归纳—猜想—论证(高三复习课)教学设计说明

归纳—猜想—论证（高三复习课）教学设计说明选择课题的背景：1.在2009年第9期《数学教学》杂志封底看到奠宙和小平教授的编后漫笔《一个新课题：数学思想方法的教学》，深受启发，很想付诸实践，于是选择这个机会展示一节关于数学思想方法的教学。

2.研究近年的高考试题，发现自觉或不自觉地在考查应用“归纳—猜想”解决问题的思想和方法（参看本节课所选试题），作为高三复习课，本着以学生的发展为本的理念，要重视这一数学思想的教学。

3.2011年10月10日在建平中学听华东师大学俊教授的报告，她谈到后面的课改，会把数学思想方法教学的具体要求写入课标，这更坚定了我的想法----上一节关于数学思想方法的课。

一、容与教材分析“归纳—猜想—论证”是教育高级中学课本数学高二年级第一学期（试用本）第7章数列一章的容，隶属数学归纳法这一节。

“归纳—猜想—论证”是高中数学教学中唯一一节以数学思想方法为容的课。

如果数学归纳法是数学方法，那么“归纳—猜想—论证”就是解决问题的思想方法，经常和数学归纳法联合使用，所以教材将其归入数学归纳法的一部分，但也并非意味着归纳猜想的结论只能应用数学归纳法证明。

为了探求一般规律，往往先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法用证明验证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法。

“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。

需要注意（方法的要害）：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性（例如哥德巴赫猜想，尽管计算机可以检验到很大的数猜想都成立，可是在没证明之前，谁也无法断定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好佐证）。

“归纳—猜想—论证”是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以尝试用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它经历三个过程：尝试观察特例→体验猜测→理性证明，所以“归纳—猜想—论证”完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。

我们在分析和解决问题时，要大胆假设，小心求证，这也是探索发现真理的重要思想，是创造灵感的源泉，也是思维严谨的体现，是矛盾的统一。

二、学情分析高三复习中，一方面遇到非数列背景的数学问题，学生往往较难想到应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，应用意识非常薄弱。

另一方面，近几年高考和各类考试都在考查“归纳—猜想—论证”的思想方法，如本课选的课堂练习和作业中的问题。

教学目标、考查要求和学生实际表现使矛盾不断凸现。

本着以学生的发展为本的理念，必须增强学生归纳猜想的能力。

我校是市实验性示性高中，本班是学校的重点物理班，学生基础比较扎实，想象力比较强，归纳猜想能力比较好，所以在选择问题的时候层次也比较高，有一定难度，但问题难度的处理上一定要注意层层推进，螺旋上升。

三、教学目标设计 教学目标想方法。

2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。

３.通过实验、观察、尝试，培养他们的科学探究能力。

教学重点教学难点。

四、教学过程设计【教学脉络】 以“归纳—猜想—论证”思想方法的“复习－应用－延拓－再应用”为主线展开设计。

1.复习“归纳—猜想—论证”的思想方法（从问题引出课题）【引例】观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？【学生】()()22233331123123.4n n n n +++++=++++= 【教师】这个等式很简洁，很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）【设计意图】这道题目的结果体现一种简洁美，给人美的享受，可以培养学生数学审美情趣。

问题难度不大，每个学生都能理解，可以比较完整地复习“归纳—猜想—论证”的思想方法。

因为通常我们可以先考虑用数学归纳法完成猜想的证明，所以我们选择引例采用数学归纳法证明。

证明： 1.当1n =时，猜想成立。

2. 假设()1n k k =≥时， ()2233331123.4k k k S k +=++++= 则当1n k =+时，()()()()()222233111211.44k k k k k k S S k k ++++=++=++=所33333311,129,12336,.=+=++=以，1n k =+时猜想也成立。

综上，对任意的n N *∈猜想都正确。

【问题】如果直接给你这样一个问题3333123n ++++= . 你该怎么做？【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想是否正确，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法（今天我们复习“归纳—猜想—论证”，直接点题）【设计意图】让学生用自己的语言根据刚刚解决的实例总结“归纳—猜想—论证”解决问题的思维过程，增强学生理解的深度，教师进行适当补充直接点题。

2.应用“归纳—猜想—论证”的思维方法解决问题【例1】设定义在*N 上的函数();()()()2n n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数， 如果)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-+n n a a 1 . 【问题】这是去年浦东新区一模第13试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，所以我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给大家留下充足的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流。

【设计意图】这也是一个数列问题，目的是让学生练习应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，教师引导学生深刻体会“归纳—猜想—论证”的思想方法，既是练习也是例题。

放在这节课，【例1】难度比前面引例的难度大，比后面【例2】的难度小，体现教学难度的层层推进，螺旋上升。

作为“归纳—猜想—论证”在其它问题中应用的一个过渡，给学生搭建拾级而上的台阶，为学习后面的【例2】做好铺垫。

【教师】到目前为止，我们应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决的都是与数列有关的问题，那么，是不是这种方法只能解决与数列有关的问题呢？（不是！学生斩钉截铁回答的背后很大程度上是直觉在说话，而后面【例2】的解答才给予学生充分的底气）下面，我们尝试应用“归纳—猜想—论证”解决一个看起来和正整数无关的问题（自然过渡）。

【例2】在空间直角坐标系O xyz -中，满足条件[][][]2221x y z ++≤的点(),,x y z 构成的空间区域3Ω的体积为3V ，（[][][],,x y z 分别表示不大于,,x y z 的最大整数），则3V = .（1）高斯和高斯函数简介：见课件。

【设计意图】 提高学生的数学文化修养，课后还有配套习题：【4】画高斯函数的图像。

画图像时，也是先画简单的情形，再归纳出一般的图像，体现了归纳猜想的思想方法在解决函数问题的应用。

（2）分析：空间问题有时比较复杂，比较抽象，如何解决呢？能不能把复杂的问题简单化，把抽象问题的具体化呢？可以先考虑[]21x ≤（直线上的情况）,再考察[][]221x y +≤（平面上的情况）。

讨论清楚直线和平面的情况，画出图形，再归纳猜测空间情形，最后再证明自己的猜想。

（教学方法：启发式）【教师】点评：空间问题有时比较复杂，比较抽象，这时我们可以简化问题，先研究平面，直线上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳—猜想—论证”的思想方法(再次点题)。

【设计意图】这是一道非常漂亮的试题，可谓鬼斧神工，难度较大，但如果思考的方法恰当，解决起来也不是很困难。

这道空间几何问题，涉及到高斯函数，所以这道题目除了可以培养学生“归纳—猜想”的能力外，还可以培养学生的空间想象能力，以及数学文化修养。

选这道题目的目的是想告诉学生“归纳—猜想—论证”的思想方法不但可以解决与数列相关的问题，也可以解决一些和正整数看起来无关的问题（其实，空间是三维的，平面是两维的，直线是一维的，我们可以对问题的维数进行归纳猜想），所以空间问题也可应用“归纳—猜想—论证”的方法解决。

此处是本节的重头戏，也是高潮。

我们没有直接采用分类讨论解决空间问题，而是采用归纳猜想的方法，也就是说不光为了解决具体问题，而是在解决问题的过程中寻找一般性的处理问题的方法，即使分类讨论的方法本身也可以通过归纳得到。

三．小试牛刀（下面我们做几个练习）【1】设12,,,n A A A ()n N *∈是空间中给定的n 个不同的点，则使120n MA MA MA +++=成立的点M 的个数为 （ ）.A ．0B ．1C ．nD ．2n【2】 在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅. 若n 为正奇数，则1122nn a a a +++= .【设计意图】 练习应用归纳猜想思想方法解决非数列问题，继续延拓方法应用的围。

【1】中5n =，就是2011年高考试题；【2】中9n =，就是2010年高考试题，所以问题具有代表性和典型性。

这两道试题如果应用归纳猜想，问题解答就比较容易了。

在【1】中分别取1,2n n ==就能得到答案，在【2】中分别取1,3,5n n n ===，就可以归纳猜想出结论。

【问题】若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设n k =（1k ≥，是正奇数）时，猜想成立，则当n = .时，要证明的等式是 .【设计意图】【2】的具体证明已经超出了课程标准和考试大纲，而关于这道题的证明自然地设计了这样一个框架性问题，检测学生对数学归纳法本质的理解，也是对证明的思考，体现“归纳—猜想—论证”思维过程的完整性(由于本节课不是复习数学归纳法，所以这个问题我们作为机动问题，要看课堂时间是否允许)。

四．小节提升1.“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。

2.需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性。

3.“归纳—猜想—论证”，是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。

最后，送大家一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！【设计意图】回顾总结课堂学习，提高学生对“归纳—猜想—论证”数学思想方法本质的理解和认识。

以牛顿的名言结束本节课，提升数学课堂的情趣，强调猜想的重要性。

作业设计【1】数学上有一个著名的猜想：哥德巴赫猜想，大家可以上网找找，看看我国的数学家做了哪些贡献？【2】 在数列{}n a 中，()115,342n n a a a n n N *+==-+∈. 若2n n b a n =-，则数列{}n b 的通项公式是 .【3】函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ．【4】 画高斯函数的图像。