结构位移计算.ppt
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静定结构位移计算.ppt
二次抛物线
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
B
1
2
1
MP 图
1 ql2 8
M图
解:B源自1 EI[(2 3l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
力状态 P2
位移状态
P1
12
W=P1×Δ12
21
P2
P1
11
22
12
注意：
（1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件，
力状态应满足平衡条件； （3）位移状态与力状态完全无关。
§4.2 变形体虚功原理
二、广义力、广义位移
一个力系作的总虚功 W=P×
P---广义力; ---广义位移
适用于各种杆件体系（线性、非线性，直杆、曲杆）
§ 4.3 荷载作用产生的位移计算
一. 单位荷载法 求k点竖向位移
k
iP
P 1
真实的 位移状态(P)
虚设的力 状态(i)
ip
Ni p Fi p Mi p ds
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
B
1
2
1
MP 图
1 ql2 8
M图
解:B源自1 EI[(2 3l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
力状态 P2
位移状态
P1
12
W=P1×Δ12
21
P2
P1
11
22
12
注意：
（1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件，
力状态应满足平衡条件； （3）位移状态与力状态完全无关。
§4.2 变形体虚功原理
二、广义力、广义位移
一个力系作的总虚功 W=P×
P---广义力; ---广义位移
适用于各种杆件体系（线性、非线性，直杆、曲杆）
§ 4.3 荷载作用产生的位移计算
一. 单位荷载法 求k点竖向位移
k
iP
P 1
真实的 位移状态(P)
虚设的力 状态(i)
ip
Ni p Fi p Mi p ds
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
经典结构力学—位移计算.ppt
叠加原理适用（principle of superposition)
四、 计算方法
单位荷载法
0.0
6
4-2 结构位移计算的单位载荷法
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
δWe =δWi δWe =P ΔiP
k
iP
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
lh
qhl 3 ( )
12EI
0.0
30
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C。
C
lq
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4
ql / 4 ql3 (
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
四、 计算方法
单位荷载法
0.0
6
4-2 结构位移计算的单位载荷法
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
δWe =δWi δWe =P ΔiP
k
iP
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
lh
qhl 3 ( )
12EI
0.0
30
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C。
C
lq
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4
ql / 4 ql3 (
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
结构力学PPT 第9章
结构力学
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
结构力学课件第六章结构位移计算
d
ya
yb
yb=2/3×d－1/3×c
返回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
↶
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
返回
当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
=
(-x)(-qx2) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
()
返回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
7
求B点水平位移,EI=常数。
Pl
1
MP
MP
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
8
求C、D两点相对水平位移 。
l
MP
l
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
9
已知： E、I、A为常数，求 。
D
P A
C
a
B
0
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
C
a
B
D
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
结构力学第五章位移计算
解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移
静定结构的位移计算PPT
P
P
解：1.建立虚设状态，如图：
D
-P
E
2P 0 0 2P
d
2.分别求两种状态各杆轴力：
P
P
A
C
B
4d
P
P
3.由公式计算位移：
cv
NNPl EA
D
2 2
2 2
A1
2 1
2
-1
E
2 2
2 2
CP 1 B 2
1
2
2 [( 2 )( 2P) 2d 1 P 2d 0] (1)(P) 2d
EA 2
方向的线位移和沿力偶转向的角位
移或相对位移。
(b)
ф
P m
a 2
P P
第三节 计算结构位移的一般公式
一、虚功原理 外力虚功T＝内力虚功U 虚功原理的两种用法：
1）虚位移原理—虚设位移状态求实际力状态未知力
2）虚力原理—虚设力状态求实际位移状态未知位移
二、利用虚功原理计算结构的位移（单位荷载法） 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单
2
EA
2(2 2)Pd
()
EA
第五节 图乘法
一、适用条件： ①直杆；
②EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、图乘法公式：
＝ l
MM EI
p
dx
yc
EI
注意：①图乘必须满足三条件；
②yc坐标必须从直线图形中查找； ③二弯矩图在杆轴同侧，ωyc为正值；否则为负值；
例14-2 图示外伸梁，EI=常数，试求C点的竖向位移。
q
解：1）画实际状态弯矩图：
A
2）建立虚设状态并作其弯矩图：
结构力学课件--5位移计算
q=625 N/m
A
B
C
2.2m
0.8m
E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2
结构力学课件
折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 ×104Nm2
3
l
3ql
4
)
5ql
4
()
64
128
128 EI
结构力学课件
?
24
解法一、
ql
2
ql
2
2
32
ql
2
A
l
8
Cy
1
[( ) EI 2 2 2 3 l ql
2
1
1
l
ql
2
l
2
1
M 图
A
( ) 2 2 8 6 ( )] () 3 2 32 4 384 EI
q
A
l 2
C
B
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
结构力学课件
23
ql
2
l
2
ql
2
2
1
M 图
ql
2
8
B A
ql
2
A
C
MP 图
2
一种算法：
结果正确否？
Cy
1 l ql
2
8
B
A
C
( EI 2 8 2 2 3 2 1 EI ( ql
4
相关主题
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几点说明：
(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。
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(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故 可设单位广义力 P=1
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力 平衡关系。
特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
总的来讲，必须非常清楚的是：
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
3 单位荷载法 一、位移计算的一般公式
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
X Pb 0
X
aX
X bP a
通常取 1
X
x
单位位移法(Unit-Displacement Method)
几点说明：
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚 位移原理，实质上是实际受力状态的平衡
方程，即 M 0 B
Ay
MM Pds EI
FN FNP ds EA
kFQ FQP ds GA
5ql 4 8EI
(1
8I 5Al 2
4kEI 5GAl 2
)
讨论： 引入符号
(Ay )M ~ 1 , 弯曲
(Ay )N
~
8 5
I Al 2
,
轴向
(Ay )Q
~
4 kEI 5 GAl 2
剪切
设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：
(General Formula of Displacements)
将虚功原理用于实际协调位移和虚设平 衡力状态间已介绍过——单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位 移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds +Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为Δ ，与Δ对应 的广义力为P。
设仅在广义力P作用下，与之平衡的轴
力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN 、 FQ、
Mx和M。 实际位移状态 FP
虚设的力状态
PB
B
C
C
Bx ?
A
FN 、 FQ、 Mx和M
A
又设与内力FN 、 FQ、Mx和M对应的微
段实际变形分别为δε、δγ、δφ和δθ。
三、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与 实际的平衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。
FP
A
B
(a)
C
a
b
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相 应的虚位移状态如图(b)、(c)
(b)
X
FP (c)
X
直线
C
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
1 ql2 2
ql
1 qx2 x 2
MP
x qx
FQP
荷载内力图
l
1
xx
x
M
FQP
单位内力图
ql FNP
1
FNP
内力的正负号规定如下：
轴力FN P , FN
剪力FQP , FQ
为正；
以拉力为正； 使微段顺时针转动者
弯矩 M P , M
只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
将内力方程代先构造出相应的虚设力状态。即， 在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向 （竖向）设置单位荷载。
由
M B
0
求得：
F
b
虚功方程为： A a
1 F c 0 A bc a
这便是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
FN
代入公式得：Dy
FNFNl EA
8 mm( )
返
章
菜
单
FN FNP ds EA
kFQ FQP ds GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1.
对梁和刚架： P
MM Pds EI
2.
对桁架： P
FN FNP ds EA
FNFNP l EA
3.
对组合结构：
P
MM Pds EI
FNFNP l EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 By 和水 平位移 Bx。(EI、EA、GA已知) FP
P FNP FQ P MP ds
扭转项 M xPds
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
FNP EA
,
P
kFQP GA
,
P
MP EI
,
P
M xP GI P
P
轴向
FN FNP EA
kFQ FQP GA
若结构有已知支座位移为ci ，与其对应 的由广义力 P 引起的支座反力为FRi
实际位移状态 FP
B
C
虚设的力状态
PB C
Bx ? δε、δγ、δφ和
A δθ
c
FN 、 FQ、 Mx和M A FR
则杆系结构虚功方程为
δWe =ΣFRi ci+PΔ =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
解：构造虚设的力状态如图示
B
FP=1
A FP =1
R O
θ
R
M y R sin
θ
FP
R
MP θ
R
M R(1 cos ) x
MP FP Rsin
将内力方程代入位移计算公式,可得
By
0l
MPM EI
ds
0 2
MPM EI
Rd
PR3
4EI
()
同理有：
Bx
PR3 2EI
A bh , I bh3 , k 6
12
5
(Ay )N
~
2 (h)2 15 l
,
(Ay )Q
~
2E 25 G
(h)2 l
问题： E G的取值范围是什么？
G
E
2(1 )
0 0.5
2 EG 3
取：
h l
1 10
，E G 2.5
，有：
(Ay )N
~
1, 750
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MM Pds EI
FN FNP ds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(104 m2 ) ，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状 态中各杆的内力
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB
?
二、 荷载作用下位移计算的一般公式
在仅荷载作用时的位移计算一般公式
FN FQ M ds
M xds FRici
(Ay )Q
~
1 500
即：
Ay
5ql 4 (1 1 1 ) 8EI 750 500
(Ay )Q 0.2% , (Ay )N 0.13%
(Ay )M
(Ay )M
因此,对受弯细长杆件,通常略去FN, FQ的影响。
三、几点讨论（只有荷载作用）：
P
MM Pds EI
MM P EI
ds
式中：
MxM GI P
xP
ds
剪切 扭转
弯曲
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。
IP
截面极惯性矩；
例 1：求刚架A点的竖向位移。 解：构造虚设状态
（虚拟状态）
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图），如：
一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结
构；静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切
变形、扭转变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
虚功方程等式两边同除广义力 P ，并记 单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴 力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN 、 FQ、 Mx和M。单位广义力引起的，与已知位移 对应的反力为 FRi 。 位移计算的一般公式
则杆系结构虚功方程改写为
Δ =-ΣFRi ci+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds
P=1 A
(a)
A ?