高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第九章第2课椭圆

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高考数学椭圆知识点汇总

高考数学椭圆知识点汇总椭圆，作为高考数学中的一个重要知识点，经常出现在考试中。

对于很多学生来说，椭圆可能会让人感到有些困惑和难以掌握。

因此，本文将对高考数学中的椭圆知识点进行汇总，以帮助大家更好地理解和应对考试。

一、基本概念椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，且以两点连线的中点为中心的闭合曲线。

F1和F2称为椭圆的焦点，连线F1F2的长度称为椭圆的焦距，直线段连接两个焦点的中点和椭圆上一点的长度称为椭圆的半径。

二、标准方程椭圆的标准方程为：(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1 或 (y-y0)²/a² + (x-x0)²/b² = 1，其中(x0, y0)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度，b为短轴长度。

三、图形性质1. 在横轴上，椭圆的离心率为e=√(a²-b²)/a，范围为0<e<1。

当e→0时，椭圆变成一个圆。

2. 椭圆关于x、y轴对称，即对于任意(x, y)在椭圆上，则(-x, y)、(x, -y)、(-x, -y)也在椭圆上。

3. 椭圆的离心率小于1，因此离心率为1的图形为双曲线，离心率大于1的图形为抛物线。

四、焦点与半径1. 焦距等于2ae，其中e为焦距与长轴的比值。

2. 椭圆离焦点的距离之和等于椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和。

3. 椭圆的半径r和焦距f的关系为r² = a² - b² = a²(1 - e²) = f² + b²。

五、直线与椭圆的关系1. 直线与椭圆相交于两个点，则这两个点关于椭圆的中心对称。

2. 直线与椭圆相切于一点，则这个点恰好位于椭圆的一个焦点上。

3. 直线既不与椭圆相交也不相切，则直线与椭圆没有交点。

六、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = x0 + a*cosθ，y = y0 + b*sinθ，其中θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。

高三椭圆相关知识点总结

高三椭圆相关知识点总结在高三数学学习中，椭圆是一个十分重要且常见的几何图形。

它具有许多独特的性质和特点，对于理解和解决相关题目至关重要。

本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解椭圆的性质和应用。

1. 椭圆的定义及公式椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

定点F₁和F₂称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离为2c，且c²=a²-b²。

椭圆的离心率e=c/a。

椭圆的标准方程为，(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

2. 椭圆的性质- 长轴和短轴：椭圆的两焦点距离为2c，且c²=a²-b²，所以椭圆的长轴为2a，短轴为2b。

- 离心率：椭圆的离心率e=c/a，离心率越接近0，椭圆的形状越接近于圆；离心率越接近1，椭圆的形状越扁平。

- 对称性：椭圆关于x轴和y轴都具有对称性，中心对称。

3. 椭圆的方程变形椭圆的方程在数学上经常需要进行变形和化简。

以下是几种常见的椭圆方程变形形式：- 标准方程变形：将标准方程进行代数变形和化简，可以得到不同形式的椭圆方程，如正方形椭圆、长轴平行于y轴的椭圆等。

- 参数方程：将椭圆的方程用参数表示，例如x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。

- 三角方程：利用三角函数的性质，将椭圆的方程变形为三角函数的方程，如x²/a²+ y²/b² = 1可以变形为sin²θ/a² + cos²θ/b² = 1。

4. 椭圆的性质与应用- 焦点定理：椭圆上任意一点P到两焦点F₁和F₂的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF₁ + PF₂ = 2a。

- 弦焦定理：椭圆上任意一条弦的两个焦点到弦的距离之和等于常数2a。

- 切线性质：椭圆上的点P处的切线斜率为y/x=-b²x/a²y。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9 (2)

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2，于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4，由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0，得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1，又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12，即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38，故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12，所以－p 2＝－12，即p ＝1，故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)．教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83，所以λ＋μ为定值83. 思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23，所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0，故k 1k ＝－34，为定值．课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2，同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2，即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014，原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0，整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014，故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1，整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|，设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2，代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2，即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|，所以|AB ||FD |＝1为定值．当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1，综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1，得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4，又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ，所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12，要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14，当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94，综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14，当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。

高考椭圆专题知识点

高考椭圆专题知识点椭圆是高中数学中的一个重要几何形状，也是高考数学中的热点考点之一。

掌握椭圆的基本概念和相关知识点对于解题至关重要。

本文将详细介绍高考椭圆专题的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上到两个不重合点的距离之和等于常数的动点构成的轨迹。

其中，这两个点被称为焦点，记作F1和F2，二者之间的距离为2a。

椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示椭圆的瘦胖程度。

椭圆的主要特点包括：1. 对称性：椭圆关于长轴、短轴及原点均具有对称性。

2. 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。

3. 直径：椭圆上的直径包括长轴和短轴，长轴和短轴的中点都在椭圆上。

4. 首尾距离：椭圆上首尾相接的两个点到两个焦点的距离之和也等于常数。

5. 扇形面积：以焦点和首尾相接的两个焦点连线为半径的扇形面积与椭圆扇形面积的和为常数。

6. 弧长性质：椭圆上的弧长与弦长的关系满足等角弧弦定理。

7. 方程表达：椭圆可以用方程的形式表达，常见的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。

二、椭圆的性质与方程推导1. 椭圆的离心率性质：椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，为圆。

2. 椭圆的焦点距离性质：椭圆的焦点距离满足2a=c^2=a^2-b^2。

3. 椭圆的焦半径平方和：椭圆上任意一点到两个焦点距离平方之和等于两个焦点距离平方之和。

4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a·cosθ，y=b·sinθ。

5. 椭圆的斜轴方程：斜轴方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。

6. 椭圆的标准方程：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。

三、椭圆的相关定理和性质1. 弦长定理：椭圆上两个不相交的弦的长度之积与它们两个弦所夹的角的余弦值成正比。

2. 切线定理：过椭圆上一点的切线与椭圆两焦连线的夹角等于该点切线与椭圆中心连线的夹角。

椭圆高考必会知识点

椭圆高考必会知识点在高考的数学考试中，椭圆是一个重要的考点，学生需要熟悉和掌握相关的知识。

本文将介绍椭圆的定义、性质及其在解决数学问题中的应用。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。

其中，两个固定点之间的距离被定义为焦距，焦距的一半被表示为c。

另外，连接两个焦点的长度的一半被定义为半焦距，半焦距的表示为ae。

椭圆的定义可以用数学方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的中心为原点O(0,0)，半长轴和半短轴分别与x轴和y轴平行。

椭圆具有以下性质：1. 两焦点关于x轴和y轴对称；2. 长轴与x轴夹角为α，有tanα = b/a；3. 短轴与x轴夹角为β，有tanβ = a/b；4. 长轴和短轴的长度满足a>b。

二、椭圆的方程及常见图形1. 标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

通过标准方程，我们可以确定椭圆的形状和大小。

2. 常见图形：根据椭圆的标准方程，我们可以得到不同形状的椭圆。

当a=b时，椭圆变为圆；当a>b时，椭圆在x轴上展开，较短的轴在y轴上；当b>a时，椭圆在y轴上展开，较短的轴在x轴上。

三、椭圆的焦点和准线1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个固定点，记为F1和F2。

根据椭圆的定义，任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数，即PF1 + PF2 = 2a。

焦点在椭圆的长轴上，且与短轴的中点连线垂直。

2. 准线：椭圆的准线是椭圆上所有与焦点和直径平行的直线。

准线与椭圆的性质密切相关，在解决数学问题中常常需要利用准线的性质进行推导和计算。

四、椭圆的参数方程除了标准方程外，我们还可以通过参数方程来表示椭圆。

椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，取值范围为0°≤θ≤360°或0≤θ≤2π。

高三复习椭圆知识点讲解

高三复习椭圆知识点讲解椭圆，作为平面解析几何的一部分，是高三数学的重要知识点之一。

在高三学习阶段，对于椭圆的理解和熟练运用显得尤为重要。

本文将对高三复习椭圆的知识点进行讲解，帮助同学们加深对椭圆的理解，提升解题的能力。

一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在椭圆中，常数2a称为长轴，定点F1和F2称为焦点，连结两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。

椭圆还有一些重要的性质，如：离心率、焦距、短半轴等。

二、椭圆的方程在平面直角坐标系中，椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程：椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。

2. 一般方程：椭圆的一般方程为：$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$，其中$A,B,C,D,E$为常数。

三、椭圆的基本性质1. 离心率：椭圆的离心率定义为$\varepsilon = \dfrac{c}{a}$，其中$c$为焦点到中心的距离，$a$为长半轴长。

离心率用来衡量椭圆的扁平程度，范围在0到1之间。

2. 焦距：椭圆的焦距定义为$2ae$，其中$a$为长半轴长，$e$为离心率。

3. 短半轴：椭圆的短半轴$b$满足$b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}$，其中$a$为长半轴长，$\varepsilon$为离心率。

四、椭圆的图像特点1. 椭圆的图像是一个闭合曲线，对称于$x$轴和$y$轴，且关于原点对称。

2. 当$a > b$时，椭圆的图像在$x$轴上开口，称为纵椭圆；当$a < b$时，椭圆的图像在$y$轴上开口，称为横椭圆。

3. 当离心率$\varepsilon = 0$时，椭圆退化为一个圆。

五、常用公式及运用1. 椭圆上一点P的坐标$(x, y)$，可由参数方程表示为：$x =a\cos\theta, y = b\sin\theta$。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版

-11考点1 考点2 考点3
考点 1
椭圆的定义及其标准方程
��2 C: 2 ��
例 1(1)已知 F1,F2 是椭圆
+
��2 ��
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P
为
椭圆 C 上的一点,且��1 ⊥ ��2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b= . (2)(2016 山西孝义模拟)已知椭圆
c2=a2-b2
-5知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( )
�� √3 ,得 3
c=1,所以 b =a -c =2,则 C 的方程为
2
2
2
�� 2 3
+
�� 2 2
=1,故选 A.
关闭
A
解析答案
-8知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
��2 ��2 4.若方程 + =1 5-�� -3
表示椭圆,则 k 的取值范围

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆椭圆及其性质教学案理

一、知识梳理１．椭圆的概念平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若a>c，则集合P为椭圆．（２）若a＝c，则集合P为线段．（３）若a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0，0）顶点A１（—a，0），A２（a，0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b，0），B２（b，0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b焦距|F１F２|＝２c已知点P（x0，y0），椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），则（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!<１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!>１．常用结论（１）焦半径：椭圆上的点P（x0，y0）与左（下）焦点F１与右（上）焦点F２之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r１＝|PF１|，r２＝|PF２|.１错误!＋错误!＝１（a>b>0），r１＝a＋ex0，r２＝a—ex0；２错误!＋错误!＝１（a>b>0），r１＝a＋ey0，r２＝a—ey0；３焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）．（２）焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫作焦点三角形．r１＝|PF１|，r＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）中：２１当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；２S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长l min＝错误!.（４）AB为椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的弦，A（x１，y１），B（x２，y２），弦中点M（x0，y0），则１弦长l＝错误!|x１—x２|＝错误!|y１—y２|；２直线AB的斜率k AB＝—错误!.二、教材衍化１．若F１（—３，0），F２（３，0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１解析：选Ａ．设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故１选Ａ．２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．２—错误!Ｄ．错误!—１解析：选Ｄ．设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（３）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．（）（４）方程mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）（５）错误!＋错误!＝１（a>b>0）与错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距相同．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视椭圆定义中的限制条件；（２）忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；（３）忽视点P坐标的限制条件．１．平面内一点M到两定点F１（0，—9），F２（0，9）的距离之和等于１8，则点M的轨迹是________．解析：由题意知|MF１|＋|MF２|＝１8，但|F１F２|＝１8，即|MF１|＋|MF２|＝|F１F２|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F１F２２．椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为４，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，１0—m>m—２>0，１0—m—（m—２）＝４，所以m＝４．当焦点在y轴上时，m—２>１0—m>0，m—２—（１0—m）＝４，所以m＝8．所以m＝４或8．答案：４或8３．已知点P是椭圆错误!＋错误!＝１上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F１，F２为顶点的三角形的面积等于１，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），由题意知c２＝a２—b２＝５—４＝１，所以c＝１，则F１（—１，0），F２（１，0）．由题意可得点P到x轴的距离为１，所以y＝±１，把y＝±１代入错误!＋错误!＝１，得x＝±错误!，又x>0，所以x＝错误!，所以P点坐标为错误!或错误!.答案：错误!或错误!第１课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用（多维探究）角度一利用定义求轨迹方程（１）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）１Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１【解析】（１）连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选Ａ．（２）设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6>8＝|C１C２|，所以M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6，２c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）A （２）D角度二利用定义解决“焦点三角形”问题已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且错误!１⊥错误!２，若△PF１F２的面积为9，则b＝________．【解析】通解：设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，又因为S△PF１F２＝错误!r１r２＝b２＝9，所以b＝３．优解：由错误!⊥错误!，可得S△PF１F２＝b２＝9，所以b＝３．【答案】３【迁移探究１】（变条件）若本例中增加条件“△PF１F２的周长为１8”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由本例得b２＝a２—c２＝9，又２a＋２c＝１8，所以a—c＝１，解得a＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．【迁移探究２】（变条件）将本例中的条件“错误!⊥错误!”“△PF１F２的面积为9”分别改为“∠F １PF２＝60°”“S△PF１F２＝３错误!”，结果如何？解：|PF１|＋|PF２|＝２a，又∠F１PF２＝60°，所以|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１||PF２|cos 60°＝|F１F２|２，即（|PF１|＋|PF２|）２—３|PF１||PF２|＝４c２，所以３|PF１||PF２|＝４a２—４c２＝４b２，所以|PF１||PF２|＝错误!b２，＝错误!|PF１||PF２|·sin 60°又因为S△PF１F２＝错误!×错误!b２×错误!＝错误!b２＝３错误!，所以b＝３．角度三利用定义求最值设P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，M，N分别是两圆：（x＋４）２＋y２＝１和（x—４）２＋y２＝１上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为（）Ａ．9，１２Ｂ．8，１１Ｃ．8，１２Ｄ．１0，１２【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝２a＝１0，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|—２R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋２R＝１２，即最小值和最大值分别为8，１２．【答案】C错误!椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等．１．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，离心率为错误!，过F的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）２Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ａ．由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝２，所以C的方程为错误!＋错误!＝１，选Ａ．２．（２0２0·惠州调研）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF的中点在y轴上，则错误!的值为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D.如图，设线段PF１的中点为M，因为O是F１F２的中点，所以OM∥PF２，可得PF２⊥x 轴，可求得|PF２|＝错误!，|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，错误!＝错误!.故选Ｄ．３．已知F是椭圆５x２＋9y２＝４５的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１，１）是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F１，则|PF|＋|PF１|＝6．所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF１|＋6．利用—|AF１|≤|PA|—|PF１|≤|AF１|（当P，A，F１共线时等号成立）．所以|PA|＋|PF|≤6＋错误!，|PA|＋|PF|≥6—错误!.故|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.答案：6＋错误!6—错误!椭圆的标准方程（师生共研）（１）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F１（—１，0），F２（１，0），过F２的直线与C交于A，B两点，若|AF２|＝２|F２B|，|AB|＝|BF１|，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）（一题多解）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【解析】（１）由题意设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），连接F１A，令|F２B|＝m，则|AF２|＝２m，|BF１|＝３m.由椭圆的定义知，４m＝２a，得m＝错误!，故|F２A|＝a＝|F１A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF２＝θ（O为坐标原点），则sin θ＝错误!.在等腰三角形ABF１中，cos ２θ＝错误!＝错误!，所以错误!＝１—２错误!错误!，得a２＝３．又c２＝１，所以b２＝a２—c２＝２，椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｂ．（２）法一（定义法）：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0，４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二（待定系数法）：因为所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）B （２）错误!＋错误!＝１错误!求椭圆标准方程的２种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a２，b２的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２＋By２＝１（A＞0，B＞0，A≠B）１．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（—５，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｃ．由题意可得c＝５，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝错误!＝错误!＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝２a＝6＋8＝１４，从而a＝7，a２＝４9，于是b２＝a２—c２＝４9—５２＝２４，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｃ．２．（２0２0·湖南郴州二模）已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为２错误!—２，离心率为错误!，则椭圆E的方程为________．解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a—c，所以a—c＝２错误!—２，因为离心率e＝错误!，所以错误!＝错误!，解得a＝２错误!，c＝２，则b２＝a２—c２＝４，所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１椭圆的几何性质（多维探究）角度一椭圆的长轴、短轴、焦距（２0２0·河南洛阳一模）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在y轴上，且焦距为４，则m 等于（）A．５Ｂ．6C．9 Ｄ．１0【解析】由椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在y轴上，焦距为４，可得错误!＝２，解得m＝9．故选Ｃ．【答案】C角度二求椭圆的离心率过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．【解析】由题设知，直线l：错误!＋错误!＝１，即bx—cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±错误!，即圆的半径r＝错误!.又圆与直线l有公共点，所以错误!≤错误!，化简得２c≤b，平方整理得a２≥５c２，所以e＝错误!≤错误!.又0<e<１，所以0<e≤错误!.【答案】错误!角度三根据椭圆的性质求参数（１）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）A．（0，１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）C．（0，１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．【解析】（１）依题意得，错误!或错误!，所以错误!或错误!，解得0<m≤１或m≥9．故选Ａ．（２）设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１，0），A（２，0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．【答案】（１）A （２）４错误!（１）利用椭圆几何性质的注意点及技巧１注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．２利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．（２）求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．１．（２0２0·江西吉安一模）如图，用与底面成４５°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.因为截面与底面成４５°角，所以椭圆的长轴长为错误!R，所以椭圆的半焦距为错误!＝错误!，则e＝错误!＝错误!＝错误!.２．P为椭圆错误!＋错误!＝１上任意一点，EF为圆N：（x—１）２＋y２＝４的任意一条直径，则错误!·错误!的取值范围是（）Ａ．[0，１５] Ｂ．[５，１５]Ｃ．[５，２１] Ｄ．（５，２１）解析：选Ｃ．错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—４，因为a—c≤|错误!|≤a＋c，即３≤|错误!|≤５，所以错误!·错误!的取值范围是[５，２１]．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e＜错误!.答案：错误![基础题组练]１．（２0２0·河北衡水二模）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以8a２＝9b２，所以错误!＝错误!.故选Ｄ．２．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是错误!，则此椭圆的标准方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１解析：选Ｂ．因为a＝４，e＝错误!，所以c＝３，所以b２＝a２—c２＝１6—9＝7．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．３．已知点F１，F２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F１PF＝60°，则|PF１|·|PF２|＝（）２Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１２解析：选Ａ．由|PF１|＋|PF２|＝４，|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１|·|PF２|·cos 60°＝|F１F２|２，得３|PF１|·|PF|＝１２，所以|PF１|·|PF２|＝４，故选Ａ．２４．设椭圆E的两焦点分别为F１，F２，以F１为圆心，|F１F２|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF １F２为直角三角形，则E的离心率为（）Ａ．错误!—１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!＋１解析：选Ａ．不妨设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），如图所示，因为△PF１F２为直角三角形，所以PF１⊥F１F２，又|PF１|＝|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝２错误!c，所以|PF１|＋|PF２|＝２c＋２错误!c＝２a，所以椭圆E的离心率e＝错误!—１．故选Ａ．５．（２0２0·江西赣州模拟）已知A，B是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为２，则椭圆E的长轴长的最小值为（）A．１Ｂ．２C．３Ｄ．４解析：选Ｄ．如图所示，设直线AB的方程为ty＝x，F（c，0），A（x１，y１），B（x２，y２）．联立错误!可得y２＝错误!＝—y１y２，所以△ABF的面积S＝错误!c|y１—y２|＝错误!c错误!＝c错误!≤cb，当t＝0时取等号．所以bc＝２．所以a２＝b２＋c２≥２bc＝４，a≥２．所以椭圆E的长轴长的最小值为４．故选Ｄ．6．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF１F２为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F１，F２分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝错误!＝４．因为△MF１F２为等腰三角形，所以易知|F１M|＝２c＝8，所以|F２M|＝２a—8＝４．设M（x，y），则错误!得错误!所以M的坐标为（３，错误!）．答案：（３，错误!）7．（２0２0·河北衡水三模）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面１00千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面１５千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．由题意知错误!解得２c＝8５．即椭圆形轨道的焦距为8５千米．答案：8５8．已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：３x—４y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４，点M到直线l的距离不小于错误!，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为４a＝２（|AF|＋|BF|）＝8，所以a＝２．又d＝错误!≥错误!，所以１≤b<２．又e＝错误!＝错误!＝错误!，所以0<e≤错误!.答案：错误!9．已知F１，F２分别为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，过F１的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF２和BF２.（１）求△ABF２的周长；（２）若AF２⊥BF２，求△ABF２的面积．解：（１）因为F１，F２分别为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，过F１的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF２和BF２.所以△ABF２的周长为|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝４错误!.（２）设直线l的方程为x＝my—１，由错误!，得（m２＋２）y２—２my—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—错误!，因为AF２⊥BF２，所以错误!·错误!＝0，所以错误!·错误!＝（x１—１）（x２—１）＋y１y２＝（my１—２）（my２—２）＋y１y２＝（m２＋１）y１y２—２m（y１＋y２）＋４＝错误!—２m×错误!＋４＝错误!＝0．所以m２＝7．所以△ABF２的面积S＝错误!×|F１F２|×错误!＝错误!.１0．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点为F２（３，0），离心率为e.（１）若e＝错误!，求椭圆的方程；（２）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF２，BF２的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且错误!<e≤错误!，求k的取值范围．解：（１）由题意得c＝３，错误!＝错误!，所以a＝２错误!.又因为a２＝b２＋c２，所以b２＝３．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由错误!得（b２＋a２k２）x２—a２b２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），所以x１＋x２＝0，x１x２＝错误!，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF２N为矩形，所以AF２⊥BF２.因为错误!＝（x１—３，y１），错误!＝（x２—３，y２），所以错误!·错误!＝（x１—３）（x２—３）＋y１y２＝（１＋k２）x１x２＋9＝0．即错误!＋9＝0，将其整理为k２＝错误!＝—１—错误!.因为错误!<e≤错误!，所以２错误!≤a<３错误!，１２≤a２<１8．所以k２≥错误!，即k∈错误!∪错误!.[综合题组练]１．设椭圆：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得e＝错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·福建福州一模）已知F１，F２为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F１PF２内切圆的圆心，过F１作F１M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为（）A．（0，１）Ｂ．（0，错误!）C．（0，错误!）Ｄ．（0，２错误!）解析：选C.如图，延长PF２，F１M相交于N点，因为K点是△F１PF２内切圆的圆心，所以PK平分∠F１PF２，因为F１M⊥PK，所以|PN|＝|PF１|，M为F１N的中点，因为O为F１F２的中点，M为F１N的中点，所以|OM|＝错误!|F２N|＝错误!||PN|—|PF２||＝错误!||PF１|—|PF２||<错误!|F１F２|＝c＝错误!，所以|OM|的取值范围是（0，错误!）．故选Ｃ．３．已知F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过原点O且倾斜角为３0°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF１⊥AF２，S△F１AF２＝２，则椭圆C的方程为________．解析：因为点A在椭圆上，所以|AF１|＋|AF２|＝２a，对其平方，得|AF１|２＋|AF２|２＋２|AF１||AF２|＝４a２，又AF１⊥AF２，所以|AF１|２＋|AF２|２＝４c２，则２|AF１||AF２|＝４a２—４c２＝４b２，即|AF１||AF|＝２b２，所以S△AF１F２＝错误!|AF１||AF２|＝b２＝２．又△AF１F２是直角三角形，∠F１AF２＝90°，且２O为F１F２的中点，所以|OA|＝错误!|F１F２|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF２＝３0°，所以A错误!，则S△AF１F２＝错误!|F１F２|·错误!c＝错误!c２＝２，c２＝４，故a２＝b２＋c２＝6，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１４．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设正方形的边长为２m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上，所以错误!＋错误!＝１>错误!＋错误!＝e２＋错误!，整理得e４—３e２＋１>0，e２<错误!＝错误!，所以0<e<错误!.答案：错误!５．已知椭圆C：x２＋２y２＝４．（１）求椭圆C的离心率；（２）设O为原点．若点A在直线y＝２上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：（１）由题意，椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．所以a２＝４，b２＝２，从而c２＝a２—b２＝２．因此a＝２，c＝错误!.故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设点A，B的坐标分别为（t，２），（x0，y0），其中x0≠0，因为OA⊥OB，所以错误!·错误!＝0，即tx0＋２y0＝0，解得t＝—错误!.又x错误!＋２y错误!＝４，所以|AB|２＝（x0—t）２＋（y0—２）２＝错误!错误!＋（y0—２）２＝x错误!＋y错误!＋错误!＋４＝x错误!＋错误!＋错误!＋４＝错误!＋错误!＋４（0<x错误!≤４）．因为错误!＋错误!≥４（0<x错误!≤４），当且仅当x错误!＝４时等号成立，所以|AB|２≥8．故线段AB长度的最小值为２错误!.6．（２0２0·江西八校联考）已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0），F１，F２为其左、右焦点，B，B２为其上、下顶点，四边形F１B１F２B２的面积为２，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆（记１为圆P）总经过坐标原点O.（１）求椭圆E的长轴A１A２的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；（２）对于（１）中确定的椭圆E，若给定圆F１：（x＋１）２＋y２＝３，则圆P和圆F１的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．解：（１）依题意四边形F１B１F２B２的面积为２bc，所以２bc＝２．因为|A１A２|＝２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!，当且仅当b＝c＝１时取“＝”，此时a＝错误!，所以长轴A１A２的长的最小值为２错误!，此时椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）是定值．设点P（x0，y0），则错误!＋y错误!＝１⇒y错误!＝１—错误!.圆P的方程为（x—x0）２＋（y—y0）２＝x错误!＋y错误!，即x２＋y２—２x0x—２y0y＝0，１圆F１的方程为（x＋１）２＋y２＝３，即x２＋y２＋２x—２＝0，２１—２得公共弦MN所在直线的方程为（x0＋１）x＋y0y—１＝0，所以点F１到公共弦MN所在直线的距离d＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，则|MN|＝２错误!＝２，所以圆P和圆F１的公共弦MN的长为定值２．。

高三数学关于椭圆的知识点

高三数学关于椭圆的知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。

本文将介绍高三数学中关于椭圆的知识点，包括定义、性质和相关公式。

一、椭圆的定义椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为长轴的长度。

二、椭圆的性质1. 焦点与顶点的关系：椭圆的焦点在其长轴上，且离顶点的距离等于椭圆的离心率e乘以长轴的长度。

2. 弦的性质：对于一个椭圆，通过焦点F1、F2的弦恰好与椭圆的法线相互垂直。

3. 离心率的性质：椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的实数，用来描述椭圆的独特程度。

当e=0时，椭圆退化为一个圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。

4. 外接矩形的性质：椭圆的外接矩形的面积等于长轴长度a乘以短轴长度b。

三、椭圆的相关公式1. 椭圆的标准方程：对于一个以原点为中心的椭圆，其标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。

2. 椭圆的焦点坐标：以原点为中心的椭圆的焦点坐标可以表示为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2 = a^2 - b^2。

3. 椭圆的离心率公式：椭圆的离心率e可以表示为e = c/a。

4. 椭圆的焦距公式：椭圆的焦距f可以表示为f = 2a。

四、椭圆的应用椭圆在数学和物理中有广泛的应用。

在数学领域，椭圆用于描述曲线的形状和方程的解。

在物理领域，椭圆用于描述行星的轨道、卫星的轨道和拱桥的形状等。

例如，开普勒定律描述了行星运动的规律，其中行星绕太阳的轨道是一个椭圆。

根据椭圆的性质和公式，可以推导出行星的速度和轨道半径之间的关系。

在构造和设计领域，椭圆也被广泛使用。

例如，建筑师使用椭圆曲线来设计拱形建筑物，这样可以增加结构的稳定性和美观性。

总结：椭圆是解析几何中的重要概念，具有许多特殊性质和应用。

掌握椭圆的定义、性质和相关公式，对于解决数学和物理中的问题具有重要的意义。

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆教案理解析版

基础知识整合１．椭圆的概念在平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹（或集合）叫做错误!椭圆．这两定点叫做椭圆的错误!焦点，两焦点间的距离叫做错误!焦距．集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若错误!a>c，则集合P表示椭圆；（２）若错误!a＝c，则集合P表示线段；（３）若错误!a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质（１）设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上任意一点P（x，y），则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．（２）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a２＝b２＋c２．（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为错误!.（５）椭圆离心率e＝错误!.１．已知椭圆错误!＋错误!＝１，长轴在y轴上，若焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．7 Ｄ．8答案D解析椭圆焦点在y轴上，∴a２＝m—２，b２＝１0—m.又c＝２，∴m—２—（１0—m）＝c２＝４．∴m＝8．２．（２0１8·广西模拟）若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｃ．３．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则椭圆C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），所以错误!解得a２＝9，b２＝8．故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝１．４．（２0１9·西安模拟）已知点P（x１，y１）是椭圆错误!＋错误!＝１上的一点，F１，F２是其左、右焦点，当∠F１PF２最大时，△PF１F２的面积是（）Ａ．错误!Ｂ．１２Ｃ．１6（２＋错误!）Ｄ．１6（２—错误!）答案B解析∵椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，∴a＝５，b＝４，c＝错误!＝３，∴F１（—３,0），F２（３,0）．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F１PF２最大，此时△PF１F２的面积S＝错误!×２×３×４＝１２，故选Ｂ．５．椭圆３x２＋ky２＝３的一个焦点是（0，错误!），则k＝________.答案１解析方程３x２＋ky２＝３可化为x２＋错误!＝１．a２＝错误!>１＝b２，c２＝a２—b２＝错误!—１＝２，解得k＝１．6．设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F ２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为________．答案错误!解析设|PF２|＝x，∵PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２x，|F１F２|＝错误!x.又|PF１|＋|PF ２|＝２a，|F１F２|＝２c.∴２a＝３x,２c＝错误!x，∴C的离心率为e＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例１（１）（２0１8·湖北八校联考）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF１的中点在y轴上，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２．设线段PF１的中点为M，则有OM∥PF２，∵OM⊥F１F２，∴PF２⊥F１F２，∴|PF２|＝错误!＝错误!.又∵|PF１|＋|PF２|＝２a＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）设F１，F２分别是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点，|AF１|＝３|F１B|，且|AB|＝４，△ABF２的周长为１6．则|AF２|＝________.答案５解析由|AF１|＝３|F１B|，|AB|＝４，得|AF１|＝３．∵△ABF２的周长为１6，∴４a＝１6，∴a＝４．则|AF１|＋|AF２|＝２a＝8，∴|AF２|＝8—|AF１|＝8—３＝５．触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等.即时训练１．（２0１9·甘肃联考）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x２＋y２＝１0的一个交点，则||PA|—|PB||＝（）Ａ．２错误!Ｂ．４错误!Ｃ．４错误!Ｄ．6错误!答案C解析由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝２a＝４错误!，|PA|２＋|PB|２＝（２c）２＝４0，∴（|PA|＋|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２＋２|PA||PB|，解得２|PA||PB|＝8，∴（|PA|—|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２—２|PA||PB|＝３２，则||PA|—|PB||＝４错误!，故选Ｃ．２．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F１的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F２的对称点为B，则有|GF１|＝错误!|AN|，|GF２|＝错误!|BN|，所以|AN|＋|BN|＝２（|GF １|＋|GF２|）＝４a＝１２．考向二椭圆的标准方程例２（１）（２0１9·杭州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案A解析由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，∴c＝１，∴b２＝２，∴C的方程为错误!＋错误!＝１．选Ａ．（２）已知A错误!，B是圆：错误!２＋y２＝４（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x２＋错误!y２＝１解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝２．所以|PA|＋|PF|＝２且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝１，c＝错误!，b２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为x２＋错误!y２＝１．触类旁通求椭圆方程的常用方法（１）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．２待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx２＋ny２＝１m>0，n>0，m≠n，再用待定系数法求出m，n的值即可.即时训练３．（２0１9·青岛模拟）已知F１（—１,0），F２（１,0）是椭圆C的两个焦点，过F２且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝３，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案C解析如图，|AF２|＝错误!|AB|＝错误!，|F１F２|＝２，由椭圆定义，得|AF１|＝２a—错误!. １在Rt△AF１F２中，|AF１|２＝|AF２|２＋|F１F２|２＝错误!２＋２２．２由１２得a＝２，∴b２＝a２—c２＝３．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，应选Ｃ．４．设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，经过F１的直线交椭圆C于A，B两点，若△F２AB是面积为４错误!的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析l经过F１垂直于x轴，得yA＝错误!，在Rt△AF１F２中，∠AF２F１＝３0°，得错误!＝错误!×２c，错误!×２c×错误!＝４错误!，a２＝b２＋c２，解得a２＝9，b２＝6，c２＝３．所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１．考向三椭圆的几何性质例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的一个焦点为（２,0），则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意，可知c＝２，因为b２＝４，所以a２＝b２＋c２＝8，即a＝２错误!，所以椭圆C的离心率为e＝错误!＝错误!.故选Ｃ．率e的取值范围是________．答案错误!解析∵c２—b２＋ac<0，∴c２—（a２—c２）＋ac<0，即２c２—a２＋ac<0，∴２错误!—１＋错误! <0，即２e２＋e—１<0，解得—１<e<错误!.又∵0<e<１，∴0<e<错误!.∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练５．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF１⊥PF ２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１答案D解析在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，设|PF２|＝m，则２c＝|F１F２|＝２m，|PF １|＝错误!m，又由椭圆定义可知２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）m，则离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．6．（２0１9·江苏模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________．答案错误!解析由题意得A（—a,0），B（0，b），F（c,0），∵AB⊥BF，∴错误!·错误!＝0，∴（a，b）·（c，—b）＝ac—b２＝ac—a２＋c２＝0，∴e—１＋e２＝0，解得e＝错误!.考向四直线与椭圆的位置关系角度错误!弦的中点问题例４（２0１8·全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B两点．线段AB 的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上一点，且F错误!＋F错误!＋F错误!＝0．证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列，并求该数列的公差．解（１）证明：设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.１由题设得m< 错误!＝错误!，且m>0，即0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１,0）．设P（x３，y３），则由（１）及题设得（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0,0），x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|F错误!|＝错误!.于是|F错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|F错误!|＝２—错误!.所以|F错误!|＋|F错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|F错误!|＝|F错误!|＋|F错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．设该数列的公差为d，则２|d|＝||错误!|—|错误!||＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!.２将m＝错误!代入１得k＝—１．所以l的方程为y＝—x＋错误!，代入C的方程，并整理得7x２—１４x＋错误!＝0．故x１＋x２＝２，x１x２＝错误!，代入２解得|d|＝错误!.所以该数列的公差为错误!或—错误!.角度错误!弦长的问题例５（２0１9·陕西咸阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），且离心率e＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）直线l的斜率为错误!，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解（１）∵e２＝错误!＝错误!＝错误!，∴a２＝４b２．又椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），∴错误!＋错误!＝１，∴a２＝8，b２＝２．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设l的方程为y＝错误!x＋m，点A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!整理，得x２＋２mx ＋２m２—４＝0．∵Δ＝４m２—8m２＋１6>0，解得|m|<２．∴x１＋x２＝—２m，x１x２＝２m２—４．则|AB|＝错误!× 错误!＝错误!.点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!.∴S△PAB＝错误!d|AB|＝错误!×错误!×错误!＝错误!≤错误!＝２．当且仅当m２＝２，即m＝±错误!时取得最大值．触类旁通１解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.（３）直线与椭圆相交时常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式（直线与椭圆有两交点）中点弦或弦点差法（结果要检验Δ>0）的中点即时训练7．（２0１9·广西联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>１）的焦距为２，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为错误!，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D错误!，求k的值．解（１）由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为错误!.设椭圆的右焦点的坐标为（c,0），依题意知错误!又因为b>１，解得a＝２，b＝错误!，c＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意，过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k（x—１），将其代入错误!＋错误!＝１，得（３＋４k２）x２—8k２x＋４k２—１２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，所以y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为错误!.又因为直线PD的斜率为—错误!，所以直线PD的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，得x＝错误!，所以点D的坐标为错误!，则错误!＝错误!，解得k＝±１．8．（２0１9·云南昆明模拟）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0,１），离心率为错误!.（１）求椭圆E的方程；（２）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，求直线l的方程．解（１）设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由已知得错误!解得a２＝２，b２＝１，所以椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）由已知，直线l过左焦点F（—１,0）．当直线l与x轴垂直时，A错误!，B错误!，此时|AB|＝错误!，则S△OAB＝错误!×错误!×１＝错误!，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得（１＋２k２）x２＋４k２x＋２k２—２＝0，所以x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为S△OAB＝错误!|OF|·|y１—y２|＝错误!|y１—y２|，由已知S△OAB＝错误!得|y１—y２|＝错误!.因为y１＋y２＝k（x１＋１）＋k（x２＋１）＝k（x１＋x２）＋２k＝k· 错误!＋２k＝错误!，y１y２＝k（x１＋１）·k（x２＋１）＝k２（x１x２＋x１＋x２＋１）＝错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝错误!＝错误!，所以k４＋k２—２＝0，解得k＝±１，所以直线l的方程为x—y＋１＝0或x＋y＋１＝0．１．已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!答案C解析解法一：设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），所以错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.因为点P在椭圆上，所以0≤y 错误!≤１，所以当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．解法二：由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝２错误!求解．故选Ｃ．２．已知F是椭圆错误!＋错误!＝１的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１,１）是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２，F（—２,0）．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF′|＋6．当P，A，F′三点共线时，|PA|—|PF′|取到最大值|AF′|＝错误!，或者最小值—|AF′|＝—错误!.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.３．在椭圆错误!＋错误!＝１上求一点，使它到直线２x—３y＋１５＝0的距离最短．解设所求点坐标为A（３错误!cosθ，２错误!sinθ），θ∈R，由点到直线的距离公式得＝错误!，当θ＝２kπ＋错误!，k∈Z时，d取到最小值错误!，此时A点坐标为（—３,２）．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有３种解法：（１）利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e）；（２）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上）；（３）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练１．设P，Q分别为圆x２＋（y—6）２＝２和椭圆错误!＋y２＝１上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）Ａ．５错误!Ｂ．错误!＋错误!Ｃ．7＋错误!Ｄ．6错误!答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q（x，y），则圆心（0，6）到点Q的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤５错误!，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋错误!＝6错误!.解法二：易知圆心坐标为M（0,6），|PQ|的最大值为|MQ|max＋错误!，设Q（错误!cosθ，sinθ），则|MQ|＝错误!＝错误!当sinθ＝—错误!时，|MQ|max＝５错误!，所以|PQ|max＝５错误!＋错误!＝6错误!.故选Ｄ．２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．答案４解析设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝a２—c２＝３．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２．即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．。

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤，则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径，所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立，所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =，故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即22a =，所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______．【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤，设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增，故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增，故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-，所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<，所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ．故答案为：2xy =-()22-<<x ．例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程；（2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ，又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ，故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-，故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =，所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△，所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==．综上，||||4PA PB ⋅=．【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

高三椭圆知识点总结

高三椭圆知识点总结椭圆作为解析几何中的一个重要概念，是高中数学学科中的一大难点。

它不仅仅在高中阶段中扮演着重要的角色，而且在大学数学的学习中也是必不可少的一环。

对于高三学生而言，掌握椭圆的相关知识点对于高考的数学成绩至关重要。

接下来，我将针对椭圆的一些基础知识进行总结和归纳。

首先，我们需要明确什么是椭圆。

椭圆是一个平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点构成的图形，这个常数就是椭圆的长轴长。

在解析几何中，椭圆有一些基本的性质需要掌握。

首先，椭圆的标准方程为(x-h)²/a² +(y-k)²/b² = 1，其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。

这个方程可以帮助我们确定椭圆的位置和形状。

其次，椭圆的焦距与半长轴之间有一个固定关系，即焦距c² = a² -b²。

这个关系很重要，可以帮助我们求解椭圆的一些关键参数。

接下来，我们需要了解椭圆的离心率。

离心率e是一个椭圆与其长半轴长度（2a）之间的比值，具体计算公式为e = c/a。

离心率的大小反映了椭圆的偏心程度，当e＜1时，椭圆是一个实椭圆；当e=1时，椭圆是一个抛物线；当e＞1时，椭圆是一个虚椭圆。

在研究椭圆的性质时，我们会遇到椭圆的离心率和光线反射的关系。

当光线从一个焦点射入椭圆上的一点，经过反射后会经过另一个焦点。

这个性质在实际生活中有很多应用，比如抛物面反射器和卫星接收天线等。

此外，椭圆在几何中还有一些与其他图形的关系。

例如，椭圆与直线的关系。

当直线和椭圆相交时，交点的位置取决于直线与椭圆的位置关系。

如果直线和椭圆相切，我们可以应用求切点的方法，求出切点的坐标。

如果直线不相切，可能会有两个或零个交点。

最后，我们了解椭圆的参数方程。

椭圆的参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。

通过参数方程，我们可以探索椭圆的形状和特性。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.5 椭圆第2课时直线与椭圆教学案理新人教A版-新

第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析方法一由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0，解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析方法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案相交解析由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14，又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14，所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2，由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144，则2BF k ＝146或－146，所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1，因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0，解得0<b <33，因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2，所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)，则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1，令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2，所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2，又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1，即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2，即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72，所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。

高三椭圆知识点复习

高三椭圆知识点复习椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在高中数学中也扮演着重要的角色。

本文将对高三学生需要复习的椭圆知识点进行梳理和总结。

让我们一起来回顾一下椭圆的基本性质和相关公式。

1. 椭圆的定义与图像特点椭圆是平面上到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于一定常数（称为大轴长）的点的集合。

椭圆的标准方程是x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的图像呈现出封闭曲线的形状，且沿着x轴和y轴具有对称性。

2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的指标，它反映了椭圆形状的瘦胖程度。

离心率的计算公式为e = √(1 - b^2/a^2)，其中e表示离心率。

当离心率e为0时，椭圆退化为一个圆；当e在0和1之间时，椭圆是真椭圆；当e大于等于1时，椭圆是一条双曲线。

3. 椭圆的焦点与准线椭圆的焦点是构成椭圆的两个特定点，它们位于长轴上，并且距离椭圆中心的距离等于b√(a^2 - b^2)/a。

椭圆的准线是通过焦点且垂直于x轴和y轴的两条直线，它们与椭圆的交点分别是椭圆上的两个顶点。

4. 椭圆的焦半径与直径椭圆的焦半径是指从椭圆上一个点到焦点的距离。

对于椭圆上的任意一点P(x, y)，它与两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长2a。

椭圆的两条通过圆心且垂直于长轴的直径分别称为主轴和次轴，主轴的长度为2a，次轴的长度为2b。

5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上各点坐标的方程形式。

设椭圆的参数为θ，椭圆上一点的坐标可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ的取值范围为0到2π。

6. 椭圆的性质与应用椭圆有许多重要的性质和应用。

例如，椭圆上的任意两点到两个焦点的距离之和是常数2a；椭圆是一个拋物面与平面的截交曲线；椭圆在工程和科学领域中有广泛的应用，例如天体运动、天线形状设计等等。

7. 椭圆的相关定理关于椭圆的性质还有一些重要的定理。

如椭圆的切线与半径的夹角相等定理、椭圆的切线与法线的夹角是直角等。

2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第五节第2课时椭圆的几何性质

)
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5
【解析】选
D.方法一：由于直线
y＝kx＋1
恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则
1 0<m
≤1 且
m≠5，故 m≥1 且 m≠5.
y＝kx＋1，方法二：由
消去 y 整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
【解析】(1)由题意知 e＝ac ＝21 ，2a＝4.又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝ 3 ，所以椭圆方程为x42 ＋y32 ＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y＝
第2课时椭圆的几何性质
第九章平面解析几何
考点探究·悟法培优
考点探究·悟法培优
考点一椭圆的几何性质多维探究
高考考情：椭圆的几何性质是历年高考的重点，其中离心率的求解常出现在小题中，直线与椭圆的交点问题
几乎每年必考，难度较大．
·角度 1 求椭圆的离心率的值(范围) [典例 1](1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜
·角度 2 与椭圆有关的范围(最值)问题 [典例 2]已知椭圆ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(3，0)，离心率为 e.
(1)若 e＝
3 2
，求椭圆的方程；

高考数学知识点椭圆

高考数学知识点椭圆近年来，高考数学的难度逐渐提高，考察的知识点也越来越复杂。

椭圆作为高考数学中的一个重要知识点，经常出现在高考试题中。

椭圆是一种在平面上的几何图形，它具有许多特殊的性质和应用。

本文将从椭圆的定义、常用公式、性质和应用等方面，深入探讨高考数学中的椭圆知识点。

首先，我们来了解椭圆的定义。

椭圆可以由一个动点与一个定点和一个定长的线段构成。

这个动点称为焦点，定点与焦点的连线称为半径。

根据焦点和半径之间的关系，可以得到椭圆的定义为：平面上到焦点和到半径的距离之和为定值的点的轨迹。

接下来，我们来介绍椭圆的常用公式。

椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

根据半轴长的关系，椭圆可以分为长轴和短轴。

椭圆的几何中心为原点(0,0)，且椭圆对称于x轴和y 轴。

此外，还存在以原点为中心的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

除了椭圆的标准方程外，还有其他与椭圆相关的常用公式。

例如，椭圆的离心率公式为：$e=\frac{c}{a}$，其中$c$为焦点到原点距离，$a$为长轴的长度。

离心率决定了椭圆的形状，当离心率小于1时，椭圆是完全闭合的，当离心率等于1时，椭圆变成抛物线。

接下来，我们来探讨椭圆的性质。

椭圆具有很多独特的性质，其中一些常见的性质包括：椭圆的离心率小于1；椭圆的焦点到准线的距离之和等于长轴的长度；椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数；椭圆的离心角等于其对应的圆的圆心角。

这些性质为解决椭圆相关问题提供了重要的数学基础。

最后，我们来探讨椭圆在实际生活中的应用。

椭圆作为一种重要的几何图形，广泛应用于工程、建筑、天文学等领域。

在工程中，椭圆可以用来描述车轮轮廓、聚光灯的反射镜形状等。

在建筑中，椭圆常被应用于拱形建筑物的设计。

在天文学中，椭圆被用来描述行星公转轨道。

高考文科椭圆知识点

高考文科椭圆知识点椭圆是高考文科数学中的一个重要知识点，其在平面几何和解析几何中都有广泛的应用。

椭圆的性质和公式是考试中常见的考点，下面我们将详细讲解椭圆的相关知识。

一、基本定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

定义中，F1和F2称为焦点，线段F1F2的长度为2c，2a为焦点到椭圆的任意点P的距离之和，a为椭圆的半长轴，c为椭圆的焦距。

二、标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1，其中(x0,y0)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的半长轴长度，b为椭圆的半短轴长度。

三、焦点及焦距的计算对于椭圆，焦点到椭圆上任意点P的距离之和等于2a。

根据焦点定义和距离公式，可以得到焦点F1的坐标为(x0-c,y0)，焦点F2的坐标为(x0+c,y0)，焦距等于2c。

四、离心率的计算离心率是一个衡量椭圆形状的参数，可以通过离心率e的计算公式e=c/a来求得。

离心率的范围是0到1，当e=0时，表示椭圆退化成一条线段；当e=1时，表示椭圆退化成一个抛物线。

五、常见性质1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过焦点并且垂直于长轴的直线段，短轴是通过焦点并且垂直于短轴的直线段。

2. 对称性：椭圆具有两个重要的对称轴，分别是长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心。

3. 离心率与形状：离心率越接近于0，椭圆的形状越扁平；离心率越接近于1，椭圆的形状越接近于圆形。

4. 弦长定理：椭圆上两点A、B之间的弦长等于焦半径之和。

5. 切线方程：椭圆上的切线方程可以通过代入标准方程和求导得到。

六、解析几何中的应用1. 椭圆的直径：椭圆上任意两点之间的线段称为椭圆的直径，直径的长度等于长轴的长度。

2. 焦点和直角：椭圆的焦点和椭圆上任意一点及其到直径的垂足构成的三角形是一个直角三角形。

3. 椭圆与直线的交点：椭圆与直线的交点可以通过将直线方程代入椭圆的方程组来求解。

高考常考知识点椭圆

高考常考知识点椭圆椭圆，作为高中数学中的一个重要概念，常常会在高考中出现。

椭圆具有许多特殊的性质和应用，不仅有助于我们理解数学知识，还在生活中有诸多应用。

在本文中，我们将深入探讨椭圆的基本定义、性质以及一些常见的应用。

椭圆是一个几何图形，由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹组成。

这两个定点被称为焦点，而连接两个焦点并穿过椭圆任意一点的线段被称为焦半径。

椭圆的中心位于焦点连线的中点，被称为中点。

首先，我们来了解椭圆的基本性质。

椭圆有两条特殊的轴，分别为长轴和短轴。

长轴的长度是两个焦点的距离的两倍，而短轴的长度是通过中点和长轴上任意一焦点得到的线段的长度。

这两条轴垂直于彼此，并且长轴与短轴的交叉点被称为椭圆的中心。

椭圆的焦半径之和等于椭圆的长轴的长度，这是椭圆的一个重要性质。

根据这个性质，我们可以快速计算出其他一些重要的值，如椭圆的离心率。

离心率是一个反映椭圆形状的重要指标，它定义为焦半径与长轴之比的绝对值。

当离心率小于1时，椭圆接近于圆形，当离心率等于1时，椭圆是一个抛物线，当离心率大于1时，椭圆呈现出椭球形状。

除了这些基本的性质之外，椭圆还有一些其他的特殊性质。

例如，椭圆的周长可以通过一个著名的公式计算得到：周长等于π乘以长轴和短轴的平均值再乘以2。

此外，椭圆还有一个关于焦半径和斜率的重要关系，即斜率的平方与焦半径的平方之和是一个常数。

除了以上基本性质之外，椭圆还在生活中有许多应用。

例如，在天文学中，椭圆轨道描述了行星、彗星和卫星围绕太阳或其他物体的运动。

在工程学中，椭圆的焦点被广泛应用于声音和光学设备的设计中，以实现聚焦和增强信号。

总结来说，椭圆是高考中常考的一个重要的数学概念，它具有许多特殊的性质和应用。

通过理解椭圆的定义和基本性质，我们可以更好地理解椭圆在现实世界中的应用，如行星轨道和光学设备的设计。

掌握椭圆的知识，不仅有助于我们在高考中取得好成绩，还有助于我们更好地理解和应用数学知识。

2025年高考数学一轮复习第九章 -第五节 -第2课时椭圆的几何性质【课件】

2.焦点在轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是
( A )
2
A.
4
+
2
3
=1
2
B.
4
+ 2
=1
2
C.
4
+
2
3
=1
D. 2
2
+
4
=1
[解析] 依题意,得 = , + = ,故 = , = − = ,故所求椭圆的标准方程
焦点在轴上
2
2
+
2
2
=1 >>0
图形
对称性
0,0
轴和轴
对称轴:__________,对称中心:______
续表
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
范围
∈ [−, ], ∈ [−, ]
_____________________
∈ [−, ], ∈ [−, ]
第五节椭圆
第2课时椭圆的几何性质
1
1 强基础知识回归
2
2 研考点题型突破
1.掌握椭圆的简单几何性质.
课标解读 2.通过椭圆的学习,进一步体会数形结合的思想.
3.了解椭圆的简单的应用.
01
强基础知识回归
知识梳理
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
标准方程
焦点在轴上
2
2
+
2
2
=1 >>0

所以 =

+

,又
= .故选B.
=

2