高考理科数学复习资料(北师)9.5 椭圆
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课
性
轴
长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为_2_b_
质
焦距
离心率
a，b，c的关系
|F1F2|＝_2_c_
e＝
c a
∈(0,1)
a2＝b2＋c2
知识拓展
点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔ ax202＋by202<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔ ax202＋by202＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔ ax202＋by202>1.
(5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
考点自测
1.(教材改编)椭圆 10x－2 m＋m－y2 2＝1 的焦距为4，则m等于 答案 解析
A.4
B.8
C.4或8
的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝__3__. 答案 解析
引申探究 1.在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭 圆的方程. 解答
由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a＋2c＝18， 所以a－c＝1，解得a＝5， 故椭圆方程为2x52 ＋y92＝1.
F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F
重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，
则点P的轨迹是 答案 解析 几何画板展示
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且 过点P(3,0)，则椭圆的方程为__x92_＋__y_2_＝__1_或__8y_12_＋__x9_2_＝__1__. 答案 解析
2020版高考数学总复习第九章平面解析几何第5节椭圆(第1课时)椭圆及简单几何性质课件文北师大版
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 性质
A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
解得
m－2>10－m，
6<m<10.因为焦距为 4，所以 c2＝m－2－10＋m＝4，解得 m＝8.
答案 A
角度2 椭圆的离心率
【例 3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若
解析 (1)由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA| ＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋ |CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3. (2)由椭圆的方程可知 F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1| ＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当 M，P，F2 三点共线时 取得等号，又|MF2|＝ （6－3）2＋（4－0）2＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10 ＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5. 答案 (1)C (2)－5
(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为_____________.
近年届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版(2021年整理)
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§9。
5 椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2。
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主,一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问。
1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝｛M｜|MF1｜＋｜MF2|＝2a},|F1F2|＝2c，其中a>0，c〉0，且a,c为常数：(1）若a〉c，则集合P为椭圆；（2）若a＝c，则集合P为线段;（3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和简单性质标准方程x2a2＋错误!＝1 （a〉b>0)错误!＋错误!＝1 （a〉b>0）图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1（－a,0),A2（a，0）B1(0，－b),B2（0，b)A1（0，－a)，A2(0，a)B1（－b,0），B2(b，0）轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!∈（0，1)a，b,c的关系a2＝b2＋c2知识拓展点P(x0，y0）和椭圆的位置关系（1)点P（x0,y0)在椭圆内⇔错误!＋错误!<1。
2021年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版
2021年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和简单性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形知识拓展点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 题组二 教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8. ∴m ＝4或8.3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1B.x 225＋y 220＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 答案 A解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 题组三 易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3)答案 C解析 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1.6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2 2答案 B解析 椭圆方程变形为y 21＋x 214＝1，∴椭圆长轴长2a ＝2，∴△ABF 2的周长为4a ＝4.3．(xx·承德模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72 B.32C. 3 D ．4答案 A解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，±12，∴|PF 1→|＝12， ∴|PF 2→|＝4－12＝72.4．(xx·呼和浩特模拟)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案 6＋ 2 6－ 2解析 椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二 椭圆的标准方程命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)(xx·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 答案 D解析 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．命题点2 利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_________________________． 答案y 210＋x 26＝1 解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________． 答案y 220＋x 24＝1 解析 方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b2＝1， 即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 答案 x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，则A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型三 椭圆的简单性质典例 (1)(xx·安庆模拟)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是( ) A ．[0,15] B ．[5,15] C ．[5,21] D ．(5,21)答案 C解析 PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝|PN →|2－4，因为a －c ≤|PN →|≤a ＋c ，即3≤|PN →|≤5，所以PE →·PF →的取值范围是[5,21]．(2)(xx·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 由题意知，A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，即a ＝3c ，即e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆简单性质的注意点及技巧 ①注意椭圆简单性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆简单性质的技巧求解与椭圆简单性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练 (1)(xx·德阳模拟)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． 答案3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知2b 2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)(xx·长沙月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22解析 因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.② 联立①②，得35≤e <22.1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5 答案 A解析 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 2．(xx·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等答案 D解析 因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16， 所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C ．2 D.22 答案 D解析 由题意得，椭圆的右焦点F 为(c,0)，上顶点B 为(0，b )．因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过右焦点F和上顶点B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(c －1)2＋1＝2，1＋(b －1)2＝2，解得b ＝c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8，解得a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝222＝22，故选D.4．(xx·西宁模拟)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO |＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.5．(xx·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.6.(xx·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确．故选D.7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________． 答案x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，ca ＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.8．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________． 答案x 220＋y 216＝1 解析 设切点坐标为(m ，n )， 则n －1m －2·nm＝－1， 即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0， 即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.9．(xx·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________． 答案22解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故四边形ABCD 为正方形，4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22. 10．(xx·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝ x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733. 11．(xx·陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3， 所以＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0.∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2| ＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C ＝________.答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.15．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 答案 C解析 从椭圆上长轴端点P ′向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的∠AP ′B 最小． 若椭圆C 1上存在点P ，所作圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°， 即α＝∠AP ′O ≤45°，∴sin α＝ba ≤sin 45°＝22. 又b 2＝a 2－c 2，∴a 2≤2c 2，∴e 2≥12，即e ≥22.又0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 16.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解 (1)由椭圆的定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知得PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43及1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t <4，即14<1t ≤13， 进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.。
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件北师大版
B1 (0,-b) ,B2 (0,b)
B1 (-b,0) ,B2 (b,0)
性质 轴
长轴A1A2的长为 2a
,短轴B1B2的长为 2b
焦距
|F1F2|= 2c
离心率 e=
c
a
∈(0,1)
越接近于1,椭圆越扁平;
越接近于0,椭圆越接近于圆
微点拨1.椭圆的焦点F1,F2必在它的长轴上.
2.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个方程,再结合b2=a2-c2就可求得
1
叫作椭圆的 焦距
2
,焦距的一半称为半焦距.
1 2
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点P的轨迹是什么?
提示 当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,动点P的轨
迹不存在.
2.椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点跟着分母大的跑
标准方程
图形
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × )
(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
2 2
2 2
(4)椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)与椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的焦距相同.( √ )
2.椭圆的标准方程 直观想象
3.椭圆的简单几何 逻辑推理
性质
数学运算
强基础 增分策略
知识梳理
1.椭圆的定义
数学表达式:P={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
2018届高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版
关闭
答案
2.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 标准方程为( )
������2 2 A. 5 +y =1 ������2 ������2 B. 4 + 5 =1 ������2 2 ������2 C. +y =1 或 5 4
√3
������2 C: 2 ������
+
������2 ������
2 =1(a>b>0),F1,F2 分
别是其左、 右焦点,A 是椭圆上一点,������������2 ·������1 ������2 =0,直线 AF1 的斜率为
12
,长轴长为 8. ①求椭圆 C 的方程; ②直线 y=kx+2(k≠0)交椭圆 C 于不同的点 E,F,且 E,F 都在以
������ 2
������ 2 4
=1.故选 C.
解析
关闭
答案
������2 3.已知椭圆 C:������2
√3
+
������2 ������
右焦点为 2 =1(a>b>0)的左、
F1,F2,离心率为
3
,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4√3,则 C 的方 )
������ ������ √3 ,得 3
c=1,所以 b =a -c =2,则 C 的方程为
2
2
2
������ 2 3
+
������ 2 2
=1,故选 A.
关闭
A
解析 答案
������2 ������2 4.若方程 + =1 5-������ ������-3
2020版高考数学北师大版一轮复习课件：9.5 椭圆
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2018 湖南湘潭四模,9)已知 F 是椭圆 C:���9���2 + ���5���2=1 的左焦点,P
为 C 上一点,A(1,43),则|PA|+|PF|的最小值为( D )
A.130
B.131
C.4
D.133
考点1
考点2
考点3
考点4
随堂巩固
-14-
解析:
(1)∵F1,F2
随堂巩固
-3-
知识梳理 考点自诊
2.椭圆的标准方程及性质
标准方程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
y2 a2
+ bx22=1(a>b>0)
图形
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:(0,0)
性 顶点 质 焦点
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
P1( 6,1),P2( 3, 2),则椭圆的方程为
.
(3)(2018 成都二模,14)与椭圆���4���2 + ���3���2=1 有相同离心率且经过点
P(2,- 3)的椭圆方程为
.
答案: (1)���8���2 + ���6���2=1
(2)���9���2
+
������2 3
=1
(3)
������2
A.6 B.8 C.9 D.10
解析:由题意,知椭圆满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定义 可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所以 椭圆的短轴为2b=6,故选A.
2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：9-5椭圆 Word版含答案
第5讲椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质．知识梳理1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形．(2)由于e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2021·广东卷)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2 B．3 C．4 D．9解析依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.答案 B3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l 交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1解析由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝43，故a＝3，又由e＝ca＝33，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为x23＋y22＝1，故选A.答案 A4．(2022·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D.34解析 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12，故选B.答案 B5．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又由于点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，依据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．故选A. (2)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43b 2×32＝ 33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)A (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等． (2)椭圆的定义式必需满足2a ＞|F 1F 2|.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D. 3(2)(2021·南昌调研)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1 考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后依据条件建立关于a ，b 的方程组，假如焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可．【训练2】 (1)(2021·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案 (1)A (2)x 24＋y 23＝1 考点三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2022·全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)(2021·福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝ma ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 (1)A (2)A规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】 (1)(2022·合肥模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)由于|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b ＞c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2022·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． (1)证明 由于|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．规律方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题经常用“点差法”解决，往往会更简洁．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 提示 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的状况下进行的，不要忽视判别式． 【训练4】 (2021·沈阳质量监测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)． 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意． 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0， 解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1，∴λ＝3＋52.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、把握定义是关键，应留意定义中的常数大于|F 1F 2|，避开了动点轨迹是线段或不存在的状况．2．求椭圆的标准方程，常接受“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是依据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．推断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要留意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题经常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要留意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A ．5 B ．3 C ．5或3 D ．8解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 C2．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．则有⎩⎨⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案 B3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.答案 D4．(2021·全国Ⅰ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案 B5．(2022·江西师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( ) A.32 B.233 C.932 D.2327解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233，故选B. 答案 B 二、填空题6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________． 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎨⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x29＝1. 答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝17．(2021·南昌质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)8．(2021·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)依据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝2 7.10．(2021·宝鸡月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，ca ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .由于AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92. 力量提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2022·高安模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12 B.3－12 C.32 D.3－1解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1，故选D.答案 D12．(2021·海沧试验中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，455 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455， 解得d 2≤165.又由于d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255.故选B. 答案 B13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 14．(2021·西安质监)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解 (1)由题意得c ＝3，依据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y216＝1.(2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2相互平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，由于F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，∴e ＝32.法二 设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2相互平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9， 解得a 2＝12，故e ＝32.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14. 即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 故直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第5节 椭圆
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆
在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆
的过程,掌握椭圆的定义、标准方
程及简单几何性质.
3.通过椭圆的学习,进一步体会数
形结合的思想.
4.了解椭圆的简单的应用.
衍生考点
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
1
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|= .
2
又2 =
把点 B
||
|2 |
=
1
1 =b,∴|BP|= b.∴点
2
||
2
2
坐标代入椭圆方程 2
又 c=1,故 b2=2.
2
所以椭圆方程为
3
+
2
=1.
2
+
2
=1
因为椭圆经过P1,P2两点,所以点P1,P2的坐标满足椭圆方程,
则
6 + = 1,①
解得
3 + 2 = 1,②
2
所以所求椭圆的方程为
9
1
= ,
9
1
= 3.
核心素养
1.椭圆的定义及应用
1.直观想象
2.椭圆的标准方程及应用 2.逻辑推理
3.椭圆的几何性质及应用 3.数学运算
强基础 增分策略
常数通常用2a表示
1.椭圆的定义
(1)文字语言:平面内到两定点F1,F2的距离之和 等于
常数(大于|F1F2|)
2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习学案：9.5 椭圆含解析
9.5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若ac,则点M的轨迹为椭圆;(2)若ac,则点M的轨迹为线段;(3)若ac,则点M不存在.2.(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆. () (2)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆.() (3)关于x ,y 的方程mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n )表示的曲线是椭圆. () (4)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)与椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a>b>0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P 与两个焦点F 1,F 2构成△PF 1F 2的周长为2a+2c (其中a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距). ()2.设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|=3,则点P 与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点,若△AF 1B 的周长为4√3,则椭圆C 的方程为()C.x 212+y28=1 D.x212+y24=14.“0<m<2”是“方程x 2m +y22-m=1表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).5.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x 225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x 24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A.12B.√22C.√5-12D.√32?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)过椭圆x 225+y216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)已知点P(x,y)在椭圆x 236+y2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.考点椭圆的标准方程及应用【例2】(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x 24+y23=1 B.x26+y25=1(2)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x 2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x 2a2 +y2 b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x 25+y210=1 B.x210+y215=1C.x 215+y210=1 D.x225+y210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-√2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C1的标准方程为.(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√22,则椭圆E的方程为.考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:4x-3y=0与椭圆相交于A,B两点.若|AF|+|BF|=6,点P到直线l的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为()A.(0,95] B.(0,√32] C.(0,√53] D.(13,√32] (2)设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线x=2a 上一点,△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,且直线PF 1的斜率为13,则椭圆E 的离心率为()A.1013 B.58 C.35D.23(3)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2c ,若椭圆上存在点M使得在△MF 1F 2中,sin∠MF 1F 2a =sin∠MF 2F 1c,则该椭圆离心率的取值范围为() A.(0,√2-1) B.(√22,1)C.(0,√22)D.(√2-1,1)?解题心得求离心率常见的三种方法 ①求出a ,c ,代入公式e=ca ;②由a 与b 的关系求离心率,利用变形公式e=√c 2a 2=√a 2-b2a 2=√1-b 2a2求解;③只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,则m 等于()A.5B.6C.9D.10(2)设F 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点,A是椭圆E 的左顶点,P 为直线x=3a 2上一点,△APF 是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为()A.34B.23C.12D.13(3)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为m ,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n ,且m ≥2n ,则该椭圆的离心率的取值范围为.考点直线与椭圆的综合问题(多考向探究)考向1与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若点C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k 的值.?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式k AB ·k OM =-b 2a 2,即k AB =-b 2xa 2y 0比较方便快捷,其中点M 的坐标为(x 0,y 0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以M (-a ,b ),N (a ,b ),F 2和F 1为顶点的梯形的高为√3,面积为3√3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A ,B 为椭圆C 上的任意两点,若直线AB 与圆O :x 2+y 2=127相切,求△AOB 面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题【例5】已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P 12,12且被点P 平分的弦所在直线的方程.?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m ,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b 的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x 216+y 24=1内一点P (3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0考向3直线与椭圆的综合【例6】(2020北京,20)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)过点A (-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点B (-4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ,N ,直线MA ,NA 分别交直线x=-4于点P ,Q ,求|PB ||BQ |的值.?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=√k2+1|x1-x2|=√k2+1√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1k2|y1-y2|=√1+1k2√(y1+y2)2-4y1y2=√k2+1√Δ|a|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.1.求椭圆标准方程的两种常用方法定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.2.椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值3.直线与椭圆相交时有关弦的问题的处理方法一般是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式:一、问题的提出在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l与椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点,线段AB的中点为M(x0,y0),请抽象出弦AB的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M (x 0,y 0)是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有k AB =-b 2x0a 2y 0.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有k AB =y 1-y2x 1-x 2,{x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,两式相减,得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b2=0, 整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b2a 2,即(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-b 2a 2(x 1≠-x 2).因为M (x 0,y 0)是弦AB 的中点,所以k OM =y 0x 0=2y 02x 0=y 1+y 2x 1+x 2,所以k AB ·k OM =-b 2a 2即k AB =-b 2x0a 2y 0.当x 1=-x 2时,AB 平行于x 轴,此时x 0=0,k AB =0,k AB =-b 2x0a 2y 0也成立,综上,k AB =-b 2x0a 2y 0.二、定理的应用应用一求椭圆的基本元素 【例1】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l 交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,12),则椭圆的离心率为()A.√22B.12C.14D.√32A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵AB 的中点为M (1,12),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又A ,B 在椭圆上,∴x 12a 2+y 12b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a 2,∵k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k FP =-b c ,∴bc =2b2a 2, ∴a 2=2bc.∴a 4=4(a 2-c 2)c 2,∴c 2a 2=12,∴c a =√22.故选A..中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a ,b ,c 之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a ,b ,c 的方程.应用二求中点弦所在直线方程【例2】过椭圆x 216+y 24=1内一点M (2,1)画一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线方程为.2y-4=01)设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,1)为AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又A ,B 两点在椭圆上,则x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16,两式相减,得(x 12−x 22)+4(y 12−y 22)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-12,即k AB =-12.故所求直线方程为x+2y-4=0. (方法2)设所求直线方程为y-1=k (x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程的两个根,于是 x 1+x 2=8(2k 2-k )4k 2+1,又M 为AB的中点,所以x 1+x22=4(2k 2-k )4k 2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于弦的中点为M (2,1),则另一个交点为B (4-x ,2-y ),因为A ,B 两点在椭圆上,所以{x 2+4y 2=16,(4-x )2+4(2-y )2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A ,B 的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三求曲线轨迹方程【例3】过椭圆x 264+y 236=1上一点P (-8,0)作直线交椭圆于Q 点,则PQ 中点的轨迹方程为.+y 29=1(x ≠-8)方法1)设弦PQ 中点为M (x ,y ),弦端点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有{9x 12+16y 12=576,9x 22+16y 22=576,两式相减得9(x 12−x 22)+16(y 12−y 22)=0,又因为x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,所以9×2x (x 1-x 2)+16×2y (y 1-y 2)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-9x 16y ,而k PQ =y -0x -(-8),故-9x16y=yx+8.化简可得9x 2+72x+16y 2=0(x ≠-8).所以PQ 中点M的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).(方法2)设弦中点M (x ,y ),Q (x 1,y 1),由x=x 1-82,y=y12可得x 1=2x+8,y 1=2y ,又因为Q 在椭圆上,所以x 1264+y 1236=1,即4(x+4)264+4y 236=1,所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四求参数的范围【例4】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),A ,B是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线l 与x轴交于点P (x 0,0),求证:-a 2-b2a<x 0<a 2-b 2a.AB 的中点为M (x 1,y 1),由题设可知AB 与x 轴不垂直,∴y 1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得k AB =-b 2a 2·x 1y 1,∴k l =a 2y 1b 2x 1.∴直线l 的方程为y-y 1=a 2y 1b 2x 1(x-x 1).把(x 0,0)代入得x 1=a 2a 2-b2x 0.∵|x 1|<a ,∴-a<a 2a 2-b2x 0<a ,即-a 2-b2a<x 0<a 2-b 2a.,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.技巧一巧用平面几何性质【例1】已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,P 为椭圆C 上一动点,定点A (2,4),则|PA|-|PF|的最小值为.C 的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4, 所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P 在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|=√(2+1)2+(4-0)2=5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键.技巧二设而不求,整体代换【例2】已知椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A ,B两点.若AB 的中点坐标为M (1,-1),则椭圆E 的标准方程为()A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,x 12a 2+y 12b2=1,x 22a 2+y 22b2=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0, 所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b2a 2. 又k AB =0+13-1=12,所以b 2a 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,所以b 2=9,a 2=18. 所以椭圆E 的标准方程为x 218+y 29=1. 解题心得本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x 24+y 2=1的左顶点为A ,过点A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N 两点.(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标;(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.当直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x 2+16x+12=0,解得x 1=-2,x 2=-65.所以点M (-65,45).(2)由题意可知直线AM ,AN 的斜率存在,且不为0.设直线AM 的斜率为k (k ≠0),直线AM 的方程为y=k (x+2),直线AN 的方程为y=-1k(x+2). 由{y =k (x +2),x 24+y 2=1, 化简得(1+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-4=0, 则x A +x M =-16k21+4k2.又x A =-2, 所以x M =-x A -16k21+4k2=2-16k21+4k2=2-8k21+4k2.同理,可得x N =2k 2-8k 2+4.当x M =x N 时,2-8k21+4k2=2k 2-8k 2+4,解得k=±1.此时直线MN 的方程为x=-65,直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 当x M ≠x N 时,k ≠±1,因为点M (2-8k21+4k 2,4k1+4k 2),N2k 2-8k 2+4,-4kk 2+4,所以k MN =4k1+4k 2+4k k 2+42-8k 21+4k 2-2k 2-8k 2+4=5k4-4k2,所以直线MN 的方程为y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2.令y=0,得x=-65.所以直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 综上所述,直线MN 过x 轴上的定点(-65,0).解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C 的离心率为√32,A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF =1-√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.由已知得椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),则点A (a ,0),B (0,b ),F (c ,0),c=√a 2-b 2.由已知得e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=34,所以a 2=4b 2,即a=2b ,则c=√3b.又S △ABF =12|AF||OB|=12(a-c )b=1-√32,所以12(2b-√3b )b=1-√32,解得b=1.所以a=2,c=√3.所以椭圆C的方程为x 24+y 2=1.(2)圆O 的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,得|m |√1+k=1,故m 2=1+k 2.由{x 24+y 2=1,y =kx +m消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0.由题意可知k ≠0,所以Δ=16(4k 2-m 2+1)=48k 2>0. 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-8km 4k 2+1)2-4×4m 2-44k 2+1=√16(4k 2-m 2+1)(4k 2+1)2=√48k 2(4k 2+1)2,所以|x 1-x 2|=4√3|k |4k 2+1.所以|MN|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2·4√3|k |4k 2+1=4√3k 2(k 2+1)4k 2+1.所以△OMN 的面积S=12|MN|×1=2√3k 2(k 2+1)4k 2+1. 令t=4k 2+1,则t>1,k 2=t -14,所以S=2√3×t -14(t -14+1)t 2=√32√(t -1)(t+3)t 2=√32√t 2+2t -3t2=√32√-3t2+2t +1=32√-(1t -13)2+49.当t=3,即4k 2+1=3,即k=±√22时,S 取得最大值,最大值为32×√49=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.9.5 椭圆必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)>(2)=(3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A 由题意知,OM 是△PF 1F 2的中位线,所以|OM|=12|PF 2|,所以|PF 2|=6,所以|PF 1|=2a-|PF 2|=10-6=4.3.A 因为△AF 1B 的周长为4√3,且△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a+2a=4a ,所以4a=4√3,则a=√3,又因为ca =√33,解得c=1,所以b=√a 2-c 2=√2,故椭圆C 的方程为x 23+y 22=1. 4.必要不充分方程x 2m+y 22-m =1表示椭圆,即{m >0,2-m >0,m ≠2-m ,解得0<m<2,且m ≠1,所以“0<m<2”是“方程x 2m +y 22-m =1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x 24+y 2=1由题意,椭圆的焦距2c=2√3,所以c=√3,又离心率e=ca =√32,所以a=2,所以b=√a 2-c 2=1,所以椭圆C的方程为x 24+y 2=1.关键能力·学案突破例1(1)A(2)A(1)(1)如图,由直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线,l ⊥F 2M ,可得|PM|=|PF 2|.而在椭圆E :x 225+y 29=1中,a=5,2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PM|=|F 1M|=10.故选A.(2)因为x 24+y 2b 2=1,则a=2,由0<b<2可知,焦点在x 轴上.因为过点F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=2a+2a=4a=8, 所以|BF 2|+|AF 2|=8-|AB|, 当AB 垂直于x轴时|AB|最小,|BF 2|+|AF 2|值最大,此时|AB|=2b 2a,又a=2,所以5=8-b 2,解得b=√3,则椭圆的离心率e=c a=√1-b 2a 2=12.对点训练1(1)D(2)35(1)由椭圆的对称性可知,P ,Q 两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ 为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min =2b=8,∴△PFQ 的周长的最小值为10+8=18.故选D .(2)椭圆x 236+y 2100=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2=162,两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144.又S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2.解得cos ∠F 1PF 2=35.例2(1)C(2)x 218+y 29=1或y 218+x 29=1(3)m<-1或1<m<32(1)(方法1)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),因为A (a ,0)且线段AM 的中点为B ,所以B (a+x 02,y 02), 由B ,F ,N 三点共线,得FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,依题意,F (1,0),故FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0-1,-y 0),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+x02-1,y 02),即-(x 0+1)y02+(a+x 02-1)y 0=0,又y 0≠0,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(方法2)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),依题意,A (a ,0),因为AO 和NB 是△AMN 的中线,所以F (1,0)为△AMN 的重心,故x 0-x 0+a3=1,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C. (2)由题意知c a =√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x轴上时,设椭圆的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),则PF 的中点M 为(x 0-c 2,y 02),根据条件可得y02=x 0-c2+4,k PF =y 0x 0+c=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+y 29=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y 218+x 29=1. (3)由x 2|m |-1+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32.对点训练2(1)C(2)x 24+y 22=1 (3)x 28+y 24=1(1)椭圆3x 2+8y 2=24化为x 28+y 23=1,它的焦点为(±√5,0),可得c=√5,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),可得9a 2+4b2=1,又a 2-b 2=5,所以a=√15,b=√10,故所求的椭圆方程为x 215+y 210=1. (2)由题意可设椭圆C 1:x 2a 2+y 22=1,C 2:y 22+x 2b 2=1(a>√2,0<b<√2),由a 2-2a 2=2-b 22,得ab=2,由2√a 2-2·√2-b 2=2√2,可得(a 2-2)(2-b 2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C 1的标准方程为x 24+y 22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c ,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以c a=√22,解得a=2√2,c=2,则b 2=a 2-c 2=4, 所以椭圆E 的方程为x 28+y 24=1. 例3(1)C(2)A(3)D(1)设椭圆的左焦点为F',P 为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:由椭圆的对称性可知,A ,B 关于原点对称,则|OA|=|OB|, 又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF', 又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3,∵点P (0,b )到直线l 距离d=|-3b |5≥65,∴b ≥2,∴√a 2-c 2=√9-c 2≥2,即0<c ≤√5,∴e=ca ∈(0,√53].故选C.(2)由题意,因为△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,所以|PF 2|=|F 2F 1|. 因为P 为直线x=2a 上一点,直线PF 1的斜率为13,△PDF 2是直角三角形,所以|PD|2+|DF 2|2=|PF 2|2,即(2a+c 3)2+(2a-c )2=4c 2,可得13e 2+16e-20=0,解得e=1013或e=-2(舍去). 故选A.(3)由正弦定理,可得|MF 1|sin∠MF2F 1=|MF 2|sin∠MF1F 2,结合题意可得|MF 1|c=|MF 2|a ,所以|MF 1|c=|MF 2|a=|MF 1|+|MF 2|a+c .根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2ac a+c ,|MF 2|=2a 2a+c,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2a 2a+c<a+c ,整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.故选D. 对点训练3(1)C(2)B(3)12,1(1)由椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,可得√m -3-11+m =2,解得m=9.故选C .(2)如图,设直线x=3a2与x 轴的交点为C ,由△APF 是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c ,FC=OC-OF=3a2-c ,由题意可知∠PFC=60°,所以cos ∠PFC=FCPF =3a 2-ca+c=12,解得e=c a=23.故选B.(3)∵|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,∴|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ).∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2a|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2.∵a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2∈[b 2,a 2].∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值m=a 2. 设P (x ,y ),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x ,-y )·(c-x ,-y )=x 2+y 2-c 2=x 2+b 2a 2(a 2-x 2)-c 2=1-b2a 2x 2+b 2-c 2, ∵x ∈[-a ,a ],∴x 2∈[0,a 2],PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n=b 2-c 2.由m ≥2n ,得a 2≥2(b 2-c 2)=2(a 2-2c 2),∴a 2≤4c 2,解得e=ca ∈12,1.例4解(1)由题意,得2c=2√2,所以c=√2.又e=ca=√63,所以a=√3,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆M的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m.由{y =x +m ,x 23+y 2=1消去y ,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34,所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√6×√4-m 22,易得当m 2=0时,|AB|max =√6,故|AB|的最大值为√6.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则x 12+3y 12=3,x 22+3y 22=3.又P (-2,0),所以可设k 1=k PA =y 1x 1+2,直线PA 的方程为y=k 1(x+2).由{y =k 1(x +2),x 23+y 2=1消去y ,得(1+3k 12)x 2+12k 12x+12k 12-3=0,则x 1+x 3=-12k 121+3k 12,即x 3=-12k 121+3k 12-x 1.又k 1=y 1x1+2,代入上式可得x 3=-7x 1-124x 1+7,所以y 3=y 14x 1+7, 所以点C (-7x 1-124x 1+7,y14x 1+7). 同理可得点D (-7x 2-124x 2+7,y 24x 2+7). 故QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3+74,y 3-14),QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 4+74,y 4-14).因为Q ,C ,D 三点共线,所以(x 3+74)(y 4-14)-x 4+74(y 3-14)=0.将点C ,D 的坐标代入化简可得y 1-y2x 1-x 2=1,即k=1.对点训练4解(1)由题意,得b=√3,且2a+2c2·√3=3√3,所以a+c=3.又a 2-c 2=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当圆O 的切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y=kx+m. 切点为H ,连接OH ,则OH ⊥AB.联立{y =kx +m ,x 24+y23=1,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.所以x 1+x 2=-8km 4k 2+3,x 1x 2=4m 2-124k 2+3. 又直线l 与圆O :x 2+y 2=127相切, 所以OH=√k 2+1=√127.所以m2=12(1+k 2)7.又|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√64k2m 2-4(4m 2-12)(4k 2+3)(4k 2+3)2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(4k 2+3)2=√3√7√(1+k 2)(9+16k 2)(4k 2+3)2 =√3√71+k 216k 4+24k 2+9. ①若k ≠0时, |AB|=√3√71+116k 2+24+9k2.因为16k 2+24+9k2≥2√16×9+24=48,当且仅当k=±√32时,等号成立.所以|AB|≤√3√7√1+148=√3√74√3=√7,易知|AB|>√3√7,即√3√7<AB ≤√7. ②当k=0时,|AB|=√3√7. 所以√3√7≤|AB|≤√7. 又|OH|=√3√7,所以S △AOB =12|AB|·|OH|=√32√7|AB|∈[127,√3].当圆O 的切线斜率不存在时,则AB 的方程为x=√127,或x=-√127.此时A ,B 的坐标分别为√127,√127,√127,-√127或-√127,√127,-√127,-√127. 此时S △AOB =127.综上,△AOB 面积的取值范围为[127,√3].例5解设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),则有x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式作差,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0, 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 2-y 1x 2-x 1=k AB ,所以k AB =-x2y 0.①(1)设弦中点为M (x ,y ),由①式,2=-x2y ,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43<x<43.(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x 02y 0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A 设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P 为AB 中点.A ,B 在椭圆上,则x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减,得x 12-x 2216+y 12-y 224=0,又因为x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,可得y 1-y 2x 1-x 2=-34,则k=-34,直线AB 过点P (3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A . 例6解(1)由题意可得{4a 2+1b2=1,a =2b ,解得{a 2=8,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为y=k (x+4),与椭圆方程x 28+y 22=1联立,可得x 2+4k 2(x+4)2=8,即(4k 2+1)x 2+32k 2x+(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1.直线MA 的方程为y+1=y 1+1x 1+2(x+2),令x=-4,可得y P =-2×y 1+1x 1+2-1=-2×k (x 1+4)+1x 1+2−x 1+2x 1+2=-(2k+1)(x 1+4)x 1+2,同理可得y Q =-(2k+1)(x 2+4)x 2+2.很明显y P y Q <0,且|PB ||BQ |=|yP yQ|,注意到y P +y Q =-(2k+1)x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2=-(2k+1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2),而(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8]=264k 2-84k 2+1+3×(-32k 24k 2+1)+8=2×(64k 2-8)+3×(-32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0,故y P +y Q =0,y P =-y Q .从而|PB ||BQ |=|yP y Q|=1.对点训练6(1)解由题意可得M (-1,0),N (1,0),令x=-1,得y=±√22,所以|AB|=√2,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的面积为S=|AB|·|BC|=2√2. (2)证明设l 1为y=k (x-m ),则{x 22+y 2=1,y =k (x -m ),故(2k 2+1)x 2-4k 2mx+2m 2k 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故{x 1+x 2=4k 2m2k 2+1,x 1x 2=2k 2m 2-22k 2+1,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√1+k 2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1,同理可得|CD|=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,因为四边形ABCD 为平行四边形,所以|AB|=|CD|,故√1+k 2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,即m 2=n 2,又m ≠n ,所以m+n=0.(3)解设AB 中点为P (a ,b ),则x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即a+2kb=0,同理可得CD 的中点Q (c ,d ),满足c+2kd=0, 故k PQ =d -bc -a=d -b -2kd+2kb =-12k ≠-1k,故四边形ABCD 不能为矩形.。
高三数学北师大版通用,理总复习讲义 椭圆
§9．５椭圆１．椭圆的概念平面内到两个定点F１，F２的距离之和等于常数（大于|F１F２|）的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若a>c，则集合P为椭圆；（２）若a＝c，则集合P为线段；（３）若a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b,0），B２（b,0）轴长轴A１A２的长为２a；短轴B１B２的长为２b 焦距|F１F２|＝２c离心率e＝错误!∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（×）（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距）．（√）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（×）（４）方程mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（√）２．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆错误!＋错误!＝１的离心率为错误!，则m的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意知a２＝m，b２＝２，∴c２＝m—２．∵e＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m＝错误!.３．（２0１３·广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析由题意知c＝１，e＝错误!＝错误!，所以a＝２，b２＝a２—c２＝３．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．４．如果方程x２＋ky２＝２表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．答案（0,１）解析将椭圆方程化为错误!＋错误!＝１，∵焦点在y轴上，∴错误!>２，即k<１，又k>0，∴0<k<１．５．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的两焦点为F１、F２，以F１F２为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案错误!—１解析设过左焦点F１的正三角形的边交椭圆于A，则|AF１|＝c，|AF２|＝错误!c，有２a＝（１＋错误!）c，∴e＝错误!＝错误!＝错误!—１．题型一椭圆的定义及标准方程例１（１）已知圆（x＋２）２＋y２＝３6的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N（２,0），线段AN 的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线（２）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的３倍，并且过点P（３,0），则椭圆的方程为________．（３）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P１（错误!，１）、P２（—错误!，—错误!），则椭圆的方程为________．思维启迪（１）题主要考虑椭圆的定义；（２）题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；（３）可以用待定系数法求解．答案（１）B （２）错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１（３）错误!＋错误!＝１解析（１）点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．（２）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），∵椭圆过P（３,0），∴错误!＋错误!＝１，即a＝３，又２a＝３×２b，∴b＝１，方程为错误!＋y２＝１．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．∵椭圆过点P（３,0）．∴错误!＋错误!＝１，即b＝３．又２a＝３×２b，∴a＝9，∴方程为错误!＋错误!＝１．∴所求椭圆的方程为错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１．（３）设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0且m≠n）．∵椭圆经过P１、P２点，∴P１、P２点坐标适合椭圆方程．则错误!１、２两式联立，解得错误!∴所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．思维升华（１）求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数２a>|F１F２|这一条件．（２）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）的形式．（１）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．（２）已知P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，F１、F２分别是椭圆的左、右焦点，若∠F１PF２＝60°，则△PF１F２的面积为________．答案（１）错误!＋错误!＝１（２）１２错误!解析（１）方法一椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４．所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．方法二因为所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为c ２＝１6，且c ２＝a ２—b ２，故a ２—b ２＝１6． １又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，所以错误!＋错误!＝１， 即错误!＋错误!＝１．２由１２得b ２＝４，a ２＝２0，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１． （２）根据椭圆的定义，得|PF １|＋|PF ２|＝２0，１在△PF １F ２中，由余弦定理，得|PF １|２＋|PF ２|２—２|PF １|·|PF ２|cos 60°＝２５6．２１２—２得|PF １|·|PF ２|＝４8．∴21F PF S ＝错误!|PF １|·|PF ２|sin 60°＝１２错误!. 题型二 椭圆的几何性质例２ （１）在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝１，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率．（２）如图，焦点在x 轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e ＝错误!，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求错误!·错误!的最大 值和最小值．思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题（１）的关键是根据题意求出a ，c 的值；解题（２）的关键是表示出错误!·错误!，根据椭圆的性质确定变量的取值范围． 解 （１）设椭圆的焦半径为c ，设另一个焦点为F ，如图所示， ∵AB ＝AC ＝１，△ABC 为直角三角形， ∴１＋１＋错误!＝４a ，则a ＝错误!. 设FA ＝x ，∴错误!∴x ＝错误!，∴１＋（错误!）２＝４c ２， ∴c ＝错误!，e ＝错误!＝错误!—错误!.（２）设P 点坐标为（x 0，y 0）．由题意知a ＝２， ∵e ＝错误!＝错误!，∴c ＝１，∴b ２＝a ２—c ２＝３．所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．∴—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.又F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），∴错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.当x0＝２时，错误!·错误!取得最小值0，当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．思维升华（１）求椭圆的离心率的方法１直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．２构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．３通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，—a≤x≤a，—b≤y≤b,0<e<１等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．（１）已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!（２）（２0１３·辽宁）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝１0，|AF|＝6，cos∠ABF＝错误!，则C的离心率e ＝________.答案（１）C （２）错误!解析（１）设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），∴错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），∴|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.∵点P在椭圆上，∴0≤y错误!≤１，∴当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．故选Ｃ．（２）如图，在△ABF中，|AB|＝１0，|AF|＝6，且cos∠ABF＝错误!，设|BF|＝m，由余弦定理，得6２＝１0２＋m２—２0m·错误!，∴m２—１6m＋6４＝0，∴m＝8．因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝错误!|AB|＝５．设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′，由对称性，|BF′|＝|AF|＝6，∴２a＝|BF|＋|BF′|＝１４．∴a＝7，因此离心率e＝错误!＝错误!.题型三直线与椭圆的位置关系例３已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的一个顶点为B（0,４），离心率e＝错误!，直线l交椭圆于M，N两点．（１）若直线l的方程为y＝x—４，求弦MN的长．（２）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．思维启迪直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．解（１）由已知得b＝４，且错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，解得a２＝２0，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．则４x２＋５y２＝80与y＝x—４联立，消去y得9x２—４0x＝0，∴x１＝0，x２＝错误!，∴所求弦长|MN|＝错误!|x２—x１|＝错误!.（２）椭圆右焦点F的坐标为（２,0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质知错误!＝２错误!，又B（0,４），∴（２，—４）＝２（x0—２，y0），故得x0＝３，y0＝—２，即得Q的坐标为（３，—２）．设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝6，y１＋y２＝—４，且错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１，以上两式相减得错误!＋错误!＝0，∴k MN＝错误!＝—错误!·错误!＝—错误!×错误!＝错误!，故直线MN的方程为y＋２＝错误!（x—３），即6x—５y—２8＝0．思维升华（１）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．（２）设直线与椭圆的交点坐标为A（x１，y１），B（x２，y２），则|AB|＝错误!＝错误!（k为直线斜率）．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．已知椭圆G：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，右焦点为（２错误!，0）．斜率为１的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（—３,２）．（１）求椭圆G的方程；（２）求△PAB的面积．解（１）由已知得c＝２错误!，错误!＝错误!，解得a＝２错误!.又b２＝a２—c２＝４，所以椭圆G的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设直线l的方程为y＝x＋m，由错误!消去y得４x２＋6mx＋３m２—１２＝0．１设A，B的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２）（x１<x２），AB中点为E（x0，y0），则x0＝错误!＝—错误!，y0＝x0＋m＝错误!.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝错误!＝—１，解得m＝２．此时方程１为４x２＋１２x＝0，解得x１＝—３，x２＝0，所以y１＝—１，y２＝２．所以|AB|＝３错误!，又点P（—３,２）到直线AB：x—y＋２＝0的距离d＝错误!＝错误!.所以△PAB的面积S＝错误!|AB|·d＝错误!.高考中圆锥曲线的离心率问题典例：（１0分）（１）如图，椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F，上１顶点为B２，右顶点为A２，过点A２作x轴的垂线交直线F１B２于点P，若|PA２|＝３b，则椭圆C的离心率为________．（２）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１（—c,0）、F２（c,0），若椭圆上存在点P使错误!＝错误!，则该椭圆的离心率的取值范围为________．思维启迪椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可．若得到的关系式含b，可利用a２＝b２＋c２转化为只含a，c的关系式．解析（１）由题设知错误!＝错误!⇒错误!＝错误!＝错误!，e＝错误!.（２）依题意及正弦定理，得错误!＝错误!（注意到P不与F１F２共线），即错误!＝错误!，∴错误!—１＝错误!，∴错误!＝错误!＋１>错误!，即e＋１>错误!，∴（e＋１）２>２．又0<e<１，因此错误!—１<e<１．答案（１）错误!（２）（错误!—１,１）温馨提醒离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧１．求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.２．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：（１）求得a，c的值，直接代入公式e＝错误!求得；（２）列出关于a，b，c的齐次方程（或不等式），然后根据b２＝a２—c２，消去b，转化成关于e 的方程（或不等式）求解．失误与防范１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x２与y２的分母大小．２．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）Ａ．9 Ｂ．１Ｃ．１或9 Ｄ．以上都不对答案C解析错误!，解得a＝５，b＝３，c＝４．∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a—c＝１．２．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F１P的中点，|OM|＝３，则P点到椭圆左焦点的距离为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．５答案A解析由题意知|OM|＝错误!|PF２|＝３，∴|PF２|＝6，∴|PF１|＝２×５—6＝４．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．8 Ｃ．４或8 Ｄ．以上均不对答案C解析由错误!，得２<m<１0，由题意知（１0—m）—（m—２）＝４或（m—２）—（１0—m）＝４，解得m＝４或m＝8．４．（２0１２·江西）椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F１、F２，若|AF１|，|F１F２|，|F１B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—２答案B解析由题意知|AF１|＝a—c，|F１F２|＝２c，|F１B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F１F２|２＝|AF１|·|F１B|，即４c２＝a２—c２，a２＝５c２，所以e２＝错误!，所以e＝错误!.５．已知圆M：x２＋y２＋２mx—３＝0（m<0）的半径为２，椭圆C：错误!＋错误!＝１的左焦点为F （—c,0），若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４答案C解析圆M的方程可化为（x＋m）２＋y２＝３＋m２，则由题意得m２＋３＝４，即m２＝１（m<0），∴m＝—１，则圆心M的坐标为（１,0）．由题意知直线l的方程为x＝—c，又∵直线l与圆M相切，∴c＝１，∴a２—３＝１，∴a＝２．二、填空题6．（２0１３·福建）椭圆Г：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，焦距为２c.若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Г的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于________．答案错误!—１解析由直线方程为y＝错误!（x＋c），知∠MF１F２＝60°，又∠MF１F２＝２∠MF２F１，所以∠MF２F１＝３0°，MF１⊥MF２，所以|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，所以|MF１|＋|MF２|＝c＋错误!c＝２a.即e＝错误!＝错误!—１．7．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率等于错误!，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，错误!的值等于________．答案３解析在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝２a，而|AB|＝２c，所以错误!＝错误!＝错误!＝３．8．椭圆错误!＋y２＝１的左，右焦点分别为F１，F２，点P为椭圆上一动点，若∠F１PF２为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案（—错误!，错误!）解析设椭圆上一点P的坐标为（x，y），则错误!＝（x＋错误!，y），错误!＝（x—错误!，y）．∵∠F１PF２为钝角，∴错误!·错误!<0，即x２—３＋y２<0，１∵y２＝１—错误!，代入１得x２—３＋１—错误!<0，错误!x２<２，∴x２<错误!.解得—错误!<x<错误!，∴x∈（—错误!，错误!）．三、解答题9．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，其中左焦点F（—２,0）．（１）求椭圆C的方程；（２）若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x２＋y２＝１上，求m的值．解（１）由题意，得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设点A，B的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２），线段AB的中点为M（x0，y0），由错误!消去y得，３x２＋４mx＋２m２—8＝0，Δ＝96—8m２>0，∴—２错误!<m<２错误!，∵x0＝错误!＝—错误!，∴y0＝x0＋m＝错误!，∵点M（x0，y0）在圆x２＋y２＝１上，∴（—错误!）２＋（错误!）２＝１，∴m＝±错误!.１0．设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２.点P（a，b）满足|PF２|＝|F１F２|.（１）求椭圆的离心率e.（２）设直线PF２与椭圆相交于A，B两点．若直线PF２与圆（x＋１）２＋（y—错误!）２＝１6相交于M，N两点，且|MN|＝错误!|AB|，求椭圆的方程．解（１）设F１（—c,0），F２（c,0）（c>0），因为|PF２|＝|F１F２|，所以错误!＝２c.整理得２（错误!）２＋错误!—１＝0，解得错误!＝—１（舍），或错误!＝错误!.所以e＝错误!.（２）由（１）知a＝２c，b＝错误!c，可得椭圆方程为３x２＋４y２＝１２c２，直线PF２的方程为y＝错误!（x—c）．A，B两点的坐标满足方程组错误!消去y并整理，得５x２—8cx＝0．解得x１＝0，x２＝错误!c.得方程组的解错误!错误!不妨设A（错误!c，错误!c），B（0，—错误!c），所以|AB|＝错误!＝错误!c.于是|MN|＝错误!|AB|＝２c.圆心（—１，错误!）到直线PF２的距离d＝错误!＝错误!.因为d２＋（错误!）２＝４２，所以错误!（２＋c）２＋c２＝１6．整理得7c２＋１２c—５２＝0，得c＝—错误!（舍），或c＝２．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．（２0１３·四川）从椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F１，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析由题意可设P（—c，y0）（c为半焦距），k OP＝—错误!，k AB＝—错误!，由于OP∥AB，∴—错误!＝—错误!，y0＝错误!，把P错误!代入椭圆方程得错误!＋错误!＝１，而错误!２＝错误!，∴e＝错误!＝错误!.选Ｃ．２．已知F１、F２是椭圆的两个焦点，满足错误!·错误!＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（0，错误!] Ｃ．（0，错误!）Ｄ．[错误!，１）答案C解析∵满足错误!·错误!＝0的点M在圆x２＋y２＝c２上，∴圆x２＋y２＝c２在椭圆内部，即c<b，∴c２<b２＝a２—c２,２c２<a２，∴e２<错误!，即e∈（0，错误!）．３．如图，已知过椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点A（—a,0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且错误!＝２错误!，则椭圆的离心率为________．答案错误!错误!解析由于△AOP为等腰三角形，且∠AOP＝90°，故有AO＝OP＝a，则点P的坐标为（0，a），设点Q的坐标为（x，y），错误!＝（x，y）—（0，a）＝（x，y—a），错误!＝（—a,0）—（x，y）＝（—a—x，—y），∵错误!＝２错误!，则有错误!，解得错误!，即点Q的坐标为错误!，将点Q的坐标代入椭圆的方程得错误!２·错误!＋错误!２·错误!＝１，解得a２＝５b２，即a２＝５（a２—c２），∴错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!.４．点P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，F１，F２是椭圆的两个焦点，且△PF１F２的内切圆半径为１，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．答案错误!解析|PF１|＋|PF２|＝１0，|F１F２|＝6，S△PF１F２＝错误!（|PF１|＋|PF２|＋|F１F２|）·１＝8＝错误!|F１F２|·y P＝３y P.所以y P＝错误!.５．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|＋|PF１|的最大值为________．答案１５解析|PF１|＋|PF２|＝１0，|PF１|＝１0—|PF２|，|PM|＋|PF１|＝１0＋|PM|—|PF２|，易知M点在椭圆外，连接MF２并延长交椭圆于P点，此时|PM|—|PF２|取最大值|MF２|，故|PM|＋|PF１|的最大值为１0＋|MF２|＝１0＋错误!＝１５．6．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为错误!，且经过点M（１，错误!）．（１）求椭圆C的方程；（２）是否存在过点P（２,１）的直线l１与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足错误!·错误!＝错误!２？若存在，求出直线l１的方程；若不存在，请说明理由．解（１）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由题意得错误!解得a２＝４，b２＝３．故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）假设存在直线l１且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k１（x—２）＋１，代入椭圆C的方程得，（３＋４k错误!）x２—8k１（２k—１）x＋１6k错误!—１6k１—8＝0．１因为直线l１与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２），所以Δ＝[—8k１（２k１—１）]２—４（３＋４k错误!）·（１6k错误!—１6k１—8）＝３２（6k１＋３）>0，所以k１>—错误!.又x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，因为错误!·错误!＝错误!２，即（x１—２）（x２—２）＋（y１—１）（y２—１）＝错误!，所以（x１—２）（x２—２）（１＋k错误!）＝错误!２＝错误!.即[x１x２—２（x１＋x２）＋４]（１＋k错误!）＝错误!.所以[错误!—２·错误!＋４]·（１＋k错误!）＝错误!＝错误!，解得k１＝±错误!.因为k１>—错误!，所以k１＝错误!.于是存在直线l１满足条件，其方程为y＝错误!x.。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版
长轴 A1A 2 的长为 2a
|F1F2|=2c
e= ∈(0,1)
c2=a2-b2
第四页，共48页。
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称中心:原点
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B 2(b,0)
;短轴 B 1B2 的长为 2b
2
1+4
解得 k
2
5
=16,故
√5
k=± 4 .
第十五页，共48页。
--1616
考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
解题心得1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数
2a>|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点
所组成的焦点三角形中的数量关系.
25
16
第十七页，共48页。
-18-18
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)3
解析: (1)如图,设椭圆的左焦点为F',
则|AF|= 22 + (2√3)2 =4=|AF'|,
|PF|+|PF'|=2a=6.
∵|PA|-|PF'|≤|AF'|,
∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6-|PF'|≤4+6+4=14,当且仅
2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章 第5讲 第1课时 椭圆及其性质
第5讲椭圆一、知识梳理1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.常用结论(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|； ②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.二、教材衍化1．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1B．x2100＋y29＝1C.y225＋x216＝1 D．x225＋y216＝1或y225＋x216＝1解析：选A.设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.故选A.2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22B．2－12C．2－ 2 D．2－1解析：选D.设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则b2a＝2c，即a2－c2a＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0<e<1，解得e＝2－1.故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；(3)忽视点P坐标的限制条件．1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F1F22．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，所以m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，所以m ＝8.所以m ＝4或8.答案：4或83．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1第1课时 椭圆及其性质椭圆的定义及应用(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1【解析】 (1)连接QA .由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |<|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．故选A.(2)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16，2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.【答案】 (1)A (2)D角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】 通解：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又因为S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.优解：由PF 1→⊥PF 2→，可得S △PF 1F 2＝b 2＝9，所以b ＝3. 【答案】 3【迁移探究1】 (变条件)若本例中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由本例得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.【迁移探究2】 (变条件)将本例中的条件“PF 1→⊥PF 2→”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“S △PF 1F 2＝33”，结果如何？解：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2， 即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33， 所以b ＝3.角度三 利用定义求最值设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，12【解析】 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.【答案】 C椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1解析：选A.由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3， 又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．(2020·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B ．59C.49D ．513解析：选D.如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，可求得|PF 2|＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.故选D.3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－ 2. 故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋2 6－ 2椭圆的标准方程(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1(2)(一题多解)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B. (2)法一(定义法)：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二(待定系数法)：因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， 所以（－5）2a 2＋（3）2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.【答案】 (1)B (2)y 220＋x 24＝1求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)1.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为()A.x236＋y216＝1B.x240＋y215＝1C.x249＋y224＝1D.x245＋y220＝1解析：选C.由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′|2－|PF|2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为x249＋y224＝1，故选C.2．(2020·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E的方程为________．解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，所以a－c＝22－2，因为离心率e＝22，所以ca＝22，解得a＝22，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，所以椭圆E的方程为x28＋y24＝1.答案：x 28＋y 24＝1椭圆的几何性质(多维探究) 角度一 椭圆的长轴、短轴、焦距(2020·河南洛阳一模)已知椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( )A ．5B ．6C ．9D ．10【解析】 由椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，焦距为4，可得m －3－11＋m ＝2，解得m ＝9.故选C.【答案】 C角度二 求椭圆的离心率过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是________．【解析】 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c ，0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bc b 2＋c 2≤b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，55角度三 根据椭圆的性质求参数(1)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．【解析】 (1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， 因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1，0)，A (2，0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.【答案】 (1)A (2)4(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．1．(2020·江西吉安一模)如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为()A.22 B ．33C.32D ．13解析：选A.设圆柱的底面圆的直径为R ，则椭圆的短轴长为R . 因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2R ， 所以椭圆的半焦距为 ⎝⎛⎭⎫22R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2， 则e ＝c a ＝R 222R ＝22.2．P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF→的取值范围是( )A ．[0，15]B ．[5，15]C ．[5，21]D ．(5，21)解析：选C.PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝|PN →|2－4，因为a －c ≤|PN →|≤a ＋c ，即3≤|PN →|≤5，所以PE →·PF →的取值范围是[5，21]．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析：因为|PT |＝|PF 2|2－（b －c ）2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2. 依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2， 所以2e 2<1.②联立①②，得35≤e ＜22.答案：⎣⎡⎭⎫35，22[基础题组练]1．(2020·河北衡水二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，则ab ＝( )A.98 B ．322C.43D ．324解析：选D.因为e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324.故选D. 2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选 A.由|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.4．设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1 B ．5－12C.22D ．2＋1解析：选A.不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，因为△PF 1F 2为直角三角形，所以PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝22c ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，所以椭圆E 的离心率e ＝2－1.故选A.5．(2020·江西赣州模拟)已知A ，B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若△ABF 面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.如图所示，设直线AB 的方程为ty ＝x ，F (c ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1可得y 2＝a 2b 2b 2t 2＋a 2＝－y 1y 2， 所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝c a 2b 2b 2t 2＋a 2≤cb ，当t ＝0时取等号．所以bc ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4，a ≥2.所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.故选D.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．解析：设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85.即椭圆形轨道的焦距为85千米． 答案：858．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋（－4）2≥45，所以1≤b <2.又e ＝ca ＝1－b 2a 2＝1－b 24，所以0<e ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32 9．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．解：(1)因为F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2. 所以△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝4 2. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 2＋2y 2＝2，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，因为AF 2⊥BF 2，所以F 2A →·F 2B →＝0， 所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(my 1－2)(my 2－2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－m 2－1m 2＋2－2m ×2m m 2＋2＋4 ＝－m 2＋7m 2＋2＝0. 所以m 2＝7.所以△ABF 2的面积S ＝12×|F 1F 2|×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝89.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .(1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22<e ≤32，求k 的取值范围． 解：(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2 3.又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0.即－a 2（a 2－9）（1＋k 2）a 2k 2＋（a 2－9）＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2.因为22<e ≤32，所以23≤a <32，12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫24，＋∞.[综合题组练]1．设椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A.12 B ．13C.14 D ．15解析：选B.如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且|OF ||F A |＝|OM ||AB |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.故选B. 2．(2020·福建福州一模)已知F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，过F 1作F 1M ⊥PK 于点M ，O 是坐标原点，则|OM |的取值范围为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，3)D ．(0，23)解析：选C.如图，延长PF 2，F 1M 相交于N 点，因为K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，所以PK 平分∠F 1PF 2， 因为F 1M ⊥PK ，所以|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点， 因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||<12|F 1F 2|＝c ＝3，所以|OM |的取值范围是(0，3)． 故选C.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，S △F 1AF 2＝2，则椭圆C 的方程为________．解析：因为点A 在椭圆上，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，对其平方，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝4a 2，又AF 1⊥AF 2，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，则2|AF 1||AF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，即|AF 1||AF 2|＝2b 2，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|＝b 2＝2.又△AF 1F 2是直角三角形，∠F 1AF 2＝90°，且O为F 1F 2的中点，所以|OA |＝12|F 1F 2|＝c ，由已知不妨设A 在第一象限，则∠AOF 2＝30°，所以A ⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，则S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·12c ＝12c 2＝2，c 2＝4，故a 2＝b 2＋c 2＝6，所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1.答案：x 26＋y 22＝14．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设正方形的边长为2m ，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m >c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝（5－1）24，所以0<e <5－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 5．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0， 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)， 当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.6．(2020·江西八校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为其左、右焦点，B 1，B 2为其上、下顶点，四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2，点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆(记为圆P )总经过坐标原点O .(1)求椭圆E 的长轴A 1A 2的长的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E ，若给定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝3，则圆P 和圆F 1的公共弦MN 的长是不是定值？如果是，求|MN |的值；如果不是，请说明理由．解：(1)依题意四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2bc ， 所以2bc ＝2.因为|A 1A 2|＝2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时取“＝”，此时a ＝2， 所以长轴A 1A 2的长的最小值为22，此时椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)是定值．设点P (x 0，y 0)，则x 202＋y 20＝1⇒y 20＝1－x 202.圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20，即x 2＋y 2－2x 0x －2y 0y ＝0，①圆F 1的方程为(x ＋1)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2＋2x －2＝0，② ①－②得公共弦MN 所在直线的方程为(x 0＋1)x ＋y 0y －1＝0， 所以点F 1到公共弦MN 所在直线的距离d ＝|x 0＋2|（x 0＋1）2＋y 20＝|x 0＋2|（x 0＋1）2＋1－12x 2＝|x 0＋2|12x 2＋2x 0＋2＝2，则|MN |＝23－d 2＝2，所以圆P 和圆F 1的公共弦MN 的长为定值2.。
2014高三数学北师大版一轮总复习课件9-5椭圆65
根据椭圆的定义知点 M 的轨迹是以点 B(－2,0)和点 A(2,0)为 焦点、线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆．
∴a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5. ∴所求圆心的轨迹方程为x92＋y52＝1.
[点评] (1)本题利用平面几何知识，挖掘动点运动的几何意 义，这类求轨迹方程的方法叫定义法．
的集合叫 椭圆．这两定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫焦距．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0， 且 a，c 为常数：
(1)若 a>c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c，则集合 P 为线段； (3)若 a<c ，则集合 P 为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
－a ≤x≤ a 范围
－b ≤y≤ b
－b ≤x≤ b －a ≤y≤ a
性质 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1 (－a,0) ，A2 (a,0) A1 (0，－a)，A2 (0，a) B1 (0，－b)，B2 (0，b) B1 (－b,0)，B2 (b,0)
在一椭圆中以焦点 F1、F2 为直径两端点的圆，恰好过短 轴的两端点，则此椭圆的离心率 e 等于( )
1
2
A.2 B. 2
35 C. 2 D. 2
[答案] B
[解析] ∵以椭圆焦点 F1、F2 为直径两端点的圆，恰好过 短轴的两端点，∴椭圆满足 b＝c，∴e＝ac＝ b2c＋c2，将 b＝c
代入可得
[解析] (1)设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 由已知得：a＋c＝3，a－c＝1， ∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.