十 直线形的割补
立体几何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。
割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。
解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。
⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。
关于我们：。
奥数六年级千份讲义361第3讲——几何——曲线形面积与立体几何
第三讲几何——曲线形面积与立体几何---- w，™顷■■ - _斤知识点拨圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面，因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生.、与圆的面积相关的方法:⑴割补、平移、旋转法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个减计算.⑶容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，需要将多计的面积去除.二、立体几何相关的方法：⑴拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算.⑵三视图法：主要适用于求正方体积木塔图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面.⑶切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算，将立体图形沿某个方向切成多片，化立体为平面.⑷套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，再在该图形上进行切割.如例题精讲模块一、曲线形面积【例1】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）.60【例2】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n）【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I 绕A点转动，到达位置H,此时B , C点分别到达B1, C1点；再绕B1点转动，到达位置川，此时A , G点分别到达A2, C2点•求C点经C1到C2走过的路径的长.【例3】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC 60，此时BC长5厘米.以点B为中心，将ABC 顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（n取3）【巩固】（2008年学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC 2厘米，AC 4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为____________________________ .（n 3.14）A【例4】如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米•现在以C点为圆心，把三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是______________ 平方米.（n 3.14）【例5】（祖冲之杯竞赛试题）如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积.【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I .它的对角线长恰好是5cm .让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形n的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置•求点A走过的路程的长.A B C D E【例6】（2004年第九届华杯赛初赛）半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n（n 1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【例7】如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米•圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）.在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的•那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3. 14,除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位•如有多种答案请全部写出）P【例8】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位 置•问：这枚硬币自身转动了多少圈？模块二、立体图形【例9】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状， 已知相邻（有公共面）的积木颜色不同,标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【例10】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视 图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？【例11】（第十二届全国 华罗庚金杯”少年数学邀请赛）用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图 a ,从正面看这个立体图形，如下图 b ，则这个立体图形的表面积最多是 ___________•a b【例12】（2009年希望杯”二试六年级）用棱长为 1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面 看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要 _________________________________ 块小立方体.【例13】（日本第七届算术奥林匹克 ）有很多白色或黑色的棱长是 1cm 的小正方体.取其中的27个，拼成一个棱长是3cm 的大正方体，每一面都各用 2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。
浅谈小学数学中的图形割补法
浅谈小学数学中的图形割补法图形割补法是小学数学中的一种常用解题方法，它主要用于解决关于图形的面积、周长、角度等问题。
通过割补，可以将一个复杂的图形分解成几个简单的图形，从而更容易计算出所需的结果。
下面我们就来浅谈一下小学数学中的图形割补法。
图形割补法在小学数学中有很广泛的应用，主要体现在几何和图形相关的知识点上。
面积、周长、角度、对称等等，都可以通过图形割补法来解决。
这种方法不仅可以帮助学生更好地理解图形和几何的性质，还可以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
图形割补法的核心思想就是将一个复杂的图形分解成简单的图形，然后分别计算每个简单图形的面积、周长、角度等，最后再将它们相加或相减得到最终的结果。
这样一来，不仅简化了计算过程，还可以避免犯错误，提高计算的准确性。
举个例子来说，比如一个不规则的四边形，我们可以通过在某条对角线上划一条垂线，将四边形分解成两个三角形。
然后我们可以分别计算这两个三角形的面积，最后相加得到整个四边形的面积。
这样一来，计算的过程就会变得更加简单明了。
除了面积和周长，图形割补法在角度的计算中也有一定的应用。
在计算一个多边形内部的角度和时，我们可以通过在多边形内部划线，将多边形分解成若干个三角形，然后分别计算每个三角形的内角和，最后相加得到整个多边形的内角和。
这样一来，可以更好地理解多边形内角和的计算方法，提高学生对角度计算的理解和掌握。
图形割补法还可以在对称图形的计算中得到应用。
对称图形的面积和周长计算中，我们可以通过将对称图形割补成简单的几何图形，然后分别计算每个简单图形的面积和周长，最后进行适当的运算得到最终结果。
这样一来，不仅使计算过程更加清晰，还可以帮助学生更好地理解对称图形的性质和计算方法。
图形割补法是小学数学中的一种重要解题方法，它可以帮助学生更好地理解图形和几何的性质，提高他们的逻辑思维和解决问题的能力。
在教学中，我们可以通过一些实例和练习来引导学生掌握图形割补法的基本原理和应用技巧，帮助他们更好地运用这种方法解决实际问题。
2014年中考数学高分冲刺17-图形的分割与剪拼
关键点十七 图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1） 可从“等边”推演角之间的关系。
解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。
（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ① 交边AC 于D 。
在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠ y x A --︒=∠180。
②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒， ︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是：C ABC ∠-︒=∠43135。
②若C∠是底角，则有两种情况。
③AC A BC︒5.67 ︒5.67 ︒5.22︒5.22AB C︒45 ︒5.22︒5.22︒45 ABC DABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。
Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。
④ Ⅱ、由BD AB =，得x yx 2180=--︒，此时 ︒=+1803y x ，即C ABC ∠-︒=∠3180。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：简单割补法
我们知道长方形、正方形的面积计算公式为:长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积求解问题时,它们就无法直接用于求解了。
那么,如何来解决这一难题呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方形,这种方法我们称之为割补法。
掌握这方法的关键在于根据待求图形的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。
[例1】有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度,单位:厘米),求它的面积等于多少平方厘米?解答☆解法一将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形都被分割成三个长方形。
以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。
S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5=72-4-15=53(平方厘米)答:所求的面积为53平方厘米。
[例2】有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。
如果长增长3米,面积就增加27平方米。
求这个长方形的面积。
思路剖析根据题意,可以画出如下直观图(图3):观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。
=(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3=18+20+15=53(平方厘米)☆解法二上面的方法是将图形分割成若干个长方形,然后求图形的面积,也就是使用了分割法。
实际上,我们还可以将图形添补成一个大的长方形(见图2),然后利用大长方形面积与两个小长方形面积之差,求出图形的面积,亦即采用添补法。
十 直线形的割补
十直线形的割补在第五节，我们介绍了一些拼拼画画的知识.今天我们将专门介绍直线形的割、补技巧.由于多边形是直线形的主体，许多数学家对多边形的割、补作了深入的研究.关于这一问题最辉煌的成果是当代伟大的数学家希尔伯特证明的如下奇妙定理：定理两个面积相等的多边形，可以将任意一个切开成有限的块数，然后拼成另一个.这一定理告诉我们：任意一个多边形一定能拼成一个正多边形，但是定理并没有告诉如何去拼.寻找割、拼的方法就成为几何学中一个非常有趣的课题，引起了许多学者的兴趣.有人认为.没告诉方法的定理价值一定不大，这是不公正的.在数学中，有两类非常重要的问题，它们是存在性问题和构造性问题.一般说来，一个事物或状态，若能指出它存在，问题就解决了一大半.至于能否构造出来只是个时间问题.例如，历史上著名的“三等分角的问题”(即只准用圆规和直尺把一个已知角三等分).开始许多人绞尽脑汁一想正面解决它，但都失败了.后来.有位聪明人证明了“用尺规三等分角是不可能的”(即状态不存在).人们才恍然大悟.原来，以往千百万人所作的全部努力都徒劳无功.以后再也不会有人在此问题上白费气力了.有了前面的定理作保证.我们把任意多边形拼成一个正多边形一定有希望成功，不会产生像三等分角那样的情况.这里足见解决存在性问题的重要性.另外.把任意多边形先进行切割，然后再拼(构造)出正多边形的过程可以增强我们对几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，从而提高数学思维能力和创造力.这类问题不仅趣味性强，而且有相当的实用价值.例如工厂里下料(锯木板、割钢板等)，工艺美术的图案设计，土地划分乃至生活中切豆腐等都要用到割补知识.问题10.1某商业城有一皮货店，生意萧条.一天，店老板想出了一条妙计，他在店门前挂起两块光面朝外的皮(如图10-1)，并写着：“若哪位顾客能用三角毛皮补好另一块皮毛的洞，则可任选一件皮货，只收半价”.同学们：你能动动你聪明的大脑，使自己用较少的钱买件漂亮的皮大衣吗？分析图中三角形皮块与洞形状、大小都一样，但方向相反，若直接补上去则毛面朝外，显然不行.那么，要补好洞必须把三角形皮先割破，再重新拼接.解如图10-2，分别过三角形皮块和洞的顶端A和A’作底边的垂线AD、A＇D＇；分别连接D、D＇与另外两边的中点.即把原来的两个三角形各分成了两个三角形和一个四边形.然后把△1、△2平行移动到△1′、△2＇的位置.最后把四边形3旋转1800后，平行移动到四边形3＇的位置即补合.问题10.2前进生产大队有一正方形的池塘，四角上有4棵大树(图10-3).在改革大潮中，他们要扩大池塘养鱼、植藕，计划将原塘扩大1倍，并要求扩建后的池塘仍呈正方形且不动树也不准将树淹在水中.这该怎么办？分析初看来这个问题确实有些难.可是只要你开动脑筋，这个问题又是可以解决的.按如图10-4中的a＇b＇c＇d＇开拓池塘就能使池塘面积扩大1倍后仍保持正方形的形状，且大树也不必搬动.可是你能证明扩大的正方形面积是原正方形的两倍吗？问题10.3图10-5(1)所示的卡片上有两个长方形孔.只准切一刀就能拼成图10-5(2)的形状，你能办到吗？解按图10-6(1)中虚线切开，然后把剪下的三角形在空中翻转1800(即翻一个面)，再接上去即得.见图10-6(2).如果你掌握了以上切拼的技巧(切成45°)，你就可以想出一些类似的拼图去变“小魔术”给小朋友看.问题10.4 蓬莱小学的花园别具一格，它是一块如图10-7所示的梯形.花园中有四棵月桂树.云仙老师要把此花园分成四块给班上的四个组管理.她还要求四块的形状和大小都相同并要求每块保留一棵月桂树.你说怎么分才好？本题是希腊哲学家苏格拉底出的题.他并作了这样的提示：“要把梯形分割。
几何证题方法探讲——割补法
几何证题方法探讲——割补法作者：余熳炜张勇超来源：《中学生数理化·教研版》2009年第07期在求解平面几何问题时，根据问题的题设和结论，合理适当地将原来的图形割去一部分，或补上一部分，变成一个特殊的、简单的、整体的、熟悉的图形，使原来问题的本质得到充分显示，通过对新图形的分析，探索原来问题的答案，我们把这种方法称之为割补法.一、补出直角三角形如果图形中有直角或者相邻两角互余的情况，可考虑通过整形，补出或补成直角三角形来解题.二、补出等腰三角形如果图形涉及三角形或四边形某角的平分线，或三角形一边上的中线（或高）与角平分线联系，可考虑补出等腰三角形来.例1 如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，且AE＝12BD，求证：BD平分∠ABC.三、补出正三角形如果多边形有一个内角为60°或120°，涉及到等线段，可考虑将图形补成一个正三角形.例2如图2，AA′、BB′、CC′交于点O，且AA′=BB′=CC′=1，∠AOC′=∠BOA′=∠COB′=60°.（1）求证：△△△COB′＜34；（2）求证：△AOC′、△BOA′、△COB′ 中至少有一个不大于316. 证明:（1）延长AA′至E，使A′E=OA.延长B′B至D，使BD=BO′，连DE.在DE上截取F，使EF=OC′.易证△ODE为正三角形，DF=OC.则△AOC′≌△A′EF，△B′OC≌△BDF.∵△A'EF＋△BOA'＋△BDF＜正△ODE，∴△AOC'＋△BOA'＋△COB'＜正△ODE.又△ODE＝34，则△AOC'＋△BOA'＋△COB'＜34.（2）设OA＝a，OB＝b，OC＝c,则OA'＝1－a，OB'＝1－b，OC'＝1－c.∵△AOC'＝34a(1－c)，△BOA'＝34b(1－a)，△B'OC＝34c(1－b). ∴△AOC'－△BOA'－△∵－a＋14≥0 ,∴a(1－a)≤14.同理b(1－b)≤14，c(1－c)≤14.则△AOC'－△BOA'－△∴△AOC'、△BOA'、△COB'中至少有一个不大于316.四、补出平行四边形例3 如图3，凸六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB＋BC=11，FA －CD=3，求BC＋DE.解：由题意知，AF∥CD，BC∥EF，则可将六边形补成平行四边形MCNF.△ABM、△DEN均为等边三角形.MC＝AB＋BC＝11. ①FA＝MF－AM＝CN－AB＝CD＋DE－AB.于是FA－CD＝DE－AB＝3.则DE－AB＝3. ②①＋②得DE＋BC＝14.五、补出正方形例4 如图4，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠CAB＝45°，BC=3，CD=2，求△ABC.解：将△ACD沿直线AC翻折得△ACF.将△ABD沿直线AB翻折得△ABE.分别延长FC、EB交于G，可证出AEGF为正方形.设AF＝AD＝AE＝x，则CG＝x－2，BG＝x－3.在Rt△BCG中，＝＋∴(2＋＝(x－＋(x－解得x＝6（舍去负值）.则△ABC＝15.五、补出圆已知共顶点的两条相等线段、角之间的关系，可以公共顶点为圆心补圆，以较方便转化角、转化线段之间的关系.例5 如图5，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACBAC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD•DC＝.A.6B.7C.12D.16解：以P为圆心，PB长为半径作圆.∵PA＝PB，∠APB＝2∠ACB.∴点A、点C都在圆上，延长BP交⊙P于点E，则BE＝8.∵PD＝3∴BD＝1，DE＝7，由相交弦定理知：AD•DC＝7.。
十 直线形的割补
十直线形的割补在第五节，我们介绍了一些拼拼画画的知识.今天我们将专门介绍直线形的割、补技巧.由于多边形是直线形的主体，许多数学家对多边形的割、补作了深入的研究.关于这一问题最辉煌的成果是当代伟大的数学家希尔伯特证明的如下奇妙定理：定理两个面积相等的多边形，可以将任意一个切开成有限的块数，然后拼成另一个.这一定理告诉我们：任意一个多边形一定能拼成一个正多边形，但是定理并没有告诉如何去拼.寻找割、拼的方法就成为几何学中一个非常有趣的课题，引起了许多学者的兴趣.有人认为.没告诉方法的定理价值一定不大，这是不公正的.在数学中，有两类非常重要的问题，它们是存在性问题和构造性问题.一般说来，一个事物或状态，若能指出它存在，问题就解决了一大半.至于能否构造出来只是个时间问题.例如，历史上著名的“三等分角的问题”(即只准用圆规和直尺把一个已知角三等分).开始许多人绞尽脑汁一想正面解决它，但都失败了.后来.有位聪明人证明了“用尺规三等分角是不可能的”(即状态不存在).人们才恍然大悟.原来，以往千百万人所作的全部努力都徒劳无功.以后再也不会有人在此问题上白费气力了.有了前面的定理作保证.我们把任意多边形拼成一个正多边形一定有希望成功，不会产生像三等分角那样的情况.这里足见解决存在性问题的重要性.另外.把任意多边形先进行切割，然后再拼(构造)出正多边形的过程可以增强我们对几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，从而提高数学思维能力和创造力.这类问题不仅趣味性强，而且有相当的实用价值.例如工厂里下料(锯木板、割钢板等)，工艺美术的图案设计，土地划分乃至生活中切豆腐等都要用到割补知识.问题10.1 某商业城有一皮货店，生意萧条.一天，店老板想出了一条妙计，他在店门前挂起两块光面朝外的皮(如图10-1)，并写着：“若哪位顾客能用三角毛皮补好另一块皮毛的洞，则可任选一件皮货，只收半价”.同学们：你能动动你聪明的大脑，使自己用较少的钱买件漂亮的皮大衣吗？分析图中三角形皮块与洞形状、大小都一样，但方向相反，若直接补上去则毛面朝外，显然不行.那么，要补好洞必须把三角形皮先割破，再重新拼接.解如图10-2，分别过三角形皮块和洞的顶端A和A‟作底边的垂线AD、A＇D＇；分别连接D、D＇与另外两边的中点.即把原来的两个三角形各分成了两个三角形和一个四边形.然后把△1、△2平行移动到△1′、△2＇的位置.最后把四边形3旋转1800后，平行移动到四边形3＇的位置即补合.问题10.2 前进生产大队有一正方形的池塘，四角上有4棵大树(图10-3).在改革大潮中，他们要扩大池塘养鱼、植藕，计划将原塘扩大1倍，并要求扩建后的池塘仍呈正方形且不动树也不准将树淹在水中.这该怎么办？分析初看来这个问题确实有些难.可是只要你开动脑筋，这个问题又是可以解决的.按如图10-4中的a＇b＇c＇d＇开拓池塘就能使池塘面积扩大1倍后仍保持正方形的形状，且大树也不必搬动.可是你能证明扩大的正方形面积是原正方形的两倍吗？问题10.3 图10-5(1)所示的卡片上有两个长方形孔.只准切一刀就能拼成图10-5(2)的形状，你能办到吗？解按图10-6(1)中虚线切开，然后把剪下的三角形在空中翻转1800(即翻一个面)，再接上去即得.见图10-6(2).如果你掌握了以上切拼的技巧(切成45°)，你就可以想出一些类似的拼图去变“小魔术”给小朋友看.问题10.4 蓬莱小学的花园别具一格，它是一块如图10-7所示的梯形.花园中有四棵月桂树.云仙老师要把此花园分成四块给班上的四个组管理.她还要求四块的形状和大小都相同并要求每块保留一棵月桂树.你说怎么分才好？本题是希腊哲学家苏格拉底出的题.他并作了这样的提示：“要把梯形分割。
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学员要求 人教版 人教版 部编版 人教版 部编版 部编版 人教版 人教版 人教版 部编版 人教版 人教版 人教版 人教版 人教版 人教版
第二步：报名优惠方案
1、长线课（设置优惠降低决策成本，便于转化）： 抢报、团报、阶梯报名优惠政策
时间：假期 期中 期末 月度 学科活动 讲师：双师主讲 双师名师 对象：新生 老生 家长 次数：1-3次课，每次课：90-120分钟
（2-6课时） 价格：10元 99元 600元 0元 宣传：海报 公众号
收心班
暑假课结束后，秋季课开课前，为续班，招新准备的课程 1.授课教师：双师主讲 2.授课内容：复习知识串讲 3.宣传：公开课海报 4.授课对象：招新，续班 5.课程周期：3节课（每节课2小时）
时长 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟 120分钟
小学数学难题解法大全 第四部分 常用解题技巧(四~三)解几何题技巧
小学数学难题解法大全第四部分常用解题技巧（四之三）解几何题技巧（三）解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
等分后的情况见图4.13和图4.14。
积是图4.12的正方形面积是【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。
例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。
问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。
如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。
这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。
其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。
所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。
2.平移变换【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。
例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。
但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。
于是，不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。
小学思维数学讲义组合图形之平移、旋转、割补-带详解
A
F E
A C'
F E
B
D
C
B
D
C
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】绕 D 点逆时针旋转 CED ，使 E 与 F 重合，则 C 点落在 AB 边上的 C ' 点处，且 C ' D CD ．则阴影
部分面积转化为直角三角形 BC ' D 的面积，所以阴影部分的面积为10 7 2 35 平方厘米．
【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点 P 为中心转动一个正方形．当 AB 5 厘米，BC 13 厘米，CA 12 厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积 (注意，图的尺寸不一定准确)．
A C
B
P
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于
62
13
23
求出了 △A OA 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.
23
A 1
B 6
BA
1
2
O
B
2
A
A
6
3
B
B
5
3
AB A
5
4
4
连接 A A 、 B B 、 B A
63
61
63
设 △A B B 的面积为“ 1 ”，则 △B A B 面积为“ 1 ”， △AAB 面积为“ 2 ”，那么 △A A B 面积为
图形之平移、旋转、割补
例题精讲
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平
求不规则图形面积的几种方法
求不规则图形面积的几种方法作者：白福花来源：《内蒙古教育·基教版》2012年第03期摘要：初三学习弧长及扇形的面积，在计算阴影部分的面积过程中，常遇到一些平面不规则图形的面积计算问题，对这类试题由于图形的不规则使学生在求解时往往感到茫然，不知所措；然而这类试题又能开发学生智力，能体现对数学思想方法、思维能力素质的考查，本文将结合具体实例谈谈把不规则图形的面积计算问题通过变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法，转化成规则图形面积的计算问题。
关键词：不规则图形面积求法一、割补法割补法是求解平面不规则图形面积问题最常用的方法之一，它包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二是粘补原有图形为规则图形；三是分割粘补兼而有之。
例1：当汽车在雨中行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。
如图1-1是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积 ______cm2 （π取3.14）略解，由于CD和AB在点B处固定连接（不能转动），所以在整个运动过程中，就有AC=AC′=115cm，AD=AD′=35cm，CD=CD′=80cm，因此△ACD≌△AC′D′，把△AC′D′割下，粘补到△ACD的位置（图1-2），则雨刷CD扫过的面积，就等于以A为圆心，AC、AD为半径的两个圆的面积差。
注：在应用割补法求解问题时，往往要综合应用“分割”与“粘补”两种技能方法兼用，对思维的灵活性和严密性有着较高的要求。
二、重叠法重叠法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决的一种方法。
例谈“割补法”的应用
- 1 - 例谈“割补法”的应用后宗新（安徽省芜湖县实验学校 241100）利用等效思维将一个物体分成几个部分、或将物体的某个部分进行移动，以及将物体几个部分合成一个整体，这样的方法统称为“割补法”。
具体可分为“割开法”、“移动法”、“补全法”三种。
使用“割补法”，往往能使解题变得简洁方便，请看：例1 如图1所示，质量分布均匀地圆柱体对水平地面地压强为p ，如果沿图中虚线切开，拿走部分Ⅱ或部分Ⅰ，剩下的部分对地面的压强如何变化？解析：在压力和受力面积同时变化且不成比例时，无法确定压强的变化。
【补全法】把Ⅰ补上Ⅲ，使之成为一个新的圆柱体，如图2所示，与原来圆柱体进行比较，由于压力和受力面积成比例减小，所以Ⅰ、Ⅲ组合体的压强不变。
Ⅰ与Ⅰ、Ⅲ组合体比较，受力面积相同，压力小，所以Ⅰ对地面的压强会变小。
【割开法】将Ⅱ分成A 、B 两部分，如图3所示，同理，与原来进行比较，A 对地面的压强不变，Ⅱ与A 比较，受力面积相同，压力大，所以Ⅱ对地面的压强会变大。
例2 如图4，三个完全相同的容器中分别倒入质量相等的水银、水、酒精，则容器底受到的压强是（ ）A ．p A ＞pB ＞pC B ．p A ＜p B ＜p C C ．p A ＝p B ＝p CD ．无法确定解析：液体对容器底部压强与液体的密度、深度有关，此题中三者密度不等，深度也不相同，而且密度大的深度小，无法比较压强的大小。
由于容器的形状不是柱形，压力的大小不等于重力，所以也不能用重力除以底面积来计算。
【移动法】 如图5所示，把容器沿着AC 直线分割成两部分，再把割下的部分ACE 移动到FDB ，此时成了一个圆柱形的容器，变化前后液体对容器底部的压强相等，即p 前＝p 后＝F/S ＝G/S ，而装的液体密度越小，体积越大，深度越大，移动后形成的柱形容器的底面积就越大。
三种液体的质量相等，重力相等，所以密度小的压强小。
正确答案选择A 。
结论：如此形状的容器，在质量一定的情况下，所盛液体密度越小（体积越大），对底部的压强越小。
巧用割补的数学思维解题
1+2+3+…+62=1953<2008<1+2+…+62+63=2016，说明前62行共有1953个真分数；从而第2008个真分数应该是第63行的第55个数，其分母是64，分子是55，即第2008个真分数是 。
方法总结：根据数量关系恰当进行分组，找出其规律，这是解决本题的关键，也是这类题型解法的精髓。
例1：“幸福”商店开张，为吸引顾客，进行如下的优惠活动：凡在本商店购买汽水，可用3只空瓶换1瓶汽水。甲、乙、丙三人共买10瓶汽水，他们喝完后，最后不剩空瓶，平均每人喝几瓶汽水。
思路分析：每次用3个空瓶换1瓶汽水，则非常麻烦，难得到答案，用分组法，问题就迎刃而解。
解：因为3只空瓶换1瓶汽水，所以2瓶汽水就能喝到2瓶汽水， 10瓶汽水能喝15瓶汽水，平均每水喝3瓶汽水。
方法总结：根据题意巧妙进行分组，寻找规律，是解决本题的关键，也是这类题型解法的精髓。
二、面积中的割补
面积中使用割补思维，它通常包含两种解题方法：割形法、补形法。
例2：在动画片蓝猫淘气三千问中，蓝猫问了小灰熊一个有趣的问题：如图，每个小正方形边长为单位1，求图中四边形ABCD的面积，你能帮小灰熊解决这个问题吗？
解：能
如图C（－2，0），B（0，1）,联立一次函数y=x+2,y=2x+1得方程组
解方程组得：
∴A（1,3），BD＝1
∴S△ABC＝S△BDC＋S△ADB＝ ＋ ＝1.5
方法总结：在直角体系中求三角形的面积，一般选用坐标轴上线段为底，再结合割补思维，就出奇制胜，简化计算!
三、计算中的割补
例6：计算：
例12：有这样一个正方形，面积为18.75平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形的面积三等分，求这两条平行线段的长。
一次函数与面积割补法
一次函数与面积割补法
一次函数是指一个函数的最高次数为1的多项式函数，表示为
y=f(x)=ax+b，其中a和b是常数。
面积割补法是一种用来求曲线下的面积的数学方法。
它基于图形的形状和性质，将曲线下的面积分割成一系列小矩形，然后计算每个小矩形的面积，并将它们加起来得到整个曲线下的面积。
在面积割补法中，使用一次函数来逼近曲线，将曲线下的面积近似为一系列小矩形的面积之和，这样可以简化计算过程。
具体实施面积割补法时，首先将曲线划分成若干小区间，然后在每个小区间上选择一个特定的x值，计算相应的y值，并绘制一条通过这个点的直线，将其近似为曲线的切线。
这条切线可以表示为一次函数。
然后计算每个小矩形的面积，即矩形的宽度乘以高度。
最后将所有小矩形的面积相加，得到整个曲线下的面积的近似值。
面积割补法是一种近似计算曲线下的面积的方法，当曲线比较平滑且函数易于计算时，可以得到较为准确的结果。
然而，在曲线变化较大或者函数难以求解的情况下，这种方法的精度可能会降低。
割补法和分割法
割补法和分割法
什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。
在面积和体积
教学中，都有着广泛的应用。
割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。
平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长
方形等。
（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的
面积。
五年级上学期几何问题第06讲 格点与割补
《华罗庚学校思维训练导引》五年级第三节五年级上学期 第06讲 几何问题第06讲 格点与割补【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线性的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当的分割与拼补进行计算的面积问题。
【例题分析】1、 如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？分析：颜色相同的点，面积形同，将其进行互相转换，拼成一个正方形。
详解：正方形２个，转换而成的正方形４个，蓝点的正方形面积是21正方形面积 ∴用粗线围成的图形的面积是２＋４＋０.５＝６.５平方厘米评注：本题主要考察相同面积图形的转换。
2、 如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 面积是多少平方厘米？分析：同上。
答案：２０平方厘米3、 如图（1）是常见的一副七巧板的图，图（２）使用这副七巧板的７块板拼成的小房子图，那么，第２块板的面积等于整副图的面积的几分之几？第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的几分之几？（１） （２） （３）分析： 颜色相同的点，面积形同详解：图中每个红色点的面积等于整副图的面积的161 ∴第２块板的面积等于整副图中两个红色点的图形面积和，即整个图形的81。
同理，第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的163。
4、 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面做小正三角形，得到一个六角形。
再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到如图所是的图形。
如果这个图形的面积是１，那么原来的正三角形面积是多少？分析：要计算的是红色三角形的面积，通过连线计算出红色三角形中所含的紫色三角形的个数占原图形中紫色三角形个数的几分之几。
详解：红色三角形中所含的紫色三角形（１＋１７）×９÷２＝８１原图形中紫色三角形个数８１＋２×３＋１１×３＝１２０原来的正三角形面积是4027112081=⨯5、 如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是６平方厘米，Ｍ是ＡＢ中点，Ｎ是ＣＤ中点，Ｐ是ＥＦ中点。
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十直线形的割补在第五节，我们介绍了一些拼拼画画的知识.今天我们将专门介绍直线形的割、补技巧.由于多边形是直线形的主体，许多数学家对多边形的割、补作了深入的研究.关于这一问题最辉煌的成果是当代伟大的数学家希尔伯特证明的如下奇妙定理：定理两个面积相等的多边形，可以将任意一个切开成有限的块数，然后拼成另一个.这一定理告诉我们：任意一个多边形一定能拼成一个正多边形，但是定理并没有告诉如何去拼.寻找割、拼的方法就成为几何学中一个非常有趣的课题，引起了许多学者的兴趣.有人认为.没告诉方法的定理价值一定不大，这是不公正的.在数学中，有两类非常重要的问题，它们是存在性问题和构造性问题.一般说来，一个事物或状态，若能指出它存在，问题就解决了一大半.至于能否构造出来只是个时间问题.例如，历史上著名的“三等分角的问题”(即只准用圆规和直尺把一个已知角三等分).开始许多人绞尽脑汁一想正面解决它，但都失败了.后来.有位聪明人证明了“用尺规三等分角是不可能的”(即状态不存在).人们才恍然大悟.原来，以往千百万人所作的全部努力都徒劳无功.以后再也不会有人在此问题上白费气力了.有了前面的定理作保证.我们把任意多边形拼成一个正多边形一定有希望成功，不会产生像三等分角那样的情况.这里足见解决存在性问题的重要性.另外.把任意多边形先进行切割，然后再拼(构造)出正多边形的过程可以增强我们对几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，从而提高数学思维能力和创造力.这类问题不仅趣味性强，而且有相当的实用价值.例如工厂里下料(锯木板、割钢板等)，工艺美术的图案设计，土地划分乃至生活中切豆腐等都要用到割补知识.问题10.1 某商业城有一皮货店，生意萧条.一天，店老板想出了一条妙计，他在店门前挂起两块光面朝外的皮(如图10-1)，并写着：“若哪位顾客能用三角毛皮补好另一块皮毛的洞，则可任选一件皮货，只收半价”.同学们：你能动动你聪明的大脑，使自己用较少的钱买件漂亮的皮大衣吗？分析图中三角形皮块与洞形状、大小都一样，但方向相反，若直接补上去则毛面朝外，显然不行.那么，要补好洞必须把三角形皮先割破，再重新拼接.解如图10-2，分别过三角形皮块和洞的顶端A和A‟作底边的垂线AD、A＇D＇；分别连接D、D＇与另外两边的中点.即把原来的两个三角形各分成了两个三角形和一个四边形.然后把△1、△2平行移动到△1′、△2＇的位置.最后把四边形3旋转1800后，平行移动到四边形3＇的位置即补合.问题10.2 前进生产大队有一正方形的池塘，四角上有4棵大树(图10-3).在改革大潮中，他们要扩大池塘养鱼、植藕，计划将原塘扩大1倍，并要求扩建后的池塘仍呈正方形且不动树也不准将树淹在水中.这该怎么办？分析初看来这个问题确实有些难.可是只要你开动脑筋，这个问题又是可以解决的.按如图10-4中的a＇b＇c＇d＇开拓池塘就能使池塘面积扩大1倍后仍保持正方形的形状，且大树也不必搬动.可是你能证明扩大的正方形面积是原正方形的两倍吗？问题10.3 图10-5(1)所示的卡片上有两个长方形孔.只准切一刀就能拼成图10-5(2)的形状，你能办到吗？解按图10-6(1)中虚线切开，然后把剪下的三角形在空中翻转1800(即翻一个面)，再接上去即得.见图10-6(2).如果你掌握了以上切拼的技巧(切成45°)，你就可以想出一些类似的拼图去变“小魔术”给小朋友看.问题10.4 蓬莱小学的花园别具一格，它是一块如图10-7所示的梯形.花园中有四棵月桂树.云仙老师要把此花园分成四块给班上的四个组管理.她还要求四块的形状和大小都相同并要求每块保留一棵月桂树.你说怎么分才好？本题是希腊哲学家苏格拉底出的题.他并作了这样的提示：“要把梯形分割。
应设法找到梯形的相似形.要做到这一步，就需要深入地思考.这当然是一个涉及…内在联系‟的问题”.请同学们根据苏格拉底的提示按要求把梯形分成四块.问题10.5 有一块长24米、宽15米的长方形地毯.现要把它移到长20米、宽18米的新房里去.请找一种剪裁方法.使剪后的各块拼合后正好能铺满新房间的地面.为了使剪后的地毯尽量完整，一个十分自然的要求即是还要使裁剪的块数尽可能地少.分析地毯的面积为24×15=360(平方米).新房间面积为18×20=360(平方米).两者面积相等，但长、宽不等.因为24比20多4.18比15多3.这里我们自然想到要根据这多出的3和4在原地毯上画出30个3×4(平方米)的小长方形组成的长方形网，如图10-8(1)中虚线，再把最前(或最后)一列的五个小长方形割下来.补到上(或下)一排上去，即补成了图10-8(2)的形状.它正好铺满新房间的地面.但这样分割得割成6块才可拼成(为什么？).能否剪更少的块数而拼成18×20的长方形呢？如图10-8可见，图(1)比图(2)无非是宽了一小格(的长)和矮了一小格(的宽)，故自然产生了把长减短4米，并使高增加3米的想法.这并非难事.事实上把地毯按图10-8(1)中的实折线剪开成两块，然后把左边的一块先往上方平行移动3米，再往右边平行移动4米，即得图10-8(2).由于一块不可能铺满新房间，故两块是块数最少的剪法.问题10.6 小红的爸爸在街上卖边角布料的布摊上买回了一块三角形的绸布，小红的妈妈想用它来做窗帘(长方形).但为了不把布剪得太碎，她要求最多裁3块.妈妈不会画线，就把这任务交给了小红，请问小红应怎么画线才能达到要求？分析题中没说三角形的形状和大小，故我们应该用任意的△ABC来解决这一问题.动手试验一番，并开动脑筋想一想就会发现：把三角形割、拼成长方形所采用的方法及割成最少块数的数目与三角形的形状有关.下面仅解决△ABC为锐角三角形的情形.可以用倒推法卿从结果入手分析，也叫分析法)来思考：假若按某种剪法分成的3块正好拼成了一个长方形，现在反过来寻求△ABC的一种切割方法.另外，要使剪的块数少，必须剪的刀数少.那么就要尽量让长方形的边多与三角形的边叠合.但三角形是锐角三角形，故最多只能有一边与长方形重合.如图10-9(1)，不妨设拼好的长方形以BC为一边长，则我们要设法把△AB＇C＇再分成两块补到△1和△2的位置上.由于△1、△2都是直角三角形，故△AB＇C′应分成两个直角三角形，这只要过它的一个顶点作对边的垂线即可.取A点作B′C＇的垂线AD.此外，我们还要使分得的两个直角三角形AB＇D与ADC′分别与△1和△2全等才行.显然只要取B、C′厂分别为AB、AC的中点即满足要求.解对于锐角△ABC，如图10-9(2)，连接AB、AC的中点B＇、C＇，过A作B＇C＇的垂线AD.把△AB＇C＇分成直角△3和直角△4，然后将△3和△4分别绕B＇、C＇点向逆、顺时针方向旋转180°即得合乎要求的长方形.显然，B＇C＇是△ABC中与BC平行的中位线.对于锐角三角形，还可取与AB或AC 平行的中位线去解决，故按这种思路共有三种解法.问题10.7 在问题10.6中：(1)若△ABC为直角三角形，按上述思路求解有几种解法？最少割成几块？(2)若△ABC为钝角三角形呢？(3)问题10.6除以上思路外还有没有新的思路和解法？在直线形的割补中，把一个图形割开拼成正方形是非常重要的问题.这一问题不但内容最为丰富，而且有许多精彩的应用.问题10.8 图10-10是一个空心的正方形，你能用剪刀将它分成四块，然后拼出一个实心的正方形吗？分析初看起来这个题难以入手，但仔细一想，实心正方形一定有4个直角，我们要从空心正方形中割出它们.另外，切割时，显然应该沿着图10-10内小正方形的边沿切割.再试验几次，即可切成图10-11(1)的形状，然后再拼成图10-11(2)的形状即可.注意：以上求解中用到“试验”一词.其实试验也是数学中一种非常有用的方法.问题10.9 图10-12是边长分别为1、4、8的三个正方形方格网叠在一起组成的阶梯式图形.若只准按网线切割.问最少切成几块拼在一起后正好是一个正方形？分析因为12+42+8=81=92，所以无论分多少块，拼成后的正方形边长总是9.先退一步，暂不考虑最少分几块.只考虑能拼成正方形.因为边长为9的正方形可视为边长为8的正方形的下边和右边各镶一条(共17个)小正方形而得到.这样，一个最自然的想法是不动边长为8的正方形而把上面的17个小正方形分割成如图10-12中粗线所示的五块，再拼成图10-13的正方形，边长即为9.现在的问题是能否使块数更少？由上述镶边拼法知道.所镶的两条边都是由两段接成的.能否不接而变成通长条呢？我们知道所镶的两条边可视为一个1×9长方形和一个1×8长方形.为了不接，可先在最高的那一列割下一个1×9长方形，再挨着割下一个1×8长方形分别镶到原边长为8的正方形下边和右边，发现中间缺了一个2×4的长方形块，而上面正好多了一个2×4长方形块，再割下来一个嵌入其内即得1个9×9的正方形.这样只分成了4块，减少了一块.但这是不是块数最少的分法呢？这要看所切的四块是否能“合并”.通过考察不难发现，那个互1×8长方形和2×4长方形是可以并在一起的，这样就只有3块了.按图10-14(1)的粗线分割并拼成图10-14(2)即得.问题10.10 图10-15(1)中两个正方形的边长分别为a和b(b＞a).请将边长为b的正方形切成四块一样的图形，再与另一个正方形拼在一起组成一个大正方形.分析拼成的大正方形的面积为a2+b2，设大正方形的边长为c，则c适合等式c2=a2+b2.又因为要把边长为b的正方形切分为四个全等图形，那么划线一定要经过此正方形的中心.我们仍用“倒推法”思考.如因10－15(2)，假定过O的割线段EF就是拼成大正方形的边长，那么EF2＝a2＋b2，过F作FG垂直于AB，就有FG＝b.△EGF为直角三角形，．这样就可确定EF.由于拼成的大正方形四个角应为直角，故将EF绕O旋转90°就可得到另一条割线.解如图10－16(1)，我们在AB上取一点E，使AE＝1/2(b— a).过E和中心O画一条直线交CD于F，再过O作MN垂直于EF分别交AD、BC于M、N，则以EF、MN为两条割线可把边长为b的正方形分成全等的四块.按图10—16(2)进行拼合即得所求的大正方形.注意：若本题不要求分成全等的四块，你又怎样分析出割线来？此时，你能否想出更多的割拼方法？在一个直角三角形中，人们喜欢把两个直角边分别叫勾和股，而把斜边称作弦.勾、股和弦之间有一个很重要的联系，就是：勾的平方加股的平方等于弦的平方.这就是著名的勾股定理.我国很早就发现了这一定理，在《周髀算经》这本古老的数学书中就有“勾三、股四、弦五”的记载.意思是说：在一个直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，那么斜边长一定是5，显然32＋42＝52.由图10－17易见，若以勾、股、弦分别作三个正方形，那么两个小正方形的面积之和正好等于大正方形的面积.证明勾股定理，即证明直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.分析图10－17已经给了证明思路.事实上，可以先以a、b和c为边作三个正方形，然后只要用“问题10.10”所提供的方法(即割补法)把以a、b为边长的两个正方形切拼成一个大正方形，而这个大正方形的边长正好为c就证明了勾股定理.无疑地，这是割补法的一个非常精彩的应用.练习101.图10－18中是一个底角为60°且上底与腰相等的等腰梯形.请你把它分割成全等的4个部分.2.有一个由36个小方格组成的正方形棋盘，如图10－19，里面放着黑、白子各4颗.现要把它分割成形状和大小都相同的四块，并使每块里都有一颗白子和一颗黑子.问应怎样分割？3.老赵有一块长方形的木板.长2米5分米，宽1米6分米.如图10－20.他请木工王师傅给他做一个正方形的桌面.问王师傅怎么锯才能保证锯的块数最少？4.把图10－21分成两块.然后拼成一个正方形，怎么分？怎么拼？5.图10－22是一块90厘米×120厘米的长方形木板，正中间有一个10厘米×80厘米的长方形孔，想将它锯开后拼成一个正方形桌面.如何分块数最少？桌面面积为多少？6.图10－23是一张十字形的塑料片，请剪两剪刀.然后再(1)拼成一个长方形；(2)拼成两个并列的正方形.7.如何证明图10－24中正方形Ⅰ、Ⅱ的面积之和等于正方形Ⅲ的面积？。