第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图(教师版)

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空间几何体的结构、三视图、直观图课件

2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
正棱锥性质2 P
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
S 投射方向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
• 三视图
• 正(主)视图——从正面看到的图
由由这这些些面面所所围围成成的的几几何何体体叫叫做做棱棱锥锥。。
用一个平行于棱锥底用面一的个平面行去于截棱棱锥锥底，面底的面平与面截去面截之棱间锥的，部底分面叫与作截棱面台之
间的部分叫作棱台
(1)上下两个底面互(1相)上平下行两；个底面
(互2)相侧平棱行的；延长线相(2交)侧于棱一的点延；长线
圆柱
圆锥
圆台
圆锥的结构特征
S 顶点
轴
母
线
侧
面
A
O
底面
B
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
球的结构特征
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
直径
O
球心
半径
球的基本属性：球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合.

课件3：空间几何体的结构特征及其直观图、三视图

侧视图，可以将 D 排除，故选 B.
[答案] (1)D (2)B
第七章第1讲
第30页
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[奇思妙想] 已知某一几何体的正视图与侧视图均如图 2 所
示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有
体都是圆锥；
第七章第1讲
第23页
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④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
第七章第1讲
第24页
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考点 3 空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
1．画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，
画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或 135°) ，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度减半．
第七章第1讲
第3页
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空间几何体的结构、三视图、直观图

3.空间几何体的三视图 3.空间几何体的三视图得到, 空间几何体的三视图是用正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图 .
1、正视图：光线自物体的前面向后投影所得、正视图：的投影图。的投影图。 2、侧视图：光线自左向右投影所得的投影图。、侧视图：光线自左向右投影所得的投影图。 3、俯视图：光线自上向下投影所得的投影图。、俯视图：光线自上向下投影所得的投影图。
5.中心投影与平行投影 5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 (1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点 . (2)从投影的角度看， (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画从投影的角度看投影下画出来的图形. 出的直观图都是在平行投影下画出来的图形.
一个几何体的主视图和左视图的高度一样，一个几何体的主视图和左视图的高度一样，俯视图和主视图的的长度一样，左视图和俯视图的宽度一样．和主视图的的长度一样，左视图和俯视图的宽度一样．
主视图主视图左视
左视图
c c a
长度
高度
c b a
俯视图
图
b b
宽度
a
俯视图
思考3 思考3
圆柱、圆锥、圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？ 2r 2r 2r 2r 圆柱的三视图圆锥的三视图圆台的三视图
题型二
几何体的直观图
【例2 】一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形, 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面
积等于( 积等于( B ) A.
2 2 a 4
思维启迪标系将正方形A 还原，标系将正方形A′B′C′D′还原，并利用平面

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

答案：答案：(1)(3)
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
考向一几何体的特征
【例1】下面是关于四棱柱的四个命题：】下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是写出所有真命题的编号)．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号．写出所有真命题的编号解析：对于① 解析：对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，直且互相平行，故①假；对于②，两截面的交线平行于侧棱，对于② 两截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面，且垂直于底面，故②真；对于③，作正四棱柱的两个平行菱对于③ 形截面，可得满足条件的斜四棱柱如图如图(1))，形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图，故③假；对于 ④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对直角，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对直角，同样侧棱也垂直于底面的另一对直角，故侧棱垂直于底面，故④真．(如图．也垂直于底面的另一对直角，故侧棱垂直于底面，如图(2))．如图答案：答案：②④
解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除、，解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除图中小长方形在右上方，排除A. 答案：答案：C

第1讲空间几何体的结构及三视图

第八章
立体几何初步
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征多面体棱柱棱锥棱台结构特征有两个面_________ 互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 ___________
平行于底面的平面所截，截面和底面之间棱锥被_______
答案：D
栏目导引
第八章
立体几何初步
关于棱柱的下列说法错误的是( A．棱柱的侧棱 D．棱柱的侧面是全等的平行四边形
)
解析：选 D.根据棱柱的结构特征可知选 D.
栏目导引
第八章
立体几何初步
如图，长方体 ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中 EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
栏目导引
第八章
立体几何初步
空间几何体的结构特征
[典例引领] (1)给出下列几个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
栏目导引
第八章
立体几何初步
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
虚宽；看不到的线画_______ 线．
栏目导引
第八章
立体几何初步
3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，
45°(或135°) ，z′轴与 x′轴和 y′轴 x′轴，y′轴的夹角为_____________
所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

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第八章立体几何
7
常用结论 1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
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2.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的_正__前______方、 __正__左_____方、___正__上____方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：_长__对__正____，_高__平__齐____，__宽__相__等___． ②画法规则：__正__侧_____一样高，__正__俯_____一样长，__侧__俯_____一样宽；看不到的线画 __虚_______线．
第八章立体几何
8
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变 “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半
图形改变
“三不变”平与行x，性z轴不平改行变的线段的长度不改变相对位置不改变
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第八章立体几何
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二、习题改编 1．(必修 2P19 练习 T2 改编)下列说法正确的是 ( ) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：选 D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．
解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCO 是一个长为 4 cm，宽为 2 cm 的矩形，所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2.

第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图文湘教版课件

2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝ 23，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 23× 22＝ 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′＝12×2×
()
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．答案：B
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台的母线长为________ cm. 解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为 1∶16，设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质得3＋3 l＝4rr，解得 l＝9. 所以，圆台的母线长为 9 cm. 答案：9
相对位置不改变.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系
S
＝直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
4．转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台
4．三视图 (1)几何体的三视图包括正(主) 视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几
何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样

第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解

三视图分为：正视图、侧视图、俯视图（1）正俯一样长；俯侧一样宽；正侧一样高注意（2）摆放位置（3）看不到的线划成虚线
各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示：
2 2
3
3
2 2
2
2 3 体高h 2 3
三、斜二测画法：
平行于x轴长度不变平行于 x轴平行于y轴长度减半平行于 y轴平行于z轴长度不变平行于 z轴
是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫
正四面体. (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个
四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在
一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.
解析：由三视图知，由4块木块组成.
答案：4
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形状是 .
解析：将直观图还原得▱OABC，
则∵O′D′＝
OD＝2O′D′＝4 OC＝
O ′ C′ ＝ 2
cm，
cm，
C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm， =2 cm, OA＝O′A′＝6 cm＝OC，故原图形为菱形.
答案：菱形

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图(教师版).

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【高考会这样考】1.几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点.2.三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势.【复习指导】1.备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型.2•要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正方体、三棱锥等几何体的三视图.基础梳理1.多面体的结构特征(1棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形.(2棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.2.旋转体的结构特征(1圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.(2圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.(3圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子, 与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是: (1画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对应的X' 轴、y轴，两轴相交于点0',且使/ X' O'-y45°或135°已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于X轴、y轴•已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(2画几何体的高在已知图形中过0点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的Z轴，也垂直于x’ O'平面, 已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中仍平行于Z轴且长度不变.一个规律三视图的长度特征：长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.两个概念(1正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱•反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.(2正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥. 特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体•反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.双基自测1下列说法正确的是(A .有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B .有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D .棱台各侧棱的延长线交于一点2•用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是A .圆柱B.圆锥C.球体D .圆柱、圆锥、球体的组合体3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是考向一空间几何体的结构特征【例1】?如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ . A .等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B .等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C .等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D •等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上［审题视点］可借助几何图形进行判断.A \\解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即C 正确；在高线上可以找到一个点点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即卩面所成角不一定相等或互补（若为正四棱锥则成立.故仅命题答案 B 莖塑如一三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决.【训练1】以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台•其中正确命题的个数为（ . A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰•命题③对•命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.答案 B考向二空间几何体的三视图【例2】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是0,使得该 D 正确；但四棱锥的侧面与底 B 为假命题.选B.A.a2B.a2C.a2D.a2解析如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，=a ，在图②中作C D 丄A B ' 于D ，贝U C D A B ' • C D =冷冷=a2. 答案 D 方法fliSM 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的 2倍，这是一个较常用的重要结论.【训练3】如图，矩形 O' A B '是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O' A = 6 cm , O' C=2 cm ，则原图形是( . A .正方形B .矩形C .菱形D . —般的平行四边形将直观图还原得？OABC 贝U T O' D = O' C = 2 (cm , OD= 20' D = 4 (cm , C D = =2 (cm , CD= 2 (cm , 0C= = = 6 (cm , 0A= O A ' = 6 (cm = OC 故原图形为菱形.答案解析俯视图不对，故C 错，故选D.答案 D考向三空间几何体的直观图【例3】?已知正三角形( •ABC 的边长为 a ,那么 △ ABC 的平面直观图 △ A B'的面积为［审题视点］画出正三角形△ ABC 的平面直观图△ A ‘ B ‘ C ' ，求△ A ‘ B ‘ C ‘的高即可.A 'B ' = AB = a , O'C ' = OC =O' C = a. .-S △ A B C '=解析 O C C 中侧视图,I.. BBu - JBI ・■■r - ,■«HC UKl阅卷报告一一忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.【防范措施】应从多角度细心观察•【示例】？一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________ （填入所有可能的几何体前的编号.①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③•实录①②⑤正解①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形.答案①②③⑤【试一试】右图是长和宽分别相等的两个矩形•给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正图，俯视图如右图.其中真命题的个数是（.［尝试解答］如图①②③的正（主视图和俯视图都与原题相同，故选 A.zO 口① ② ③•同一几何体（主（主视。

空间几何体的三视图和直观图第一课时教学设计教学内容

1.2空间几何体的三视图和直观图（第一课时）教学设计一、教学内容分析（一）教材地位和作用三视图是立体几何的基础之一，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图，是建立空间观念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。

在近几年的高考考查中，利用三视图求直观图体积或表面积的题型屡见不鲜，这种题型的本质即为由三视图还原直观图，所以要求学生掌握由三视图还原直观图这部分内容显得尤其重要。

三视图对部分对学生的逻辑思维能力和空间想象能力提出了较高的要求，使学生谈“图”色变。

本节课是普通高中新课程人教版《必修2》第一章第二节第一课时的内容，是在学习空间几何体的结构特征之后，直观图之前，尚未学习点、直线、平面位置关系的情况下教学的。

学生在义务教育阶段，已经初步接触了正方体、长方体的几何特征以及简单几何体的表面积、体积的计算，会从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。

与初中教学内容相比较，本节增加学习了台体的有关内容，简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多。

通过本节知识的学习，为下一章点、直线、平面之间的位置关系学习打下基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力的，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，体会数学的实用价值。

（二）教学内容及结构本章的主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象能力。

从学生熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识由感性上升到理性；通过三视图和直观图的学习，进一步认识空间几何体的结构。

本节课教材从了解中心投影和平行投影出发介绍三视图是利用三个正投影来表示空间几何体的的方法，并给出三视图的概念及作图规则。

要求学生能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型。

在此基础上，学习画出简单组合体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并识别三视图所表示的简单组合体。

（三）教学重难点1、重点：（1）画出空间几何体及简单组合体的三视图，（2）给出三视图，还原或想象出原实际图的结构特征，体会三视图的作用。

空间几何体的结构特征及三视图和直观图经典课件(最新)

图 12
高中数学课件
【反思·升华】三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
高中数学课件
空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件
高中数学课件
1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
高中数学课件
(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
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高频考点 2 空间几何体的三视图【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

第1讲三视图与直观图 -讲义

第1讲：三视图与直观图一、考点梳理1、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N分别是BC 、CC 1的中点，则图中阴影部分在平面 ADD 1A 1的正投影为（ A ）2、如图所示，E 、F 分别是正方体的面在ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 ②③ . （把可能的图的序号都填上）3、说出下列的三视图表示的几何体：解：这是一个简单组合体：上部是一个圆柱，下部是一个长方体.这是一个底面为等腰梯形的直四棱柱.二、金题精讲例1、下图是一个空间几何体的正图、侧视图、俯视图，则这个空间几何体对应下面的（ B ）例2、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ C ）A.2π+4π+2π+4π+例3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ B ）Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm例4、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1。

则该几何体的俯视图可以是（C ）正视图俯视图俯视图正(主)视图侧(左)视图三、课后自测1、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 18 3cm ．解：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为182、一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为3的正三角形、俯视图轮廓是边长为3的正方形.(1)求该几何体的高及侧棱长;(2)求该几何体的侧面积. 答案：（1）高2（2）18 3、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=3俯视图正视图3。

高二数学第1讲：空间几何体的结构、三视图和直观图(教师版)

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图（华文行楷二号，加粗，居中，第几讲用阿拉伯数字）（分教师版和学生版两个文档，区别在于教师版特色讲解配有解析和答案，其他题目配有答案；学生版无解析无答案，其他都一样）文档名命名方式：小×数学第×讲：××××（教师版）——平台制作人小×数学第×讲：××××（学生版）——平台制作人（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征：（一）棱柱的结构特征按侧面与底面是否垂直可分为斜棱柱、直棱柱。

直棱柱又可按底面是不是正多边形分为正棱柱、其他棱柱。

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱；斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱；正棱柱：底面多边形为正多边形的直棱柱。

如下图所示。

表示: (1)用表示底面各顶点的字母表示棱柱。

如上图直三棱柱可表示为棱柱(2)用表示一条对角线端点的两个字母表示，如上图直四棱柱可表示为棱柱棱柱的简单性质：（1）侧棱都相等，侧面都是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形（二）棱锥特殊棱锥：正棱锥，底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心。

正四面体：每个面都是正三角形的正棱锥。

记法：用表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥，如上图可表示为结构特征：①有一个面是多边形②其余各面都是三角形③这些三角形有一个公共顶点正棱锥的简单性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高。

（2）棱锥的高，斜高和斜高在底面上的投影组成了一个直角三角形，棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形。

（三）棱台结构特征：①上下底面平行且相似②各侧棱的延长线相交于一点③侧面都是梯形（四）圆柱概念：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的图行叫圆柱。

2020与名师对话(文)空间几何体的结构、三视图和直观图

第一节空间几何体的结构、三视图和直观图高考概览：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．[知识梳理]1．多面体的结构特征2．旋转体的形成3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．[辨识巧记]1．三类特殊多面体(1)直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．(2)正棱柱：正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱．(3)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥．2．一个结论利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的24倍．3．旋转体三视图的常见结论(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的侧棱总与底面垂直[解析]由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．故选B.[答案] B3．(必修2P10，练习T1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱[解析]长方体ABCD－A′B′C′D′截去图中部分后，因为EH∥A′D′，所以FG∥A′D′，所以剩下的几何体是五棱柱ABFEA′－DCGHD′.故选C.[答案] C4．(必修2P15练习T4改编)如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥[解析]将三视图还原为直观图，如图所示，该几何体为三棱柱，故选B.[答案] B5．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为________．[解析] 由正视图和侧视图知俯视图为底边长为2，其边上的高为1的三角形，故其面积为S 俯＝12×2×1＝1.[答案] 1考点一空间几何体的结构特征【例1】 (1)下列结论正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．[解析](1)A错误．如下图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形，所得几何体不是圆锥；若△ABC是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体也不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．故选D.(2)命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．[答案](1)D(2)①④空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．[对点训练]给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．[解析]①棱柱的侧面不一定全等．②两两垂直很容易得到三个线面垂直，从而得到三个侧面两两垂直．③两个过相对侧棱的面垂直于底面，易得侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱．④如图P A⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四面体P ABC的四个面都是直角三角形．[答案] ②③④考点二空间几何体的三视图有关三视图的考查是高考的重点、热点，考查的主要形式以选择题、填空题为主．常见的命题角度有：(1)由直观图确定三视图；(2)由三视图还原直观图．.角度1：由直观图确定三视图【例2－1】 (2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，下图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )[思路引导] 根据直观图确定几何体的结构特征→由俯视图确定几何体的摆放角度→找准与正视图对应的投影面→得到答案[解析] 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.故选A.[答案] A角度2：由三视图还原直观图【例2－2】 (2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[思路引导] 根据三视图确定几何体的结构特征→ 把三视图的数据转化为几何体的几何度量→确定直角三角形的个数[解析] 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，∵P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.[答案] C三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状在三视图中，要注意实、虚线的区别．在还原不规则的三视图时，可灵活应用补形法，将其直观图变为正方体或长方体，然后再将几何体分割为满足原三视图所对应的几何体．[对点训练]1. (2019·河北武邑中学期末)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()[解析]用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为选项A.故选A.[答案] A2．(2018·武汉市高三二调)某几何体的三视图如图所示，则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为()A. 3B. 6 C．2 3 D．26[解析]由三视图知，该几何体是一个四棱柱，记为四棱柱ABCD －A1B1C1D1，将其放在如图所示的长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，四棱柱的高为1，连接AC1，观察图形可知，几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长，即22＋12＋12＝6，故选B.[答案] B考点三空间几何体的直观图【例3】(1) (2019·福建龙岩联考)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()(2)如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，则△ABC 的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.62a 2D.68a 2[解析] (1)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.故选A.(2)解法一：如图，过C ′作C ′D ′与y ′轴平行，在△B ′C ′D ′中，∠C ′B ′D ′＝60°，∠C ′D ′B ′＝45°，B ′C ′＝a .由正弦定理得C ′D ′sin ∠C ′B ′D ′＝B ′C ′sin ∠C ′D ′B ′， ∴C ′D ′sin60°＝a sin45°，得C ′D ′＝62a .在△ABC 中，AB 边上的高CD ＝2C ′D ′＝6a ，∴△ABC 的面积S ＝12·a ·6a ＝62a 2.故选C.解法二：S ＝22S ′＝22·12a 2sin60°＝62a 2.故选C.[答案] (1)A (2)C[拓展探究] 若本例(2)改为“已知△ABC 是边长为a 的正三角形，求其直观图△A ′B ′C ′的面积”，应如何求？[解] 如图①②所示的平面图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.平面图形与其直观图的关系(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半”．(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图＝24S 原图形．[对点训练]如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22 D ．1＋ 2[解析] 由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长均为1，得下底长为1＋2，所以原图是上、下底分别为1,1＋2，高为2的直角梯形．所以面积S ＝12×(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.[答案] A纠错系列④——三视图识图不准致误素养解读：三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个正投影，几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．【典例】某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中最大的面积是()A．2 B．2 2C. 3 D．2 3[易错分析](1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置致误；(3)不能正确应用实线与虚线区分可见与不可见轮廓线致误．[规范解答]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D1－BCB1，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故最大的面积是2 3.故选D.[答案] D(1)在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．(2)绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．(3)还原几何体后，应该再投影一次检验还原的正确性．[感悟体验]在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②[解析]在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则四面体ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.[答案] D课后跟踪训练(四十四)基础巩固练一、选择题1.如图所示，从三棱台A′B′C′－ABC中截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台[解析]由题图可知剩余部分为四棱锥A′－BB′C′C，故选B.[答案] B2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是() A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱[解析]因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，故选A.[答案] A3．(2018·河南方城一中月考)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形OABC是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形[解析]在直观图中，O′C′＝C′D′＝2，所以O′D′＝2 2.如右图所示，在原图形中，有OD⊥CD，OD＝42，CD＝2，所以OC ＝OD2＋CD2＝6，从而得原图形四边相等，但CO与OA不垂直，所以原图形为菱形．故选C.[答案] C4．(2019·河北正定中学调研)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()[解析]抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确．故选D.[答案] D5．(2019·贵州黔东南州一模)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()[解析]选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C的俯视图不符合要求，通过观察，选项D 满足要求，故选D.[答案] D二、填空题6．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．[解析]对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．[答案]①②③7．(2019·云南昆明模拟)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．[解析]由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为 2.[答案] 28．(2019·吉林一模)三棱锥S－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱SB的长为________．[解析]由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC 中AC ＝4，AC 边上的高为23，故BC ＝4，在Rt △SBC 中，由SC ＝4，可得SB ＝42，故答案为：4 2[答案] 4 2三、解答题9.如图所示，一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°.求圆锥的母线长和圆锥的轴截面面积．[解] 由题意得，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，轴截面面积为S ，则母线长l ＝2cos30°＝433，底面半径r ＝2·tan30°＝233，所以S ＝12×2×233×2＝433，即圆锥的母线长为433，轴截面面积是433.10．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．[解] (1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6.能力提升练11．(2019·安徽黄山一模)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )[解析]根据题意，得点A在平面BCC1B1上的投影是点B，点D 在平面BCC1B1上的投影是点C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，棱AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，棱B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，棱B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示．故选B.[答案] B12．(2019·福建南平质检)已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为()A. 5B. 3 C．2 2 D.6[解析]由三视图可知该几何体是三棱锥A－BCD(如图所示)．BC＝2，CD＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1，由此可计算出BD＝22为最长的棱长，故选C.[答案] C13．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥E－FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是________．[解析] ∵E 在底面ABCD 上的投影为AB 中点E ′，C 在底面ABCD 上的投影为C 点本身，F 的投影在边AD 上，G 的投影在边BC 上，如图：要使三棱锥E －FGC 的俯视图的面积最大，则F 与D 重合，G 与B 重合．则三棱锥E －FGC 的正视图为等腰三角形EAB ，底边长为2，底边上的高为2，∴面积S ＝12×2×2＝2.[答案] 214.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据下图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A.[解](1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝6 3 cm.拓展延伸练15．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为()A. 5 B．2 2 C．3 D．23[解析]在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1－MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.[答案] C16．(2019·河南开封一模)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()[解析] 由题意可以判断出两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切，排除C ，D ；把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A ；故选B.[答案] B。

第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图(教师版)