专题七归纳猜想型问题MicrosoftWord文档分析
专题复习_中考数学归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
专题知识突破七归纳猜想型问题-推荐下载
专题知识突破七归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2014•菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。
在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。
例4 （2014•临沂）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．思路分析：（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE 、BC 交于点N ，如图1（1），易证△ADE ≌△NCE ，从而有AD=CN ，只需证明AM=NM 即可．（2）作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，易证AM=FM ，只需证明FB=DE 即可；要证FB=DE ，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC 仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM 不成立．考点五：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。
2024年中考数学复习猜想归纳题经典考题讲练
猜想归纳题经典考题讲练解题要点剖析归纳猜想题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，通过学生认真阅读、仔细观察、综合分析、顺势归纳和大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题.解答归纳猜想题，要善于从问题中提供的数字或图形信息出发，通过计算、验证、类比、比较、测量、绘图等方式寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.这一过程体现了总结归纳的数学思想，是人们认识新生事物的一般过程，也是人们探索发现新知的重要手段，有利于培养创造性思维能力.正是由于这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性，所以备受命题专家的青睐，成为中考的热点.经典考题解析例1 观察图1-1中的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( ).A. 23B. 75C. 77D. 139分析因为每个“品”字形的上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11(有 6个数)，左下边的数为2¹,2²,2³,….所以，b=2⁶=64.因为每个“品”字形的上边的数与左下边的数的和正好等于右下边的数，所以,a=11+64=75.解答选 B.小结寻找一列数中呈现的规律，可以先观察其中一个数和前一个数(或前几个数)之间的关系，本例中，如观察上边的数，不难发现后一个数与前一个数的差是2；然后根据发现的规律，写出能体现这一规律的相关式子，本例中上边的数依次为1，3，5，7，9，11，可改写为1,1+2,1+2×2,1+2×3,1+2×4,1+2×5,考虑到这些数与第n个数中n的关系,不难得出第n个数为1+2×(n-1)=2n-1.在探寻数的规律时，有时还需要将数进行适当的拆分(体现和差关系)或分解(体现积商关系)，如本例中每个“品”字形的右下边的数为上边的数与左下边数的和.例2某广场用同一种如图1-2(a)所示的地砖拼图案，第1次拼成形如图(b)所示的图案，第2次拼成形如图(c)所示的图案，第3次拼成形如图(d)所示的图案，第4次拼成形如图(e)所示的图案……按照这样的规律进行下去，第 n次拼成的图案共有地砖块.分析首先求出图1-2(b)(c)(d)(e)图案中的地砖的数量，探究规律后即可解决问题.第1次拼成形如图1-2(b)所示的图案共有4块地砖,4=2×(1×2);第2次拼成形如图1-2(c)所示的图案共有 12块地砖,12=2×(2×3);第3次拼成形如图1-2(d)所示的图案共有 24块地砖,24=2×(3×4);第4次拼成形如图1-2(e)所示的图案共有 40块地砖,40=2×(4×5);………按照这样的规律进行下去，第 n次拼成的图案中地砖数为2×n(n+1)=2n²+2n,故答案为2n²+2n.解答2n²+2n.小结本题考查规律探究，解题的关键是从特殊情况出发，了解特殊情况下[图1-2(b)一(e)]地砖数量与图序数(第几次拼的图)间的关系，从而发现问题的数值特征，根据数值特征去猜想第n次情况下的结论.例3 观察下列运算过程，并计算.计算：1+2+22+⋯+210.解设S=1+2+22+⋯+210.①①×2得:2 2S=2+22+23+⋯+211.②②—①得: S=2¹¹−1.所以，1+2+22+⋯+210=211−1.。
初中数学九年级中考复习《归纳猜想型问题》专题讲解导学教案
2012年中考复习二轮材料归纳猜想型问题一． 专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二． 解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三． 考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1．（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x ，﹣2x 2，4x 3，﹣8x 4，16x 5…则排在第六个位置的整式为 ．【分析】符号的规律：n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n 个对应的系数的绝对值是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：﹣26x 6=﹣32x 6． 故答案为：﹣32x 6．【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 例2．（2011山东济宁）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ .【分析】（1）根据ij a 的定义规则，可知234a =，223a =，526a =，537a =．则有()()232252530a a a a -+-=．（2） 观察数表可知，第1问中的22,23,52,53,a a a a 恰是,,,,np nk mp mk a a a a 的具体形式，若将,,,,np nk mp mk a a a a 赋值于不同的行与列，我们不难发现()()0np nk mk mp a a a a -+-=．【解答】（1）111n n -+（2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009120102010-=【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。
中考数学复习专题讲座七归纳猜想型问题
归纳猜想型问题（一）例1 （2012•沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．例2 （2012•珠海）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例3 1．（2012•重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）例4 （2012•绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（）B例5 （2012•荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（）四、中考真题演练1．（2012•烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．3 B．4C．5D．62．（2012•铜仁地区）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（）A．54 B．110 C．19 D．1094．（2012•永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（）A．0 B．1C．2D．35．（2012•扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46方分裂后的一个奇数，6．（2012•盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（）A．﹣1005 B．﹣1006 C．﹣1007 D．﹣2012二．填空题9．（2012•泰州）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3，，9x5，…．10．（2012•肇庆）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．11．（2012•云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…12．（2012•岳阳）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m= 用含n的代数式表示）．13．（2012•宿迁）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是．14．（2012•山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．15．（2012•三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是．16．（2012•青海）观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．17．（2012•黔东南州）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有个相同的小正方形．18．（2012•潍坊）如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n﹣1）=（用n表示，n是正整数）20．（2012•梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A 开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在点．21．（2012•娄底）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．22．（2012•六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．三．解答题（共13小题）24．（2012•宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．。
最新2020届中考数学专题复习-归纳猜想型问题
2020届中考数学专题复习：归纳猜想型问题（一）一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2019•沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．考点：多项式。
810360专题：规律型。
分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．解答：解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，第2个多项式为：a2﹣b2×2，第3个多项式为：a3+b2×3，第4个多项式为：a4﹣b2×4，…∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，∴第10个多项式为：a10﹣b20．故答案为：a10﹣b20．点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．例2 （2019•珠海）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．考点：规律型：数字的变化类。
初中数学九年级中考复习《归纳猜想型问题》专题讲解导学教案
I■••・・•••
—1? — , — ,
1 2223233434
解答下面的问题：
（1） 若n为正整数，请你猜想1—=;
n（n+1）
（2）证明你猜想的结论；
1 1 1 1
（3） 求和：+++…+.
1汉22汉33汉42009汇2010
【分析】（1）根据色的定义规则，可知a23=4，92^—3，85^—6，35^—7.则有
1根小棒.
数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)
(2)设AA=AA=A2Ab=1.
1二=度；
2若记小棒A2n-Байду номын сангаасA2n的长度为Qn(门为正整数，如AA=a1, AA=a2,),求此时&2，的值，并直接
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中AA为第1根小棒，且AA= AA.数学思考：
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为
载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对
所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。Zzz6ZB2Ltk
例1.（2011重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个
(3)若已经向右摆放了3根小棒，则3=，二2=，3=；(用含二的式子表示)0YujCfmUCw
(4)若只能摆放4根小棒，求二的范围.
图乙
【分析】(1)显而易见，能
(2)①22.5
②方法一：
-AA=AA2=AA=1,AiA_LA2A3，…AiA=f12,AA=1+^/2 .
部编数学七年级上册专题07探究与表达规律(八大题型)专项讲练(解析版)含答案
专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2. 常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）．2） 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）．3） 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）．4）2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）．5）x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.题型1：数列的规律1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，第n 个单项式是（ ）A ．()211n n x --B ．()1211n n x -+-C ．()1211n n x ---D ．()211n n x +-【答案】B【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n 个单项式即可．【详解】解：∵3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n -1,指数的规律为2n +1，∴第n 个单项式为()1211n n x -+-，故选：B．【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（)．A．2B．4C．6D．8【答案】A【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环，用2021÷4，根据余数的情况确定答案即可．【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，∵2021÷4=505……1，∴22021的个位数字与21个位数字相同，即22021的个位数字是2，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环，个位数字依次循环，是解题的关键．3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（）A．35B．40C．45D．50【答案】B【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和．【详解】第1个“三角形数”：1，第2个“三角形数”：1+2=3，第3个“三角形数”：1+2+3=6，第4个“三角形数”：1+2+3+3=10，第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15，第1个“正方形数”：1，第2个“正方形数”：22=4，第3个“正方形数”：32=9，第4个“正方形数”：42=16，第5个“正方形数”：52=25，∴15+25=40．故选：B．【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣32，1，﹣98，1711，﹣3314，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____．5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点O【答案】A【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点．【详解】解：∵2023＝505×4＋3，∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，∴与2023重合的是A，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查图形类规律探究、数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合的点．6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：114，126，138，1410，…，依此规律下去，则第7项是__________；第n项是__________．【答案】1716()121nn++【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得．【详解】解：114=()11211+´+，126=()12221+´+，138=()13231+´+，1410=()14241+´+，…∴第7项是1716，第n项是()121nn++，故答案为：1716，()121nn++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．题型2：数表的规律1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（）A．115B．114C．113D．112【答案】A【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b +（n 为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：请写出8()a b +展开式中间一项的系数（ ）A ．70B ．64C ．56D ．54【答案】A【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即可求出8()a b +展开式中间一项的系数．【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，∴()7a b +中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，∴()8a b +中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，∴8()a b +展开式中间一项的系数为70，故选：A ．【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a ，b ）表示第a 排，从左至右第b 个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（ ）A ．22B ．23C ．24D ．254．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数：按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）A ．121-B ．123-C ．125-D ．127-【答案】C【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可．【详解】解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是每行数的平方，当行数是奇数时，它的最后一个数是每行数的平方的相反数，所以第11行最后一个数字是：-11×11=-121，它的绝对值是121，第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4=125．故第12行从左边第4个数是-125．故选：C．【点睛】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键．5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是_____．【答案】207【分析】先设九个数中最小的数为m，根据规律表示九个数m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，其中最小的是m=171，求代数式的值即可．【详解】解：设九个数中最小的为m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，∵这九个数中最小的数是171，∴m=171，∴这九个数中最大的数是171+36=207，故答案为：207．【点睛】本题考查数中排列规律，找出方框中九个数的规律，代数式的值，掌握数中排列规律，找出方框中九个数的规律，利用代数式的值求出最大数是解题关键．6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___．【答案】102×299【分析】分析得出第101行有1个数，即为最后一行的数，根据每行的第一个数字得到规律，从而判断．【详解】解：由题意，第1行有101个数，第2行有100个数，…，第101行有1个数，故第1行的第一个数为：1=2×2-1，第2行的第一个数为：3=3×20，第3行的第一个数为：8=4×21，第n行的第一个数为：（n+1）×2n-2，∴第101行的第一个数为：102×299，故答案为：102×299．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．题型3：算式的规律算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
浙江省中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题 第34讲 归纳、猜想与说理型问题讲解篇
第34讲 归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第11讲后教学)类型一 通过数式变化产生规律例1 (2016·淄博)(1)填空：(a －b)(a ＋b)＝ ； (a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝ ； (a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝ ； (2)猜想：(a －b)(an －1＋an －2b ＋…＋abn －2＋bn －1)＝ (其中n 为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解．1．(1)(2016·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b…，则b＝.(2)(2016·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：输入x――→第1次y1＝2xx＋1――→第2次y2＝2y1y1＋1――→第3次y3＝2y2y2＋1――→…则第n次运算的结果y n＝(用含字母x和n的代数式表示)．类型二通过图形变化产生规律例2(2016·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )A．25 B．33 C．34 D．50【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．2．(2017·舟山)如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝____________________，…按此规律，写出tan∠BA n C ＝____________________(用含n 的代数式表示)．类型三 通过平移、折叠产生规律例3 如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n －1D n －2的中点为D n －1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n －1重合，折痕与AD 交于点P n (n ＞2)，则AP 6的长为( )A .5×35212 B .365×29 C .5×36214 D .375×211【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．3．如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA ＝1，OC ＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 (用含n 的代数式表示)．类型四通过旋转产生规律例4(2017·衢州)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决问题．4．(2015·东港模拟)如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1(点O，B1，A1按逆时针方向排列)，称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2(点O，B2，A2按逆时针方向排列)，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB n A n的边OA n与等边△OBA的边OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是.类型五以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题例5(2016·菏泽)如图，一段抛物线：y＝－x(x－2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m ＝.【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．5．(1)如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是.(2) (2015·达州)在直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3、…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…S n ，则S n 的值为____________________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．【探索研究题】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S ，该多边形各边上的格点个数和为a ，内部的格点个数为b ，则S ＝12a ＋b －1(史称“皮克公式”)．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：则S与a、b之间的关系为S＝________(用含a、b的代数式表示)．【方法与对策】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．该题型采用特殊到一般探究问题的方法．是中考命题的一种方式．【探求一般规律，注意序号与变量之间对应关系】如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上)，再在△A1B1C内按同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是________．第34讲归纳、猜想与说理型问题【例题精析】例1(1)a2－b2，a3－b3，a4－b4； (2)a n－b n； (3)令S＝29－28＋27－…＋23－22＋2，∴S －1＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)÷3＝(210－1)÷3＝(1024－1)÷3＝341，∴S ＝342.例2 ∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个；…∴第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝(3n ＋1)个；当3n ＋1＝100时，解得：n ＝33，故选：B .例3 由题意得，AD ＝12BC ＝52，AD 1＝AD －DD 1＝158，AD 2＝5×3225，AD 3＝5×3327，…∴AD n ＝5×3n22n ＋1.故AP 1＝54，AP 2＝1516，AP 3＝5×3226…AP n ＝5×3n －122n .∴当n ＝6时，AP 6＝5×35212.故选A .例4 如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π，∵2017÷3＝672……1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π＋233π＝⎝⎛⎭⎪⎫134633＋896π.故答案为(5，3)；⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.例5 ∵y＝－x(x －2)(0≤x≤2)，∴配方可得y ＝－(x －1)2＋1(0≤x≤2)，∴顶点坐标为(1，1)，∴A 1坐标为(2，0)，∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1＝A 1A 2，即C 2顶点坐标为(3，－1)，A 2(4，0)；照此类推可得，C 3顶点坐标为(5，1)，A 3(6，0)；C 4顶点坐标为(7，－1)，A 4(8，0)；C 5顶点坐标为(9，1)，A 5(10，0)；C 6顶点坐标为(11，－1)，A 6(12，0)；∴m＝－1.故答案为：－1.【变式拓展】1．(1)128 (2)2nx （2n－1）x ＋1 2.113 1n 2－n ＋1 3.145n （n ＋1）或65n （n ＋1） 4.1310 5.(1)－25 (2)22n －3【热点题型】【分析与解】根据8＝8＋2(1－1)，11＝7＋2(3－1)得到S ＝a ＋2(b －1)． 填表如下：11111111的边长＝13AB ＝1；同理可得：第二个内接正方形的边长＝13A 1B 1＝19AB ＝13；第三个内接正方形的边长＝13A 2B 2＝127AB ＝19；故可推出第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长＝13n AB ＝13n －1，故答案为：13n －1.。
专题复习_中考数学归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
热点探究一__归纳猜想型试题的分析与预测
热点综述
归纳猜想型问题就是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察、归纳，发现共同特征，或者发展变化的趋势，大胆猜想，据此去预测估计它的变化规律或者与其变化趋势一致的相关结论，并能够应用此结论．
由于归纳猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养学生的创造性思维，所以备受命题专家的青睐．而且此类问题能够较全面地考查学生的探索研究、归纳猜想能力，所以在近几年各地中考中此类型题目逐步成为中考试卷中的必考内容之一．
例观察图3给出的四个点阵， 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数 为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
例4观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．
析解：解答本题，首先要通过直接观察①、②、③中的三个图和分析其下面的各式的特点，不难发现：上面各式的左边分别是从1开始的连续奇数的和，其奇数的个数等于其相应的图序数，而等号的右边则为相应的图序数的平方，由此可知第④、⑤个式子分别为： ， ．进一步观察上面各式不难发现以上各式的等号的左边的最后一个数与相应的图形序数n的关系为： ，由此可得第（2）问的答案为： ．
（1）求第一次扩展中扇形面积 ；
（2）求第二次扩展中扇形面积 （第二次扩展的第一个正方形是以第一次扩展的最后一个扇形半径为边长的正方形）；
（3）求第n次扩展中扇形面积 ．
7．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
经过研究，这个问题的一般性结论是 ，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：
2016初中数学中考指导二轮复习总结锦囊：专题七--归纳猜想型问题
专题七归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
归纳猜想型问题也是规律探索型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型．二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1．（2015•山东日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36. B．45C．55 D．66考点：完全平方公式．专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键对应训练1．（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答： 2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
(完整word版)2014年中考数学二轮复习精品资料(归纳猜想型问题),推荐文档
2014年中考数学二轮复习精品资料归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着特殊一一一般一一特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a, -2a2, 4a3, -8a4,…根据你发现的规律，第8个式子是思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2 （n-1）, a的指数为n. 解：第八项为-27a8=-128a 8.点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现•对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.对应训练1. （2013?株洲）一组数据为：x ,-2X2,4X3 ,-8x4,…观察其规律，推断第n个数据应为 __________ .1 . （-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
专题七--归纳猜想型问题Microsoft-Word-文档
专题七归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．解：第八项为-27a8=-128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
中考数学专题知识突破七归纳猜想型问题
专题知识打破七概括猜想型问题一、中考专题解说概括猜想型问题在中考取愈来愈被命题者所着重。
这种题要求依据题目中的图形或许数字，剖析概括，直观地发现共同特点，或许发展变化的趋向，据此去展望预计它的规律或许其余有关结论，使带有猜想性质的推测尽可能与现真相况相符合，必需时能够进行考证或许证明，依此表现出猜想的实质意义。
二、解题策略和解法精讲概括猜想型问题对考生的察看剖析能力要求较高，常常以填空等形式出现，解题时要擅长从所供给的数字或图形信息中，找寻其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
此中包含着“特别——一般——特别”的常用模式，表现了总结概括的数学思想，这也正是人类认识新惹祸物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，详细题目常常是直观猜想与科学论证、详细应用的联合，解题的方法也更加灵巧多样：计算、考证、类比、比较、丈量、画图、挪动等等，都能用到。
因为猜想自己就是一种重要的数学方法，也是人们研究发现新知的重要手段，特别有益于培育创建性思想能力，所以备授命题专家的喜爱，逐渐成为中考的连续热门。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律往常给定一些数字、代数式、等式或许不等式，而后猜想此中包含的规律。
一般解法是先写出数式的基本构造，而后经过横比（比较同一等式中不一样部分的数目关系）或纵比（比较不一样样式间同样地点的数目关系）找出各部分的特点，改写成要求的格式。
例1（2019?菏泽）下边是一个某种规律摆列的数阵：依据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）思路剖析：察看不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2获得所求数的被开方数，而后写出算术平方根即可．考点二：猜想图形规律依据一组有关图形的变化规律，从中总结经过图形的变化所反应的规律。
此中，以图形为载体的数字规律最为常有。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题七归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．解：第八项为-27a8=-128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例2 （2013•牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．例3（2013•绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．思路分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上．解：∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…每六个一循环，2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，∴所描的第2013个点在射线OC上．故答案为：OC．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．对应训练2．（2013•娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．2．2n+13．（2013•江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（用含n的代数式表示）．3．（n+1）2解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=(121)(1)2n n+++=（n+1）2．故答案为：（n+1）2．考点三：猜想坐标变化规律例3 （2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为．思路分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．解：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵20136=335…3，∴点P2013的坐标为（0，-2）．故答案为：（0，-2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．对应训练3．（2013•兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．3．（8052，0）考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。
在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。
例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OBG （AAS ）， ∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ， ∴AF-OE=OE-BF ， ∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ， 图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ， 则四边形BGEF 是矩形， ∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°， ∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OBG （AAS ）， ∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ， ∴AF-OE=OE+BF ， ∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．对应训练4．（2013•锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．4．（1）EF=BE+DF，证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，在△ADF和△ABQ中AB ADABQ DBQ DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABQ（SAS），∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠FAE，在△EAQ和△EAF中AE AEEAQ EAFAQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAQ≌△EAF，∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．（2）解：AM=AB，理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴12×BQ×AB=12×FE×AM，∴AM=AB．（3）AM=AB，证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，∵折叠后B和D重合，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=12∠BAD，在△ADF和△ABQ中AB ADABQ DBQ DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABQ（SAS），∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，∵∠FAE=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=12∠BAD，即∠EAQ=∠FAE，在△EAQ和△EAF中AE AEEAQ EAFAQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAQ≌△EAF，∴EF=BQ，∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴12×BQ×AB=12×FE×AM，∴AM=AB．考点五：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。