初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析

初中几何中线段与(差)的最值问题一、两条线段与的最小值。

基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:点A 、B 在直线同侧: (2) A 、A ’ 就是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点Q,使PA+PQ+QB 最小。

(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧: (4)、台球两次碰壁模型 变式一:已知点A 、B直线m,n 的内侧,在直线n 、m分别上求点D、E 点,使得围成四边形ADEB 周长最短、:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短、二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P,使PA+PB 最小(在图中画出点P 与点B) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动mA B m B mBm n mn nmn m nm点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P,使PA+PB 最小(在图中画出点P 与点B) 1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 就是两个定点,P 、Q 就是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)(1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。

(2)点A 、B 在直线m 同侧: 练习题 如图,∠AOB =45°,P 就 1.是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别就是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值为 .2、 如图1,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M,N 分别就是AD 与AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 .3、如图,在锐角三角形ABC 中 ,AB=52,∠BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D,M 、N 分别就是AD 与AB 上的动点,则BM+MN 的最小值就是多少？m OP'P m O BB' mO A P mOA B m A B E Q P m A B Q mA Q P mAC Q PQ4、如图4所示,等边△ABC的边长为6,AD就是BC边上的中线,M就是AD上的动点,E就是AC 边上一点、若AE=2,EM+CM的最小值为、5、如图3,在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°,AD∥BC,AD＝4,AB＝5,BC＝6,点P就是AB上一个动点,当PC＋PD的与最小时,PB的长为__________.6、如图4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P就是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为.7、如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E就是AB的中点,P就是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.8、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6与8,点P就是对角线AC 上的一个动点,点M、N分别就是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值就是9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.10、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P就是AC上一动点.则PB+PE的最小值就是12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N就是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.13、如图,正方形ABCD的边长就是2,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别就是AD与AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为 .14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值).15、如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA ⊥OB ,∠AOC =60°,P 就是OB 上一动点,则P A +PC 的最小值就是 .16、如图8,MN 就是半径为1的⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,∠AMN ＝30°,B 为AN 弧的中点,P 就是直径MN 上一动点,则PA ＋PB 的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=(k ≠0)在第一象限的图象交于A 点,过A 点作x 轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM 的面积为1、(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点B 与点A 不重合),且B 点的横坐标为1,在x 轴上求一点P,使PA+PB 最小、2、如图,一元二次方程x 2+2x-3=0的二根x 1,x 2(x 1＜x 2)就是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点B,C 的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC 相交于点Q,求点P 与点Q 的坐标;(3)在x 轴上有一动点M,当MQ+MA 取得最小值时,求M 点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,) ,△AOB 的面积就是、(1)求点B 的坐标;(2)求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上就是否存在点C,使△AOC 的周长最小？若存在,求出点C 的 坐标;若不存在,请说明理由;4.如图,抛物线y ＝35x 2－185x ＋3与y 轴的交点为A ,M 为OA的中点,若有一动点P ,自M 点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =AB =2,OC =3,过点B 作BD ⊥BC ,交OA 于点D .将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 与F . (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式; (2)当BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求CF 的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P 、Q (点Q 在点P 的上方),且PQ ＝1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P 、Q 两点的坐标.6.如图,已知平面直角坐标系,A ,B 两点的坐标分别为A (2,－3),B (4,－1)若C (a ,0),D (a +3,0)就是x 轴上的两个动点,则当a 为何值时,四边形ABDC 的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边OB 的中点、(1)若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标;(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标、二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P,使PA 与PB 的差最大; (1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P,根据三角形两边之差BA mB A小于第三边,P ’A —P ’B ＜AB,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。

(2)点A 、B 在直线m 异侧:解析:过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’,PA-PB 最大值为AB ’ 练习题1、 如图,抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ,与y 轴交于点B .(1)求点A 、点B 的坐标;(2)若点P 就是x 轴上任意一点,求证:P A －PB ≤AB ; (3)当P A －PB 最大时,求点P 的坐标、 2、 如图,已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式;(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM －MC |的值最大,求出点M 的坐标.、在直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别为(－4,－1)与(－2,－5);点P 就是y 轴上的一个动点,⑴点P 在何处时,PA ＋PB 的与为最小？并求最小值。

⑵点P 在何处时,∣PA —PB ∣最大？并求最大值。

、 如图,直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,点A 为y 轴正半轴上的一点,⊙A 经过点B 与点O ,直线BC 交⊙A 于点D . (1)求点D 的坐标;(2)过O ,C ,D 三点作抛物线,在抛物线的对称轴上就是否存在一点P ,使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在,请求出这个最大值与点P 的坐标.若不存在,请说明理由.y x C B A D O EyAmB'PP'yC l x B A 1x =5、抛物线的解析式为223y x x =-++,交x 轴与A 与B,交y 轴于C,⑴在其对称轴上就是否存在一点P,使⊿APC 周长最小,若存在,求其坐标。

⑵在其对称轴上就是否存在一点Q,使∣QB —QC ∣的值最大,若存在求其坐标。

6、已知:如图,把矩形OCBA 放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB 的中点M,连接MC,把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO. (1)试直接写出点D 的坐标; (2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上,点P 在第一象限内的该抛物线上移动,过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q,连接OP.①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似,试求出点P 的坐标;②试问在抛物线的对称轴上就是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大？7、如图,已知抛物线C 1的解析式为y=-x 2+2x+8,图象与y 轴交于D 点,并且顶点A 在双曲线上. (1)求过顶点A 的双曲线解析式;(2)若开口向上的抛物线C 2与C 1的形状、大小完全相同,并且C 2的顶点P 始终在C1上,证明:抛物线C 2一定经过A 点;(3)设(2)中的抛物线C 2的对称轴PF 与x 轴交于F 点,且与双曲线交于E 点,当D 、O 、E 、F 四点组成的四边形的面积为16、5时,先求出P 点坐标,并在直线y=x 上求一点M,使|MD-MP|的值最大.8、如图,已知抛物线 经过A(3,0),B(0,4), (1)、求此抛物线解析式(2)若抛物线与x 轴的另一交点为C,求点C 关于直线AB 的对称点C ’ 的坐标DCB A A BCD A BCD(3) 若点D 就是第二象限内点,以D 为圆心的圆分别与x 轴、y 轴、直线AB 相切于点E 、F 、H ,问在抛物线的对称轴上就是否存在一点一点P ,使得|PH －P A |的值最大？若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。