广东省河源市东源县高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.3 函数的奇偶性练习 新人教A版必修1
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 函数的奇偶性教学设计数学教案
1.3.2函数的奇偶性一．教学背景分析1 . 教材的地位与作用(1)本节课内容选自（人教A版）普通高中课程标准实验教科书《数学必修Ⅰ》第一章第三节第二课；(2)函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,是函数的重要性质之一,对它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入学习起着重要的铺垫作用；（3）奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 . 学情分析（1）已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；（2）在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；（3）所任教班级的学生虽然基础比较弱，但也具备一定的观察能力，只是观察的深刻性及稳定性还有待进一步提高；他们有明确的学习动机，能主动自觉配合教师完成教学内容。
二、教学目标1、知识与技能：（1）通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。
然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
（2）通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，形成判断奇偶性的步骤，从而能应用到简单的数学问题中去。
（3）经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言积累，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。
在这个过程中，通过师生共同探究活动，体验数学概念的形成过程；通过积极的数学思考，培养和提升数学思维能力。
2、过程与方法通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用多媒体辅助教学，培养学生的类比，观察,归纳能力；渗透数形结合的思想方法；感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。
3、情感态度与价值观培养合作、交流的能力；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，感受数学美，陶冶情操。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2第1课时函数奇偶性的概念aa高一数学
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(3)∵4|x－＋x22|≥－02，≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
此时 f(x)＝|x＋4－ 2|－x22＝
4－x2 x.
又 f(－x)＝ 4－－－x x2＝－ 4－x x2＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋42－|－x22为奇函数．
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【互动探究】 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解：方法一：∵函数(hánshù)f(x)是奇函数， ∴其图象关于原点对称，补全图象， 如图． 由图象可知f(1)＞f(3)．
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方法二：由图象可知 f(－1)＜f(－3)． 又函数 y＝f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)． ∴－f(1)＜－f(3)． ∴f(1)＞f(3)．
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函数奇偶性的图象(tú xiànɡ)特征
如图，给出 了 偶 函 数 y ＝ f(x) 的 局 部 图 象 ， 试 比 较 (bǐjiào)f(思1)路与f点(3拨)的：大偶小函．数 → 补全图象 → 比较大小 →
比较f－1与 f－3的大小
→
偶函数
→
比较f1与 f3的大小
答案：B
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判断下列说法是否正确(zhèngquè)，正确(zhèngquè)的在后面的括号 内打“√”，错误的打“×”．
1．函数y＝|x|的图象关于y轴对称．( ) 2．若函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0.( ) 3．定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函 数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
高中数学第一章集合与函数的概念1.3函数的基本性质1.3.2第一课时函数奇偶性的定义与判定
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【备用例 1】 已知 f(x)= 4 x2 ,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( ) (A)h(x)=f(x)+g(x)是偶函数 (B)h(x)=f(x)·g(x)是奇函数
(C)h(x)= g x f x 是偶函数
2x
(D)h(x)= f x 是奇函数 2 gx
该函数是偶函数.故选 B.
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5.(由奇偶性求参数(cānshù))已知函数f(x)= +a1 为奇函数,则a=
.
x
答案(dá àn):0
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课堂探究——典例剖析(pōuxī)·举一反三
题型一 函数(hánshù)奇偶性的判定 【例1】 判断(pànduàn)下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x;
(2)根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题(wèntí)时,应根 据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象,根据图象特征求解问题(wèntí).
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即时训练(xùnliàn)2-1:(2017·平阳县高一期中)函数f(x)=2x- 的图1 象关于( )
(2)f(x)= 1 x2 + x2 1 ;
规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.……………………1分 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),………………………………2分 因此函数f(x)是奇函数.………………………………………………3分
(2)由
1
x2
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1
函数单调性与奇偶性的综合
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大
小关系为
()
A．f(1)＞f(－10)
B．f(1)＜f(－10)
C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和 f(－10)关系不定
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又 f(x)在[0，＋∞)
(× )
(2)奇函数的图象一定通过原点．
(× )
(3)函数 f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．
(× )
(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0. ( √ )
2．函数 y＝f(x)，x∈[－1，aห้องสมุดไป่ตู้(a＞－1)是奇函数，则 a 等于 ( )
A．－1
B．0
C．1
1．3.2 奇偶性
预习课本 P33～36，思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？ (2)奇、偶函数的定义域有什么特点？ (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
[新知初探]
函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件 定
义 结论
对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有
f(－x)＝ f(x)
利用函数的奇偶性求解析式
[例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x) ＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式．
[解] 当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是奇函 数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3. 即当 x＜0 时，f(x)＝－x2－2x－3.
人教版高中数学必修1第一章集合与函数的概念-《1.3.2函数的奇偶性》教案(3)
,，可以看出函数与都是
上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
）是任意函数，那么与都是偶函数。
此命题错误。
一方面，对于函数
， 不能保证或
；另一方面，对于一个任意函数
而言，不能保证它的定义域关于原点对称。
如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。
（4）函数
是偶函数，函数
是奇函数。
此命题正确。
由函数奇偶性易证。
（5）已知函数
是奇函数，且
有定义，则。
此命题正确。
由奇函数的定义易证。
（6）已知是奇函数或偶函数，方程
有实根，那么方程
的所有实根之和
为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程
有奇数个实根。
此命题正确。
方程的实数根即为函数
与
轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：
若，则。
对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。
故原命
题成立。
4、补充例子
例：定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2
<-+-a f a f ，求实数a 的取
值范围。
课堂练习：教材第53页 练习A 、B
小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定 课后作业：第57页 习题2-1A 第6、7、8题。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用教案新人教A版必修1
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用教案新人教A 版必修1第2课时 函数奇偶性的应用[目标] 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．[重点] 利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．[难点] 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.知识点一 函数奇偶性的性质[填一填]1．奇、偶函数代数特征的灵活变通 由f (－x )＝－f (x )，可得f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；由f (－x )＝f (x )，可得f (－x )－f (x )＝0或f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．[答一答]1．什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，故－f (x )＝f (x )，所以f (x )＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f (x )＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系[填一填]由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．[答一答]3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式[例1] (1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2 015，则f(－3)＝________.(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．[答案](1)－2 009 (2)见解析[解析](1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．又g(3)＝f(3)－3＝2 015－3＝2 012，所以g(－3)＝－g(3)，即f(－3)－3＝－2 012，解得f(－3)＝－2 009.法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2 015＝－2 009.(2)解：设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1. 又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f (x )与f (－x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式，不要忘记x ＝0的特殊情况.[变式训练1] (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( B )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则x <0时，f (x )＝x 2－x .解析：(1)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.①f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.②由①＋②得g (1)＝3，故选B.(2)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x . 又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .类型二 函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小[例2] 若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52[答案] C[解析] 因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52.奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.[变式训练2] 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( D )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)解析：由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图象的对称轴为x ＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f (6)<f (7)，f (6)＝f (10)<f (9)，f (7)＝f (9)>f (10)．故选D.命题视角2：解不等式[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．[分析] 由于f (x )是奇函数，可得f (x )在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f (1－m )<f (m )转化为具体的不等式组求解．[解] 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.[变式训练3] 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：因为f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象由f (2x －1)<f (13)得－13<2x －1<13.解得13<x <23.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用[例4] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且满足对于定义域内任意的x 1，x 2都有等式f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立．(1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明．(3)若f (4)＝1，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (－6)≤3.[解] (1)令x 1＝x 2＝1得，f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，则f (－1)＝0， 令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (x )，又定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (4)＝1，又f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)， ∴f (16)＋f (4)＝f (16×4)＝f (64)， ∴f (64)＝f (4)＋f (4)＋f (4)，∴f (64)＝3. ∴f (3x ＋1)＋f (－6)≤3等价于f (－6(3x ＋1))≤3，∴f (|－6(3x ＋1)|)≤f (64)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≠0，|－6(3x ＋1)|≤64，解得x ∈[－359，－13)∪(－13，299]．对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f (1)，f (0)，f (－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f (x )与f (－x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.[变式训练4] 已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0. 解：(1)因为f (x )＝ax ＋bx 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (0)＝0，得b ＝0.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，则12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝25⇒a ＝1.所以f (x )＝x x 2＋1.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )<0， 得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1<t －1<1，－1<－2t <1，t －1<－2t ，⎩⎪⎨⎪⎧0<t <2，－12<t <12，t <13.解得0<t <13.故不等式f (t －1)＋f (2t )<0的解集为{t |0<t <13}．1．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，b ＝f (π2)，c ＝f (32)的大小关系是( C )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <a <b解析：f (x )为偶函数，则a ＝f (－2)＝f (2)． 又∵2<32<π2，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (32)<f (π2)，即a <c <b .2．已知函数f (x )是偶函数，且x <0时，f (x )＝3x －1，则x >0时，f (x )＝( C ) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．－3x －1D ．－3x ＋1解析：设x >0，则－x <0.∴f (－x )＝－3x －1.又∵f (x )是偶函数，∴x >0时，f (x )＝f (－x )＝－3x －1.3．若f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( D )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)解析：∵f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是(－∞，0)．解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，∴f(3a－10)<－f(4－2a)，∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，∴f(3a－10)<f(2a－4)．又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．——本课须掌握的三大问题1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．学习至此，请完成课时作业13。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2
x1－xx＜0.
【互动探究】 若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是 偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？
解：设 x＞0，则－x＜0， ∴f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x)． 又 f(0)＝0，
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性
第2课时 函数奇偶性的应用
学习目标
1．掌握利用函数的奇偶性求参数值．(重点、难点) 2．掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法．(重点) 3．理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求 最值、解不等式等综合问题．(难点)
1．奇函数y＝f(x)的定义域为[a，a＋4]，则a＝________. 解析：∵a＋(a＋4)＝0，∴a＝－2. 答案：－2 2．若函数f(x)是偶函数且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3. 答案：3
利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略 (1)定义域含参：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定 义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比 较系数可解．
1．函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝______. 解析：因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即ax2－2x＝－ax2－2x， 由对应项系数相等得，a＝0. 答案：0
解得－1≤m<12.
∴m 的取值范围是－1，21.
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体 现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的 相互转化，这是对称思想的应用．
高中数学第一章集合与函数概念1-3函数的基本性质1-3-2第2课时奇偶性的应用课件新人教A版必修1
[跟进训练]
1．函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，
有fxx22－－fx1x1＜0，且函数f(x＋1)为偶函数，则(
)
A．f(1)＜f(－2)＜f(3) B．f(3)＜f(－2)＜f(1)
C．f(－2)＜f(3)＜f(1) D．f(－2)＜f(1)＜f(3)
B [∵函数 f(x＋2)是偶函数， ∴函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，∴f52＝f32，f72＝f12， 又 f(x)在[0,2]上单调递增， ∴f12<f(1)<f32， 即 f72<f(1)<f52.]
比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上. 1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到 同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
合作 探究 释疑 难
用奇偶性求解析式
【例 1】 (教材改编题)(1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，求 f(x)的解析式；
(2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1，求函数 f(x)，g(x)的解析式．
思路点拨：(1)
[解] 设 x≤0，则－x≥0，则 f(－x)＝x＋1. 又 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)＝x＋1. 故 f(x)的解析式为 f(x)＝x－＋x1＋，1， x≤x>0，0.
2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数”，再求 f(x)，g(x)的解析式．
函数单调性和奇偶性的综合问题
[探究问题] 1．如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(－b， －a)上的单调性如何？ 如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(－b，－a) 上的单调性如何？
高中数学 第1章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念
第1课时奇偶性的概念学习目标核心素养1.理解奇函数、偶函数的定义．2．了解奇函数、偶函数图象的特征．3．掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，提升直观想象素养．2．借助函数奇、偶的判断方法，提升逻辑推理素养.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于函数f(x)定义域内的任意一个x结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x) 图象特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是( )A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0,1]B[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.] 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A BC DB [B 选项的图象关于y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．无法确定C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝0，即a ＝1.] 4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 3 [∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝3.]函数奇偶性的判断【例1】 (教材改编题)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.[解] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )， 因此函数f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，0，x ＝0，－x －1，x <0.于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：[跟进训练]1.下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x2；④f (x )＝x ＋1x；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]．②③ [对于①，f (－x )＝－x 3＝－f (x )，则为奇函数； 对于②，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝1－x2＝1x2＝f (x )，则为偶函数；对于④，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] 2．判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)； (2)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|； (3)f (x )＝1－x2x；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x －3，x ＞0.x 2＋2x ＋3，x ＜0.解：(1)定义域[－4,4)不关于原点对称，因此函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数f (x )定义域为R ，且f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，因此函数f (x )为偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≠0得－1≤x ＜0或0＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]， 又f (－x )＝1－－x 2－x＝－1－x2x＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．(4)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－f (x )．综上知，f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数．奇偶函数的图象问题【例2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．[解] (1)如图所示(2)由(1)可知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函数的图象求解问题1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.[跟进训练]3．如图是函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．[解] 因为f (x )＝1x 2＋1所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1－x2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．利用函数的奇偶性求值1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.思路点拨：(1)f x是偶函数――――→定义域关于原点对称求a的值――――→图象关于y轴对称求b的值(2)令g x＝x7－ax5＋bx3＋cx―→判断g x的奇偶性―→计算g－3―→代入求得f3(1)130 (2)7[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]利用奇偶性求参数的常见类型及策略1定义域含参数：奇、偶函数f x的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.2解析式含参数：根据f－x＝－f x或f－x＝f x列式，比较系数即可求解.[跟进训练]4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝________.－32 [由题意知f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－12×－1＝－32.]5．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.4 [法一：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，f (－x )＝(－x ＋a )(－x －4)＝x 2－(a －4)x －4a ，两式恒相等，则a －4＝0，即a ＝4.法二：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a －4＝0，则a ＝4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x )＝ax 2＋c 的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a ＝4.]1．核心要点：奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数f (x )定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．2．数学思想：奇(偶)函数图象的对称性，也体现了在关于原点对称的定义域上自变量互为相反数的两个函数值及其性质的相互转化，这是数形结合思想的具体体现．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 2，x ∈[0，＋∞)是偶函数．( )(2)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数． (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋1x－1，则f (－2)＝( )A ．－112 B.112 C ．－92 D.92D [由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(－22＋12－1)＝92.]3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.0[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.] 4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．[解] (1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．。
高中数学 第一章 集合与函数 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇
梳理
一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该 等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求； ②图象上任意一点均满足该式. 特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求对 称区间[－b，－a]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b， －a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x， y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.
证明
引申探究 区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称. (1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最 _小___值_－__M__. 解析 设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]， ∴f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M. ∵f(x)为奇函数，∴－f(x)≤M，f(x)≥－M， 且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M. ∴f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.
知识点三 奇偶性的推广
思考
对于定义域内任意x，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于
(0,0)对称，那么若f(1－x)＝－f(1＋x)，函数f(x)的图象又有什么
特点？
x1＋2 x2＝1，
答案 设 1－x＝x1,1＋x＝x2，则有fx1＋2 fx2＝0，
即点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))关于点(1,0)对称.
证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2. ∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b. ∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1). ∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
高中数学第1章集合与函数概念1.3.2奇偶性(第2课时)奇偶性的应用aa高一数学
第一章 集合(jíhé)与函数概念
1.3.2 奇偶性
第二课时(kèshí) 奇偶性的应用
第一页，共二十七页。
学习目标：1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式. 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单(jiǎndān)的 问题．
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第二页，共二十七页。
[合 作 探 究·攻 重 难]
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2．（2019 年重庆模拟）已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)<f(2)
C．f(1)＝f(2)
D．以上都有可能
[答案]A [∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选 A.]
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2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数”，再求 f(x)，g(x)的解析式． [[解解]] ∵∵ff(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴∴ff((－－xx))＝＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 又又 ff((xx))＋＋gg(x)＝x－1 1，① 用用－－xx 代代替替上式中的 x，得 ff((－－xx))＋＋gg((－x)＝－x1－1，
用奇偶性求解析式 例 1 (1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，求 f(x)的 解析式； (2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1，求函数 f(x)，g(x)的解 析式.
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高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性aa高一数学
的奇偶性,这是一种非常有效的方法.
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第二十一页，共三十三页。
课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思想方法
当堂检测
变式训练 2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思想方法
当堂检测
探究三分段函数的奇偶性问题
- 2 + 2, > 0,
例 3 已知函数 f(x)= 0, = 0,
是奇函数,则 m=
2 + , < 0
.
解析:∵当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
函数.
(2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.
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课前篇
自主预习
一
二
5.判断(pànduàn)正误:
(1)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.(
)
(2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.(
答案:(1)× (2)×
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)
课前篇
三
思想方法
当堂检测
变式训练1判断下列函数的奇偶性:
3
(1)f(x)= 2 ;
+3
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性课件
故 f(x)＝0，x＝0， x3＋x－1，x<0.
探究 4 函数的奇偶性与单调性的综合应用
例 4 (1)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 [2,6]上是减函数，比较 f(－5)与 f(3)的大小；
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上是减函 数，若 f(1－m)<f(m)，求实数 m 的取值范围．
xx＋2，x>0，
故 f(x)＝0，x＝0， x2－x，x<0.
拓展提升 求函数解析式的注意事项
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪 个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用 f(x)的奇偶性解出 f(x)． 注意：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有 f(0)＝0.
第一章 集合与函数概念
1．3 函数的基本性质 1．3.2 奇偶性
课前自主预习
1．奇偶函数的定义 (1)偶函数的定义：
□1 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)
＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数的定义：
□2 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)
因为 f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即 f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数 f(x)＝x＋1 既不是奇 函数又不是偶函数．
(2)使函数有意义满足x1－－1x≥≥00，， 所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以 f(x)为非奇非偶函 数．
【跟踪训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，并 且当 x>0 时 f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
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1.3.3 函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 利用奇偶性求值的类型及方法
(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
1.f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ＋1 x ，
x 2
＋2x －1
x
；
[解] 函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2
－2x －1＝－f (x )， 当x <0时，－x >0， f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 2.f (x )＝4－x
2
.
x ≤2且x ≠0，
－－x
2
－x
＝－
)，即函数
3.(1)已知函数f (x )＝x 3
＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1
D ．－2
(2)若函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.
1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2
＋x C ．f (x )＝2x －2－x
D ．f (x )＝x 2
＋cos x
答案：D
2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．f (x )＝1＋x 2
B ．f (x )＝x ＋1
x
C ．f (x )＝2x
＋12
x
D ．f (x )＝x ＋e x
解析：选D A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x 2
＝1＋x 2
＝f (x )，所以是偶函
数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1
x
＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义
域为R ，由于f (－x )＝2－x
＋
12－x ＝12
x ＋2x
＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e
x －x ，所以是非奇非偶函数．
3．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12 B.1
2
C ．2
D ．－2
解析：选B 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.
4．设函数f (x )＝x ＋
x ＋a x
为奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ＋
x ＋a
x
为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0，即
＋
＋a
1
＋
－1＋
－1＋a
－1
＝0，∴a ＝－1.
答案：－1
5．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1。