函数与导数中的恒成立问题

函数与导数中的恒成立问题（一）最值法1．若函数xx x g x x f 2)(,ln )(-== ，若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解： 0ln )(≥+-⇔-≥a ax x x a ax x xf0)(,),[,ln )(min ≥+∞∈+-=x h e x a ax x x x h 时则当令 10)(,1ln )(-=='-+='a e x x h a x x h 得由 0)(,0)(011>'><'<<--x h e x x h e x a a 时当时且当 ),(,),0()(11+∞∴--a a e e x h 在单减在单增①当e ea a ≤≤-1,2时0)()(),()(min ≥+-==∴+∞∴a ae e e h x h e x h 单增在，1-≤∴e e a 。

②当ae a e e h a ≥+⇒≥>0)(,2由时,2,,2,2ae a a e e a ae e a e e a <≤+≥<<+<<则若则若2>a 故不成立综上所述1-≤e e a 另解：1ln ln -≤⇔-≥∴≥x xx a a ax x x ex 。

),[,1ln )(+∞∈-=e x x x x x h 令 ，则2)1(1ln )(---='x x x x h 。

021ln 1ln 011)1ln (,>-=--≥--∴>-=--≥e e e x x xx x e x 时当 0)(>'∴x h ，1)()(min -==∴e e e h x h ，1-≤∴e ea 。

1.1 设函数1()=ln .f x x x a-其中a 为常数，0a >(1)当1a =时，求()f x 的最小值；(2) 若(0,)x ∀∈+∞，恒有()1f x ≥成立，求实数a 的取值集合；（3）设常数b 、()0,c ∈+∞且<b c ，点(,())A b f b 、(,())B c f c 在函数()f x 的图像上，直线AB 的斜率为k .问：是否存在0(,)x b c ∈，使f '0()x >k 成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.解（1）当1a =时，'1()101f x x x=-=⇒= 列表如下()=(1)1f x f ∴=最小值（4分）（2）'111()10ax f x x ax ax a-=-==⇒= 列表如下：由题意，ln 1,ln 1a a a a a-≥∴-≤，（6分），由（1），当0a >，ln 1a a -≥，ln 1a a ∴-=（8分）又由①知当且仅当1x =时()1f x =，1a ∴=，∴a 的取值的集合为{1}（10分）（3）()()1ln ln 1f b f c b c k b c a b c --==-⋅--，而()'0011f x ax =-，由()'0fx k >得0ln ln b cx b c ->-（13分），由（1）知当0t >且1t ≠时，ln 1,t t ->0,ln 1,ln 1,b b c c b c c c b b <<∴->->从而ln ln b cb c b c-<<-（15分）0ln ln b c x c b c-∴<<-为所求（16分） （二）分离参数法 2．(2012·南通高中联考)设函数f (x )＝ax ，[0,]x π∈，且f (x )≤1＋sin x ，则a 的取值范围________．解析：因为f (x )≤1＋sin x ⇔ax ≤1＋sin x . 当x ＝0时，0≤1＋sin 0＝1恒成立． 当0<x ≤π时，ax ≤1＋sin x ⇔a ≤1＋sin xx ⇔a ≤⎣⎡⎦⎤1＋sin x x min .令g (x )＝1＋sin xx (0<x ≤π)，则g ′(x )＝x cos x －1－sin xx 2，令c (x )＝x cos x －1－sin x ， c ′(x )＝－x sin x ≤0，x ∈(0，π]．故c (x )在(0，π]上单调递减，c (x )<c (0)＝－1<0. 综上可知x ∈(0，π]时，g ′(x )<0， 故g (x )在区间(0，π]上单调递减． 所以[g (x )]min ＝g (π)＝1π.故a ≤1π.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，1π 2.1关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________． 解析： 两边同除以x ，则k ≤x ＋9x ＋|x －3|，x ＋9x ≥6，|x －3|≥0，当且仅当x ＝3，两等式同时取得等号，所以x ＝3时，右边取最小值6.所以k ≤6.答案：(－∞，6]2.2设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.[来源:学.科.网]综上a ＝4. 答案：42.3 (2012·盐城中学期中)已知函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝bx －x ＋2，其中a ，b ∈R 且ab ＝2.函数f (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是增函数． (1)求函数f (x )，g (x )的表达式；(2)若不等式f (x )≥mg (x )对x ∈⎣⎡⎦⎤14，1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )－12x 的最小值，并证明当n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )>3.解：(1)f ′(x )＝2x －a x ≤0对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤14，1恒成立，所以a ≥2x 2.所以a ≥2.同理可得b ≥1. ∵ab ＝2，∴a ＝2，b ＝1.∴f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －x ＋2.[来源:学科网ZXXK](2)∵f (1)＝1>0，g ⎝⎛⎭⎫14＝74>0，且函数f (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是增函数．所以x ∈⎣⎡⎦⎤14，1时，f (x )>0，g (x )>0，∴m ≤f (x )g (x ). [来源:学科网ZXXK] 由条件得⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )min ＝f (1)g (1)＝12－2ln 11－1＋2＝12，∴m ≤12. (3)h ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x ＋12⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋1)(x ＋1)x ＋12x ， 当x >0时，2(x ＋1)(x ＋1)x ＋12x>0，则当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0. 故h (x )在x ∈(0,1)递减，在x ∈(1，＋∞)递增． 所以h (x )min ＝h (1)＝52，即h (x )的最小值为52.当n ≥2时，h (n )≥h (2)＝7－2ln 2－2＝3＋(2－ln 4)＋(2－2)>3，即h (n )>3. 所以n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )＝h (n )＋n 2>3＋n2>3成立．2．4（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分 （三）数形结合3．已知a >0且a ≠1，当x ∈(－1,1)时，不等式x 2－a x <12恒成立，则a 的取值范围________．解析：不等式x 2－a x <12可化为a x >x 2－12，画出y 1＝a x ，y 2＝ x 2－12的图象．由图可看出12≤a <1或1<a ≤2.答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]3.1 (2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 答案：(－4，－2 ) （四）构造函数4. 已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。