多彩课堂20152016学年高中数学人教A版选修11课件：331《函数的单调性与导数》

结论：在某个区间(a,b)内, 如果 ,
那么函数
如果 ,
在这个区间内单调递增;
那么函数
在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.
函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
性பைடு நூலகம்关系是：
y f ( x)
( x0 , f ( x0 ))
( x1 , f ( x1 ))
联系呢?
复习引入： 问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于
区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f (x2) ，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意
义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象
上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么
函数的单调性与导数有什么关系呢?
观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数
正负的关系
(1)函数y x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数, 其导数 y 1 0
(2)函数y x 2 的定义域为R, 并且在( , 0)上单调递减, 在(0, )上单调递增,其导数 y 2 x
第3章
导数及应用
3.3.1 函数的单调性与导数
内容：利用导数研究函数的单调性 函数的 单调性 与导数 应用 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况 有关含参数的函数单调性问题 利用导函数判断原函数大致图象 利用导数求函数的单调区间
本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之
对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间． 采用例题与变式练习相结合的方法，通过4个例题探讨利用 导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测，通过设置 难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。
如图（1）,它表示跳水运动中高度h随时间t变
化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象, 图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t ) h(t ) 9.8t 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
引导：随着时间的变化,运动员离
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)任取x1、x2∈D，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)
(5)结论
3.研究函数的单调区间你有哪些方法? （1）观察法:观察图象的变化趋势; （2）定义法:
当x 0时, y 0;当x 0时, y 0;当x 0时, y 0.
(3)函数y x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数,
3
2 其导数 y 3x
若x 0, 则其导数3x2 0;当x 0, 则其导数3x2 0. 1 (4)函数y 的定义域为(, 0) (0, ), 并且 x 在(, 0)上单调递减, 在(0, )上单调递减.
h(t ) 0
．
函数的单调性可简单的认为是：
f ( x2 ) f ( x1 ) 若 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) y f ( x2 ) f ( x1 ) 可把 看作 x2 x1 x x2 x1
说明函数的变化率可以反映函数的单调性， 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
动画剪纸之对称性
创设情景: 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模 型 , 研究函数时 , 了解函数的增与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常
重要的.
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函 数的导数一样都是反映函数变化情况的 ,那么函 数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了? （产生认知冲突） 发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很 麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时 候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．
在x x0 处, f ( x0 ) 0, 切线是左下右上, 函数f ( x)在x0附近单调递增
在x x1处, f ( x1 ) 0, 切线是左上右下, 函数f ( x)在x1附近单调递减
水面的高度的变化有什么趋势?是 逐渐增大还是逐步减小?
（1）
（2）
通过观察图象,我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间 t的增加而增加,
即h(t)是增函数.相应地, v(t ) h(t ) 0 ． （2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间
t的增加而减少, 即h(t)是减函数.相应地,v(t )
1 而y 2 ,因为x 0, 所以y 0. x
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0
. . . . . ..
2
该函数在区间（－∞，2） 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 在区间（2，+∞）上单 增,切线斜率大于0,即 x 其导数为正. 而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.