高中数学 1.1两个基本计数原理导学案苏教版选修23

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2019-2020学年苏教版选修2-3 1.1 两个基本计数原理教学学案

1．1两个基本计数原理1.了解计数问题．2.理解区分分类计数原理与分步计数原理．3．掌握用两个基本计数原理解决简单的实际计数问题．1．分类计数原理(加法原理)如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理(乘法原理)如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选1门，则不同的选法共有() A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C3．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A．1 B．3C．6 D．9答案：D4．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120分类计数原理的应用在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25个．利用分类计数原理计数时的解题流程1.(1)某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有7位同学只会用综合法证明，有5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为________．(2)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．解析：(1)由分类计数原理可得，有7＋5＝12(种)不同的选法．(2)任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．答案：(1)12(2)8分步计数原理的应用从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b 的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步计数原理得：5×5×4＝100条．1．若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a有两种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x2m＋y2n＝1的参数m，n，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6个．利用分步计数原理计数时的解题流程2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有() A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．两个计数原理的综合应用现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一人任组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解】(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别是从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．两个计数原理解题的思路(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)混合问题一般是先分类再分步．3.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法，第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．(2)想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法，第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120(种)取法．两个计数原理的联系与区别(1)联系分类计数原理与分步计数原理的共同点是把一个原始的事件分解成若干个分事件来完成，它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题．(2)区别分类计数原理分步计数原理区别一完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”区别二每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，则6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人，有6种方法，此时选一人会日语，有2＋1＝3种方法．由分步计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：从既会英语又会日语的人中选一人，有1种方法，此时选一人会日语，有2种方法．由分步计数原理可得N2＝1×2＝2种．综上，由分类计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20种．(1)本题易忽视了既会英语，又会日语的人的双重性，当从7个会英语的人中选出的1人是既会英语又会日语的，他就不可以再参加会日语的选取，因此选会日语的人时，只有2种选法了．(2)解答此类问题，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．1．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．解析：当a ＝0时，方程化为2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，有序数对(0，b )有4个；当a ≠0时，Δ＝4－4ab ≥0，得ab ≤1，有序数对(－1，b )有4个，(1，b )有3个，(2，b )有2个．综上共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案：132．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是________．解析：由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理得N ＝3×2×4＝24(种)．答案：24[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A ．5B ．4C ．9D ．20解析：选 C.由分类计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是()A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是()A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C ＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C 的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22条，即所求的不同的直线共有22条．答案：228．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有________．解析：参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第三步：最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)不同的参观路线．答案：489．数字1，2，3可以组成多少个四位数？解：要组成一个四位数可以分成四个步骤：第一步确定千位上的数字，从3个数字里任选一个数字，共有3种选法；第二步确定百位上的数字，依题意数字允许重复，仍有3种选法；第三步确定十位数字，同理，也有3种选法；同理，第四步确定个位数字，也有3种选法，根据分步计数原理得到可以组成的四位数的个数是：N＝3×3×3×3＝34＝81.10．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数m＞n的数对有多少个？解：(1)因为集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个不同的数对．[B能力提升]1．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．2．n2个人排成n行n列，若从中选出n名代表，要求每行每列都有代表，则不同的选法共有________种．解析：分n步完成：第一步，从第1行中选一名，有n 种选法；第二步，从第2行中选一名，有n－1种选法(因为要求每行每列都有代表，故第一步选出的代表所在的列不能再选)；…；依此选下去，到第n－1步，从第n－1行中选一名时，有2种选法；最后一步只有惟一的选法．根据分步计数原理，不同的选法共有n·(n－1)·(n－2)·…·2×1种．答案：n·(n－1)·(n－2)·…·2×13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．4．(选做题)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示甲、乙)，要求在①②③④区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①②③④着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有着色方法为6×5×4×4＝480(种)；(2)两个小题的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块．同理，不同的着色方法数是n(n－1)(n－2)(n－3)．所以n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，所以n＝5.。

江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理2

分析:从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法,乘火车，有4种方法;
第二类方法,乘汽车，有2种方法;
第三类方法,乘轮船,有3种方法;
所以从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法。
问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
分析:从A村经B村去C村有2步,
第一步,选一名男三好学生,有m1 = 5种方法;
第二步,选一名女三好学生,有m2 = 4种方法;
所以,根据分步原理,得到不同选法种数共有N = 5×4 = 20种。
例2
1在图1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
2在图1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是，这里 .其中是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要“少”

【复习必备】2018年高中数学第1章计数原理 1.1 两个基本计数原理教学案苏教版选修2-3

1.1 两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？提示：两类，即乘飞机、乘火车．问题2：这几类方法相同吗？提示：不同．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7＋5＝12(种)．2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球．问题4：不同的摸法有多少种？提示：3＋5＝8(种)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员．问题5：不同选法的种数为多少？提示：26＋24＝50.完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京．问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7×5＝35 种．2．若x∈{2，3，5}，y∈{6，7，8}．问题4：能组成的集合{x，y}的个数为多少？提示：3×3＝9(个)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员．问题5：不同的选法的种数为多少？提示：26×24＝624种．完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情．2．分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．[例1] 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？[思路点拨] 先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和．[精解详析] 从中选1人去献血的方法共有4类：第一类：从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；第二类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法．利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法．[一点通] 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数．1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有________种．解析：分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法．答案：42．所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为________．解析：假设另两边长分别为a，b(a，b∈Z)，不妨设a≤b≤11，要构成三角形，必有a＋b≥12，因此b≥6.当b＝11时，a可取1，2，3，…11；当b＝10时，a可取2，3，…，10；当b＝6时，a 只能是6.故所有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：363．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4＝9(种).[例2] 要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？[思路点拨] 该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行．[精解详析] 先排第一天，可排5人中任一人，有 5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法．由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1 280 (种)．[一点通] 利用分步计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．4. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法．答案：2165．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：126．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同方法．由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.[例3] 有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？[思路点拨] (1)从老师、男、女同学中选 1人，用分类计数原理．(2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理．(3)分类计数原理与分步计数原理的综合．[精解详析] (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．[一点通] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．7．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有________条．解析：解决这件事分两类完成：第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y＝0或x＝0，共2条；第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法．由分步计数原理，共可确定4×3＝12(条)直线．所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)．答案：148．从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法．解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5×8＝40种不同的选法．答案：409．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成13)共13种坐法．由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．1．利用分类计数原理解题的步骤(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；(2)计数：求出每一类中的方法数；(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果．2．利用分步计数原理解题的步骤(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．课下能力提升(一)一、填空题1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．答案：82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．答案：93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.答案：644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．答案：965．从集合A ＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的系数b ，c ，且b ≠c ，则可构成________个不同的二次函数．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b ，有4种方法；第二步选出c ，由于b ≠c ，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．答案：12二、解答题6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？解：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为32时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．7．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？解：按a，b，r取值顺序分步考虑：第一步：a从3，4，6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步计数原理知，表示的不同圆有N＝3×4×2＝24(个)．8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用[例1] 从0，1，2，3，4，5这些数字中选出4个，能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？[思路点拨] 能被5整除的数分为末位数字为0及末位数字为5两类．[精解详析] 满足条件的四位数可分为两类：第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：确定首位有5种方法；第二步，确定百位有4种方法；第三步，确定十位有3种方法．所以第一类共有5×4×3＝60(个)．第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步，确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．第二类共有4×4×3＝48(个)．所以，满足条件的四位数共有60＋48＝108(个)．[一点通] 对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．1.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．解析：由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1，2，3时，也共有6种，共12种．答案：122．由0，1，2，3，…，9十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为________．解析：复数a＋b i(a，b∈R)为虚数，则a有10种选法，b有9种选法，根据分步计数原理，共计90种选法．答案：903．从 1，2，3，4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1，2，3，4 中选 1 个数字，有 4 种方法；第二步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，可以从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法．根据分步计数原理，共有4×3×2＝24 个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位偶数.[例2] 如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？[思路点拨] 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论．[精解详析] 按地图A，B，C，D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B，C区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6.[一点通] 给区域涂色(种植)问题的一般思路：为了便于分析问题，先给区域(种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类，最后利用两个原理计数．4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同种法的种数为________种．解析：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种．D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法的种数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84.答案：845．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析：因为每四个小方格(2×2型)中有L型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有L 型图案4×12＝48(个)．答案：486. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种不同的涂色方法；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种不同的涂色方法．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.[例3] 有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？[思路点拨] (1)分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；(2)分三步，每一项竞赛都有一名同学参加．[精解详析] (1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81种不同结果．(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得4×4×4＝43＝64种不同结果．[一点通] 解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．7．保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则有________种不同结果．解析：第一个项目可挑选4位学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩余的3位学生中选一位，有3种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有2种不同的选法．故共有4×3×2＝24种不同结果．答案：248．(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步，每位同学取书一本，第1，2，3个同学分别有8，7，6种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81种．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64种．两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法课下能力提升(二)一、填空题1．用1，2，3，4可组成________个三位数．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．答案：642．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．答案：67 6003．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分步计数原理可得，共有35＝243种不同的发送方法．答案：2435. 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案：480二、解答题6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．7．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900 个．(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．8.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。

高中数学1.1两个基本计数原理教案2苏教版选修2_3

杏：上大下小，上面要写得大，大在哪里？（大在撇捺）写的时候撇捺要舒展，象燕子张开的翅膀；下面的“口”要写得小，左右两竖要内斜，稍扁；“木”的竖写在竖中线上。
花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打×）。
板书设计：结构特点（6）宝、穷、写、会、奔
我的思考：使学生更好的把握好字的结构，同时在教师的指导下提高学生辨别能力。激励学生更好的书写。
第（5）课时
课题：怎样写好字
课型：复习课
教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。
教学过程：
一、正确的学书之路
1．临帖
临帖是学习书法的最根本的方法。古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。
二、指导“车”字旁写法：
1、出示范字，观察“车”字旁写法。2、讨论明确其书写要领：“车”字旁分四笔完成，整个偏旁左重右轻，不超过竖中线。第一笔横稍短。第二笔撇折收笔于横中线。第三笔垂露竖，应在第一笔横下的正中位置起笔。最后一笔，比第一横长一些，离折笔稍近一些。3、练写“车”字旁。
三、指导临写“轻”字。
春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。
雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。
江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。
总第（2）课时

高中数学苏教版选修2-3《1.1.1两个基本计数原理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学苏教版选修2-3第1章《1.1.1两个基本计数原理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.能说出分类计数原理和分步计数原理;
2.会用分类计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题
2重点难点
区分两个基本计数原理,正确地选用两个计数原理解决实际问题
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【导入】课前预习
完成一件事,有类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第类方式中有种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.分类计数原理又称为原理。

注:做一件事有类方式,每一类方式中的每一种方法均完成了这件事。

完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,在第2步有种不同的方法,……,在第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.分类计数原理又称为原理。

注:做一件事要分个步骤完成,只有所有步骤完成时,才完成这件事,也就是说,每一步骤中每种方法均不能完成这件事。

2【讲授】例题剖析
例1某班共有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。

(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》

追问3：这就是说从常州到上海共有两类可供选择的交通工具，每一类交通工具中的每一种是否都可以让小包同学完成这件事？因此我们将它们相加
追问4：如果还有3个班次的动车呢？
问题2：小包同学进入大学后对自己严格要求、勤奋好学、积极上进，学习游刃有余，所以小包同学想再选修第二专业。通过了解，他在以下学院中选择一个专业，那么他可能选择的专业有几种？
追问1：这里小包同学完成了什么事？
追问2：这里有几种可供他选择的类型？
追问3：中选择这里任何一个专业时，这件事有没有完成？
问题3：小包同学暑期放假，他想“既要读万卷书、也要行万里路〞所以他决定到舍友的家乡杭州游历，欣赏一下西湖美景，然后再回常州。他准备先乘火车去杭州，两天后乘汽车回常州。每天适宜的火车有4个班次，汽车有3个班次，那么他从上海回到常州有几种不同的走法？
请看下面几个问题：
问题1：如果我班班长包栋梁同学经过自己的努力，一年后考上了上海的大学开学报到时,他在思考如何选择适宜的交通工具如果从常州到上海一天中适宜的高铁有3班次，直达客车有2个班次，那么一天中乘坐这些交通工具从常州到上海会有多少种不同的直达方法？
追问1：“5〞是怎么来的？为什么将他们相加？
追问2：这里，小包同学完成了一件什么事？
在图⑵的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
问题7：上述问题⑴中需要完成什么事？
问题8：能否一步完成？采用哪种计数原理？
问题9：对于问题⑵你有是怎么想的？
解：在图⑴中，按要求接通电路，只要在中的2只开关或中的3只开关中合上1只即可根据分类计数原理，共有种不同的方法
在图⑵中，按要求接通电路，必须分两步进行：第一步，合上中的1只开关；第二步，合上中的1只开关根据分步计数原理，共有种不同的方法

高中数学《1.1两个基本计数原理》学案苏教版选修2-3

选修2-3 第1课时两个基本计数原理教学目标：1．准确理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别．2．会运用分类计数原理和分步计数原理解决一些简单的问题．教学过程：一、概念讲解：1．分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，……在第n类方式中有m n中不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．二、例题讲解例一、某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各1名，则有多少种不同的选法？例二、（1）在图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？（2）在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？练习：1．（1）现有高中一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名．① 从中任选一人参加夏令营，有 ________ 种不同的选法？② 从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？2．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则有报名方法例3 为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A 到Z 这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？例4、有5种不同的书（每种不少于3本），从中选购3本送给3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？练习：1．某超市有四个门供购物者通行，若自由出入，共有__________种走法．2．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有_ _个三、课后作业：1．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成，且英文字母在前，其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F这6个字母中的1个，数字可以是1，2,…9这9个数字中的1个，问：共有多少种不同的编号？2．某人有4枚明朝不同年代的古币和6枚清朝不同年代的古币.（1）若从中任意取出1枚，则有多少种不同取法？（2）若从中任意取出明、清古币各1枚，则有多少种不同取法？3．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班.一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？4．手表厂为了生产更多款式新颖的手表，给统一的机芯设计了4种形状的外壳、2种颜色的表面及3种形式的数字.问：共有几种不同的款式？5．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是________．6．书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有6本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书．(1)从这些书中任取1本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中任取1本数学书，1本语文书，1本英语书共3本书的不同的取法有多少种？(3)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？。

2019-2020学年高中数学 1.1 两个基本计数原理(2)导学案苏教版选修2-3.doc

C
D
乙
四：学后反思
课堂检测——1.1 两个基本计数原理（1）
姓名：
1、乘积 (a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 )(c1 c2 c3 c4 c5 ) 展开后共有多少项？ 2、（200 2.在 1，2 ，3，4，5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 3、(2005,北京春（文），5 分)从 0，1，2，3 这四个数中选三个不同的数作为函数 f ( x) ax2 bx c 的系数，可组成不同的一次函数共有同的二次函数共有个。个，不
2019-2020 学年高中数学 1.1 两个基本计数原理（2）导学案苏教版选修 2-3
一：学习目标（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二：课前预习 1、分类计数原理（加法原理）：完成一件事有 n 类方式，由第 1 种方法中有 m1 种不同的方法可以完成，由第 2 种方法有 m2 种不同的方法可以完成，……由第 n k 种途径有 mn 种方法可以完成。那么，完成这件事共有 N 种不同的方法。 2、分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N 种不同的方法。
变式：1、如果按照①、②、④、③的次序填涂，怎样解决这个问题？ 2、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( ) A. 180 ② ① ③ 图一若变为图二,图三呢? ④ B. 160 ① ③ ② 图二 ④ ② C. 96 D. 60

苏教版选修23高中数学1.1《两个基本计数原理》word导学案

1.1 两个基本计数原理1．分类计数原理完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．预习交流1应用分类计数原理的原则是什么？提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．预习交流2应用分步计数原理的原则是什么？提示：做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．一、分类计数原理问题从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．解：根据运输工具可分四类：第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N ＝3＋8＋2＋2＝15.设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．答案：14解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．二、分步计数原理问题有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．解：分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球，有5种不同的取法；第3步是取黄球，有4种不同的取法；根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．答案：756解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．答案：12解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．答案：16解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．答案：255解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法；第3步从30～36中选1个号共有7种选法；因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》7

通过实例分析,让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并弄清它们之间的内在联系与主要区别,能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的计数问题; 2通过探究活动,使学生在经历两个原理发现的过程中,理解由特殊到一般的归纳推理思维,体会一般到特殊的演绎推理思维,培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和应用数学知识分析问题、解决问题的能力; 3通过合作交流,培养学生周密思考、细心分析的良好习惯,使学生在现实生活中面对复杂的现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进而制订出完善的处理方案,体验数学知识的广泛应用性学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些简单的计数问题,已经具备了一定的归纳、类比能力,在平时的学习中会自学或不自觉地使用“分类〞和“分步〞的方法来思考和解决问题,这些都是学生学习两个计数原理的认知根底,形成了学生思维的“最近开展区〞两个计数原理深刻地反映了人类计数最根本的思想,即“分解〞的思想,具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去计数分类用加法原理,分步用乘法原理,单纯这点学生是容易理解的学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍,局部同学对乘法原理的运算结果难以理解这是需要在教学中着力解决的问题对于学生而言,“计数〞是其学习数学的根本能力之一,简单的计数问题,其解决方法就是“数〞数,但复杂的问题呢要使学生意识到,只会机械地“数〞是不够的,必须从简单的、已能解决的计数问题中,抽象出能够解决一“类〞问题的方法,并明确界定适用该方法的问题的“类〞学习的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程,从而掌握解决实际计数问题的流程,即:分析问题→构造方法→选择原理→解决问题学生学习的难点那么是在具体问题解决中,区别使用计数原理本节内容中的课本引例、例题和习题,学生通过预习大多都能看懂为了贴近学生实际生活,激发学生学习兴趣,在创设情境和例题的选用上,教学时选择了学生所熟悉的校园生活事例学生在合作交流中,对问题的理解可以得到互补完善从学生答复下列问题和学生间的相互评价中,使老师更多地了解学生的理解程度采用教师引导启发、学生分组合作学习的方式进行教学利用多媒体显示问题情境,让学生通过小组活动,具体地分析比拟,进而归纳总结,遵循从特殊到一般的思维过程,既关注学生的认知根底,又促使学生在原有认知根底上获取知识,学会思考,提高思维能力,保持高水平的思维活动,符合学生的认知规律凸显数学知识发生开展的过程,力求教学内容的生活化,创设真实、自然、贴近学生实际的教学情境,组织形式多样的教学活动,做到为用而学,在用中学自始至终地关注学生的情感、态度和价值观,充分利用直观、形象等图文并茂、灵活多样的教学方式,努力营造宽松、民主、和谐的教学气氛,让学生积极参与课堂活动,感受成功的喜悦【导入】设置情境，引入新课【活动】探索研究，形成概念评论问题1:要开学了, 通过查询,小高得知:从太仓到南京,一天当中适宜的直达高铁车有2个班次,直达客车有3个班次,那么一天中乘坐这些交通工具从太仓到南京会有多少种不同的直达方法问题2:小高想从南京大学两个学院中选择一个专业,那么他可能的专业选择有多少种问题3:从太仓到南京要途径常州, 上午从太仓去常州坐高铁有3个班次, 下午从常州到南京坐汽车有2个班次, 那么从太仓到南京要途径常州有多少种不同的方法问题4:小高去黄山时带有4件不同的外衣,3件不同的外裤,那么小明有多少种搭配穿衣的方法【设计意图】问题驱动,引导学生感知计数原理对4个问题,讨论它们的异同、特点,总结模型分类计数原理:如果完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m n 种不同的方法分步计数原理:如果完成一件事需要两个步骤,做第一步有m 种不同的方法,做第2 步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m×n 种不同的方法问题5:小高因为优秀成为家里弟妹的典范,经常帮助弟妹解答疑难,这是表妹小红的问题:在由电键组A与B所组成的并联电路中,如图1,仅合上1只开关接通电路使电灯发光,有多少种不同的方法如果再增添一组电键C呢继续添加呢在数学上该怎么表达图1图2 变式:如果电键组A、B组成如图3的串联电路中,仅合上2只开关接通电路,使电灯发光的不同方法有多少种如果再增添一组电键C呢继续添加呢在数学上该怎么表达【设计意图】推广模型,帮助学生建构计数原理分类计数原理加法原理:完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第n类方式中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法活动3【活动】比拟归纳，深化概念评论问题6:两个计数原理有什么异同相同点:都是完成一件事的不同方法的种数的问题不同点:分类计数原理是将办事方法分为假设干类,每一类方法之间是相互独立的,用任一种方法都可以完成这件事情;而分步计数原理是将办事方法分成假设干步进行,各个步骤相互依存,必须是各个步骤都完成了,这件事情才完成问题7:区别分类和分步的依据是什么分类时各类方法都能独立完成这件事;而分步时每一步都不能独立完成这件事例题1小明在学校不仅认真学习,还非常积极地参加学校的活动,他竞选上了系文艺部长,现在需要举办一次艺术节活动,要在 3 名教师,8名男生和5 名女生当中1选出一人主持这个文娱演出,会有多少种不同的选法2如果需要教师、男生、女生各1人共同主持,有多少种不同选法3如果需要1名教师、1名学生来主持,会有多少种不同的选法例题2小明为了更好地和以前的教师及同学联络,上网注册了一个电子邮箱我们知道,在申请电子邮箱的时候,除了用户名还要有密码为了确保电子邮箱的平安, 在注册时,要设置电子邮箱密码,在某网站设置的信箱中: 1密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个2密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的一个,这样的密码共有多少个3密码为4—6位,每位均为0到9这10个数字中的一个,这样的密码共有多少个例题3 江苏省太仓高级中学社团活动很丰富，小高同学习小组的5名同学准备报名参加心理协会、辩论协会、推理协会，每人限报其中的一项且必须报一项，不同的报名方法有多少种？总结:请同学们思考解决计数应用问题的方法和步骤: 1、完成的这件事是什么2、如何完成这件事3、它们属于分类还是分步是否独立完成4、运用哪个计数原理5、进行计算【设计意图】通过这两个例题,让学生辨析两个计数原理的异同,初步掌握解决计数应用问题的策略活动4【练习】学以致用，培养能力评论练习1 生活中有很多的计数问题,那么现在你能举出一些用分类或是分步原理进行计数的例子吗请学生举例,视时间决定请2到3位学生如:学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤菜1假设你只吃一样菜,你有多少种选择2假设要配成一荤一素一汤的套餐,可以配制出多少种不同的品种4现有甲、乙、丙、丁4种不同的花供选种，要求在如图环形花坛里每块区域种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么有种不同的种法总数，请同学们课后思考区域变成4块或5块呢？5【活动】总结反思，感悟收获评论请同学们说说今天这堂课的收获, 最后总结: 一个中心问题:计数; 两个根本原理:分类加法原理,分步乘法原理; 三个核心关键:完成怎样的一件事,需要分类,还是分步。

高二数学教案 1.1 两个计数原理学案苏教版_选修2-3

§1.1 两个计数原理(1)编写：江凤芹审核：黄爱华一、知识要点1.分类计数原理；2.分步计数原理.二、典型例题例1.某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加学代会.⑴若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？⑵若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少种不同的选法？例2.⑴在图(1)中的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？⑵在图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？高二数学选修2-3 教学案01例3.要从甲、乙、丙、丁4名工人中选出2名分别值星期日的日班和晚班，有多少种不同的选法？三、巩固练习1.乘坐交通工具从甲地到相距较远的乙地，可以乘飞机，也可乘火车，还可以乘长途汽车，一天中，飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班.问：一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有种不同的方法.2.将3封信投入2个信箱中，不同的投法有种；将2封信投入3个不同的信箱中，共有种不同投法.3.把4名实习老师分配到5个班实习，每个班人数不限的分配方案有种；每个班最多有1名老师的分配方案有种.4.书架上原来并排放着5本书，现要再插入3本不同的书，有多少种不同的插法？5.在1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字5的自然数有多少？四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.若1,2,3,5,6,7x y ，则xy 的不同值的个数为 .2.一名学生去书店，发现4本好书，决定至少买其中1本，则这名学生的购书方案共有种.3.若,x y N ，且6x y ≤，则有序数对(,)x y 共有个.4.某商场有东南西北四个大门，从一个大门进去又从另一个大门出来，共有种不同走法.5.有3个小盒要放入4个不同颜色的小球，则不同的放法有种.6.3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，则不同的报名方案有种.7.在三个不同的盒子中，分别装有不同标号的红球10个，白球9个，黄球8个.⑴从三个盒子中任取1个球，共有多少种不同的取法？⑵从三个盒子中各取1个球，共有多少种不同的取法？⑶若要从盒子中任取2个球，其颜色不同的取法有多少种？8.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？订正栏：。

高中数学苏教版选修2-3教案 1.1 两个基本计数原理1

: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－233＝127， P(ξ＝1)＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232＝29， P(ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝49， P(ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P(C)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23⎣⎢⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎥⎤12＋13×13×12＝1034， P(D)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．(2016·余姚高二质检)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P(A i )＝12，P(B j )＝13，P(C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )＝P(A i ∪C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，23，即P(ξ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是[构建·体系]1．(2016·桂林二模)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582 【解析】 “X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此，P(X ＝12)＝38·C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582.【答案】 D2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14【解析】 ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34.【答案】 C3．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________. 【62690039】【解析】每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P(A)＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝827. 【答案】8274．设X ～B(4，p)，且P(X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．【解析】 P(X ＝2)＝C 24p 2(1－p)2＝827，即p 2(1－p)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23.【答案】13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【解】设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P(A)＝23，P(B)＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A)[1－P(A)]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＝1681. 所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A)·[1－P(A)]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C34P3(B)·[1－P(B)]1＝27 64.故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )A．0.93B．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92 【解析】由独立重复试验恰好发生k 次的概率公式知，该事件的概率为C 35×0.93×(1－0.9)2.【答案】 C2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116 B.135512C.45512D.271 024【解析】此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫343＝135512. 【答案】 B3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56 D.34【解析】设所求概率为p ，则1－(1－p)4＝6581，得p ＝13.【答案】 A4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123 D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125【解析】如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为 P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125.故选B.【答案】 B5．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，则P(ξ＝k)最大时，k 的值为( )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．5【解析】依题意P(ξ＝k)＝C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P(ξ＝0)＝32243，P(ξ＝1)＝80243，P(ξ＝2)＝80243，P(ξ＝3)＝40243，P(ξ＝4)＝10243，P(ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P(ξ＝k)最大．【答案】 A 二、填空题6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)【解析】设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B(1 000，0.001)． (1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X ＝0)＝1－0.9991000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P(X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 17．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)【解析】由已知可求通项公式为a n ＝10－2n(n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12. ∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＝625. 【答案】6258．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①② 三、解答题9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ，求X 的分布列．【解】由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以P(X ＝k)＝C k 4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)，所以X 的分布列为10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为35，乙队获胜的概率为25，且每局比赛的胜负是相互独立的．(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．【解】 (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P 1，则P 1＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35＝6483 125. (2)设乙队获胜的概率为P 2，则P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35·25＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·25＝9923 125.[能力提升]1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648【解析】甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648.【答案】 D2．(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子n 次，设出现k 次点数为1的概率为P n (k)，若n ＝20，则当P n (k)取最大值时，k 为( ) A ．3B ．4C ．8D ．10【解析】掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X ，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20，16，P n (k)＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5620－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16k .P n k P nk －1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1.当1≤k ≤3时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1>1，P n (k)>P n (k －1)．当k ≥4时，15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1<1，P n (k)<P n (k－1)．因此k ＝3时，P n (k)取最大值．故选A.【答案】 A3．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________. 【62690040】【解析】所有同学都不通过的概率为(1－p)n ，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n .【答案】 1－(1－p)n4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，13，则P(X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827， P(X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫231＝29，P(X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127.X 的分布列如下：第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点))2．会应用两个计数原理解决简单的实际问题．(难点[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分，完成下列问题．两个计数原理的联系与区别：【答案】分解成若干个完成独立一种中间独立地完成任何一步各个步骤1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________．【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．【答案】363．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．【答案】184．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个．【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型](1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16种B．18种C．37种D．48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．【答案】(1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[再练一题]1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)，选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码．(2)四位整数．【精彩点拨】(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解．【自主解答】(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个)．1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[再练一题]2．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．[探究共研型]探究1 用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？图114【提示】涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．探究2 在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．探究3 在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图115所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？图115【精彩点拨】给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．【自主解答】法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．第二类，用3种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.[再练一题]3．如图116所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．。

【数学】学年高中数学第一章计数原理11两个基本计数原理学案苏教版选修23

【关键字】数学1.1 两个基本计数原理1．掌握分类计数原理与分步计数原理．(重点)2．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 分类计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事公有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式公有7种．( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法公有14种．( )【解析】(1)×在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．(2)√在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．(3)√由分类计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．(4)√根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法公有8＋6＝14(种)．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√教材整理2 分步计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事公有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(2)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况公有43种．( )【解析】(1)√因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．(2)×因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．(3)√因为x从集合{2,3,7}中任取一个值公有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值公有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．(4)×因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理公有34种不同的夺冠情况．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数公有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法．公有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理知，符合题意的两位数公有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数公有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．1．应用分类计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．2．利用分类计数原理解题的一般思路[再练一题]1．(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．【答案】(1)3 (2)15分步计数原理一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理．【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．1．应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2．利用分步计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．[再练一题]2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．由分步计数原理，得2×3＝6种．[探究共研型]探究1试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事．探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐．利用分步计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．1．能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．利用分步计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．[再练一题]3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分类计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120种取法．[构建·体系]1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．【解析】由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．【答案】82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种. 【导学号：】【解析】分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师有3种选法；第二步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．【答案】93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有______种．【解析】第1名学生有4种选报方法；第2,3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.【答案】644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)【解析】分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)．根据分类计数原理得，共有方案48＋48＝96(种)．【答案】965．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人去领奖，共有________种不同的选法；从中选一名男生，一名女生去领奖，则共有________种不同的选法．【解析】从中选一人去领奖有6＋4＝10(种)方法．从中选一名男生一名女生去领奖有6×4＝24(种)选法．【答案】10 242．一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务，但需在北京停留．已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到南京每天有6列火车，该志愿者从沈阳到南京共有________种不同的方法. 【导学号：】【解析】根据分步计数原理，此人可选择的行车方式共有6×7＝42(种)．【答案】423．(2016·徐州高二检测)某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有________种．【解析】先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．【答案】304．由1,2,3,4可以组________个自然数．(数字可以重复，最多只能是四位数字) 【解析】组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个．第二类：两位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)．第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)．第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．【答案】3405．商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种．若一位女生要买一套服装，则共有________种不同选法．【解析】3×(3＋2)＝15(种)．【答案】156．(2016·无锡高二检测)设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B 的映射的个数为________．【解析】建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有2×2×2＝8(个)．【答案】87．用4种不同的颜色涂入如图111所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有______种．【解析】按A，B，C，D顺序涂色，共有4×3×2×3＝72种方法．【答案】728．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．【解析】分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．【答案】20二、解答题9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是6×6＝36(个)．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．10．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．[能力提升]1.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图112是一种填法，则不同的填写方法共有___________________________________种．【解析】假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．【答案】122．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对. 【导学号：】【解析】与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有962＝48对．【答案】 483．将三种作物种在如图113所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．图113 【解析】分别用a ，b ，c 代有3种作物，先安排第一块试验田有3种方法，不妨设放入a ，再安排第二块试验田有b 或c 两种方法，不防设放入b ，第三块试验田也有a 或c 两种方法．(1)若第三块田放c ：，则第四、五块田分别有2种方法，共2×2种方法．(2)若第三块田放a ：，第四块田放b 或c 有2种方法． ①若第四块田放c ：，第五块田仍有2种方法． ②若第四块田放b ：，第五块田只能放c ，有1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋3)＝42(种)方法．【答案】 424．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．【解】 (1)如图，由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 必须颜色相同，B ，D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)法一由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 可以颜色相同，B ，D 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B ，D 颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S ，A ，B ，C 四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法．根据分步计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．法二分两类．第一类，C 与A 颜色相同．由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×1×2＝120(种)方法；第二类，C与A颜色不同．由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×2×1＝120(种)方法．由分类计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.。

高中数学 1.1 两个基本计数原理教案1 苏教版选修2-3-苏教版高中选修2-3数学教案

事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是，这里 .其中是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要 “少”
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
分析: (1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,
第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1 = 5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2 = 4种不同的方法;所以,根据分类原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9种。
(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,
教学重点
教学难点
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：

高二数学教案 1.1 两个计数原理学案苏教版_选修2-3 (2)

编写：江凤芹审核：黄爱华一、知识要点进一步理解两个计数原理，并能用它们来分析和解决一些简单的应用问题.二、典型例题例1.为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码.在某网站设置的信箱中，⑴密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的1个数字，这样的密码共有多少个？⑵密码为4位，每位是0到9这10个数字中的1个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？⑶密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的1个，这样的密码共有多少个？例2.有5种不同的书(每种不少于3本)，从中选购3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例3.⑴如果15,14x y ≤≤≤≤，且,x y N ，则以(,)x y 为坐标的点有多少个？ ⑵如果,x y N ，5x y ≤，有序数对(,)x y 可以表示多少个不同的点？三、巩固练习1.有4个不同颜色的小球要放入3个不同的盒中，则不同的放法有种.2.分别从集合0,1,2,4A 中取数作为二次函数2y ax bx c 的系数,,a b c ，则可以构成不同二次函数的个数是 .3.由1，2，3，4，5可以组成各位数字不重复的三位数有个，其中偶数有个.4.从长度为3，5，7，9，11的5条线段中，取3条作三角形，能作出个不同的三角形.5.正方体的12条棱中，成异面直线的有对.四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.乘积()()()a b c d m n x y z 展开后共有项.2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有种.3.如图所示，用5种不同的颜色涂这些正方形，让每个正方形都涂上一种颜色，且相邻的两个正方形涂不同的颜色，如果颜色可反复使用，则共有种不同的涂色方法.4.在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20本不同的小说书供学生使用. ⑴某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？⑵若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？⑶若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？5.⑴如果0,1,2,3,4,5A，那么在平面直角坐标系内，集合(,)|,x y x y A 中有多少个不同的点？⑵如果1,3,5,7,2,4,6,8kb ，那么直线y kx b 共有多少条？6.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？订正栏：。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1 两个基本计数原理》

两个基本原理的教学设计江苏省丹阳高级中学吴问舟一、教材分析1地位和作用两个基本计数原理是处理计数问题的最基本、最重要的方法,它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想和理论依据2新旧教材的变化新旧教材最大区别在于:旧教材是先学习两个计数原理后学习概率,体现由理论到应用的过程;而新教材是在学习了古典概型的基数上提出了本节内容,体现了由实践到理论、再到实践的过程,学生在具备一定的计数能力树形图、列举法等和实例的前提下,能更好更快地体会两个基本原理的作用与适用范围,在实践中能更灵活地运用两个基本原理来解决问题这样的设计能为学习构建牢固的知识框架3教学目标1知识与技能通过实例,总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题2过程与方法经历由实际问题推导出两个原理,再回归实际问题的解决这一过程,学生体验到发现数学、运用数学的过程3情感、态度与价值观体会真理源于实际、服务于实际的道理,进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣,体现数学实际应用和理论相结合的统一美课程标准指出,必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求,选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求,它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程它力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力因此,在数学课堂教学上不仅要重视知识的形成过程及其运用价值,还要重视学生情感、态度、价值观的正确导向前者已能被广大师生所重视,而后者往往会被教师忽视,但它是新教材的亮点之一,对发展学生理性思维、不断创新发挥着独特的作用4教学重点和难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的推导及简单运用是本节课的重点与难点两个原理的推导与应用对以后排列、组合、二项式定理等内容的掌握有着理论支撑的作用同时,知识与实践的紧密结合,能让学生感受数学的广泛应用,增强学生研究数学的兴趣二、教学方法1创设情境———提出问题———探索尝试———引导归纳———拓展应用2教具:多媒体投影系统三、学法指导1学生在学习概率这一节后已具备一定的计数能力,在此基础上归纳两个计数原理是比较简单的,可以充分发挥学生的自主性2引导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点四、教学过程新课标的所有要求都是在向课堂要效率,一个优质课堂必须达到三个“有”:有效果,即让所有学生能理解原理;有效率,即90%的学生会运用知识;有效益,即在考试中出成绩1问题情境本节课的引入设计了三个情景,分别借助计算乘坐交通工具从起点到达终点的方法个数与竞选班干的例子,自然地引入了两个计数原理问题１：杭州是我国东南一流风景旅游城市，国庆期间，家庭到杭州自助旅游，从丹阳去杭州，一天中火车有３班，汽车有２班，那么一天中乘坐这些交通工具从丹阳到杭州有多少种不同的走法？２千岛湖是我国东南一流风景旅游城市杭州的“后花园”，到杭州后再决定前往千岛湖旅游。

高中数学苏教版选修2-3第1章《1.1.1两个基本计数原理》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学苏教版选修2-3第1章《1.1.1两个基本计数原理》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.能说出分类计数原理和分步计数原理;
2.会用分类计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题
2重点难点
区分两个基本计数原理,正确地选用两个计数原理解决实际问题
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【导入】课前预习
完成一件事,有类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第类方式中有种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.分类计数原理又称为原理。