高中数学必修五课件：3.2《一元二次不等式及其解法》(人教A版必修5)

1 1 ba b b 由a·＝ c，得 c ＝－α＋β. c
① ②
c a 11 又由a＝α· β，得 c＝α· . β
b a 将不等式 cx ＋bx＋a<0 化为 x ＋ x＋ >0. c c
2 2
1 1 b a 2 由①、②得： ， 是方程 x ＋ x＋ ＝0 的两 α β c c 1 1 个根，且 > >0. α β b a ∴不等式 x ＋ x＋ >0 的解集为 c c
预习测评
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是 ( ) A．{x|x≤－2，或x≥1} B．{x|－2<x<1} C．{x|－2≤x≤1} D．∅ 解析：原不等式可化为(x＋2)(x－1)≤0， ∴－2≤x≤1. 答案：C
2．下面四个不等式解集为R的是
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2 5x＋5>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0
， 解得－2<a<2.
综上所述可知：－2<a≤2.
课堂总结
解一元二次不等式主要采用图象法和代数法，解 决问题的基础是不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集与对 应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根以及二次函数y ＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系，求解时明确具体的 解题步骤．对于应用问题，要先确定其中的不等关系， 进而用相应的不等式表示出来，再解不等式获得问题 的答案．
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－ x ＋ x＋1>0， 6 6
2
即 x2－x－6<0， 解得－2<x<3. 所以不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋ bx＋c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．
1．解下列不等式： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (2)x2－2x＋3>0. 解：(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
∴(2x＋1)(x－1)≥0，
1 xx≤－ 或x≥1 故原不等式的解集为 2 .
(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R.
⇔－2<a<2.
错因分析：当a－2＝0时，原不等式不是一元二 次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不 等式是否成立．
正解：当 a－2＝0，即 a＝2 时，原不等式为 －4<0，所以 a＝2 时成立． 当 a－2≠0
a－2<0 时，由题意得 Δ<0
，
a<2 即 2 4a－2 －4a－2－4<0
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) 在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) 在x轴下方部分的点的横坐标x的集合． 2．解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程 序 由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数 的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步 骤：
1 1 若 ＝2，即 a＝ 时，解集为∅； a 2 1 1 1 若 >2，即 0<a< 时，解集为 2<x< . a 2 a (3)当
1 a<0 时，原不等式可化为x－ (x－2)>0. a
1 1 ∵ <2，∴不等式解集为x|x< 或x>2. a a
综上所述，不等式的解集为： a＝0 时，{x|x>2}；
3.2 一元二次不等式及其解法
通过本节的学习，掌握一元二次不等式的解法， 理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间 的关系，能利用一元二次不等式解决简单的实际问 题．
自学导引
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式不等式，称为________不等式． 答案：一元二次
Δ＝b2－ 4ac y＝ax2 ＋bx＋c (a>0) 的图象 ax2＋bx ＋c＝0 (a>0) 的根
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2m0恒成立， ∴原不等式的解集为R. 当m≠0时，原不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0，
3 1 当 m>0 时，解得－ <x< ； m m 1 3 当 m<0 时，解得 <x<－ . m m
3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α<x<β} (0<α<β)．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 {x|α<x<β}{0<α<β}，∴a<0. 根据一元二次方程的根与系数的关系，得
b －a＝α＋β， c＝α· β， a
b a＝－α＋β<0， 即 c ＝αβ>0. a ∵a<0，∴b>0，c<0.
(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，因为方程x2－7x ＋6＝0的两根为1,6.所以利用图象可得不等式解集为 {x|1<x<6}． 方法点评：当所给不等式是非标准形式时，应先 化为标准形式，在具体求解一个标准形式的一元二次 不等式的过程中，要根据一元二次方程的根的情况以 及二次函数的图象求解．这种方法体现了“化归”的数 学思想方法的运用，要注意体会．
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
x1，x2
x0＝－
b 2a
________
ax2＋bx
＋c>0 __________ (a>0) 的解集 ax2＋bx
{x|x≠－ b } 2a
R
＋c<0
(a>0) 的解集
{x|x1<
x<x2}
____
∅
答案：没有实数根
{x|x<x1或x>x2}
∅
自主探究
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些 条件时，解集为R或∅？ 答案：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0 时，解集为∅. 2．ax2＋5x＋1>0是关于“x”的二次不等式吗？ 答案：ax2＋5x＋1>0不一定是一元二次不等式， 当a＝0时它是一元一次不等式．若题目中给出的条 件是“一元二次不等式ax2＋5x＋1>0”则隐含的条件 是a≠0.
∴当 m>0
3 1 时，原不等式的解集为x－ <x< ； m m
当 m＝0 时，解集为 R； 当 m<0
1 时，原不等式的解集为x m 3 <x<－ . m
方法点评：解不等式时，由于m∈R，因此不 能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当m＝0 时，原不等式化为－3<0，此时不等式的解集为R， 所以解题时应分m＝0与m≠0种情况来讨论．
一元二次不等式的定义 与一元二次方程、二次函数的联系 一元二次不等式 求解步骤 算法过程
1 1 0<a< 时，x|2<x< ； 2 a
1 a＝ 时，x∈∅； 2
1 1 a> 时，x| <x<2 ； 2 a
a<0
1 时，x|x< 或x>2. a
题型三 三个二次的关系
【 例 3 】 已 知 x2 ＋ px ＋ q<0 的 解 集 为
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0， a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)， 一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2， x1＝x2，x1<x2.
典例剖析
题型一 求一元二次不等式的解集
【例1】 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6. 解：(1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方 程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图 象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
(
)
解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0 中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集 为R.选C. 答案：C
3．不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|－3<x<2}，则 p＋q＝________. 解析：依题意，x1＝－3和x2＝2是方程x2＋px－q ＝0的根， ∴x1＋x2＝－p，即p＝1，x1x2＝q＝－6，∴p＋q ＝－5. 答案：－5
2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0. 解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋2<0，解 集为{x|x>2}． (2)当a>0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)<0， 1 即x－ (x－2)<0. a
1 1 1 若 <2，即 a> 时，解得 <x<2； a 2 a
1 1 x－ <x< ，求解不等式 2 3
2
qx2＋px＋1>0
1 1 的解集为x－ <x< ， 2 3
解：因为 x ＋px＋q<0
1 1 所以 x1＝－ 与 x2＝ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两 2 3 个实数根．
1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1×－1 ＝q， 3 2 1 p＝6， 解得 q＝－1. 6
(1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或 ax2＋bx＋c<0(a>0)； (2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应 函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； (3)由图象得出不等式的解集． 3. 含参数的一元二次型的不等式 在解关于含参数的一元二次型的不等式时，往往 要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”， 讨论需从如下三个方面进行考虑：