北京师大附中学年上学期高二年级期末考试数学试卷

合集下载

北京师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.一、选择题（每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）1.已知命题：:p n ∀∈N ，2n n >，则¬p 是（） A. n ∀∈N ，2n n … B. n ∀∈N ，2n n < C. n ∃∈N ，2n n … D. n ∃∈N ，2n n >2.关于直线a ，b 以及平面M ，N 下列命题中正确的是（） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C.若b M ⊂，且a ⊥b ，则a ⊥M D.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.如果命题“p 或q ”是真命题，“非p ”是假命题，那么（） A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax+(a+1)y+1=0，l 2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=xsinx 的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（） A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）A. 221810x y -= B.22145x y -= C. 22154x y -= D.22143x y -= 7.已知点A(6,0)，抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（）A. 23B. 25C.5D.68.已知点A(-1,1).若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线：①y=-x+3(0≤x ≤3)； ②()2220y x x=--剟；③()01y x x =-剟； ④()299024y x x =-剟；其中，Γ型曲线的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.函数f(x)=e x -x-1的零点个数是________.10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.若函数f(x)=alnx-x 在区间(0,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.12.已知点F ，B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________.13.如图，在三棱锥A-BCD 中，2BC DC AB AD ====，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-ax+a ，其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟）15.（本小题13分）已知函数31()443f x x x =-+.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.16.（本小题13分）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B ，C 两点，求证：∠BOC=90°.17.（本小题14分）在Rt △ABF 中，AB=2BF=4，C ，E 分别是AB ，AF 的中点（如图1）.将此三角形沿CE 对折，使平面AEC ⊥平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面AEF ；（Ⅱ）求：三棱锥C-EBD 的体积.18.（本小题13分）已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y 0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间；（Ⅱ）若a>0，且对x ∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l 与椭圆C 交于点E 、F ，且165EF =，求直线l 的方程；（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）.设直线l 1的斜率k>0，在x 轴上是否存在点P(m,0)，使得以P G ，PH 为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； 20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x 2-x)lnx. （Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.参考答案―、选择题（每小题4分，共40分。

北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案

北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题：1log ,:2*=∈∃x R x p ，则p ⌝是A. 1log ,2*≠∈∀x R xB. 1log ,2*≠∉∀x R xC. 1log ,2*≠∈∃x R xD. 1log ,2*≠∉∃x R x2. 设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是A. 若n m n m ∥则∥且∥∥,,βαβαB. 若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且βαβα,C. 若βαβα⊥⊥⊂⊥则,,,n m n mD. 若βαββαα∥则∥∥,,,,n m n m ⊂⊂3. 已知命题p ：在△ABC 中，“C>B ”是“B C sin sin >”的充分不必要条件；命题q ：“b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是A. p 真q 假B. p 假q 真C. “q p ∨”为假D. “q p ∧”为真4. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是A. 3B.25C. 2D.235. 已知椭圆1322=+ky x 的一个焦点坐标为（0，1），则其离心率等于A. 2B.21C.332 D.23 6. 已知P 为双曲线11222=-y x 上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，若2:3||:||21=PF PF ，则△21F PF 的面积是A. 36B. 312C. 12D. 247. 已知A 、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，若NB AN MN ⋅=λ2，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线8. 如图P 为椭圆192522=+y x 上（异于顶点）的任意一点，过椭圆的右顶点A 和上顶点B 分别作与x 轴和y 轴的平行线交于C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，矩形PMCN 的面积是1S ，三角形PDE 的面积是2S ，则21:S S 为A. 1B. 2C.21D. 与点P 的坐标有关二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为__________。

北京师大附中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科) 后有答案

北京师大附中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设命题:,22012x p x R ∃∈>，则p ⌝为（）A ．,22012x x R ∀∈≤B ．,22012x x R ∀∈>C ．,22012x x R ∃∈≤D ．,22012x x R ∃∈< 2．设0a >，则椭圆2222x y a +=的离心率是（）A ．12 B C ．13 D ．与a 的取值有关 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或14．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β5．已知P 为双曲线22112y x -=上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若12:3:2PF PF =，则△PF 1F 2的面积是（）A ．B ．C ．12D ．246．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（）A ．43 B ．83C ．4D ．8 7．设F 1，F 2分别是双曲线2219y x -=的左右焦点，若点P 在双曲线上且120⋅=PF PF ，则12PF PF +等于（）A ．BC ．D 8．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2019-2020北京师大附中上学期高二期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年北京师大附中上学期高二期末考试数学试题一、新添加的题型1．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（）A．2 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解析】【详解】由题知为纯虚数，实部为.故.故本题选.二、单选题2．已知i是虚数单位，复数z满足1=-，则复平z i面内表示z的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标，从而得到答案.【详解】复数1=-,所以复数z在复平面内对应的点的坐标z i为()11-，所以复平面内表示z的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.3．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=12，联立可求公差d ．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3=6，S 3=12，得：解得：a 1=2，d=2．故选C ．【考点】等差数列的前n 项和．4．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．31414B ．324C ．32D ．43【答案】C【解析】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32．5．“0m n >>”是“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆，则0m >，0n >且m n ≠，则“0n m >>”是“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出m ，n 的关系是解决本题的关键．6．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则点1A 到平面1B AC 的距离是（）A ．3 B ．22C ．223D ．233【答案】D【解析】由等体积法有1111A ACB C AA B V V --=,可求出答案. 【详解】设点1A 到平面1B AC 的距离是h ,由等体积法1111A ACB C AA B V V --=有11113A ACB ACB V S h -=⨯△,有()122113sin 602223222ACB S AC =⨯⨯︒=⨯⨯=△ 111121114223323C AA B AA B V S BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=△所以142333h ⨯⨯=，解得：233h =故选：D【点睛】本题考查点到面的距离，考查等体积法，属于基础题.7．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（）A ．5618-B ．55-C ．65D ．255【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），AE＝（﹣2，1，2），BF＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝•AE BFAE BF＝35＝25,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为25．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题. 8．如图，已知三棱锥S–ABC中，SA=SB=CA=CB=3，AB=2，SC=2，则二面角S–AB–C 的平面角的大小为A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】取AB的中点O，连接SO，CO，由题设条件推导出AB⊥平面SOC，由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC，在△SOC中，求得∠SOC.【详解】如图，取AB的中点O，连接SO，CO，由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC，∴二面角S–AB–C的平面角是∠SOC．在△SOA中，SO222SA AO-同理CO2，在△SOC中，SO=CO=SC=2，∴∠SOC=60°，二面角S–AB–C的平面角的大小为60°．故选C．【点睛】本题考查面面角的大小的求法，解题时要认真审题，合理转化空间问题为平面问题，属于中档题．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(0)y px p=>上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．22B．1 C2D．2【答案】B【解析】设()00,P x y，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭，M是线段PF的中点，所以2,22px yM⎛⎫+⎪⎪⎪⎝⎭. 直线OM的斜率为：0020012k2222222yy yp p y py px xp yp====++++.显然00y>时的斜率较大，此时0001k122222y p y pp y p y=≤=+，当且仅当22y pp y=，y p=时，斜率最大为1.故选B.10．已知曲线1:2C y x-=与曲线222:4C x yλ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．(][),10,1-∞-B．(]1,1--C ．[)1,1- D ．[]()1,01,-+∞【答案】C【解析】利用绝对值的几何意义，由2x y =-可得2,022,0y y x y y y -≥⎧=-=⎨--<⎩，曲线2x y =-与方程224x y λ+=的曲线必相交于()0,2±，为了使曲线1C 与双曲线2C 恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它公共点，将2x y =-代入方程224y x λ+=，整理可得()214440y y λλλ+-+-=，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出0y <时的情形.【详解】双曲线1C 的方程为2,022,0y y x y y y -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以，曲线1C 的图象与曲线2C 的图象必相交于点()0,2±，为了使曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，将2x y =-代入方程224y x λ+=，整理可得()214440y y λλλ+-+-=.①当1λ=-时，2y =满足题意；②当1λ≠-时，由于曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，()()2161611160λλλ∴∆=-+-=>，且2是方程()214440y y λλλ+-+-=的根，则()4101λλ-<+，解得11λ-<<.所以，当0y ≥时，11λ-≤<.根据对称性可知，当0y <时，可求得11λ-≤<. 因此，实数λ的取值范围是[)1,1-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围，在解题时要对变量的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、填空题11．i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________.【解析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-．【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12．双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________【答案】5x 4y =±【解析】令2202516y x -=，解得54y x =±．∴双曲线2212516y x -=的渐近线方程为54y x =±．答案：54y x =±13．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则△12F PF 的面积等于___________. 【答案】4【解析】由椭圆的定义有126PF PF +=,结合12:2:1PFPF =可得14PF =,22PF =,又12F F =则三角形面积可求.【详解】由椭圆22194x y +=有3,2,a b c ===由椭圆的定义有126PF PF +=，又12:2:1PFPF =所以14PF =,22PF =,又1225F F =. 在△12F PF 中,2222212122420PF PF F F +=+==所以△12F PF 为直角三角形, △12F PF 的面积为121124422PF PF ⋅=⨯⨯= 故答案为:4 【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.14．已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 15．已知等比数列{a n }各项均为正数，5671,32a a a =+=，若存在正整数(3)k k >，使得123123k k a a a a a a a a ++++>，请写出一个满足题意的k 值_________.【答案】4～12的正整数均可【解析】根据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，然后由条件123123k k a a a a a a a a ++++>有()152212n k k⎛⎫--⎪⎝⎭->，求解即可.【详解】在等比数列{a n }中,设公比为q ,数列各项均为正数,所以0q >5671,32a a a =+=,则()253a q q +=,所以26q q +=,解得:2q 或3q =-(舍)又44511122a a q a ==⨯=,所以512a -=. 则15161222n n n n a a q ----==⨯=()()555123212122211232kk k ka a a a ---++++-==-=-- ()()()()()1112315221123122232k kk k k k kkk a a a a a q--++++--⎛⎫==⨯=⨯ ⎪⎝⎭123123k k a a a a a a a a ++++>即()()12112123232kk k k -⎛⎫->⨯ ⎪⎝⎭,即()152212k k k⎛⎫--⎪⎝⎭->()1522210k k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->>当()152k k k⎛⎫>--⎪⎝⎭,即213100k k -+<,k << 时,有()152220k k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->成立.又正整数(3)k k >,且1312>> 又当410k ≤≤时,()1502k k ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,显然有()152221k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭->成立.当11,12k =时,也有()152221k k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->成立.所以4～12的正整数均可满足条件. 故答案为：4～12的正整数均可【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前n 项和以及解不等式，属于中档题.16．已知数列{}n a 的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有135,=,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中k 为使1n a +为奇数的正整数，当35a =时，1a 的最小值为__________；当11a =时，1220S S S +++=___________.【答案】5 910【解析】由题设可知当35a =时，252k a =解得15253k a ⨯-=或152m ka +=⨯，因为{}n a 的各项均为正整数，,m k 为正整数，所以当2k =时，1a 有最小值154553a ⨯-==.当11a =时，可求出2348,1,8a a a === ，得到数列{}n a 是周期为2的周期数列，可求出结果. 【详解】数列{}n a 的各项均为正整数135,=,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数,其中k 为使1n a +为奇数的正整数.当35a =时,232k a a =或3235a a =+. 即252k a =或2535a =+，则252ka =⨯或20a =（舍）所以122m a a =或2135a a =+.则152m ka +=⨯或15253k a ⨯-=，因为{}n a 的各项均为正整数，,m k 为正整数.显然当2k =时，1a 有最小值154553a ⨯-==. 当11a =时，21358a a =+=，382k a =，其中k 为使3a 为奇数的正整数，所以3k =，338=12a = 所以43358a a =+=,582k a =，其中k 为使5a 为奇数的正整数，所以3k =，538=12a = ……………………所以数列{}n a 是周期为2的周期数列，奇数项为1，偶数项为8.1220S S S +++=()()()()1+1+8+12+8+12+82++110+810=910⨯⨯⨯⨯⨯故答案为（1） 5 （2）910 【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用，考查周期数列求和问题,属于难题.四、解答题17．已知各项均不相同的等差数列{}n a 的前四项和414S =，且1a 、3a 、7a 成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求2019T 的值.【答案】（1）1n a n =+；（2）20194042【解析】(1)利用等差数列{}n a 的前4项和414S =，以及1a 、3a 、7a 成等比数列，建立关于首项和公差的方程，解出即可. (2)由（1）可得()()111111212n n a a n n n n +==-++++，用裂项相消求和法可求解出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由等差数列{}n a 的前4项和414S =，以及1a 、3a 、7a 成等比数列()()12111461426a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，又0d ≠，解得11,2d a == 所以1n a n =+ （2）由（1）可得()()111111212n n a a n n n n +==-++++ 则1111111123344512n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()112222n n T n n =-=++ 所以201920192019=220214042T =⨯【点睛】本题考查等差数列的通项公式和运用裂项相消法求和，属于中档题.18．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，1AB=，点E、F分别是棱BC、DC的中点.（1）求证：BD∥平面1EFC；（2）若13AA AB=，求直线11A C与平面1EFC所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（226【解析】(1)由点E、F分别是棱BC、DC的中点，则EF∥BD，可得证.(2) 以D为原点，1,,DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面1EFC的一个法向量，然后即可求线面角.【详解】证明：（1）∵点E、F分别是棱BC、DC的中点，∴EF∥BD.又EF⊂平面1,EFC BD⊄平面1EFC，BD∴∥平面1EFC.（2）以D为原点，1,,DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则11113),(0,,0),(,1,0),3)22A F E C1111(,,0),(,0,3)222FE EC==-设平面1EFC的一个法向量为(,,)n x y z=由10,0n FE n EC⋅=⋅=可得112213302x y y xx zx z⎧+=⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎪⎩令1z=(23,23,1)n ∴=-11(1,1,0)AC =- 111112cos ,65AC n A F n AC n⋅∴==⋅ ∴直线1A F 与平面1EFC 所成角的正弦值为265. 【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解，属于中档题. 19．已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p ，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k （x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM ⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为. （Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得. 所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20．已知点P 和椭圆22:142x y C +=.（1）设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，试求△12PF F 的周长；（2）若直线20(0)l y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：||||PM PN =. 【答案】（1）4+（2）见解析【解析】(1)由椭圆的定义可得12|||4|PF PF +=，则三角形的周长可求.(2)要证||||PM PN =，则需证明以∠PMN ＝∠PNM ，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，只需证明120k k +=，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可证明结论.【详解】（1）由题意可知，224,2a b ==，所以22c =.因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得12|||4|PF PF +=，所以△12PF F的周长为4+（2）由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<.设1122(,),(,)A x y B x y，则212128,24m x x m x x -+=-=，1212,22mmy y ++==. 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +=211)(1)(x x -+--===+==0==.因为120k k +=，所以∠PMN ＝∠PNM . 所以||||PM PN =. 【点睛】本题考查椭圆的定义的运用，考查直线与椭圆的关系和几何条件的转化，考查运算能力，属于难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1).（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 为椭圆C的左右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，直线AP 、BP 分别交直线l 于E 、Ｆ两点，当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）为定值1 【解析】(1) 由题意可知1b =,2c e a ==,结合222a b c =+，可求出椭圆方程. (2) 设00(,)P x y ,则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，求出DE =，同理得出DF =，将点P 在椭圆上这个条件代入，可得到答案.【详解】（1）由题意可知1b =又因为2c e a ==且222a b c =+，解得2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）||||DE DF ⋅为定值1.由题意可得：(2,0),(2,0)A B -，设00(,)P x y ，由题意可得：022x -<<，所以直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =002)2y y x =+，即DE =；同理：直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =002)2y y x =-，即DF =；所以220022004444y y DE DF x x ⋅===--而220014x y +=，即220044y x =-，代入上式得1DE DF ⋅=，所以||||DE DF ⋅为定值1. 【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题. 22．已知数列{}n a 、{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a n a -+=-,()*2,n n N≥∈，数列{}nb 满足112,2n n b bb +==．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n n b =；（2）存在，16m =；（3）212434(21),4324(21),43n n n n n n T n n n 为奇数为偶数-⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩．【解析】试题分析：（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n }的通项公式．b 1=2，b n+1=2b n 可知{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n }的通项公式．（2）b n =2n ．假设存在自然数m ，满足条件，先求出212111111111222222n n n b b b +++⋯+=+++⋯+=-<，将问题转化成824m -≥可求得m 的取值范围；（3）分n 是奇数、n 是偶数两种情况求出T n ，然后写成分段函数的形式。

北京师大附中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案

北京师大附中2014－2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设命题:,22012x p x R ∃∈>，则p ⌝为（）A ．,22012x x R ∀∈≤B ．,22012x x R ∀∈>C ．,22012x x R ∃∈≤D ．,22012x x R ∃∈< 2．设0a >，则椭圆2222x y a +=的离心率是（）A ．12 B C ．13 D ．与a 的取值有关 3．若a ，b ，c 为复数，则22()()0a b b c -+-=是a b c ==的（） A ．充要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β5．已知P 为双曲线22112y x -=上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若12:3:2PF PF =，则△PF 1F 2的面积是（）A ．B ．C ．12D ．246．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（）A ．43 B ．83C ．4D ．8 7．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．328．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2021北京首都师大附中高二(上)期末数学含答案

2021北京首都师大附中高二（上）期末数学一､单选题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.2.已知是公差不为零的等差数列，且，则（）A.B.C.9D.53.在的展开式中，下列说法错误的是（）A.展开式中所有项的系数和为B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C.展开式中二项式系数的最大项为第五项D.展开式中含项的系数为4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A.B.C.D.5.若，则对于，（）A.B.C.D.6.将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）A.B.C.D.7.已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（）A.B.C.D.8.袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）A.B.C.D.9.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是（）图1图2A.B.C.D.10.数列满足，下列说法正确的是（）A.存在正整数，使得B.存在正整数，使得C.对任意正整数，都有D.数列单调递增二､填空题(本大题共8小题，每小题4分，共3)11.展开式中的常数项是_______.12.数列的前项和为___________.13.两台机床加工同样的零件，第一台的不合格品率为，第二台的不合格品率为，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为___________.14.已知直线，若的值为___________.15.从0､1､2､3､4､5中选出四个数，组成没有重复数字四位数，其中偶数有___________个.16.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有___________种.(用数字作答)17.世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为___________.18.已知数列中，，，记，若，则___________，___________．三､解答题(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.已知各项均为正数的等差数列中，，且构成等比数列的前三项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照，，，，分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；（2）从所抽取人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望；（3）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．21.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.22.已知无穷递增数列中，且对任意，存在，使得：（1）若是公比为的等比数列，求的值.（2）若，求的最小值.（3）若，且，求最小值.2021北京首都师大附中高二（上）期末数学参考答案一､单选题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】C二､填空题(本大题共8小题，每小题4分，共3)11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】15616.【答案】5417.【答案】18.【答案】①.1；②.1345.三､解答题(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.【答案】（1），；（2）.20.【答案】（1）抽取人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析.21.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.22.【答案】（1）；（2）最小值为2020；（3）最小值为11.。

2024学年北京大学附属中学数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2024学年北京大学附属中学数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2e ,0()2,0x x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，要使函数()f x k =有三个零点，则k 的取值范围是（） A.10e-<<k B.11e k -<≤ C.1ek >-D.12ek -<<2．在等比数列{}n a 中，3a ，7a 是方程2610x x -+=的两个实根，则5a =（） A.-1 B.1 C.-3D.33．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ， B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若4CB BF =，则AFBF= A.53B.52C.3D.24．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，45B =︒，75C =°，则b 等于（）A.2B.2C.22D.45．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是A.11DC D P ⊥B.平面11D A P ⊥平面1A APC.1APD ∠的最大值为90D.1AP PD +6．在空间直角坐标系中，()224,,4a x x =--，()1,4,1b =--，若a ∥b ，则x 的值为（）A.3B.6C.5D.47．已知半径为2的圆经过点（5，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（） A.10 B.11 C.12D.138．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，25a a +=36a a +=nnS a =（） A.122n -- B.222n -- C.122n --D.122n +-9．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0D.x+2y-1=010．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球()11a =，第二层有3个球()23a =，第三层有6个球()36a =，第四层有10个球()410a =，第五层有15个球()515a =，…，各层球数之差{}1n n a a +-：21a a -，32a a -，43a a -，54a a -，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（） A.51 B.68 C.106D.15711．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin 22A c bc-=，则ABC 的形状为（） A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形12．设{}n a 等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②{}1n n a a +是等比数列； ③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ④是等比数列.其中正确命题的个数是（） A.1 B.2 C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年北师大学附中高二数学第一学期期末调研试题含解析

2024学年北师大学附中高二数学第一学期期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“0x R ∃∈，200210x x ++≤”的否定形式是（）A.x R ∀∈，2210x x ++>B.0x R ∃∈，200210x x ++> C.x R ∃∈，2210x x ++>D.x R ∀∈，2210x x ++≤2．双曲线221124x y -=的渐近线方程为（）A.0x ±= 0y ±= C.30x y ±=D.0x y ±=3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220D.1104．若正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为A.45 B.35C.345．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+，则下列说法不正确的是（）A.k 的值是20B.变量x ，y 呈正相关关系C.若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃6．把点M 随机投入长为5，宽为4的矩形ABCD 内，则点M 与矩形ABCD 四边的距离均不小于1的概率为（）A.310B.25 C.35D.457．已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（） A.8 B.C.16D.8．已知12(3,0),(3,0)F F -是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>两个焦点，P 在椭圆上，12F PF α∠=，且当23πα=时，12F PF △的面积最大，则椭圆的标准方程为（） A.221123x y += B.221145x y +=C.221156x y +=D.221167x y += 9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B =，222a b ab c +-=，2a =，则ABC 的面积为（） A.2B.1D.210．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A.32B.53C.85D.2311．已知圆C ：()223100x y ++=和点B ()3,0，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程是:（）A.2212516y x +=B.2212516x y += C.2262511x y -= D.222x y +=12．椭圆的两焦点之间的距离为 A.10 10 C.222二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京师大附中学年上学期高二年级期末考试数学试卷

北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（AP ）本试卷有两大部分，考试时长120分钟，满分100分。

第一部分：学考数学（76分）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分。

1. 已知集合}21{，=M ，集合}3,1,0{=N ，则=N M IA. ｝，，｛321 B. {1,2}C. {0,1}D. {1}2. 已知函数211)(-++=x x x f ，则)(x f 的定义域是A. )2,1[-B. ),1[+∞-C. ),2(+∞D. ),2()2,1[+∞⋃-3. 函数2x y =，3x y =，xy )21(=，x y lg =中，在区间（0，∞+）上为减函数的是A. 2x y = B. 3x y = C. xy )21(=D. x y lg =4. 如下图，给出了奇函数)(x f 的局部图象，那么f(1)等于A. -4B. -2C. 2D. 45. 已知二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是 A. [-2,6]B. (-2,6)C. ),6()2,(+∞--∞YD. }6,2{-6. 8log 2log 44-等于A. -2B. -1C. 1D. 27. 函数5)(3-=x x f 的零点所在的区间是A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)8. 角θ的终边经过点P （4，y ），且53sin -=θ，则=θtanA. -4/3B. 4/3C. -3/4D. 3/49. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，如果a=3,2=b ,22=c ,那么ABC ∆的最大内角的余弦值为A. 1/8B. 1/4C. 3/8D. 1/210. 把函数x y sin =的图象向右平移4π个单位得到)(x g y =的图象，再把)(x g y =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为 A. )4sin(2π-=x y B. )4sin(2π+=x yC. )4sin(21π-=x y D. )4sin(21π+=x y 11. 已知直线m,n,l ，平面γβα，，，给出下面四个命题：①γβγαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥②γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫③n m n l m l //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ④αα//////n n m m ⇒⎭⎬⎫其中正确的命题是 A. ①B. ②C. ③D. ④12. 某几何体的三视图如下图所示，那么该几何体的体积是A.π32 B.π35C. π38D. π213. 已知直线l 经过点O （0，0），且与直线03=--y x 垂直，那么直线l 的方程是A. 03=-+y xB. 03=+-y xC. 0=+y xD. 0=-y x14. 某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为A. 800B. 900C. 1000D. 110015. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是A.61 B.31 C.21 D.32 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分16. 已知圆M 的方程是016622=-+-y x x ，则该圆的半径是___________。

北师范大附中高二上学期期末考试数学(文)试题

北京师大附中高二年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）1.已知命题：:p n ∀∈N ，2n n >，则¬p 是（） A. n ∀∈N ，2n n … B. n ∀∈N ，2n n < C. n ∃∈N ，2n n … D. n ∃∈N ，2n n >2.关于直线a ，b 以及平面M ，N 下列命题中正确的是（） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C.若b M ⊂，且a ⊥b ，则a ⊥M D.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.如果命题“p 或q ”是真命题，“非p ”是假命题，那么（） A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax+(a+1)y+1=0，l 2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=xsinx 的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（） A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）A. 221810x y -= B.22145x y -= C. 22154x y -= D.22143x y -= 7.已知点A(6,0)，抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（）A. 23B. 25C.5D.68.已知点A(-1,1).若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线：①y=-x+3(0≤x ≤3)； ②()2220y x x=--剟；③()01y x x =-剟； ④()299024y x x =-剟；其中，Γ型曲线的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.函数f(x)=e x -x-1的零点个数是________.10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.若函数f(x)=alnx-x 在区间(0,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.12.已知点F ，B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________.13.如图，在三棱锥A-BCD 中，2BC DC AB AD ====，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-ax+a ，其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟） 15.（本小题13分）已知函数31()443f x x x =-+.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.16.（本小题13分）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B ，C 两点，求证：∠BOC=90°.17.（本小题14分）在Rt △ABF 中，AB=2BF=4，C ，E 分别是AB ，AF 的中点（如图1）.将此三角形沿CE 对折，使平面AEC ⊥平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面AEF ；（Ⅱ）求：三棱锥C-EBD 的体积.18.（本小题13分）已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y 0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间；（Ⅱ）若a>0，且对x ∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l 与椭圆C 交于点E 、F ，且165EF =，求直线l 的方程；（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）.设直线l 1的斜率k>0，在x 轴上是否存在点P(m,0)，使得以P G ，PH 为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； 20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x 2-x)lnx. （Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.参考答案―、选择题（每小题4分，共40分。

北京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

北京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题16．在等差数列{}n a 中，138a a +=-，3520a a +=-．(1)求数列{}na 的通项公式；(2)若数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，记n n n c b a =-，求数列{}nc 的前n 项()0,1代入22(01)(151)1+=++¹，错误.故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.4．D【分析】通过找出的反例，判断ABC 正误；利用直线垂直平面的性质判定D 的正误，得到结果.【详解】作正方体1111ABCD A B C D -，//AB 平面1111D C B A ，//AB 平面11C D DC ，平面1111A B C D I 平面1111C D DC C D =，A 选项错误；//AB 平面1111D C B A ，//BC 平面1111D C B A ，AB BC B Ç=，B 选项错误；平面11ABB A ^平面ABCD ，平面11ADD A ^平面ABCD ，平面11ABB A I 平面111ADD A AA =，C 选项错误；根据线面垂直的性质定理可知垂直于同一直线的两条平面平行，D 选项正确.故选：D 5．A【分析】结合抛物线的定义计算即可得.【详解】由抛物线2:12C y x =可知其焦点为()3,0F ，其准线为3x =-，M 到2x =-的距离为5，则M 到3x =-的距离为6，故||6=MF .故选：A.当2,=3i j =时，满足条件的数列Q 只有1，2，1；当2,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在；所以数列Q ： 1，2，1或3,1；（2）解：由题意可知2C 6n³，所以4n ³，①当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ³+++=；②当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ³.若()6S Q =，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q £，不符合，所以()7S Q ³；③当6n ³时，同②可得()7S Q >；综上所述，有()7S Q ³，同时当Q 为2，2，1，1，1时，()7S Q =，所以()S Q 的最小值为7；（3）解：①存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；②1n a =,否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；③当1,2,,1t n =-L 时，有1t t a a +³，否则交换1,t t a a +顺序后()T Q 变为()1T Q +，进一步有1{0,1}t t a a +-Î，否则有12t t a a +³+，此时将t a 改为1t a -，并在数列末尾添加一项1，此时()T Q 变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中有存在相邻的两项13,2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()()11T x Q T Q x ++-=+；⑤由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1L L 的形式，设其中有x 项为2，有y 项为1，则有22023x y +=，从而有()2(20232)22023xy x x x x T Q ==-=-+，由二次函数的性质可得，当且仅当5061011x y =ìí=î时，()T Q 最大，为511566.【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前n 项和及满足集合(){},,1i j i j a a i j n >£<£∣中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣Q 还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.。

2022北京师大附中高二(上)期末数学

2022北京师大附中高二（上）期末数学━、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数()i 12i z =-，则z =（） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．12i +2．双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长是虚轴长的2倍，则a =（） A ．16 B ．8 C ．4 D ．23．在正方体1111ABCD A B C D -中，BC DC AB -+=（）A ．BDB ．DBC ．AD D ．DA4．已知等差数列{}n a ，且4612a a +=，则5a =（）A ．4B ．6C ．8D ．125．已知抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且4PF =，则P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．4D ．66．已知等比数列{}n a 的公比为q ．若{}n a 为递增数列且10a <，则（）A ．1q <-B ．10q -<<C ．01q <<D ．1q >7．已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 等差成数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点M 在平面1ACD 上，则线段BM 长度的最小值为（） A ．13 B ．63 C ．69 D ．239．1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知ABC 的顶点()()()3,0,3,5,0,1A B C ，则ABC 的欧拉线方程为（）A ．340x y --=B ．330x y +-=C ．340x y -+=D ．350x y +-=10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，若椭圆C的离心率e =，则称椭圆C 为“黄金椭圆”．O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，A 和B 分别为椭圆C 的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（）A ．a ，b ，c 成等比数列B ．190F AB ∠=︒C ．222111a b c += D ．若1PF x ⊥轴，则OP AB ∥ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数21iz =+，则z =_______________． 12．已知双曲线的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的标准方程可以为________________．（写出一个正确答案即可）；你所写的标准方程对应的双曲线的离心率为________________．13．已知直线:20l x my +-=与圆22:6260C x y x y +-++=，则直线l 与圆C 的交点的个数为______．14．已知点()()1,0,1,0A B -及抛物线24y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为_____________．15．已知数列{}n a 满足11(5,312(n n n nn a a a a a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩为偶数为奇数）），设1212,n n n n S a a a T a a a =++⋯+=⋯，则下列结论正确的是__________________．①82a =；②*,3k k a ∃∈=N ；③20224740S =；④若等差数列{}n b 满足121,2022b b ==，其前n 项和为n A ，则**,n m ∀∈∃∈N N ，使得m n T A >三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足：12a =且125,,a a a 成等比数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，从①152,20a S ==；②()1512,6n n a a n a --=≥=这两个条件中任选一个作为题目的已知条件．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，12q =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知椭圆22:132x y C +=，过其右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（I ）当直线l 与x 轴垂直时，求AB ；（II ）若弦AB 中点E 的横坐标；为12，求直线l 的方程；（Ⅲ）当直线l 与x 轴不垂直时，设AB 的垂直平分线'l 与x 轴交于点()0,0G x ，求0x 的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,90ABCD AB CD ADC ∠=︒∥，12AP AD DC AB ====E 为PB 的中点．（I ）求证： CE ∥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值；（Ⅲ）若线段DE 与平面PAC 交于点M ，求DM ME的值． 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()0,1D -，且有两个顶点所在直线的斜率为12，过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，与y 轴交于点N ．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AMD 的面积为65求直线l 的方程；（Ⅲ）设过原点O 且与直线l 平行的直线'l 交椭圆于点P ，求证，2||||||AM AN OP ⋅为定值．21．如果无穷项的数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j a a a =⋅，”则称数列{}n a 具有“性质P ”．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，首项12a =，公差3d =，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由；（Ⅱ）若等差数列{}n a 具有“性质P ”，1a 为首项，d 为公差．求证：10a ≥且0d ≥；（Ⅲ）若等比数列{}n a 具有“性质P ”，公比为正整数，且161514152,3,4,6这四个数中恰有两个出现在{}n a 中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．。

北京师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.一、选择题（每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）1.已知命题:p n ∀∈N ，2n n >，则¬p 是（） A. n ∀∈N ，2n n … B. n ∀∈N ，2n n < C. n ∃∈N ，2n n … D. n ∃∈N ，2n n >2.已知向量a=(l,m,2)，b=(-2,-l,2)，且1cos ,3a b =那么实数m=（） A.-4 B.4 C.14 D. 14- 3.如果命题“p 或q ”是真命题，“非p ”是假命题，那么（） A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax+(a+1)y+1=0，l 2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）A. 221810x y -= B.22145x y -= C. 22154x y -= D.22143x y -= 6.已知点A(6,0)，抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（）A. 23B. 25C.5D.67.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，下列结论不正确．．．的是（）A.C 1D 1⊥B 1CB.BD 1⊥ACC.BD 1∥B 1CD.∠ACB 1=60°8.已知点A(-l,-l).若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线：①y=-x+3(0≤x ≤3)； ②；()2220y x x=--剟③()01y x x =-剟； ④. ()299024y x x =-剟其中，Γ型曲线的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.已知21i ia =-+，其中i 为虚数单位，a ∈R ，则a=________. 10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.已知点F ，B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________.12.如图，在三棱锥A -BCD 中，2BC DC AB AD ====，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A(1,0,2)，B(0,2,1).点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD ⊥BC ，那么CD 的最小值是________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-ax+a ，其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(4,0)，且圆心在x 轴上. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为23，求直线l 的方程.16.（本小题13分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，23AC =，13AA =，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D.（Ⅰ）求BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）求：直线BD 与平面A 1BC 的夹角的正弦值.17.（本小题13分）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B ，C 两点，求证：∠BOC 为定值.18.（本小题14分）如图，在四棱锥E-ABCD 中，平面ABE ⊥底面ABCD ，侧面AEB 为等腰直角三角形，2AEB π∠=，底面AB CD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB=2CD=2BC=2.（Ⅰ）求证：BC⊥平面ABE；（Ⅱ）求：平面DEC与平面ABE所成的锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EFEA值；若不存在，说明理由.19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F，且165EF=，求直线l的方程；（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由.20.（本小题13分）若数列A：a1，a2，…，a n(n≥3)中ai∈N*(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n-1，a k+1+a k-1>2a k恒成立，则称数列A为“U-数列”.（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U-数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）对所有可能的“U-数列”A:a1,a2,a3,a4,记M=max{a1,a2,a3,a4}，其中max{x1,x3,…,x s}表示；x1,x2,…,x s这s个数中最大的数，则M的最小值是________________（直接写出答案）；（Ⅲ）若“U-数列”A:a1,a2,…,a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值.参考答案一、选择题（每小题4分，共40分。

北京师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

北京师大附中2022—2023学年(上)高二期末考试数学试卷班级姓名学号一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案） 1. 已知向量a (1,2,1)=−，b (3,,)x y =，且a //b ，那么xy = A. 18−B. 9C. 9−D. 182. 已知O 为原点，点(2,2)A −，以OA 为直径的圆的方程为 A. 22(1)(1)2x y −++= B. 22(1)(1)8x y −++= C. 22(1)(1)2x y ++−= D. 22(1)(1)8x y ++−=3. 已知双曲线221xy m−=的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值为A ．14B ．4C ．4−D ．14−4. 若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为A ．x ＝1−B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝2−5. 已知直线l 过点(3,1)A −，且与直线230x y −+=垂直，则直线l 的一般式方程为A. 230x y ++=B. 250x y ++=C. 210x y +−=D. 220x y +−=6. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是图1 图2 图3 A ．14B ．12C 2D 37. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是A. 1//D E 平面11A B BAB. 11EB AD ⊥C. 直线AE 与11B D 所成角的范围为(,)42ππD. 二面角11E A B A −−的大小为4π8. 设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a −>”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆:C x 2+y 2-8x +15＝0，若直线y ＝kx +2上至少存在一点M ，使得以M 为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 A ．43− B ．53− C ．35− D ．54− 10. 已知曲线2:||44C x x y +=，点(3,0)F ，下面有四个结论： ①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C 上任意点P 满足||23PF −；④曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y −−+−=有5个不同的交点.则其中所有正确结论的序号是A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③ 二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5S =__________.12. 已知圆C ：22(1)(1)4x y −++=，若直线y ＝kx +1与圆C 相交得到的弦长为23，则_________.k =13. 已知椭圆()2221039x y b b +=<<的两个焦点分别为1F ，2F ，6点P在椭圆上，若120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为___________．14. 已知正方体1111−ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内（包含边界），点Q 在线段1A N 上. 若5PM =，则PQ 长度的最小值为___________.15. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈142 1.→→→如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需要经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).已知数列{}n a 满足：1(a m m =为正整数)，1,231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，，当为奇数时.①若13m =，则使得1n a =至少需要__________步雹程； ②若91a =，则m 所有可能取值的和为__________.三、解答题（共6小题，共85分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. （本小题13分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1(1)(1)n n n b a a =−+，若数列{}n b 前n 项和.n T17. （本小题14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 的中点．（Ⅰ）求证：1//BD 平面ACE ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值.18.（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，13,,AA D E =分别为,AB BC 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面11.AA B B （Ⅱ）求二面角1B AE B −−的余弦值．19.（本小题15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫−−⎪⎝⎭，（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线l 与椭圆相交于,A B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．20.（本小题15分）已知抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，A （2，y 0）是E 上一点，且 |AF |＝2．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =−交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．21.（本小题14分）已知有限数列A ：1a ，2a ，，m a 为单调递增数列．若存在等差数列B ：1b ，2b ，，1m b +，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +<≤，则称数列A 是长为m 的Ω数列.（Ⅰ）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8； ②数列2，4，8，16. （Ⅱ）若a b c <<（a ，b ，∈c R ），证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（Ⅲ）设M 是集合{|063}x x ∈N ≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列.。

2023-2024学年北京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解

北京师大附中2023-2024学年（上）高二期末考试数学试卷班级：________姓名：________学号：________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长120分钟，满分150分．2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，考生应将答题卡交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且12a =，那么3a =（）A.4B.5C.6D.82.双曲线2213x y -=的离心率为（）A.33B.63C.233D.3.圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（）A.22(1)(1)1x y -+-=B.22(1)(1)1x y +++=C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++=4.下列说法正确的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一直线的两个平面平行5.已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线2x =-的距离为5，则||MF =（）A.6B.5C.4D.36.光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍7.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（）A .CC 1∥平面A 1ABB 1B.AF ∥平面A 1B 1C 1C.EF ∥平面A 1ABB 1D.AE ∥平面B 1BCC 18.已知直线:2l x my =-，P 为圆22:40C x y x +-=上一动点，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.69.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.则“43a a >”是“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对k *∀∈N ，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a +++ 的最小值为（）A .18B.20C.21D.23二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知双曲线22:14y C x -=，则双曲线C 的右焦点到其渐近线的距离是________．12.已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则q =________；5S =________．13.已知椭圆2214x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，若点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为________．14.设O 为原点，双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上．则C 的渐近线方程是________；||OP OF OP ⋅ 的最大值是________．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论：①MN 的最小值为2；②三棱锥N MBC -的体积为43；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直；④存在点M ，N ，使MBN △为等腰三角形．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在等差数列{}n a 中，138a a +=-，3520a a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，记n n n c b a =-，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17.如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为矩形，AB ⊥平面ADEF ，1AF AD CD ===，2AB =.（1）求证：BC CF ⊥；（2）求直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值．18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设点(2,2)P ，直线PA 与椭圆E 的另一个交点为C ，O 为坐标原点，判断直线OP 与直线BC 的位置关系，并说明理由．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4=AD ，PA PD ==E ，F 分别为BC ，PD 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角F BE A --的余弦值．条件①：异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13；条件②：23PD EF =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，AOP 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．当||2EF =时，求直线PH 的方程．21.对于一个有穷正整数数列Q ，设其各项为12,,,n a a a ，各项和为()S Q ，集合(){},,1ij i j a a i j n >≤<≤∣中元素的个数为()T Q .（1）写出所有满足()()4,1S Q T Q ==的数列Q ；（2）对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值；（3）对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值.北京师大附中2023-2024学年（上）高二期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且12a =，那么3a =（）A.4B.5C.6D.8【答案】C【分析】根据递推关系，逐一代入即可．【详解】由题12n n a a +=+，12a =，所以21322224,2426a a a a =+=+==+=+=．故选：C ．2.双曲线2213x y -=的离心率为（）A.33B.63C.233D.【答案】C【分析】求出a 、b 、c 的值，可求得双曲线的离心率.【详解】在椭圆2213x y -=中，a =1b =，则2c ==，因此，双曲线2213x y -=的离心率为233c e a ==.故选：C.3.圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（）A.22(1)(1)1x y -+-=B.22(1)(1)1x y +++=C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++=【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把()0,1点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A.22(1)(1)1x y -+-=圆心为(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(1)(1)1x y -+-=，即22(01)(11)1-+-=成立，正确；B.22(1)(1)1x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误；C.22(1)(1)2x y -+-=圆心(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(111)2-=+-≠，错误；D.22(1)(1)2x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误.故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.4.下列说法正确的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一直线的两个平面平行【答案】D【分析】通过找出的反例，判断ABC 正误；利用直线垂直平面的性质判定D 的正误，得到结果.【详解】作正方体1111ABCD A B C D -，//AB 平面1111D C B A ，//AB 平面11C D DC ，平面1111A B C D 平面1111C D DC C D =，A 选项错误；//AB 平面1111D C B A ，//BC 平面1111D C B A ，AB BC B ⋂=，B 选项错误；平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面111ADD A AA =，C 选项错误；根据线面垂直的性质定理可知垂直于同一直线的两条平面平行，D 选项正确.故选：D5.已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线2x =-的距离为5，则||MF =（）A.6B.5C.4D.3【答案】A【分析】结合抛物线的定义计算即可得.【详解】由抛物线2:12C y x =可知其焦点为()3,0F ，其准线为3x =-，M 到2x =-的距离为5，则M 到3x =-的距离为6，故||6=MF .故选：A.6.光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（）A.2倍 B.4倍C.8倍D.16倍【答案】C【分析】由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列，即可求得.【详解】由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列{}n a ，则F 4对应单位时间内的进光量为5a ，F 1.4对应单位时间内的进光量为2a ，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的258a a =倍.故选：C.7.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（） 1∥平面A 1ABB 1B.AF ∥平面A 1B 1C 1C.EF ∥平面A 1ABB 1D.AE ∥平面B 1BCC 1【答案】D【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断即可．【详解】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，可得CC 1∥AA 1，AA 1⊂平面A 1ABB 1，CC 1⊄平面A 1ABB 1，∴CC 1∥平面A 1ABB 1，故A 正确；AF ⊂平面ABC ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，可得平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，∴AF ∥平面A 1B 1C 1，故B 正确；取A 1B 1中点N ，又E 是A 1C 1中点，∴NE ∥C 1B 1，且NE ＝12C 1B 1，又F 是棱BC 的中点，所以BF ＝12C 1B 1，AF ∥C 1B 1，∴BF ∥NE ，BF ＝NE ，∴四边形BFEN 是平行四边形，∴EF ∥BN ，BN ⊂平面A 1ABB 1，EF ⊄平面A 1ABB 1，∴EF ∥平面A 1ABB 1，故C 正确；∵EC 1∥AC ，但EC 1≠AC ，∴AE 与CC 1相交，从而有AE 不平行于平面B 1BCC 1，故D 错误．故选：D．8.已知直线:2l x my =-，P 为圆22:40C x y x +-=上一动点，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得圆心到直线的距离的最大值，加上半径即为点P 到直线l 的距离的最大值.【详解】由22:40C x y x +-=，即()22:24C x y -+=，即圆心为()2,0，半径为2，圆心()2,0到直线:20l x my -+=的距离d ==，故圆心到直线l的距离的最大值为max 4d ==，则点P 到直线l 的距离的最大值为max 426d r +=+=.故选：D.9.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.则“43a a >”是“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用等差数列前n 项和的函数性质判断“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”与“43a a >”推出关系，进而确定它们的关系.【详解】由等差数列前n 项和公式知：21()22n d dS n a n =+-，∴要使对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >，则0d >，即{}n a 是递增等差数列，∴“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”必有“43a a >”，而43a a >，可得0d >，但不能保证“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”成立，∴“43a a >”是“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”的必要而不充分条件.故选：B.10.已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对k *∀∈N ，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a +++ 的最小值为（）A.18B.20C.21D.23【答案】B【分析】令1k k k b a a +=-，由题设易知k b 或1k b -有一项为1，则1351b b b ===，判断{}n a 各项取值情况，进而求127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值.【详解】当2a 满足11k k a a +=+时，2114a a =+=，令1k k k b a a +=-，则k b 或1k b -有一项为1，而11b =，∴1351b b b ===，又{}n a 是各项均为正整数的数列，∴31a ≥，42a ≥，51a ≥，62a ≥，此时127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为341212821++++++=，当2a 满足1212k k a a ++=时，13a =，21a =，32a =，41a =，52a =，63a =，78a =时，127312123820a a a ++⋅⋅⋅+=++++++=，因为2021<，所以127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为20.故选:B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知双曲线22:14y C x -=，则双曲线C 的右焦点到其渐近线的距离是________．【答案】2【分析】根据双曲线的标准方程写出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式求解即可．【详解】2214y x -=的右焦点坐标为)F ，渐近线方程为2y x =±．)F到2y x =即20x y -=的距离为2d ==．由对称性知)F 到2y x =-的距离为2d =．故答案为：2．12.已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则q =________；5S =________．【答案】①.2②.31【分析】由等比数列基本量计算即可得n a ，由等比数列前n 项和公式可计算出5S .【详解】设()1110n n a qa a -=≠，则21113S a a q a =+=，即2q =，()22223111224a a a a a ===⨯=，即11a =，故()()55151********a q S q-⨯-===--.故答案为：2；31.13.已知椭圆2214x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，若点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为________．【答案】33【分析】设出P 点坐标，由1290F PF ∠=︒，可得120PF PF ⋅=，结合P 点在椭圆上计算即可得.【详解】设(),P m n ，由椭圆2214xy +=可得()1F 、)2F ，有()1,PF m n =-- ，)2,PF m n=-由1290F PF ∠=︒，故()2221230PF PF mm n m n ⋅=--+=+-=，由(),P m n 在椭圆上，故有2214m n +=，即()2241m n =-，故()2222204133m n n m n+-+=--==，解得213n =，故33n =±，故点P 到x 轴的距离为33.故答案为：3.14.设O 为原点，双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上．则C 的渐近线方程是________；||OP OF OP ⋅ 的最大值是________．【答案】①.y =②.2【分析】由双曲线方程可得a 、b ，即可得渐近线；设出P 点坐标，表示出向量后结合点P 在双曲线的右支上即可得||OP OF OP ⋅ 的最大值.【详解】由22:13y C x -=可得1a =，b =2c ==，()2,0F ，则其渐近线方程为1y x =±=；设()(),1P m n m ≥，则(),OP m n = ，()2,0OF =，||OP OF OP ⋅= ，由点P 在双曲线上，故2213n m -=，即()2231n m =-，故||OP OF OP ⋅===m 1≥，故2||OP OF OP ⋅==≤.故答案为：y =；2.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论：①MN 的最小值为2；②三棱锥N MBC -的体积为43；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直；④存在点M ，N ，使MBN △为等腰三角形．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【分析】①由MN 的最小值为1AD 和11B C 之间的距离判断；112D C =，②由等体积法N MBC M NBC V V --=判断；③由M ，N 分别与11,D C 重合和M 是线段1AD 的中点，N 与1B 重合时判断；④由1AM B N =时判断.【详解】①点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 移动时，MN 的最小值为1AD 和11B C 之间的距离112D C =，故正确；②三棱锥1111142223323N MBC M NBC NBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故正确；③当M ，N 分别与11,D C 重合时，由正方体的性质知：111AD D C ⊥；当M 是线段1AD 的中点，N 与1B 重合时，由正方体的性质知：11A B ⊥平面11ADD A ，且1AD ⊂平面11ADD A ，则111A B AD ⊥，又因为11AD A D ⊥，且1111111,,A B A D A A B A D =⊂ 平面11A DCB ，所以1AD ⊥平面11A DCB ，又MN ⊂平面11A DCB ，则1AD MN ⊥，故错误；④当1AM B N =时，1AMB B NB ≅ ，则BM BN =，故存在点M ，N ，使MBN △为等腰三角形，故正确；故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在等差数列{}n a 中，138a a +=-，3520a a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，记n n n c b a =-，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）32n a n =-+（2）232122n n S nn =+--【分析】（1）由等差数列基本量计算即可得；（2）借助等差数列求和公式及等比数列求和公式分组求和即可得.【小问1详解】设()11n a a n d +-=，则131228a a a d +=+=-，3512620a a a d +=+=-，解得11a =-，3d =-，故()1113332n a a n d n n =+-=--+=-+；【小问2详解】数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，故11122n n n b --=⨯=，1232n n n n c b a n -=-=+-，故1132262232n n S n -=+-++-+++- ()()211213232112222n n n n nn -+-=+=+---.17.如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为矩形，AB ⊥平面ADEF ，1AF AD CD ===，2AB =.（1）求证：BC CF ⊥；（2）求直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66【分析】（1）首先证明AC BC ⊥，再利用AB ⊥平面ADEF ，得到AB AF ⊥，再结合四边形ADEF 为矩形得到AF ⊥平面ABCD ，进而得到AFBC ⊥，最后得到BC ⊥平面ACF ，最终得证；（2）以A 为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面BCF 的法向量为(1,1,2)m = ，则可计算出线面角的正弦值.【小问1详解】连接AC ， AB ⊥平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，∴AB AD ⊥，//AB CD ，1AD CD ==，2AB =，∴AC =，45ABC ADC ∠=∠=o ，在ABC 中，由余弦定理得BC ==∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，AB ⊥平面ADEF ，AF ⊂平面ADEF ，∴AB AF ⊥，四边形ADEF 为矩形，∴AD AF ⊥，AB AD A ⋂=，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴AF BC ⊥，又AF AC A = ，AF ⊂平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，∴BC ⊥平面ACF ， CF⊂平面ACF ，∴BC CF ⊥.【小问2详解】由（1）知，AB AD ⊥，AB AF ⊥，AD AF ⊥，∴AB ，AD ，AF 两两垂直，∴以A 为原点，分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,0,1)F ，所以(1,1,0)BC =- ，(2,0,1)BF =- ，(2,0,0)AB = ，设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z = ，则0,20,m BC x y m BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，则1y =，2z =，于是(1,1,2)m = ，设直线AB 与平面BCF 所成角为α，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin cos ,6m AB m AB m ABα⋅=〈〉=== .所以直线AB 与平面BCF所成角的正弦值为6.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设点(2,2)P ，直线PA 与椭圆E 的另一个交点为C ，O 为坐标原点，判断直线OP 与直线BC 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）垂直，理由见解析.【分析】（1）由题意可得a 、c ，计算即可得b ，即可得椭圆E 的方程；（2）求出直线AP ，与曲线联立后可计算出点C 坐标，即可得直线OP 与直线BC 的斜率，即可得其位置关系.【小问1详解】椭圆过点(2,0)A -，(2,0)B ，故2a =，离心率22c e a ==，故c =则b ==，故22:142x y E +=；【小问2详解】由(2,0)A -、(2,2)P ，则直线AP 为()()20222y x -=+--，即112y x =+，联立22142112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得23440+-=x x ，则423A C C x x x +=-=-+，故23C x =，则1241233C y =⨯+=，即24,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212OP k ==、4031223BC k -==--，有()111OP BC k k =⨯-=-，故直线OP 与直线BC 垂直.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4=AD，PA PD ==E ，F 分别为BC ，PD的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角F BE A --的余弦值．条件①：异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13；条件②：23PD EF =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）17【分析】（1）借助中位线证明平行四边形从而得到线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）若选条件①：借助题目条件建立空间直角坐标系，利用异面直线PA 与EF 所成角的余弦值计算出AB 的长度，即可得二面角F BE A --的余弦值；若选条件②：借助题目条件利用勾股定理求出AB 的长度，再建立空间直角坐标系即可得二面角F BE A --的余弦值.【小问1详解】连接点F 与PA 中点G ，连接BG ，由底面ABCD 为矩形且E 为BC 中点，故12BE AD =、//BE AD ，又F 、G 分别为PD ，PA 的中点，故12FG AD =、//FG AD ，故四边形EFGB 为平行四边形，故//EF GB ，又EF ⊄平面PAB 、GB ⊂平面PAB ，故//EF 平面PAB ；【小问2详解】若选条件①：异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13，连接点P 与AD 中点M ，连接EM ，由PA PD =，故PM AD ⊥，故()2242222PM ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ，故PM ⊥平面ABCD ，又EM ⊂平面ABCD ，故PM EM ⊥，由E 、M 分别为BC ，AD 的中点，故AD EM ⊥，故AD 、PM 、EM 两两垂直，故可以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设AB CD a ==，则有()0,0,0M 、()0,0,2P 、()2,0,0A 、()0,,0E a 、()2,,0B a 、()2,0,0D -、()1,0,1F -，则()2,0,2PA =- 、()1,,1EF a =-- ，又异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13，故222221cos ,32211PA EF a --==+⋅++ ，解得4a =，故()()3,,13,4,1FB a =--=-- 、()2,0,0BE =- ，设平面FBE 的法向量为(),,m x y z =，则有00m FB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即34020x y z x --=⎧⎨-=⎩，令1y =，可得0x =、4z =-，故平面FBE 的法向量可为()0,1,4m =- ，又PM ⊥平面ABCD ，故平面ABCD 的法向量可为()0,0,1n = ，故224417cos ,17141m n -==+⋅ ，即二面角F BE A --的余弦值为1717.若选条件②：23PD EF =，连接点P 与AD 中点M ，连接EM ，连接FM ，由PA PD =，故PM AD ⊥，故()2242222PM ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则122FM PD ==，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ，故PM ⊥平面ABCD ，又EM ⊂平面ABCD ，故PM EM ⊥，由E 、M 分别为BC ，AD 的中点，故AD EM ⊥，故AD 、PM 、EM 两两垂直，同理可得EM ⊥平面PAD ，由FM ⊂平面PAD ，故EM FM ⊥，由22PD =，23PD EF =，则3322EF PD ==，()()223224EM =-，可以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0M 、()0,0,2P 、()2,0,0A 、()0,4,0E 、()2,4,0B 、()1,0,1F -，()3,4,1FB =-- 、()2,0,0BE =- ，设平面FBE 的法向量为(),,m x y z = ，则有00m FB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即34020x y z x --=⎧⎨-=⎩，令1y =，可得0x =、4z =-，故平面FBE 的法向量可为()0,1,4m =- ，又PM ⊥平面ABCD ，故平面ABCD 的法向量可为()0,0,1n = ，故cos ,17m n == ，即二面角F BE A --的余弦值为17.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，AOP 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．当||2EF =时，求直线PH 的方程．【答案】（1）2214x y +=,32（260y -+=60y +=【分析】(1)由椭圆的右顶点(2,0)A 可得2a =，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，AOP 面积可得1b =，从而求得椭圆C 的方程，再由222a b c =+可求得c ，从而可得离心率；(2)设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线PA ，QA 的方程得出点E ，F 坐标，进而表达出||2EF =，从而可解得k ，求得直线PH 的方程.【小问1详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， (2,0)A ，∴2a =，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，过点P 作PK x ⊥轴，垂足为K ，故AOP 面积为11222AOP S OA PK PK =⨯⨯=⨯⨯V ，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，即PK OP =时，使得AOP 面积最大，112122AOP S OA PK OP =⨯⨯=⨯⨯=V ,1OP ∴=,1,b c ∴==.∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为32c e a ==.【小问2详解】P 为椭圆C 上的动点，过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，可记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线PH 的斜率不存在时，即PH x ⊥轴时，22PQ b <=，此时直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．此时||2EF PQ <<，不符合题意.当直线PH 的斜率存在时，设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，联立22(1)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222114x k x ++=,化简得()2222148440k x k x k +++-=，由韦达定理可得212221228144414k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以21214x x k -=+，由11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(2,0)A ，则直线PA 的方程为：11(2)2y y x x =--，直线QA 的方程为：22(2)2y y x x =--，因为直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ，令0x =分别代入直线PA ,直线QA 可得：点1120,2y E x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，2220,2y F x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，121212122222222y y y y EF x x x x --∴=-=-----又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线PH 方程(1),(0)y k x k =+≠上，所以有1122(1),(1)y k x y k x =+=+，分别代入EF 并化简可得()()21121212123222224k x x y y EF x x x x x x -=-=---++=2 ==||2EF=，∴2=，则1=，解得216k=，6k∴=±，故直线PH的方程为：6(1)6y x=+或6(1)6y x=-+，6y-=60y++=.21.对于一个有穷正整数数列Q，设其各项为12,,,na a a，各项和为()S Q，集合(){},,1i ji j a a i j n>≤<≤∣中元素的个数为()T Q.（1）写出所有满足()()4,1S Q T Q==的数列Q；（2）对所有满足()6T Q=的数列Q，求()S Q的最小值；（3）对所有满足()2023S Q=的数列Q，求()T Q的最大值.【答案】（1）1，2，1或3，1；（2）7；（3）511566.【分析】(1)由题意可直接列举出数列Q；(2)由题意可得4n≥，分4n=、5n=和6n≥分别求()S Q的最小值即可得答案；(3)由题意可得数列Q为2,2,,2,1,1,1L L的形式，设其中有x项为2，有y项为1，则有22023x y+=，所以()222023x xT Q=-+，再利用二次函数的性质求()T Q的最大值即可.【小问1详解】解：当()1T Q=时，存在一组(,)i j，满足,1i ja a i j n>≤<≤，又因为12,,,na a a的各项均为正整数，且()124nS Q a a a=+++=L，所以4n a <，即3n a ≤，且1,2i j ≥≥，当1,2i j ==时，满足条件的数列Q 只能是：3,1；当1,3i j ==时，满足条件的数列Q 不存在；当1,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在；当2,=3i j =时，满足条件的数列Q 只有1，2，1；当2,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在；所以数列Q ：1，2，1或3,1；【小问2详解】解：由题意可知2C 6n ≥，所以4n ≥，①当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=；②当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥.若()6S Q =，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符合，所以()7S Q ≥；③当6n ≥时，同②可得()7S Q >；综上所述，有()7S Q ≥，同时当Q 为2，2，1，1，1时，()7S Q =，所以()S Q 的最小值为7；【小问3详解】解：①存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；②1n a =,否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；③当1,2,,1t n =-L 时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +顺序后()T Q 变为()1T Q +，进一步有1{0,1}t t a a +-∈，否则有12t t a a +≥+，此时将t a 改为1t a -，并在数列末尾添加一项1，此时()T Q 变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中有存在相邻的两项13,2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()()11T x Q T Q x ++-=+；⑤由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1L L 的形式，设其中有x 项为2，有y 项为1，则有22023x y +=，从而有()2(20232)22023xy x x x x T Q ==-=-+，由二次函数的性质可得，当且仅当5061011x y =⎧⎨=⎩时，()T Q 最大，为511566.【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前n 项和及满足集合(){},,1i j i j a a i j n >≤<≤∣中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣Q 还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.。

精品解析：北京师大附中2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试题(原卷版)

北京师大附中2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i =-，则复平面内表示z 的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若(1)()i a i -+为纯虚数，则a 的值为（）A. 2B. 1C. -2D. -13.已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（）A. 1B.C. 2D. 34.已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A. 314 B. 32 C. 32 D. 435.“0m n >>”是“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则点1A 到平面1B AC 的距离是（）A. 3B. 22C. 223D. 23 7.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（）A. 56B. 5-C. 6D. 25 8.如图，已知三棱锥S –ABC 中，SA =SB =CA =CB 3AB =2，SC 2，则二面角S –AB –C 的平面角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 9.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p => 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为（） A. 22B. 1C. 2D. 2 10.已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A . (][),10,1-∞-UB. (]1,1--C. [)1,1- D. []()1,01,-+∞U 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.11.i 是虚数单位，则51i i-+的值为__________. 12.双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________ 13.设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则△12F PF 的面积等于___________.14.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．15.已知等比数列{a n }各项均为正数，5671,32a a a =+=，若存在正整数(3)k k >，使得123123k k a a a a a a a a ++++>L L ，请写出一个满足题意的k 值_________.16.已知数列{}n a 的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有135,=,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中k 为使1n a +为奇数的正整数，当35a =时，1a 的最小值为__________；当11a =时，1220S S S +++=L ___________.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知各项均不相同的等差数列{}n a 的前四项和414S =，且1a 、3a 、7a 成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求2019T 的值. 18.如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点.（1）求证：BD ∥平面1EFC ；（2）若13AA AB =，求直线11A C 与平面1EFC 所成角的正弦值. 19.已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥. 20.已知点2,1)P 和椭圆22:142x y C +=. （1）设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，试求△12PF F 的周长；（2）若直线220(0)l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同点A ，B ，直线,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：||||PM PN =.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(0,1). （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 为椭圆C的左右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，直线AP 、BP 分别交直线l 于E 、Ｆ两点，当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知数列{}n a 、{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a n a -+=-,()*2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<L 恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．。

2022-2023学年北京市师大附中高二年级上册学期数学期末试题【含答案】

2022-2023学年北京市师大附中高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知向量，且，那么（）(1,2,1),(3,,)a b x y =-= a b xy =A ．B ．9C ．D ．1818-9-【答案】D【分析】，则，使得，据此计算即可.a b R λ∃∈a b λ= 【详解】依题意，由可知，，使得，于是，解得a b R λ∃∈a b λ= 1321x y l l l ì-=ïï=íï=ïî1363x y l ì=-ïïï=-íï=-ïïî于是.18xy =故选：D.2．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为( )O ()2,2A -OA A ．B ．()()22112x y -++=()()22118x y -++=C ．D ．()()22112x y ++-=()()22118x y ++-=【答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径()11-，r ∴圆的方程为﹒22(1)(1)2x y -＋＋＝故选：A﹒3．已知双曲线的渐近线方程为，则实数m 的值为（）221x y m -=12y x=±A ．B ．4C ．D ．144-14-【答案】B【分析】利用双曲线方程得出，再利用渐近线定义得，解方程求出值.0m >12y x =±=m 【详解】已知方程表示的曲线为双曲线，所以，221x y m -=0m >该双曲线的渐近线为，又，得出12y x =±=0m > 4m =故选：B.4．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为22(0)y px p =>22195x y +=（）A ．B ．C ．D ．=1x -1x =2x =2x =-【答案】D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆的右焦点坐标为，22195x y +=(2,0)∴抛物线的焦点坐标为，(2,0)∴抛物线的准线方程为，2x =-故选：D.5．已知直线l 过点，且与直线垂直，则直线l 的一般式方程为（）(3,1)A -230x y -+=A ．B ．C ．D ．230x y ++=250x y ++=210x y +-=220x y +-=【答案】B【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线l 20x y m ++=()3,1-m 方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，l 230x y -+=l 20x y m ++=因为直线过点，所以，得，l ()3,1-610m -++=5m =所以直线方程为，l 250x y ++=故选：B.6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面的距离是（）QGCA ．B ．CD1412【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.QGC 【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，，设平(0,2,0)C ()1,0,2Q (0,0,2)G (1,1,0)A (1,2,2)QC =--(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=- 面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为QGC (,,)n x y z = 00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩QGC ，(0,1,1)n =则点A 到平面的距离QGC d 故选：C7．如图，在正方体中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是（）1111ABCD A B C D -A ．平面1//D E 11AB BAB ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与所成角的范围为11B D (,42ππD ．二面角的大小为11E A B A --4π【答案】C 【分析】由平面平面，平面，即可判断A ；建立空间直角坐标系计11//CDD C 11A B BA 1D E ⊂11CDD C 算即可判断选项B ；求的范围即可判断选项C ；先找出二面角的平面角为11EB AD ⋅11|cos(,)|AE B D 即可判断选项D ，进而可得正确选项．1DA A ∠【详解】对于选项A ：因为平面平面，平面，11//CDD C 11A B BA 1D E ⊂11CDD C 所以平面，故选项A 正确；1//D E 11A B BA如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，(1,0,0)A (0,,0),01E m m ≤≤，，，对于选项B ：，，1(1,1,1)B 1(0,0,1)D 1(1,0,1)A 1(1,1,1)EB m =- 1(1,0,1)AD =-因为，所以，即，11(1,1,1)(1,0,1)1010EB AD m ⋅=-⋅-=-++=11EB AD ⊥ 11EB AD ⊥故选项B 正确；对于选项C ：，，设直线与所成角为，(1,,0)AE m =- 11(1,1,0)B D =-- AE 11B D θ则，11cos |cos ,|AE B D θ=〈〉=当，此时最小为，0m =θ4π当时最小等于0，此时最大为，所以，1m =cos θθ2π,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即直线与所成角的范围为，故选项C 不正确；AE 11B D ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于选项D ：二面角即二面角，11E A B A --11D A B A --因为，，111DA A B ⊥111AA A B ⊥平面，平面，1DA ⊂11EA B 1AA ⊂11AA B 所以即为二面角的平面角，1DA A ∠11E A B A --在正方形中，，所以二面角的大小为，11ADD A 14DA A π∠=11E A B A --4π故选项D 正确，故选：C.8．设是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“”是“对任意正整数n ，”的{}n a 0q <212n n a a ->（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】是首项为正数的等比数列，若公比，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定{}n a 0q <有，充分性满足，212n n a a ->但是时，数列各项均为正，，也就是说时，得不出，不必01q <<2212n n n a a q a -=<221n n a a -<0q <要．故选：A ．9．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，xoy C 228150x y x +-+=2y kx =+使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（）C kA ．B ．C ．D ．43-54-35-53-【答案】A【分析】化圆的方程为，求出圆心与半径，由题意，只需与直线C 22(4)1x y -+=22(4)4x y -+=有公共点即可．2y kx =+【详解】解：圆的方程为，整理得：，即圆是以为圆C 228150x y x +-+=22(4)1x y -+=C (4,0)心，1为半径的圆；又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，2y kx =+C 只需圆与直线有公共点即可．∴22:(4)4C x y '-+=2y kx =+设圆心到直线的距离为，(4,0)C 2y kx =+d则，即，2d =234k k - ．43k ∴- 的最小值是．k ∴43-故选：．A 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“与直线有公共点”22(4)4x y -+=2y kx =+是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．10．已知曲线，点，下面有四个结论：2:||44C x x y +=F ①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4；③曲线C 上任意点P 满足；||2PF ≥④曲线C 与曲线有5个不同的交点．(22)(22)0x y x y --+-=则其中所有正确结论的序号是（）A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③【答案】D【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④.)F【详解】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对；(),x y C (),x y -C ∴C x②：当，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形的面积为封闭图形面积不220,44x x y >+=ABCD 4,∴超过故②对；4,③：当时，，0x ≥2214xy +=)02PF x ===≤≤，当时，2x =min 2PF =当时，，综上，可知曲线上任意点满足，故③对.0x <2214x y -=2PF >C P 2PF ≥④：与曲线相交于点，与曲线相交于点，220x y --=(2,0),(0,1)-220x y +-=(2,0),(0,1)当时，，此时双曲线的渐近线方程为，与， 0x <2214x y -=12y x=±220x y --=220x y +-=平行，故不会有交点.所以共有3个交点，故④错.故选：D.二、填空题11．已知等比数列中，，则数列的前5项和____________．{}n a 1231,27a a a =={}n a 5S =【答案】121【分析】设等比数列的公比为q ，由条件结合等比数列通项公式列方程求 q ，利用等比数列求{}n a 和公式求．5S 【详解】设等比数列{an }的公比为q ，因为，，所以，解得，181a =2327a a =23127q ⨯=3q =则数列的前5项和.{}n a ()5511312113S -==-故答案为：．12112．已知圆，若直线与圆C 相交得到的弦长为22:(1)(1)4C x y -++=1y kx =+____________．k =【答案】##-0.7534-【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】由圆，得圆心，半径，22:(1)(1)4C x y -++=(1,1)C -2r =则圆心到直线即的距离为(1,1)C -1y kx =+10kx y -+=，d 222d r +=有，解得.21=34k =-故答案为：.34-13．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，若22219x y b+=(03)b <<12,F F P ，则的面积为____________．120PF PF ⋅=12PF F △【答案】3【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据3a =c =12F F =126PF PF +=有.即可求出，进而求出三角形的面积.120PF PF ⋅= 221224PF PF +=126PF PF ⋅=【详解】由已知可得，，，所以，3a =c e a ==c =12F F =因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，，P 126PF PF +=所以.()222121212236PF PF PF PF PF PF +=++⋅=又，所以为直角三角形，则，120PF PF ⋅=12PF F △222121224PF PF F F +==所以，所以.126PF PF ⋅=1212132PF F S PF PF =⋅=△故答案为：3.14．已知正方体的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111ABCD A B C D -内，点Q 在线段A 1N 上，若，则PQ 长度的最小值为____.1111D C B A PM =1-【分析】取的中点，连接，得到，求得，得到点在以11B C O ,OM OP MO OP ⊥11A N OP ==P 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形中，求得，结合，即可求O 1111D C B A 1A NO S 11322A N OH ⋅=解.【详解】如图所示，取的中点，连接，则平面，所以，11B C O ,OM OP MO ⊥1111D C B A MO OP ⊥因为的棱长为2，是的中点，PM =1111ABCD A B C D -N 11D C所以，11A N OP ==所以点在以为圆心，1为半径的位于平面内的半圆上，P O 1111D C B A 单独画出平面及相关点、线，如图所示，1111D C B A 所以点到的距离减去半径就是长度的最小值，O 1A N PQ 连接，作交于，1,A O ON 1OH A N ⊥1A N H 则，11113221111212222A NO S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=所以，解得11322A N OH ⋅=OH =所以.PQ 1.1三、双空题15．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，1421→→→6m =63105168421→→→→→→→→共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m 为正整数），{}n a 1a m =①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则1,,231,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时13m =1n a =91a =m 所有可能取值的和为_______．【答案】 9 385【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.【详解】m =13，依题意，，314020105168421m +=→→→→→→→→共9共步骤；若，，或，91a =872,4a a ==68a =61a =若，68a =2143215214321128,25632,6421,421620,405,103,6a a a a a a a a a a a a a ⎧==⎧==⎨⎪==⎪⎩=⎨==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎩若，61a =132154321328,1652,41,2,4a a a a a a a a a ⎧=⎧==⎨⎪===⎨⎩⎪===⎩ 的集合为，其和为385；1a {}256,42,40,6,32,5,4故答案为：9,385.四、解答题16．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．{}n a n n S 10110S =124,,a a a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和．1(1)(1)n n n b a a =-+{}n b n n T 【答案】（1）；（2）2n a n =11(1221n -+【分析】（1）根据为等差数列，前项和为，，且成等比数列．利用公式{}n a n n S 10110S =124,,a a a 即可求解公差和首项，可得数列的通项公式； {}n a （2）将的带入求解的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．n a {}n b 【详解】（1）根据为等差数列，．{}n a 0d ≠前项和为，且，即，…①n n S 10110S =11101045a d =+∵成等比数列．可得：．∴…②124,,a a a 2214a a a =⋅2111()(3)a d a a d +=+由①②解得：，∴数列的通项公式为122a d =⎧⎨=⎩{}n a 2na n =（2）由，()()n n 111n b a a =-+即=．()()12n 12n 1n b =-+11122n 12n 1⎛⎫- ⎪-+⎝⎭那么：数列的前项和{}n b n 12n n T b b b =+++ 111111(123352121n n =-+-++--+ .11(1)221n =-+【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图.在正方体中，E 为的中点．1111ABCD A B C D -1DD(1)求证：平面ACE ；1//BD (2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见详解【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判1//OE BD 定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计AD ACE 算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以,又平面，平面，1//OE BD OE ⊂ACE 1BD ⊄ACE 所以平面；1//BD ACE （2）建立如图所示的空间直角坐标系令，所以2AB =()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E ()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE === 设平面的一个法向量为ACE (),,n x y z = 所以，令2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩1,1,2y x z =-==所以，()1,1,2n =- 所以直线AD 与平面ACE18．如图，在三棱柱中，平面，是边长为的正三角形，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ABC 2分别为的中点．13,,AA D E =,AB BC (1)求证：平面．CD ⊥11AA B B (2)求二面角的余弦值．1B AE B --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明，，进而根据判定定理即可证明；CD AB ⊥1AA CD ⊥（2）取的中点为，连接，证明，，进而建立如图所示的11A B F DF DF AB ⊥CD AB CD DF ⊥⊥，空间直角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱中，因为平面，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC CD ⊂ABC 所以．1AA CD ⊥又为等边三角形，为的中点，ABC D AB 所以．CD AB ⊥因为平面，11,,AB AA A AB AA =⊂ 11AA B B 所以平面．CD ⊥11AA B B （2）解：取的中点为，连接，11A B F DF 因为在三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，111ABC A B C -11AA B B ,D F 11,AB A B 所以，1//DF AA 因为平面，平面，1AA ⊥ABC AB ⊂ABC 所以1AA AB⊥所以．由（1）知，DF AB ⊥CD AB CD DF ⊥⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz，由题意得111(1,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),,2A B C A B E ⎛--- ⎝所以，．13,(2,3,0)2AE AB ⎛=-=- ⎝ 设平面的法向量，1AB E (,,)n x y z =则，令，则．1302230n AE x z n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ 1x=2,3yz ==21,3n ⎛= ⎝ 由题意可知，平面的一个法向量BAE 1(0,3,0).AA = 因为．111cos ,AA n AA n AA n⋅===⋅ 由已知可得二面角为锐角，1B AE B --所以二面角1B AE B --19．已知椭圆：的离心率为，且经过点，C ()222210x y a b a b +=>>1231,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（1）求椭圆的标准方程；C （2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直()1,0l A B x Q线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．QA QB x Q 【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.22143x y +=(4,0)Q QA QB x 【解析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可222a b c =+2,a b ==求得椭圆的标准方程；C （2）设直线l 的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直1x my =+12y y +12y y线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q 点坐标.QA QB 【详解】（1）有题意可得，解得，22222191412a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2,1a b c ===所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）存在定点，满足直线，恰好关于x 轴对称，(4,0)Q QA QB设直线l 的方程为，由，1x my =+221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得，，22(43)690m y my ++-=22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->设，定点，由题意得，1122(,),(,)A x y B x y (,0)Q t 12,t x t x ≠≠所以，12122269,4343m y y y y m m +=-=-++因为直线，恰好关于x 轴对称，QA QB 所以直线，的斜率互为相反数，QA QB 所以，即，12120y y x t x t +=--1221()()0y x t y x t -+-=所以，即，11221)1()(0y y my t my t +-++-=1212(1)()02y y t y m y +-+=所以，即，22962()(1)(04343m m t m m ⋅-+--=++6(4)0m t --=所以当时，直线，恰好关于x 轴对称，即.4t =QA QB (4,0)Q 综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x 轴对称.x (4,0)Q QA QB 【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x 轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜QA QB QA QB 率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.20．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.【解析】（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程；p （2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和()11,B x y ()22,M x y BM y 、、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点．A PB BM BM 【详解】（1）由题意得，解得，002224p AF y py ⎧=+=⎪⎨⎪=⎩021p y =⎧⎨=⎩所以，抛物线的标准方程为.E 24x y =（2）证明：设点、，设直线的方程为，()11,B x y ()22,M x y BM y kx b =+联立，消去得，24y kx b x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx b --=由韦达定理得，，124x x k +=124x x b =-由轴以及点在直线上，得，MP x ⊥P 3y x =-()22,3P x x -则由、、三点共线，得，A P B 21214122x kx b x x -+-=--整理得，()()()12121241260k x x k x b x b ---++--=将韦达定理代入上式并整理得，()()12230x k b -+-=由点的任意性，得，得，B 230k b +-=32b k =-所以，直线的方程为，即直线过定点.BM ()2323y kx k k x =-+=-+BM ()2,3【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由、、三点共线是解第二问的关键，是中档题．A PB 21．已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A 中任意12:,,,m A a a a 121:,,,m B b b b + 一项，都有，则称数列A 是长为m 的数列．i a 1i i i b a b +≤<Ω（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：Ω①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若，证明：数列a ，b ，c 为数列；(,,)a b c a b c R <<∈Ω（3）设M 是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一{|063}x N x ∈≤≤个长为4的数列．Ω【答案】（1）①数列，，，是数列；②数列，，，是数列；（2）证明见解析；1458Ω24816Ω（3）证明见解析．【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当，和三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；b ac b -=-b a c b -<-b a c b ->-（3）假设中没有长为的数列，先考虑集合，得到存在一个，使M 4Ω{16,161,,1615}k M k k k =++ k得中没有一个元素属于，再考虑集合，得到k M M ,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++存在一个，使得中没有一个元素属于，进而证得集合中至多有个元素，即可得到结j ,k j M M M 27论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列，，，是数列；数列，，，是数列．1458Ω24816Ω（2）①当时，令，，，，b a c b -=-1b a =2b b =3b c =42b c b =-所以数列，，，为等差数列，且，1b 2b 3b 4b 1234b a b b b c b <<<≤≤≤所以数列，，为数列．a b c Ω②当时，令，，，，b ac b -<-12b b c =-2b b =3b c =42b c b =-所以数列，，，为等差数列，且．1b 2b 3b 4b 1234b a b b b c b <<<≤≤≤所以数列，，为数列．a b c Ω③当时，令，，，，b a c b ->-1b a =22a c b +=3b c =432c a b -=所以数列，，，为等差数列，且．1b 2b 3b 4b 1234b a b b b c b <<<≤≤≤所以数列，，为数列．a b c Ω综上，若，数列，，为数列．a b c <<a b c Ω（3）假设中没有长为的数列，M 4Ω考虑集合，，，，．{16,161,,1615}k M k k k =++ 0k =123因为数列，，，，是一个共有5项的等差数列，016324864所以存在一个，使得中没有一个元素属于．k k M M 对于其余的，k 再考虑集合，，，，．,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++0j =123因为，，，，是一个共有5项的等差数列，164k j +1644k j ++1648k j ++16412k j ++16416k j ++所以存在一个，使得中没有一个元素属于．j ,k j M M 因为中个数成等差数列，所以每个中至少有一个元素不属于．,k j M 4,k j M M 所以集合中至少有个元素不属于集合．{|063}x x ∈N ≤≤16431937+⨯+⨯=M 所以集合中至多有个元素，这与中至少有个元素矛盾．M 643727-=M 28所以假设不成立．所以中的元素必能构成长为4的数列．M Ω【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。