是____________.双曲线方程2学习目标：1.．掌握双曲线的焦点三角形；2．掌握双曲线的标准方程的求法．（1）直接法：（2）定义法（3）待定系数法例1 双曲线221169x y -=上有一点P ，12,F F 是焦点，且 6021=∠PF F ,则21F PF ∆的面积为例2 已知直线x y l =:1与直线x y l -=:2，动点),(y x P 到21,l l 的距离之积等于1，求点P 的轨迹方程例3：求与两个定圆02410:221=-++x y x C 和圆02410:222=+-+x y x C 都外切或都内切的动圆的圆心的轨迹方程作业1.双曲线x y 222-=8的实轴长是（）（A ）2 (B)22 (C) 4 (D) 422.双曲线191622=-y x 上一点P 到点（5,0）的距离为15，则点P 到点（-5,0）的距离为（） A.7 B.23 C.7或23 D.5或253.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则 21PF PF ⋅= ( )(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 84．53<<m 是方程165222=--+-m m y m x 表示的图形为双曲线的________条件． 5．双曲线08822=+-kx ky 的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.6．已知双曲线13622=-y x 的焦点为12,F F ，点M 在双曲线上且x MF ⊥1轴，则1F 到M F 2的距离_ __．7．12,F F 为双曲线1422-=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21F PF ∆的面积_ _．8．与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程是________．双曲线的简单几何性质(1)学习目标．理解并掌握双曲线的几何性质．1.图形2.范围：x ： y ：3.对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．4.顶点：（），（）．实轴，其长为；虚轴，其长为．5.离心率：1c e a =>．6.渐近线：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：0x y a b ±=．7.实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．例2求双曲线的标准方程： ⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率2e =，经过点(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．例3已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=（)0,0>>b a 的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果 902=∠Q PF ,求双曲线的离心率作业1. 中心在坐标原点，离心率为35的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（） A. x y 45±= B. x y 54±= C. x y 34±= D. x y 43±=2. 17922=-y x 的焦点到准线的距离是（）A. 47 B. 425 C. 47或425 D. 423或493. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且准线方程为532-=y 的双曲线的标准方程为A.1366422=-x y B. 1366422=-y x C. 1643622=-x y D. 1)996()9128(2222=-x y 4. 双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（） A.2 B.3 C.26D. 32 5. 双曲线4222=-my mx 一条准线是1=y ，则m 为（）A.23 B. 23- C. 32 D.32-双曲线的简单几何性质(2)学习目标 1．掌握定义；2．灵活掌握标准方程．3.直线与双曲线的位置关系4.点差法5.弦长公式典型例题例1 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x （1）没有公共点，求k 的取值范围. （2）只有一个公共点，求k 的取值范围. （3）与右支有两个公共点，求k 的取值范围. （4）两支各有一个公共点，求k 的取值范围.变式：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x （1）有两个公共点，求k 的取值范围.（2）与左支有有两个公共点，求k 的取值范围.例2过点P （8,1）的直线与双曲线4422=-y x 相交于B A ,两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程变式：已知双曲线1322=-y x ，过点P （2,1）点作一直线交双曲线于B A ,两点，若P 为AB 的中点.（1）求直线AB 的方程（2）求弦AB 的长例3设双曲线的顶点是椭圆14322=+y x 的焦点，该双曲线又与直线06315=+-y x 交于B A ,两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点）（1）求此双曲线的方程；（2）求AB 的长变式：已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于B A ,两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值。

双曲线专题复习讲义自理

双曲线专题复习讲义★知识梳理★1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．242.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e为．c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（） A.2 B.3C.5D.29. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=2.已知双曲线的两个焦点为1(0)F 、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅= ，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是（）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．4C ．54D ．54..曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程。

双曲线讲义

第 1 页共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。

双曲线复习讲义一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线第 2 页共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。

二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；注意：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a不一定大于b.直线与双曲线：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时， k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点；0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；三、双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2. 若双曲线方程为12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）第 3 页共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。

双曲线及抛物线(讲义)

双曲线及抛物线（讲义）知识点睛一、双曲线1. 双曲线的标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >，那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，．又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．12{|||||||2}P M MF MFa =-=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =±． ①类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得22222222()()c a x a y a c a --=-，两边同除以222()a c a -，得222221x y a c a-=-．由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得22221(00)x y a b a b-=>>，．双曲线的标准方程：22221(0 0)x y a b a b，-=>>．2.双曲线的几何性质R R对称轴二、抛物线1.抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2px =-．设()M x y ，d ．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{|||}P M MF d==．因为||||2pMF d x ==+，所以||2px =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>．2. 抛物线的几何性质1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点在x轴上，经过点(，3；（3）焦点为(06)-，，(06)，，且经过点(25)-，．2.双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，与2222(0)x ya bλλ-=≠有相同的（）A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对3.已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点在直线6x=-上，则双曲线的方程为（）A．22136108x y-=B．221927x y-=C．22110836x y-=D．221279x y-=4.若双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，，则其渐近线方程为（）A．2y x=±B．y=C．12y x=±D．y x=5. 已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5 0)A ，在线段PQ 上，则△PQF 的周长为__________．6. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若(1 4)A ，，则||||PF PA +的最小值是__________．7. 如图，1F ，2F 是椭圆221 +14x C y =：与双曲线2C 的公共焦点，点A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（） ABC ．32D．28. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？9.点()M x y，到定点(5 0)F，的距离和它到定直线l：165x=的距离之比是常数54，求点M的轨迹方程．10.已知双曲线2212yx-=，过点(11)P，能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．11. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x 轴对称，并且经过点(5 4)M -，；（2）准线方程是4x =；（3）焦点是(0 8)F -，；（4）对称轴是x 轴，且顶点与焦点的距离等于6．12. 如图，M 是抛物线212y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角∠xFM =60°，则||FM =__________．13. 如图，已知直线1 4360l x y --=：和直线2 1l x =：，抛物线 24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A．5B ．2C ．115D ．314. 如图，斜率为1的直线l 经过抛物线为24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．15. 如图，过抛物线28y x =-的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，若||6AF =，求BF 的长．16. 如图，已知直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD⊥AB 交AB 于点D ，若点D 的坐标为(2 1)，，求p 的值．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】知识点睛一、x轴、y轴原点2a2b2cb y x a=±a y x b=±(1)+∞， 22a b +二、x 轴y 轴2px =-2p x =2p y =-2p y =精讲精练1．（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -=2．C 3．B 4．B 5．44 6．97．D8．点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，以r 为实轴长的双曲线9．点M 的轨迹方程是221169x y -=10．不存在满足条件的直线l11．（1）2165y x =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±12．1213．B14．815．||3BF =16．54p =。

双曲线讲义

双曲线讲义课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2的等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作 ,两焦点间的距离叫作 . 集合P={M|||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a>0,c>0. (1)当时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当时,P 点不存在. 2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0); (2)中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a2-x 2b 2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)图形性质范围 ,y ∈R,x ∈R对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点 A 1 ,A 2 A 1 ,A 2渐近线y=y=离心率e=ca ,e ∈a ,b ,c 的关系c 2= (c>a>0,c>b>0)实、虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|= ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|= ;a 叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x 2a 2-y 2b 2=λ(λ≠0). (2)双曲线上的点P(x 0,y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,则①x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在右支上,则r 1=ex 0+a,r 2=ex 0-a;若点P 在左支上,则r 1=-ex 0-a,r 2=-ex 0+a.②y 2a2-x 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在上支上,则r 1=ey 0+a,r 2=ey 0-a;若点P 在下支上,则r 1=-ey 0-a,r 2=-ey 0+a.题组一常识题1.[教材改编] 若双曲线E :x 225-y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=4,则|PF 2|= .2.[教材改编] 已知双曲线经过点P (3,-2√7)和点Q (6√2,-7),则该双曲线的标准方程为 .3.[教材改编] 双曲线C :12x 2-3y 2=24的离心率是 ,渐近线方程是 . 题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F 1F 2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F 1(6,0),F 2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是 .6.平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是 .7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线的离心率为 .8.P 是双曲线x 216-y 281=1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且|PF 1|=9,则|PF 2|= . 探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F 1,F 2分别是双曲线C :x 29-y 27=1的左、右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且|PF 1|=8,则△PF 1F 2的周长为 ( )A.15B.16C.17D.18(2)已知双曲线C 的中点为原点O ,左焦点为F (-2√5,0),点A 为左支上一点,满足|OA |=|OF |且|AF |=4,则双曲线C 的方程为( )A.x 216-y 24=1 B.x 236-y 216=1 C.x 24-y 216=1D.x 216-y 236=1[总结反思] (1)应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;可在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用配方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.应用双曲线的定义时,若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲线的一支. (2)待定系数法求双曲线方程时,一要注意焦点位置的判断,二要注意c 2=a 2+b 2,a ,b ,c 的关系不要弄错.式题 (1)已知双曲线x 225-y 29=1上有一点M 到右焦点F 1的距离为18,则点M 到左焦点F 2的距离是 ( ) A.8 B.28 C.12D.8或28(2) 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点,∠F 1PF 2的角平分线为l ,点F 1关于l 的对称点为Q ,|F 2Q |=2,则双曲线的方程为 ( )A.x 22-y 2=1 B.x 2-y 22=1C.x 2-y 23=1D.x 23-y 2=1探究点二双曲线的几何性质考向1 已知离心率求渐近线方程2 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√62,则其渐近线方程为( ) A.y=±√2x B.y=±√22x C.y=±12x D.y=±2x[总结反思] 已知离心率求渐近线方程,即由e=ca ⇒c 2=e 2·a 2=a 2+b 2⇒e 2=1+b 2a 2,得渐近线方程为y=±√e 2-1x.考向2 已知渐近线方程求离心率3 已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√52x ,则该双曲线的离心率等于( )A.3√1414B.3√24C.32 D.43[总结反思] 已知渐近线方程为y=±kx ,若焦点位置不明确,则要分k=ba 和k=ab 两种情况讨论.已知渐近线方程为y=±b a·x ,可由c 2=a 2+b 2得c 2a2=1+b 2a2,从而求得离心率e=√1+(b a)2.考向3 由离心率研究渐近线夹角问题4 已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),当其离心率e ∈[√2,2]时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为 ( )A.[0,π6] B.[π6,π3] C.[π4,π3] D.[π3,π2][总结反思] 由离心率可得出双曲线的渐近线方程,即得出渐近线的斜率,从而可解决与渐近线夹角有关的问题.考向4 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围5 已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ,若∠F 1MF 2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(2,+∞)B.(√2,+∞)C.(1,2)D.(1,√2)[总结反思] 解决此类问题可通过联立方程组求得直线与双曲线的渐近线的交点,把条件转化为一个关于b a的不等式,再利用a 2+b 2=c 2,转化为关于ca的不等式,即得离心率的取值范围.强化演练1.【考向1】若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A.y=±√2x B.y=±2x C.y=±12x D.y=±√22x2.【考向2】已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x ,则双曲线C 的离心率为( )A.√72B.53C.√73D.543.【考向2】已知双曲线C :x 2-y 2b 2=1(b>0) 的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线C 的离心率为( ) A.√2B.√3C.2D.2√24.【考向3】已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33,则双曲线的两条渐近线的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π25.【考向4】过双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,与双曲线的两条渐近线交于C ,D 两点,若|AB|≥35|CD|,则双曲线离心率的取值范围为 ( ) A.[53,+∞)B.[54,+∞)C.(1,53]D.(1,54]探究点三直线与双曲线的位置关系6 已知双曲线C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上,离心率e=√52,虚轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程;(2)若直线l :y=kx+m 与曲线C 相交于A ,B 两点(A ,B 均异于左、右顶点),且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,求证:直线 l 过定点.[总结反思] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程与双曲线方程联立,消元得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线某支相交于一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.对于中点弦问题常用“点差法”,但需要检验.课时作业一、填空题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．3．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________．4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．6．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．9．双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．10．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．11．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．二、解答题12．已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐进线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．13．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．。

高中数学基础讲义15双曲线-简单难度-讲义

双曲线知识讲解一、双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．依定义，设P 是双曲线上一点，则有122PF PF a -=且22a c <2.双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -，，(0)c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+；二、双曲线的几何性质1.范围：x a ≥或x a -≤；如图．2.对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．3.顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．4.实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴．5.渐近线：直线b y x a=±；6.离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，1e >．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．典型例题一．选择题（共15小题）1．（2018•浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．2．（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±xC．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．3．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．2【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得=，即：，解得a=b，双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．故选：D．4．（2018•麻城市校级模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（）A．B．3C．2 D．1【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则e==3，即c=3a，设焦点为（c，0），渐近线方程为y=x，焦点到渐近线的距离为，则d==b=，又b2=c2﹣a2=2，解得a=，c=．则双曲线的焦距为3．故选：B．5．（2018•新课标Ⅲ）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，∵|PF1|=|OP|，∴|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即a=c，∴e==，故选：C．6．（2018•葫芦岛一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．D．C．【解答】解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．∵线段AB的长度恰等于焦距，∴，∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．7．（2018•临沂三模）已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．B．D．x2﹣y2=1C．【解答】解：双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，可得一条渐近线方程y=x，且一个焦点为（﹣2，0），即有=1，c=2，又c2=a2+b2，解得a=b=，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．8．（2018•海南三模）若双曲线（a＞0）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A．2 B．4C．18 D．36【解答】解：∵双曲线（a＞0）的一条渐近线与直线垂直，∴双曲线的渐近线方程为3y=±ax∴，得a=9，∴2a=18．故选：C．9．（2018•潍坊三模）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x﹣y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，直线2x﹣y+1=0的斜率为：2，由于一条渐近线与直线2x﹣y+1=0垂直，则﹣=，即有b=2a，c==a，则离心率为e==．故选：D．10．（2018•民乐县校级模拟）过双曲线﹣=1的右焦点F作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为8，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2xC．y=±x D．y=±2x【解答】解：由右焦点F（c，0），∴﹣﹣=1，∴y=±，∴|AB|=，∵△AOB的面积为8，∴××=8，解得m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：C．11．（2018•南平二模）已知双曲线（m＞0）的焦点在圆x2+y2=25上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=B．y=y=D．y=C．【解答】解：由x2+y2=25，取y=0，可得x=±5，∴双曲线（m＞0）的焦点坐标为（﹣5，0），（5，0）．由c2=25=a2+b2=16+m，得m=9．∴双曲线（m＞0）的实半轴长为4，虚半轴长为3．∴渐近线方程为y=．故选：C．12．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．4【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|==3．故选：B．13．（2017秋•黄陵县校级期末）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线C．双曲线左支D．双曲线右支【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|=4=2aa=2而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点c=2而在双曲线中c＞a所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选：A．14．（2017•肇庆三模）已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：连接ON，由题意可得ON=1，且N为MF1的中点∴MF2=2∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PM=PF1∴|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2＜F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线故选：B．15．（2017秋•梅河口市校级月考）已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P 满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线【解答】解：当a=3时，根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线，|PF1|＞|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支．当a=5时，方程y2=0，可知其轨迹与x轴重合，舍去在x轴负半轴上的一段，又因为|PF1|﹣|PF2|=2a，说明|PF1|＞|PF2|所以应该是起点为（5，0），与x轴重合向x轴正方向延伸的射线，故选：D．二．解答题（共4小题）16．求离心率为且经过点（3，1）的双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，即a=b设双曲线的方程为x2﹣y2=λ将点（3，1）代入得λ=8，∴双曲线的方程为x2﹣y2=8，故双曲线的标准方程为．17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8；（3）离心率e=，经过点M（﹣5，3）．【解答】解：（1）根据题意，要求双曲线的实轴长是10，虚轴长是8；即2a=10，2b=8，则有a=5，b=4，又由双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为：﹣=1；（2）根据题意，要求双曲线的实轴长是10，虚轴长是8；即2c=10，2b=8，则c=5，b=4，则a==3，又由双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为﹣=1；（3）根据题意，要求双曲线的离心率e=，即=，则有c=a，则b==a，该双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2﹣y2=t，又由双曲线经过点（﹣5，3），则有25﹣9=t，则t=16，则双曲线的标准方程为：﹣=1．18．已知﹣=﹣1，当k为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在x轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线．【解答】解：（1）方程表示双曲线，则（k﹣1）（|k|﹣3）＜0，可得k＜﹣3或1＜k＜3；（2）焦点在x轴上的双曲线，则，∴1＜k＜3；（3）焦点在y轴上的双曲线，则，∴k＜﹣3．19．（2012秋•睢宁县校级月考）已知动圆M与圆F：x2+（y﹣2）2=1外切，与圆N：x2+y2+4y﹣77=0内切，求动圆圆心M所在的曲线C的方程．【解答】解：∵圆F：x2+（y﹣2）2=1的圆心为（0，2），半径为1，圆N：x2+y2+4y﹣77=0内的圆心为（0，﹣2），半径为9．又动圆M与圆F：x2+（y﹣2）2=1外切，与圆N：x2+y2+4y﹣77=0内切，设动圆圆心为（x，y）．∴整理得25x2+21y2=525∴动圆圆心M所在的曲线C的方程为25x2+21y2=525．。

9.4双曲线讲义(含解析)

9.6双曲线讲义1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．|MF 1|－|MF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0. 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a题型一双曲线的定义及标准方程例1 （2016年天津高考文）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x（C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x 【答案】A（1）(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.答案 D（2）2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析 (2)双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以－2c ＋10＝0.所以c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案 A题型二双曲线的几何性质例2 (1)（2016年全国II 高考理）圆已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E 的离心率为（）（A（B ）（C （D ）2【答案】A(2)（2016年山东高考文）已知双曲线E ：–=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．【答案】(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB→＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 (1)C (2)C解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)如图，∵FB →＝2F A →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba ＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2.题型三直线与双曲线的位置关系例3 (2015·江苏，理12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y12,F F 2222:1x y E a b-=M E 1MF x211sin 3MF F ∠=3222x a22y b 2＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.答案 22思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则kA 2C ＝b 2ac ＋a，kA 1B ＝b 2aa －c ，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2a c ＋a ·b 2a a －c ＝－1， ∴b 4a 2c 2－a 2＝1， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.答案 C。

高中数学双曲线讲义

第八讲圆锥曲线（双曲线）一．定义及标准方程平面内与两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

符号表示：|)|2(2||||||2121F F a a MF MF <=-1.求双曲线的标准方程（1）.定义法：根据定义确定22,b a 的值，再根据焦点的位置写出标准方程。

（2）.待定系数法：1）已知a=b 可设λ=-22y x2 )已知渐近线λ=-=±22220ny m x n y m x 可设为3 ）已知过两点可设双曲线方程为122=-By Ax例1.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________. 例2 动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹是 ( )A 圆B 椭圆C 双曲线D 双曲线的一支例3.已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.例4.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.例5.已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，它的一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为_________________.例 6.设中心在原点的双曲线与椭圆1222=+y x 有公共焦点，且他们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为__________________________.二．简单几何性质：三．两类双曲线 1.等轴双曲线双曲线方程：222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率2=e2.共轭双曲线双曲线方程为：1122222222=-=-a x b y b y a x 与它们有共同的渐近线x ab y ±=，他们的离心率满足1112221=+e e3.关于双曲线的渐近线：（1）.已知双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 求渐近线，可令02222=-by a x 即x a b y b y a x ±==±或0（2）.与)0,(12222>=-b a b y a x 共渐近线的双曲线可设为)0(2222≠=-λλby a x【典例分析】例1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x例2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =1例3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.例4.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于（） A.1或5 B.6C.7D.9例5.（2003年上海）给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________________.例6.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.例7.（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

双曲线的几何性质课件

焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，记为2c。
性质
焦距是双曲线几何量中最基本的量之一，它决定了双曲线的形状和大小。
计算
焦距2c可以通过半长轴a和半短轴b 计算得出，c = sqrt(a^2 + b^2)。
焦点距离公式
定义
焦点距离公式是指双曲线上的任意一点P到两个焦点的距离之差
的绝对值等于常数2a。
离心率的计算公式
离心率 = 根号下(分母的平方 - 分子) / 分母。
离心率的物理意义
离心率越大，双曲线开口越大，反之则越小。
离心率与双曲线的关系
当离心率大于1时，双曲线的开口方向为水平方向；当离心率小于1时，双曲线的开口方向为垂直方向。
离心率的大小决定了双曲线的形状和开口大小，是双曲线几何性质中非常重要的一个参数。
实轴与虚轴
总结词
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，虚轴是双曲线与y轴的交点形成的线段。
详细描述
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，长度为 $2a$。虚轴是双曲线与y轴的交点形成的线段，长度为 $2b$。
渐近线
总结词
双曲线有两条渐近线，它们是连接顶点和原点的线段。
详细描述
双曲线的渐近线方程是 $y = pm frac{b}{a} x$。这些线是连接顶点和原点的线段，随着x的增大或减小，双曲线会逐渐接近这些线，但永远不会与其相交。
离心率的变化范围
对于给定的双曲线，离心率有一个变化范围。这个范围取决于双
曲线的标准方程和焦点位置。
在标准方程下，离心率的变化范围是大于0小于等于根号下2。
当离心率等于根号下2时，双曲线成为一条直线；当离心率等于 0时，双曲线成为以原点为中心

双曲线典型例题讲义

直线与双曲线一、知识梳理1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；⑵与两定点F i, F2的距离的差的绝对值等于常数; （3）常数小于|F I F2|.2.双曲线的标准方程和几何性质二、典型例题：例1 •双曲线y2—x2= 2的渐近线方程是（）A . y= ±x B. y=± 2x C. y=±. 3x D. y= ±2x3例2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3,0）, c/a等于；，则C的方程是（）^x 2 y 2 d C2 - 5 = 12 2例3•斜率为2的直线I 过双曲线拿一汁1(a >0, b >0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的c/a 的取值范围是 () A •(―汽 2)B • (1 , .3)C . (1 ,5) D • (.5,+^)例4•已知双曲线x 2— y5 = 1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a 等于(例5.双曲线mx 2+ y 2= 1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m = 例6.已知中心在原点的双曲线C ,过点P(2,3)且c/a 为2，则双曲线C 的标准方程为PF 1F 2的最小内角为30 °贝U C 的c/a 为 _________ •例&已知椭圆D : X+ £ = 1与圆M : x 2 + (y — 5)2= 9,双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线 50 25 恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程.、/ v 2例9.过双曲线3 — 6 =1的右焦点F 2,倾斜角为30。

的直线交双曲线于 A , B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦占八、、八\、♦(1)求|AB|; (2)求厶AOB 的面积.例10.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，c/a 为，2,且过点P(4, — 10).A. 3 ,'14 14D.3例7•设F 1, F 2是双曲线 P 是C 上一点.若|PF 11+ |PF 2|= 6玄，且厶C :=1(a >0, b >0)的两个焦点,（1）求双曲线方程；（2）若点M （3, m ）在双曲线上，求证： MF i MF 2= 0;⑶求厶F 1MF 2的面积.11、已知曲线C 的方程为（1）若曲线C 为椭圆，则m 的取值范围为 ____________________ ；（2） ________________________________________________________ 若曲线C 为双曲线，贝U m 的取值范围为2 212、直线丨：y k x 2与双曲线C : -— 1交于A 、B 两点，若 AB 6. 2，求k 的取值范围。

第八章 §8.6 双曲线-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§8.6双曲线课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：(1)若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca ∈(1，＋∞)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.4．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)2．(选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是()A ．－1<k <5B ．k >5C ．k <－1D ．k ≠－1或5答案C解析若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，＋1<0，－k >0，解得k <－1.3．(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y 2－16x 2＝144的渐近线方程是________．答案y ＝±43x解析依题意知，双曲线y216－x29＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±4 3 x.4．(选择性必修第一册P127T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义例1(1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是()A．一个点B．直线C．椭圆D．双曲线答案ACD解析分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝23.圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点和相应一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹：(1)当0<e <1时，轨迹为椭圆．(2)当e >1时，轨迹为双曲线．①定点为焦点，定直线l 叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．②焦点在x 轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x ＝±a 2c .典例(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为4，P 为椭圆上任一点，若P 到点(2,0)的距离与到直线x ＝a 22的距离之比为12，则椭圆方程为___________________．答案x 216＋y 212＝1解析依题意，右焦点F 2(2,0)，右准线x ＝a 22，由椭圆第二定义知c a ＝12，∵c ＝2，故a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F 2，M 是双曲线右支上一点，定点A (9,2)，则|MA |＋35|MF 2|的最小值为________．答案365解析设M 到直线x ＝a 2c ＝95的距离为d ，由双曲线第二定义知，|MF 2|d ＝e ＝53，∴d ＝35|MF 2|，∴|MA |＋35|MF 2|＝|MA |＋d ，如图，可知(|MA |＋d )min ＝x A －95＝9－95＝365.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y28＝1B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案C解析设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以动圆圆心M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，解得a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 22＝1的左、右焦点，P 是C 的右支上一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为()A ．16B ．18C ．8＋42D ．9＋1522答案A解析因为F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 22＝1的左、右焦点，P 是C 的右支上的一点，所以|PF 1|＝|PF 2|＋4，所以|PF 1|2|PF 2|＝(|PF 2|＋4)2|PF 2|＝|PF 2|2＋8|PF 2|＋16|PF 2|＝|PF 2|＋16|PF 2|＋8≥216＋8＝16，当且仅当|PF 2|＝16|PF 2|，即|PF 2|＝4时，等号成立．因为c ＝a 2＋b 2＝6，所以c －a ＝6－2<4，所以|PF 2|＝4成立，|PF 1|2|PF 2|的最小值为16.题型二双曲线的标准方程例2(1)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1答案C解析椭圆C 的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的定义可得2a ＝|12＋(3＋2)2－12＋(3－2)2|＝(6＋2)－(6－2)＝22，∴a ＝2，∵c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝2，因此双曲线的方程为y 22－x 22＝1.(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，P 为C 上一点，PF 1的中点为Q ，△PF 2Q 为等边三角形，则双曲线C 的方程为()A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1C.2x 23－2y 23＝1D ．3x 2－3y 28＝1答案A解析由题可知双曲线的焦距为2c ＝23，即c ＝ 3.因为PF 1的中点为Q ，△PF 2Q 为等边三角形，所以|F 1Q |＝|F 2Q |＝|F 2P |＝|PQ |，所以∠PF 2Q ＝60°，∠F 1F 2Q ＝30°，故PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝|F 1F 2|tan 60°＝2c3，|PF 1|＝2|PF 2|＝4c 3，所以|PF 1|－|PF 2|＝4c 3－2c 3＝2c3＝2a ，所以ca ＝3，所以a ＝1，b ＝ 2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2(1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.x 216－y 29＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1答案D解析由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，4，－32b 2＝1，＝2，＝3，故该双曲线的标准方程是x 24－y 23＝1.(2)(2023·内江模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点F 1作直线F 1P 与圆x 2＋y 2＝a 2切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足OE →＝12(OP →＋OF 1→)，|OE →|＝2，则双曲线的方程为________．答案x 22－y 28＝1解析依题意作图，如图所示，由条件OE →＝12(OP →＋OF 1—→)知，E 是PF 1的中点，并且OE ⊥PF 1，∴△OPF 1是等腰三角形，|OP |＝|OF 1|＝c ，又|OF 2|＝c ，∴△F 1PF 2的外接圆是以O 为圆心，|OF 1|＝c 为半径的圆，∴F 1P ⊥PF 2，由|OE |＝2知a ＝2，a 2＝2，在Rt △OEF 1中，|EF 1|＝|OF 1|2－|OE |2＝c 2－2，|PF 1|＝2|EF 1|＝2c 2－2，|PF 2|＝2|OE |＝22，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝42，即2c 2－2＝42，c 2＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线的方程为x 22－y 28＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线的方程是________．答案4x 2－y 2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x 轴上，则可设x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则1a 2－3b 2＝1且b a ＝2，联立解得a ＝12，b ＝1，则双曲线的方程为4x 2－y 2＝1；②若双曲线的焦点在y 轴上，则可设y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则3a 2－1b 2＝1，且ab ＝2，此时无解．综上，双曲线的方程为4x 2－y 2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.(2)(2023·渭南统考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△AF 1F 2的面积为12bc ，则双曲线C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析由题意知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，如图，由双曲线的对称性，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则|F 2A |＝|bc |b 2＋a 2＝b ，所以|OA |＝|OF 2|2－|F 2A |2＝c 2－b 2＝a ，所以2AOF S △＝12ab ，因为△AF 1F 2的面积为12bc ，12AF F S △＝22AOF S △，所以12bc ＝2×12ab ，即c ＝2a ，所以a 2＋b 2＝4a 2，即b 2a 2＝3，故ba＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝y ＝±ba x (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2离心率例4(1)(2023·郑州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为π3，则此双曲线的离心率e 为()A ．2或233B.233C.3D.3或2答案A 解析由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，而两条渐近线的夹角为π3，故y ＝b a x 的倾斜角为π3或π6，故b a ＝33或3，e ＝233或2.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D ，且|DF 2|＝22|OD |，则C 的离心率为()A.2B ．2 C.5D ．3答案C解析如图所示，双曲线C 的左焦点F 1(－c ,0)，|DF 1|＝b ，由勾股定理得|OD |＝a ，在Rt △DOF 1中，∠ODF 1＝π2，∴cos ∠DOF 1＝|OD ||OF 1|＝ac，在△DOF 2中，|OD |＝a ，|DF 2|＝22a ，|OF 2|＝c ，cos ∠DOF 2＝cos(π－∠DOF 1)＝－cos ∠DOF 1＝－ac，由余弦定理的推论得cos ∠DOF 2＝|OD |2＋|OF 2|2－|DF 2|22|OD |·|OF 2|＝a 2＋c 2－8a 22ac ＝－ac ，化简得c 2＝5a 2，即c ＝5a ，因此双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 5.思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1交于A ，B 两点，则|AB |等于()A.55B.255C.355D.455答案D解析由题知e ＝5，则c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y ＝2x ，即2x －y ＝0，则圆心(2,3)到渐近线的距离d ＝|2×2－3|22＋1＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455(2)(2024·海口模拟)设双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为e ，直线l 过点(0，b )和双曲线E 的一个焦点，若直线l 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则e 2＝________.答案3＋52解析因为直线l 过点(0，b )和双曲线E 的右焦点F (c ,0)，设直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，由直线l 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，可得|－bc |b 2＋c2＝a ，整理得b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，又b 2＝c 2－a 2，所以(c 2－a 2)c 2＝a 2(2c 2－a 2)，即c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，所以－＋1＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52或e 2＝3－52，又e >1，所以e 2>1，所以e 2＝3＋52.课时精练一、单项选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1答案D解析设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案A解析由题意，该双曲线的离心率e ＝1＋b 2a 2＝5，则ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±2x .3．若双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为圆x 2＋y 2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF 1F 2的面积为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析由题意得a ＝3，b ＝1，c ＝3＋1＝2，所以线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝4的直径，因此PF 1⊥PF 2，1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16，PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，所以|PF 1||PF 2|＝2，12PF F S △＝12|PF 1||PF 2|＝1.4．(2024·安阳模拟)以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心作圆，与C 的一条渐近线相切于点C 的焦距为()A ．4B ．25C ．6D ．8答案C解析由题意设F (c ,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，则b a ＝52.又k FQ ×b a ＝25343－c ×ba＝－1，联立解得c ＝3，即2c ＝6.5．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－3,0)，B (3,0)，其内切圆圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程为()A.x 24－y 25＝1(x >2)B.x 29－y 25＝1(x >3)C.x 29＋y 25＝1(0<x <2)D.x 29＋y 24＝1(0<x <3)答案A解析如图，设△ABC 的边AC ，AB ，BC 与内切圆的切点分别为D ，E ，F ，则有|AD |＝|AE |＝5，|BF |＝|BE |＝1，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5，所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1作直线交双曲线C 的两条渐近线于点A ，B ，连接F 2B ，满足F 1A —→＝AB →，F 1B —→·F 2B —→＝0，则双曲线的离心率为()A.2＋12 B.2C ．2D.3答案C解析设点B 位于第一象限，如图所示，因为F 1A —→＝AB →，则A 为线段F 1B 的中点，又因为O 为F 1F 2的中点，则OA ∥F 2B ，因为F 1B —→·F 2B —→＝0，则F 1B ⊥F 2B ，所以OA ⊥BF 1，所以|OB |＝|OF 1|，则∠AOF 1＝∠AOB ，又因为∠AOF 1＝∠BOF 2，所以∠AOF 1＋∠AOB ＋∠BOF 2＝3∠BOF 2＝π，可得∠BOF 2＝π3，易知直线OB 的方程为y ＝b a x ，则b a ＝tan π3＝3，因此该双曲线的离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝2.二、多项选择题7．(2023·江门模拟)已知曲线C ：x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是()A ．若曲线C 表示两条平行线，则α＝0B ．若曲线C 表示双曲线，则π2<α<πC ．若0<α<π2，则曲线C 表示椭圆D ．若0<α<π4，则曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆答案BD解析若曲线C 表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π.若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C 的方程为y 2＝1，可得y ＝－1或y ＝1，符合题意，若cos α＝0，则α＝π2，此时曲线C 的方程为x 2＝1，可得x ＝－1或x ＝1，符合题意，故A 错；若曲线C 表示双曲线，则sin αcos α<0，由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，可得cos α<0，则π2<α<π，故B 对；若曲线Cα>0，α>0，≤α<π，α≠cos α，解得0<α<π2且α≠π4，故C 错；若0<α<π4，则0<sin α<cos α，则1sin α>1cos α>0，曲线C 的方程可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，此时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，故D 对．8．(2023·重庆模拟)已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作x 轴的垂线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 1为直角三角形，则()A ．b ＝2＋22B ．双曲线的离心率为2＋1C ．双曲线的焦距为25D ．△ABF 1的面积为12＋82答案BD 解析如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.解得m＝2＋22，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋22，所以△ABF1的面积为12|AF1|·|BF1|＝12×(4＋22)2＝12＋82，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋22，故C不正确；由x2－y2b2＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋2，所以b2＝(1＋2)2－1＝2＋22，故A不正确；e＝ca＝1＋2，故B正确．三、填空题9．(2023·唐山模拟)已知直线l：3x－y－23＝0过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．答案2解析直线3x－y－23＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为3a2＋b2＝22，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以双曲线的实轴长为2a＝2.10．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________________．答案x220－y25＝1或y25－x220＝1解析依题意，2c ＝10，∴c ＝5，若双曲线的焦点在x ＝12，＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1.若双曲线的焦点在y ＝12，＋b 2＝25，解得b 2＝20，a 2＝5，双曲线的标准方程为y 25－x 220＝1.综上，该双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB ＝BC ＝CD ＝2，设AD 所在直线为x 轴，则双曲线的标准方程为________．答案x 2－y 297＝1解析设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图，因为AB ＝BC ＝CD ＝2，易知a ＝1，又坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 得到92－92b 2＝1，整理得b 2＝97，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 297＝1.12．(2023·上饶模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B (0，b )，直线F 1B 与双曲线的渐近线在第一象限交于点A ，若|F 2A |＝|F 1F 2|，则双曲线的离心率为________．答案22＋1解析因为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，B (0，b )，所以直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，＝bc x ＋b ，＝b ax ，＝ac c －a ，＝bc c －a，所以又因为|F 2A |＝|F 1F 2|，所以＝4c 2，整理得2c 2－4ac ＋a 2＝0，即2e 2－4e ＋1＝0，解得e ＝22＋1或e ＝1－22(舍去)．四、解答题13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线y 24－x 22＝1有相同的渐近线，且经过点M (2，－2)．(1)求双曲线C 的方程；(2)求双曲线C 的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．解(1)在双曲线y 24－x 22＝1中，a ′＝2，b ′＝2，则渐近线方程为y ＝±a ′b ′x ＝±2x ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线y 24－x 22＝1有相同的渐近线，∴ba ＝2，∴方程可化为x 2a 2－y 22a2＝1，又双曲线C 经过点M (2，－2)，代入方程得2a 2－22a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝2，∴双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1，∵a ＝1，b ＝2，c ＝3，∴实轴长2a ＝2，离心率为e ＝ca＝3，设双曲线C 的一个焦点为(－3，0)，一条渐近线方程为y ＝2x ，∴焦点到渐近线的距离d ＝|－3×2|2＋1＝ 2.14．已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1—→·PP 2—→的值．解(1)在Rt △MF 1F 2中，因为∠MF 1F 2＝30°，所以tan ∠MF 1F 2＝|MF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝33，又a ＝1，a 2＋b 2＝c 2，联立解得c ＝3，b ＝2，所以双曲线C 的方程是x 2－y 22＝1.(2)设P (x 0，y 0)是双曲线C 上任意一点，故有2x 20－y 20＝2，两条渐近线方程为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0，设l 1：2x －y ＝0的倾斜角为α，故tan α＝2，设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，所以cos θ＝cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－13，于是有cos 〈PP 1—→，PP 2—→〉＝－cos θ＝13.因为P 到双曲线两条渐近线的距离为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3，所以PP 1—→·PP 2—→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3·cos 〈PP 1—→，PP 2—→〉＝|2x 20－y 20|3·13＝29.15．(2023·咸阳模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作F 1F 2的垂线，交双曲线于A ，B 两点，D 是双曲线的右顶点，连接AD ，BD 并延长，分别交y 轴于点M ，N .若点P (－3a ,0)在以MN 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_______．答案2解析由c 2a 2－y2b 2＝1得y 2＝b ＝b 4a2，即y ＝±b 2a，不妨设D (a ,0)，所以直线AD 的方程为y －0＝b 2a c －a (x －a )，y ＝b 2a (c －a )(x －a )，令x ＝0得y ＝b 2a －c，则同理可求得所以以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2，将P (－3a ,0)代入上式得9a 2＝b 4(c －a )2＝(c 2－a 2)2(c －a )2＝(c ＋a )2(c －a )2(c －a )2＝(c ＋a )2，即c 2＋2ac －8a 2＝0，即(c －2a )(c ＋4a )＝0，则c ＝2a ，即离心率为ca＝2.16．(2023·安庆模拟)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过x 轴上方的焦点F 1的直线与双曲线上支交于M ，N 两点，以NF 2为直径的圆经过点M ，若|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________．答案y ＝±63x 解析如图所示，由双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|，|NF 2|＝2a ＋|NF 1|，所以|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＋|MF 1|＋|NF 1|＝4a ＋|MN |.因为|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，所以|MF 2|＋|NF 2|＝2|MN |，即4a ＋|MN |＝2|MN |，|MN |＝4a .令|MF 1|＝x ，在△MNF 2中，MF 2⊥MN ，所以|MF 2|2＋|MN |2＝|NF 2|2，即(2a ＋x )2＋(4a )2＝(6a －x )2，解得x ＝a ，即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a ，又在Rt △F 1MF 2中，a 2＋(3a )2＝(2c )2，2c 2＝5a 2，又c 2＝a 2＋b 2，所以2b 2＝3a 2，即a b ＝63，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±63x .。

解析几何双曲线课件文

双曲线的焦点与准线
总结词
双曲线的焦点和准线是双曲线几何性质的另一个重要方面。
ห้องสมุดไป่ตู้
详细描述
双曲线的焦点位于x轴上，坐标为(-c,0)和(c,0)，其中c是焦点到中心的距离。准线是与双曲线相切的直线，其方程为 x=±a'，其中a'是顶点到中心的距离。
双曲线的渐近线
总结词
双曲线的渐近线是双曲线几何性质的又一重要方面。
顶点与焦点的关系
双曲线的顶点和焦点到原点的距离相等，即满足椭圆的性质
双曲线与坐标轴的关系
双曲线永远与坐标轴保持等距离，即满足等腰梯形的性质
04
CATALOGUE
双曲线与直线的交点问题
直线与双曲线的交点求解
联立方程法
将直线与双曲线的方程联立，解出交点的坐标。
代数法
利用方程组的解的判定定理，判断两个方程是否有解，从而确定直线与双曲线的交点。
通过交点可以进一步研究直线的性质和双曲线的性质，比如斜率、截距等。
在数学中，交点是研究两个曲线关系的重要工具，可以用于解决一些复杂的几何问题。
05
CATALOGUE
双曲线在实际生活中的应用
双曲线在光学中的应用
反射双曲线
在光学中，双曲线被用来描述光线反射的规律。例如，在凹面镜和凸面镜的反射中，光线的反射路径形成双曲线形状。
定义2
如果动点P到定点F的距离不大于它到定直线l的距离，则称点P的轨迹为双曲线。
双曲线的标准方程
标准方程
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
焦点位置
在x轴上的焦点位置为 (±c,0)，其中c = sqrt(a^2 + b^2)

双曲线及其标准方程概要课件

双曲线及其标准方程概要课件
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的焦点与离心率 • 双曲线的渐近线与切线 • 双曲线的实际应用
01
双曲线的定义与性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线，也可以由两定点和固定距离的点的轨迹形成。
详细描述
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线，其形状取决于平面的位置和双曲面的形状。双曲线有两个分支，分别位于两个不同的平面上。双曲线也可以由两个定点和固定距离的点的轨迹形成，其中固定距离称为焦距。
双曲线的焦点与离心率的关系
01
02
03
关系
推导
应用
04
双曲线的渐近线与切线
双曲线的渐近线
定义
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但永不相交的直线。
几何意义
渐近线反映了双曲线的弯曲程度和方向。
计算方法
对于标准方程$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，渐近线方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 0$。
双曲线的切线
定义
计算方法
几何意义
渐近线与切线的几何意义
相互关系应用
05
双曲线的实际应用
双曲线在天文学中的应用
星体轨道计算
01
哈勃定律
02
宇宙膨胀理论
03
双曲线在物理学中的应用
声学波动波动光学量子力学
双曲线在其他领域的应用
经济预测
在经济领域，双曲线模型被用于预测经济趋势和周期性波动。
02
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
定义双曲线的焦点和准线