湖南师大附中2019-2020学年高二第二学期期中考试数学(理科)试题Word版含答案

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湖南省师大附中学高二数学下学期期中试题文

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，48 9．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A .15B .13C .14D ．不确定10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分． 21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(文科)参考答案第Ⅰ卷11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ，由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分)(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分)方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1；图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2；图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分)又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分)在这里遇见你我的缘分在这里遇见你我的缘分同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分) 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34，当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。

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湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是 A .15 B .13 C .14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答题卡11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷二、填空题 11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ，由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分) (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分) 方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1；图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2；图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分) 又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分) 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分)所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34，当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。

湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)(含答案)

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x 2－5x ＋6<0的解集是 A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |2<x <3} D ．{x |－3<x <－2}2．在等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则{a n }的前11项的和为 A ．22 B ．－33 C ．－11 D ．113．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A.π4B ．πC ．2πD ．4π 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．若a ，b ，c ，d ∈R ，则下列说法正确的是A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若a b ，则a －c >b －c6．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知数列{a n }满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为A.113 B ．－113 C.111 D ．－111 答题卡二、填空题：本大题共38．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，则sin B ＝________． 9．将等差数列1，4，7，…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是________．10．若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．三、解答题：(本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 11．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝(2a－b)cos C.(1)求角C的大小；(2)若AB＝4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤1－a；(2)若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 3＋b 3＝11，a 5＋b 5＝37. (1)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，数列{}c n 的前n 项和为T n ，求证：T n ≤n 2·2n －1＋2.第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)17．已知向量a ≠e ，|e |＝1t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 答题卡题号 15 16 17答案二、填空题(本大题共2小题，18．已知直线l 1：2x －y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 在抛物线C 上运动，当点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF 被抛物线所截得的线段长是________．19．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值．(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，求m 的最小值．21.(本题满分13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】不等式x 2－5x ＋6<0的解集是(2，3)，故选C.2．D 【解析】等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则a 5＋a 7＝2，∴a 6＝12(a 5＋a 7)＝1，∴{a n }的前11项的和为S 11＝11×（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×1＝11.故选D.3．B 【解析】在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2R ＝c sin C，解得R ＝1，故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π，故选B.4．D 【解析】x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0的可行域如图(阴影部分)：z ＝x ＋y 即y ＝－x ＋z ，当直线过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，z 的值最大．由⎩⎨⎧y ＝0，x ＋3y ＝3，解得A (3，0)，所以z ＝x ＋y 的最大值为3.故选D. 5．D6．A 【解析】在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，由AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC cos C ，可得：13＝9＋AC 2＋3AC ，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.7．B 【解析】a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，即为2a 1＋12d ＝－2，解得d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －15.1a n a n ＋1＝1（2n －15）（2n －13）＝12⎝⎛⎭⎫12n －15－12n －13，即有数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为12⎝⎛⎭⎫1－13－1－11＋1－11－1－9＋…＋111－113＝12×⎝⎛⎭⎫－113－113＝－113.故选B.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 8.5716【解析】∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，∴a ∶b ∶c ＝6∶5∶4，不妨取a ＝6，b ＝5，c ＝4，则cos B ＝62＋42－522×6×4＝916，B ∈(0，π)．则sin B ＝1－cos 2B ＝5716.9．577 【解析】由题意可得等差数列的通项公式为a n ＝3n －2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a 193＝3×193－2＝577.10．16 【解析】根据题意，若9x ＋y ＝xy ，则有1x ＋9y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝16，当且仅当y x ＝9xy时，等号成立，即x ＋y 的最小值是16，故答案为16.三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．【解析】(1)∵c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴由正弦定理可知，sin C cos B ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos C ，sin(C ＋B )＝2sin A cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin A cos C ．4分 ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.6分(2)由题知，c ＝4，C ＝π3，∴S △ABC ＝34ab .7分∵由余弦定理可知：a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，8分a 2＋b 2＝16＋ab ≥2ab ，10分∴ab ≤16.当且仅当“a ＝b ”时等号成立，11分∴S △ABC 最大值是43，此时三角形为等边三角形.12分 12．【解析】设分别向甲、乙两组项目投资x 万元，y 万元，利润为z 万元，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，3分目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域6分作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6，10分此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，∴x ＝4，y ＝6时，z 最大．答：投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分 13．【解析】(1)由f (x )≤1－a 可得x 2－ax ＋a －1≤0，即(x －1)[x －(a －1)]≤0，3分当a >2时，不等式解集为[1，a －1]；4分当a ＝2时，不等式解集为{1}；5分当a <2时，不等式解集为[a －1，1].6分(2)f (x )≥－x 2－2即a ≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，8分令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，等价于a ≤h (x )min 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，10分又h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4x ·1x ＝4，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立， ∴a ≤4，∴a 的取值范围为(－∞，4].13分14．【解析】(1)设数列{}a n 的公差为d ，数列{}b n 的公比为q ，依题意有⎩⎨⎧2d ＋2q 2＝10，4d ＋2q 4＝36，2分解得⎩⎨⎧d ＝1，q 2＝4，又b n >0，∴q ＝2，4分于是a n ＝a 1＋()n －1d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .6分(2)易知c n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋()n －1·2n ＋n ·2n ＋1，8分两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝()1－n ·2n ＋1－2，∴T n ＝()n －1·2n ＋1＋2，11分∵T n －()n 2·2n －1＋2＝－2n －1·()n －22≤0，∴T n ≤n 2·2n －1＋2.13分第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．A 【解析】设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a .①由a <－1得tan θ>1，可知倾斜角为θ大于π4；②由倾斜角为θ大于π4得－a >1或－a <0，即a <－1或a >0.由①②可知“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的充分而不必要条件，选A. 16．C 【解析】∵g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点，f (x )的图象如下图所示：要使得y ＝－x －a 与f (x )有两个交点，则有－a ≤1即a ≥－1，∴选C.17．C 【解析】由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得t 2－2a ·e t ＋2a ·e －1≥0，由t ∈R ，得Δ＝(－2a ·e )2＋4－8a ·e ≤0，即(a ·e －1)2≤0，所以a ·e ＝1，从而e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )，选C.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)18．20 【解析】直线l 2为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离．点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小即转化为点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小，当点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小时，直线PF ⊥l 1，从而直线PF 方程为y ＝－12(x －1)，代入C 方程得x 2－18x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝18，从而所求线段长为x 1＋x 2＋p ＝18＋2＝20. 19.32【解析】由题设条件可知，m ∥BD ，n ∥A 1B ，因此直线m 、n 所成的角即直线BD 与A 1B 所成的角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△A 1BD 是正三角形，BD 与A 1B 所成的角是60°，其正弦值为32. 三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．【解析】(1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.1分因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z ).3分所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6.4分当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34，5分当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.6分 (2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.9分因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，m ，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2m ＋π3. 要使得h (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为1. 所以2m ＋π3≥π2，11分即m ≥π12.所以m 的最小值为π12.12分 21．【解析】(1)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 20＝34(4－x 20)． ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2.由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.7分从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.8分 ∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 20)． ②10分将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0).11分 ∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内.13分方法2：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差||BQ 2－14||MN 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[]（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ③6分直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④8分又点M 在椭圆上，则x 214＋y 213＝1，即y 21＝34(4－x 21) ⑤9分于是将④、⑤代入③，化简后可得||BQ 2－14||MN 2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.12分从而点B 在以MN 为直径的圆内.13分。

湖南师大附中高二下学期期中理数(答案)

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2019-2020学年高二下学期期中段考数学试题 Word版含解析

2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【★答案★】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A. 4-B. 2-C. 2D. 4【★答案★】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B3.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】【详解】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c ="2," 所以选B.4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.16625B.96625C.192625D.256625【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（） A. 3264A A ⋅B. 2364C C ⋅C. 510CD. 3264C C ⋅【★答案★】D 【解析】【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人，所以不同的抽取方法种数为3264C C ⋅. 故选：D .【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.6.若,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（） A.45B.35C.25D.15【★答案★】B 【解析】【分析】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，先求总排列数n ，然后利用插空法得出，A ，B 两位同学不相邻的排列数m ，利用np m=即可求解. 【详解】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A，B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，则A ，B 两位同学不相邻的概率为7231205n p m === 故★答案★选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题.7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200C. 300D. 400【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.8.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【★答案★】B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率.9.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（）A. B. C. D.【★答案★】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.10.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A. 160 B. 163 C. 166 D. 170【★答案★】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=，故选C. 11.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（） A. 8B. 15C. 16D. 32【★答案★】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差12.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. [5,3]-- B. 9[6,]8-- C. [6,2]-- D. [4,3]--【★答案★】C 【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x --≥恒成立；当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x --≤恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t=1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t=-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为64，则n =________．【★答案★】3 【解析】【分析】取1x =，则各项系数之和464n =，解得★答案★. 【详解】取1x =，则各项系数之和464n =，解得3n =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值．【★答案★】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法15.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .【★答案★】84【解析】试题分析：由题分三类：种两种花有A 42种种法；种三种花有2A 43种种法；种四种花有A 44种种法．共有A 42+2A 43+A 44=84．考点：分类加法及运用排列数计数.16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【★答案★】0.18 【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【★答案★】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到★答案★⑵由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后根据裂项相消法求前n 项和n T【详解】（1）由已知条件得11a 25,3a 69,d d +=⎧⎨+=⎩解得1a 1,d 2,==所以通项公式为；n a 2n 1=-（2）由（1）知，n a 2n 1=-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭数列{}n b 的前n 项和n 12n S b b b =+++ =111111111--)1.2335212122121n n n n n ⎛⎫++⋯+-=-= ⎪-+++⎝⎭（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11n n n b a a +=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式． 18.已知函数32()f x x ax bx =++在2x =-与12x =处都取得极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3,2]-的最大值与最小值．【★答案★】（1）329()34f x x x x =+-；（2）max ()11,f x =min 13()16f x =-．【解析】【分析】（1）求导，根据极值点得到(2)0102f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝''⎭⎩，代入数据解得★答案★.（2）计算极值点和端点比较大小得到★答案★.【详解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以2()32f x x ax b '=++．由(2)124013024f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨⎛⎫=++= ⎪⎝⎭''⎪⎩，解得943a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，329()34f x x x x ∴=+-．（2）()291()333222f x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，计算极值点和端点得到：1193132816216f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，(2)8967f -=-++=，819(3)27944f -=-++=，(2)89611f =+-=．所以max ()11,f x =min 13()16f x =-．【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 【★答案★】(1) 120.C =（2） 3. 【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即（2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆的面积为 3. 20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【★答案★】（1）4960；（2）分布列见解析，()65E X =．【解析】【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X0 1 2 3X随机变量X 的数学期望．21.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【★答案★】（1）2a =；（2）当0a ≤时，递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；当2a =时，递增区间为(0,)+∞；当2a >时，递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）解方程(2)1f '=可得结果；（2）对a 分类讨论，解不等式()0f x '>可得递增区间，解不等式()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{|0}x x >，且()2(2)a f x x a x'=-++，依题意，(2)4(2)12a f a '=-++=，解得2a =．（2）依题意，(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x --'=-++=>，令()0f x '=，得11x =，22a x =． ①当0a ≤时，02a ≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ②当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02a x <<或1x >，由()0f x '<，得12a x <<．则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ④当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y和月销售价()1,2,3,,10ix i=⋅⋅⋅数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，lny c d x=+与y bx a=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据()11,v w，()22,v w，…，(),n nv w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ni iiniiw w v vv vβ==--=-∑∑，w vαβ=-.②参考数据：x y u()1021iix x=-∑()1021iiu u=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101i iiu u y y=--∑6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 -143.25 -27.54表中lni iu x=，101110iiu u==∑.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40≈.【★答案★】（1）lny c d x=+，24.4510.20lny x=-（2）月销售量10.17y=（千件）时，月销售额预报值最大.【解析】【分析】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型，令ln u x =，根据提供数据求出,d c ，即可求出回归方程；（2）由z xy =，由（1）得到z 关于x 的函数，求导，求出单调区间，进而求出极值最值，即可得出结论.【详解】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型.令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70i ii i i y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.（2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析

湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设正数满足，则的最大值是( )A．2 B．10 C．4D．40参考答案：A略2. 平面向量与夹角为，，则（）A．7 B． C．D．3参考答案：C3. 已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2 (D)参考答案：A4. 840和1764的最大公约数是（）A．84 B．12 C．168D．252参考答案：A5. 设命题是的充要条件；命题，则（ )A. 为真B. 为真C.真假D. 均为假参考答案：A略6. 函数y=sin2x的图象向右平移（>0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为( )A. B. C. D.以上都不对参考答案：A7. 如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）A． B．C． D．参考答案：A8. 在中，，则此三角形中最大角的度数是A． B． C．D．参考答案：B9. 已知直线与直线平行，则的值为参考答案：D略10. 下列命题中的真命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.参考答案：a或2a略12. 如图，已知球的面上有四点，平面,,,则球的表面积为．参考答案：13. 设，则＝★★★★★★．参考答案：略14. 命题“”的否定是．参考答案：15. 双曲线的渐近线为.参考答案：略16. 观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n则a2= ．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17. 已知为互相垂直的单位向量，若向量与的夹角等于60，则实数= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学试卷附答案解析

况，则电路接通的情况有 3×7=21 种；故选 C．
【考点】分步计数原理
点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解
题的条件．
6．设函数 f x 1 2 ，若 a, b, c 成等差数列（公差不为 0），则 f a f c （）
xb
A．2
5
C．命题“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是“若 x, y 都不是偶数，则 x y 不是偶数”
D．设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则 p q 为真命题
【答案】C 【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确
2i 2i 2 1i2
由i2
1
，所以
2i 1i
2i 2 2
i1
所以 2i i 1 12 12 2
1i
故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（）
A．“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
D．2
B．命题“ x R, sin x 1 ”的否定为“ x0 R, sin x0 1 ”
4
22．已知函数 f x x ln x ，函数 g x a x2 x a(a R) .
2
（1）求函数 f x 在 e, e 1 上的最小值；
（2）函数 F x f x g x ，若 F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求 a 的取值范围；
（3）记 F x f x g x 的两个极值点分别为 x1, x2 ，且 x1 x2 .已知 0 ，若不等式 e1 x1 x2 恒

湖南师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理) Word版含答案

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学第页(共8页)(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 5．如图的程序运行后输出的结果为 x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎭⎫π3，πD.⎣⎡⎦⎤π6，π11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．已知函数f(x)＝a·2x －12x ＋1的图象经过点⎝⎛⎭⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ； (2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”； ②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题； ④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件．其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡题号 21 22 23 得分答案二、填空题24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝nn ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22； (3)当a ≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (满分100分)二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π. 三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x －12x ＋1，∵2x >0，2x ＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x ∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE.因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线，所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1. 又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x ＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ①∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n .(3分) (2)b n ＝n·a n ＝n·2n ，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分)(3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎨⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题 21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c ＝12a·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0，由e ＝ca，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a0)，则f′(x)＝1－ln x x 2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，Q ⎝⎛⎭⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)，由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14，故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x －b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h′(x)＝11＋x－b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时h′(x)≥0，所以h(x)在⎣⎡⎭⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意．综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1，则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22.(8分) (3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2.即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 22＋bx 2－⎝⎛⎭⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)(这是边文，请据需要手工删加)。

湖南师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

END
x－y
A ．－ 17 B． 22 C． 25 D． 28
6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是
A ．异面 B．相交 C．平行 D ．平行或重合
5
4
7．在△ ABC 中，已知 cos A＝ 13，cos B＝ 5，则 cos C 的值为
A. 16 65
16 点 P 在球面上，如果 V P－ABCD ＝ 3 ，则球 O 的表面积是 ________．
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 40 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16． (本小题满分 6 分 ) 某校从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中，随机抽取 60 名，将其成绩 (均为整数 )分成六段 [40， 50)， [50 ，60)， … ， [90， 100]后画出如图的频率分布直方图．
(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数 (结果保留小数点后一位 )； (2) 若这次竞赛成绩不低于 80 分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的 1200 名学生中可以获得礼物的人数．
17.(本小题满分 8 分) a ·2 x－ 1
已知函数 f(x) ＝ 2x ＋1 的图象经过点
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x) 的定义域和值域； (3)证明：函数 f(x) 是奇函数．
得 f (1)<0， f(1.5)>0，f( 1.25)<0，则方程的根落在区间
A ． (1， 1.25) B． (1.25 ， 1.5) C． (1.5，2) D．不能确定
3．如果直线 ax＋2y ＋ 1＝0 与直线 x＋ y－ 2＝0 互相平行，那么 a 的值等于

湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学试卷附答案解析

湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学卷一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（） A ．1BCD ．22．下列说法中错误的是（）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（）A ．56B ．65C ．23D ．324．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（） A ．2B ．4C ．bD ．2b7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值48．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．239．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,52⎡⎢⎣⎭11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f ef D ．()()514e f f -<12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞ D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值.19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈.20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．21．已知抛物线()2:20E ypx p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()Fx f x g x =-的两个极值点分别为12,x x，且12x x <.已知0λ>，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.解析湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学卷一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数”D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题则()()p q ⌝∨⌝是真命题.故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是∵ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∵sinA ＞0． ∵cb＜cosA ，由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∵sin （A+B ）＜sinBcosA, ∵sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∵sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∵cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ．【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（） A ．2 B ．4 C ．b D ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】由题可知：函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+，所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称所以()()224f a f c +=⨯=故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD =故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题. 8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴=∴=∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据PT =2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min)c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果. 【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -，则minPT =又PT 的最小值不小于)a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-则)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥-所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f ef D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e -= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222x f x f x e --=，所以2(2)()xx f x f x e e--=，则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误. 故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞ D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果. 【详解】由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解由()3231f x ax x =-+，则()'236f x ax x =-又()()gx xf x '=，所以()3236g x ax x =-所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解，令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减所以()()max14h x h ==所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果.【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增，所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >>故答案为：c b a >>【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题. 14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U 【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果. 【详解】由题可知：若222x y m m <++有解则()2min 22mm x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+= 当且仅当4x y y x=，即2x y =时，取等号所以228m m +>，则()()2280420mm m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题. 15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+-又()f x 在[]0,3上单调递减，所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m ≤<.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()tf x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果【详解】令()tf x =，方程()()0f f x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图若1t=时，有1个交点当0t ≤时，有无数个交点，所以0a =，不符合题意当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t=时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时，则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图当1t=时，(),y t y f x ==图象只有一个交点所以0a < 综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s（3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又BA x x =，所以127a =（2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为As =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C = 所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-= 【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果.（2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cossin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭r r所以()2cos+sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos 2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++-所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =5bc ≤所以1522Sbc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题 19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等比数列{}n b 的公比为q则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111na a n d n =+-=+由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2n n b =， ()()1+322n n a a n n n S +==， ()111221nn n b q T q +-==--（2）由（1）可知：()12n n nn a b =+⋅ 所以()23223242...12n nn K =⋅+⋅+⋅+++⋅∵ 则()2341223242...122n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅∵所以∵-∵可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n n n n K -++-=+-+⋅=-⋅-- 所以12n n K n +=⋅ ()()()()111322222321n n n n n n n n n S T c K n n n ++++-+-=⋅== ()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+ 则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值.【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=，13AG CD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形， 1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，1,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由304402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y =，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r r u u u u r r u u u u r r因此，直线11A C 与平面DEF 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+ 设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t> 另设()()1122,,,B x y C x y()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++所以2168t =+，化简可得：2210t -+=，所以t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+-则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()Fx f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数. 【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'f x ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子，可得()()112212ln 1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果【详解】（1）由题可知：()'ln 1f x x =+当[],1x e e ∈+，()'0f x >所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2aF x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根等价于ln xa x =在()0,∞+有两个不同的实数根等价于函数()ln ,xy a h x x ==图象在()0,∞+有两个交点则()'21ln xh x x -=令()'0h x >，则0x e <<令()'0h x <，则x e >所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e =，当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =-由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-= 所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=- 由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x <所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t >所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时，若()20,t λ∈，()'0h t >若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。

2021-2022学年湖南师大附中高二下学期期中考试数学试题(学生版+解析版)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.把函数的图象向左平移，可以得到的函数为（）
A. B.
C. D.
4 已知，则等于（）
A. B. C.eD.1
5.已知向量，向量，则与的夹角大小为（）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
6.如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（）
【详解】对于A，因为直线，
即，
令，解得，
即直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为圆的圆心是，半径为，
则圆心到直线的距离为，
故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故B正确；
对于C，曲线，即，
圆心为，半径为，
曲线，即，
圆心，半径为，
若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，
解得，故C错误；
对于D，因为，
故当最小时，最小，
又最小值为圆心到直线的距离，即，
故的最小值为，故D错误．
故选ACD．
11.下列命题正确的是（）
A.“ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 命题“ ， ”是假命题的实数a的取值范围为
C. 设x，，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
D.“关于的不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是
A.相互垂直的相交直线
B.相互垂直的异面直线
C.相互不垂直的异面直线
D.夹角为60°的异面直线
7.已知，求（）
A. B. C. D.
8.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（）
A.6B. C.8D.
二､多选题（共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）

2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案

2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案一、单选题1．设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2．如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示NM ，则NM 等于（）A ．1()2a b c -++B ．1()2a b c +-C ．1()2a b c -+ D ．1()2a b c --+【答案】B【解析】利用空间向量的基本运算求解即可. 【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+11()22OA OC OB OA =-+-1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型.3．设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（） A ．4a b+B ．4aC ．2a 且2bD ．4b <-【答案】D【解析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型. 4．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5．在101)的展开式中，x 项的系数为（） A ．45- B ．90- C ．45D ．90【答案】C【解析】根据二项式定理公式分析求解即可. 【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k k kkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k ,故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型. 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（） A ．8080- B ．4040- C ．8080 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（）A ．14 B ．12C ．13D ．34【答案】A【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.【考点】条件概率.8．某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（） A ．4 B ．12 C ．16 D ．24【答案】B【解析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种；第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B . 【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.二、多选题9．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近【答案】ABC【解析】根据正态分布的图像意义判定即可. 【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10．设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD【解析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可. 【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c =.据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==. 因为003y b <=,则12PF F ∆项正确.由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =, 则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=；当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD . 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型.11．下列命题中为真命题的是（） A ．(0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+> B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+= D ．13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD【解析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=, 又1sin 1x -,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真；B项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sin cos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x=在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（）A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:lnC y x = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD【解析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线. 当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； B 项,1y x '=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-.令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -,即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误；C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.三、填空题13．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+，可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2，则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________【答案】12【解析】根据数学期望的求法列式求解即可. 【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为337的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3【解析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=, 则2,3BF c BP c ==,所以3tan cPAB ∠=. 333c =解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16．已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________ （2）球O 的体积为_____________.【答案】3213136π【解析】(1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可. 【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=. 因为3DB DC ==,则3BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD . 因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD . 取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得1312DE ==.在Rt OED ∆中,OD ==所以34326V π⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭球.故答案为：(1). 32(2). 【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.四、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--. （1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆的面积为sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】(1)根据面积公式与余弦定理求解即可. (2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =再利用面积公式与正弦定理化简求解即可. 【详解】（1）因为in 12s S ab C =,所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--,即222sin cos 2c a b C C ab --==-,所以tan 1=-C ,又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=.（2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=, 所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因为1sin 2ABC S ab C ∆=,且in sin ABC S A B ∆=,所以1sin sin sin 22ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型. 18．已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n 时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】(1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可. 【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=, 又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=, 又因为13a =,所以21n a n =+. （2）因为）11222n n n b b b na -+++=,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n 时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭,则211111137(45)(41)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减,得211111134(41)22222n nn S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11147341(41)7222n nnn n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19．如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN平面CDE；（2）求当PF为何值时，平面PAB⊥平面CDE.【答案】（1）证明见解析（2）2PF=【解析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN即可. (2)分别取线段,AB DE的中点,G H,再根据题意分析PG⊥平面CDE时的点P,根据三角形的全等与相似的关系求得PF的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE,AB在平面DEF外,则//AB平面DEF.因为平面PAB⋂平面DEF MN=,则//AB MN,从而//DE MN.因为MN在平面CDE外,所以//MN平面CDE.（2）解法一：分别取线段,AB DE的中点,G H,则//GH CP, 所以,,,P C G H四点共面.因为Rt PCA Rt PCB∆≅∆,则PA PB=,所以PG AB⊥.因为//AB DE,则PG DE⊥.若PG CH⊥,则PG⊥平面CDE,从而平面PAB⊥平面CDE.此时,CPG HCG∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC∆是边长为2的正三角形,则2sin603CG︒==又1GH =,则23CGPC GH ==,从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点, 直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,3AB OH OC ===则点(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB =-==设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得111(3)010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则3)m =设CP t =,则点3,)P t ,从而(0,3,)OP t =设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得2223010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,3)n t =-.因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=, 得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.（2）详见解析【答案】（1）23【解析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A , 则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21．如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--.（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）82【解析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可.【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py =-⎧⎨=-⎩,得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk+=+-=--. 所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk+=++=---因为(4,12)OA OB +=--,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩ 故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离5d ===. 由2222y x x y =-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅=. 解法二：由2222y x x y =-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===设点21,(222P t t t ⎛⎫---<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =,此时点(2,2)P --.故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22．已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩ 【解析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()xx x f x e ++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()xx x a f x e ----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f e x -'-=, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+时,(1)(1)f f -,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --,即2a 时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩ 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。

2020年湖南师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共13小题，共55.0分）1.已知全集U={-1，0，1，2，3，4}，A={-1，0，2，4}，则∁U A=（）A. ∅B. {0，2，4}C. {1，3}D. {-1，1，3}2.设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A. （1，1.25）B. （1.25，1.5）C. （1.5，2）D. 不能确定3.如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相平行，那么a的值等于（）A. -2B.C. -D. 24.设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=3，，，则B=（）A. B. C. 或 D.5.如图的程序运行后输出的结果为（）A. -17B. 22C. 25D. 286.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定7.若△ABC中，cos A=，cos B=，则cos C的值为（）A. B. - C. - D.8.要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( )A. 05，10，15，20，25，30B. 03，13，23，33，43，53C. 01，02，03，04，05，06D. 02，04，08，16，32，489.取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）A. B. C. D.10.已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+•=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A. [0，]B. [，π]C. [，]D. [，π]11.给出下列四个命题：①命题“若X2=1，则x=1”的否命题为：“若：x2=1，则x≠0”；②命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x-1＞0”；③命题“若：x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题；④“x=-1”是“x2-5x-6=0的必要不充分条件．其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,,若以为直径的圆内切于菱形,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.13.设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数为a i（i=1，2，…n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A. 48B. 120C. 144D. 192二、填空题（本大题共6小题，共26.0分）14.已知m＞0，n＞0，且m+n=4，则mn的最大值是______．15.已知函数的值为______．16.等差数列{a n}中，a3=3，a8=33，则{a n}的公差为______．17.函数y=的定义域为______．18.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=______．19.若存在实数a，b（0＜a＜b）满足a b=b a，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）20.如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P-ABCD=，则球O的表面积是______．21.某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．（1）估计这次竞赛成绩的众数与中位数（结果保留小数点后一位）；（2）若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．22.已知函数的图象经过点．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域；（3）证明：函数f（x）是奇函数．23.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：CD⊥平面PAD；（3）若三棱锥C-ADE的体积为，求四棱锥P-ABCD的侧面积．24.已知向量，，x∈R．（1）若，求tan x的值；（2）设函数，，求f（x）的值域．25.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=n•a n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）对于（2）中的T n，设，求数列{c n}中的最大项．26.设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．．27.已知函数f（x）=ln（x+1），．（1）若a=0，f（x）＜g（x）在（0，+∞）上恒成立，求b的取值范围；（2）设数列，S n为数列{c n}的前n项和，求证：；（3）当a≠0时，设函数f（x-1）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P，Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U={-1，0，1，2，3，4}，A={-1，0，2，4}，∴∁U A={1，3}．故选：C．由全集U及A，求出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，属基础题.由已知“方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号,可得答案.【解答】解：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选：B．3.【答案】D【解析】解：根据题意，如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相平行，则有a×1=2，解可得a=2；故选：D．根据题意，由直线平行的判定方法可得a×1=2，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可求sin B==，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】解：∵a=3，，，∴由正弦定理可得：sin B===，∵a＞b，∴B为锐角，B=．故选A．5.【答案】B【解析】解：模拟程序语言的运行过程知，x=5，y=-20；x≥0，y=-20+3=-17；输出x-y=5-（-17）=22．故选：B．模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．本题考查了程序语言的应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c．又b⊂α，α∩β=l，∴b∥l．∴a∥l．故选：C．由题意设α∩β=l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．此题考查平面与平面平行的性质及其应用，解题的关键的画出图形，此题是道基础题．7.【答案】D【解析】解：△ABC中，cos A=，cos B=，即有sin A==，sin B==，则cos C=-cos（A+B）=-（cos A cos B-sin A sin B）=-（×-×）=故选：D．运用同角的平方关系，可得sin A，sin B，再由诱导公式和两角和的余弦公式，计算即可得到所求值．本题考查两角和的余弦公式的运用，同时考查同角的平方关系和诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查系统抽样，基础题 .一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B．9.【答案】A【解析】解：记“两段的长都不小于2m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于2m，所以事件A发生的概率．故选：A．根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．10.【答案】B【解析】解：，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，故选：B．根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，再由cosθ=≤，可得答案．本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．属基础题．11.【答案】A【解析】解：①若x2=1，则x=1”的否命题：若为x=1则x2=1；故①错误；②命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x-1≥0”，故②错误；③∵x=y⇒sin x=sin y，反之如果sin x=sin y，例如sin=sin=，但≠，所以sin x=sin y，推不出x=y，∴原命题是真命题，∴原命题的逆否命题为真命题，故③正确；④∵x2-5x-6=0，∴（x+1）（x-6）=0，解得x=-1或6，∴x=-1⇒x=-1或6，反之则不能，∴“x=-1”是“x2-5x-6=0的充分不必要条件，故④错误．∴真命题的个数是1，故选：A．①根据否命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题，把题中条件与结论互换；②根据否命题的定义把小于改为大于等于；③利用三角函数的知识看x=y与sin x=sin y是否能够互相，判断原命题的真假，从而得出其逆否命题的真假；④解出方程x2-5x-6=0的根，再判断其与x=-1的逻辑关系；此题考查的知识面比较广，主要考查四种逻辑关系，解题的关键是将各个命题的内容具体化使之成为简单的命题，然后再求解．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用圆内切等积法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标,求得菱形的边长,运用等积法可得•2b•2c=a•4,再由a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到所求值．【解答】解:由题意可得A1（-a,0）,A2（a,0）,B1（0,-b）,B2（0,b）,F1（-c,0）,F2（c,0）,且a2+b2=c2,菱形F1B1F2B2的边长为,由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D,由面积相等,可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2）,即有c4+a4-3a2c2=0，由e=,可得e4-3e2+1=0，解得e2=，因为e>1，所以e2=，可得e==.故选C．13.【答案】C【解析】解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响，∵在8后面又比其他数小∴这两个可以不管可以把题转换为数列123456 保证5的顺序数是3就可以了，∴分两种情况6在5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1=96种6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数字上，故有2×4×3×2×1=48∴共有96+48=144种结果，故选：C．根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列123456 保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，根据分类原理得到结果．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．14.【答案】4【解析】解：∵m＞0，n＞0，且m+n=4，∴由基本不等式可得mn≤=4，当且仅当m=n=2时，取等号，故答案为：4由基本不等式可得mn≤=4，注意等号成立的条件即可．本题考查基本不等式的应用，属基础题．15.【答案】【解析】解：∵函数，∴f（）==-2，f[f（）]=f（-2）=2-2=．故答案为：．推导出f（）==-2，从而f[f（）]=f（-2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16.【答案】6【解析】解：因为等差数列{a n}中，a3=3，a8=33，所以公差d==6，故答案为：6．根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d．本题考查了等差数列的性质、通项公式，属于基础题．17.【答案】，（k∈Z）【解析】解：由题意可得2sin x-1≥0⇒sin x≥故答案为：依题意可得2sin x-1≥0即sin x≥，解不等式可得本题考查了函数定义域的求解，三角不等式的解法，解三角不等式的常用方法是借助于单位圆中的三角函数线进行求解，试题较易．18.【答案】【解析】解：抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），即x2=4y，焦点（0，1），准线方程y=-1．直线l的参数方程（t为参数），即x-y+=0，把直线方程代入抛物线C的方程可得3y2-10y+3=0，∴y1+y2=．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=（y1+1）+（y2+1）=．故答案为．把抛物线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程，把直线方程代入抛物线C的方程求得y1+y2=．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=（y1+1）+（y2+1），运算求得结果．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，抛物线的定义以及标准方程的应用，属于基础题．19.【答案】（1，e）【解析】解：∵0＜a＜b）满足a b=b a，∴b ln a=a ln b，化为，令f（x）=，（x＞0），则f′（x）=，可得x＞e时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→0．∴当a∈（1，e）时，函数y=k与f（x）=的图象有两个交点．∴实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）．0＜a＜b）满足a b=b a，由b ln a=a ln b，化为，令f（x）=，（x＞0），利用导数研究其单调性极值与最值，画出其图象即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】16π【解析】解：如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，∴PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，VP-ABCD=，所以•2R2•R=，解得：R=2，球O的表面积：S=4πR2=16π，故答案为：16π由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．21.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，本次竞赛成绩的众数是75．因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为x，则有（x-70）×0.03=0.5-0.4，解得x≈73.3．所以中位数约为73.3．（2）因为不低于80分的频率=（0.025+0.005）×10=0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3=360．【解析】（1）由频率分布直方图能求出本次竞赛成绩的众数和中位数．（2）不低于80分的频率为0.3，由此能求出1200名学生中可以获得礼物的人数．本题考查众数、中位数、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．22.【答案】解：（1）根据题意，函数的图象经过点．则，解得a=1．（2）由（1）知，，又由2x＞0，2x+1＞1，故f（x）的定义域为R．则，又2x∈（0，+∞），则，则f（x）的值域为（-1，1）．（3）由（2）可得：f（x）的定义域为R，且，故f（x）是奇函数．【解析】本题考查函数的奇偶性、值域、解析式的判定以及计算，属于中档题．（1）根据题意，将点的坐标代入解析式可得，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，由（1）可得，结合指数函数的性质分析可得答案；（3）根据题意，先分析函数的定义域，结合解析式分析可得f（-x）=-f（x），即可得答案．23.【答案】证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，所以OE∥PB，又因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC；（2）因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以CD⊥PA，又因为AD∩PA=A，AD、PA平面PAD，所以CD⊥平面PAD；解：（3）设E到底面ABCD的距离为h，因为，又因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以S△ACD=2，所以h=1，又因为E是PD的中点，所以PA=2h=2，又PD=2，，所以四棱锥P-ABCD的侧面积为：S=2S△PAB+2S△PDC=．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连结BD，交AC于点O，连结OE，推导出O为BD的中点，从而OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC；（2）推导出CD⊥AD，CD⊥PA，由此能证明CD⊥平面PAD；（3）求出PA=2h=2，PD=2，四棱锥P-ABCD的侧面积为S=2S△PAB+2S△PDC，由此能求出结果．24.【答案】解：（1）∵，∴=，∴．（2）===，当时，，∴，∴f（x）的值域为．【解析】（1）由，可得=0，化简即可；（2）根据条件可得f（x）=，然后利用整体思想求出f（x）的值域即可．本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系和三角函数的图象与性质，属基础题．25.【答案】解：（1）∵2a n=2+S n，①∴2a n-1=2+S n-1（n≥2）．②①-②得a n=2a n-1（n≥2），又2a1=2+a1，a1=2，∴．（2），用错位相减法得：，①，②①-②，得．（3），由，得，解得2≤n≤3（n∈N*）．∴n=2或n=3时，c n最大，即为{c n}中的最大项．【解析】（1）利用a n=，结合等比数列的通项公式即可求解；（2）由（1）可求，然后利用错位相减法可求；（3）求出c n，结合数列的单调性可求．本题主要考查了利用数列的递推公式求解的通项公式，等差数列的性质及错位相减求和，还考查了利用数列的单调性求解数列的最大项，属于数列知识的综合应用．26.【答案】解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知∵，∴，由于即F1为F2Q中点．故∴b2=3c2=a2-c2，故椭圆的离心率，（3分）（2）由（1）知，得于是F2（a，0）Q，△AQF的外接圆圆心为（-a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为，（6分）（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x-1）代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0设M（x1，y1），N（x2，y2）则，y1+y2=k（x1+x2-2），（8分）=（x1+x2-2m，y1+y2）由于菱形对角线垂直，则故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0k2（10分）由已知条件知k≠0且k∈R∴∴故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（12分）【解析】（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．27.【答案】解：（1）a=0时，f（x）＜g（x）即ln（x+1）＜bx，设h（x）=ln（1+x）-bx，则．由已知可得，，若b≤0，，即h（x）在（0，+∞）内单调递增，，显然不满足题意；若b≥1，则x∈(0，+∞）时，恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上为减函数，有ln（x+1）-bx＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，若0＜b＜1，则时，，则当时h′（x）0，所以h（x）在上单调递增．∵h（0）=0，∴时，h（x）＞0，不满足题意．综上，b≥1时f（x）＜g（x）在（0，+∞）上恒成立；（2）由（1）得ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立．令有，，则＜1-ln（n+2）+ln（n+1），∴S n＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+（1-ln（n+2）+ln（n+1）），即；（3）f（x-1）=ln x，设点P，Q的坐标是P（x1，y1），Q（x2，y2），且0＜x1＜x2，则点M，N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即，所以==y2-y1=ln x2-ln x1所以，设，则，u＞1．①令，u＞1，则．因为u＞1，所以r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增．故r（u）＞r（1）=0，则．这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了放缩法和反证法，属难题．（1）分b≤0，0＜b＜1，b≥1三种情况分别考虑f（x）＜g（x）在（0，+∞）是否恒成立；（2）由（1）得ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，然后令则有＜1-ln（n+2）+ln（n+1），即可得证；（3）设点P，Q的坐标是P（x1，y1），Q（x2，y2），且0＜x1＜x2，求出C1在点M处的切线斜率k1，C2在点N处的切线斜率k2，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，可得，利用反正法推出矛盾结论即可．。

2019-2020学年湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则（）A ．M N N =IB ．M N M ⋃=C ．M N ∈D ．M N ⊆【答案】D【解析】求出集合M ，进而求出集合,M N 的交集、并集可选出答案. 【详解】由题意，{}{}2|0,1M x x x ===，{}1,0,1N =-，则M N ⊆，M N M ⋂=，M N N ⋃=，即只有选项D 成立.. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的交集与并集，考查集合间的包含关系，属于基础题.2．命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定是（） A ．,()()x M f x f x ∃∈-≠ B ．,()()x M f x f x ∀∈-≠C ．,()()x M f x f x ∀∈-=D ．,()()x M f x f x ∃∈-=【答案】A【解析】解：因为命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定是,()()x M f x f x ∃∈-≠，选A3．设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真【答案】C【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 【考点】1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.4．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．5．曲线()ln y f x x x ==在点()()1,1f 处的切线方程是（） A ．1y x =+ B ．1y x =-C ．y x =D ．y ex e =-【答案】B【解析】求导，并结合导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程. 【详解】由题意，()1ln10f ==，()ln 1f x x '=+，则()1ln111f '=+=，所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，属于基础题.6．设非零向量,a b r r满足a b a b +=-r r r r ，则( )A ．a b ⊥r rB ．a b =r rC ．//a b r rD ．a b >r r【答案】A【解析】将a b a b +=-r r r r 平方，化简可得，0a b ⋅=r r ，即可求出a b ⊥r r 。

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湖南师大附中2019-2020学年第二学期期中考试高二数学(理科)试题时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝A ．B ．{0，2，4}C ．{1，3}D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π35．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A ．异面B ．相交C ．平行D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)； (2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．17.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝a ·2x－12x ＋1的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．18.(本小题满分8分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)求证：PB ∥平面AEC ； (2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．19.(本小题满分8分)已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝n ·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”；②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件．其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡题号 21 22 23 得分答案二、填空题：本大题共224．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝n n ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22；(3)当a ≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2019-2020学年第二学期期中考试高二数学(理科)试题参考答案第Ⅰ卷 (满分100分)二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分) (2)由(1)知，f(x)＝2x－12x ＋1，∵2x >0，2x＋1>1，∴f(x)的定义域为R.∵f(x)＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x－12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE. 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线，所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE 平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h ·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1.又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分) 19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ① ∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n.(3分)(2)b n ＝n ·a n ＝n ·2n，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分) (3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎪⎨⎪⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b ·2c ＝12a ·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0，由e ＝c a，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a0)，则f ′(x)＝1－ln xx2，令f ′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx(x>0)的图象与直线y ＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝aa ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)，由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k2＋4，∴0<m<14，故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h ′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x－b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h ′(x)＝11＋x －b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时h ′(x)≥0，所以h(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1上单调递增．∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意．综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1，则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22.(8分)(3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22.C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝ ⎪⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2. 即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b. 所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 22＋bx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u ，u>1，则r ′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r ′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)。

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