2016-2017年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷及答案

2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）
期中数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）
A．B．C．D．
2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）
A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．
3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10
4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）
A．8cm B．6cm C．D．
5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）
A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）
A．B．C．D．
7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）
A．一个点B．线段C．圆D．圆弧
二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）
9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=．
10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．
11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为．
12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．
13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．
15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是．
三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．
（1）求角C的大小；
（2）a=1，b=4，求边c的长．
17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）若，求使得不等式恒成立的实数k
的取值范围．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明CD⊥AE；
（2）证明PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．
（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；
（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．
2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为k=1
设直线的倾斜角为α，
∴tanα=1
∵α∈[0，π]
∴α=．
故选：B．
2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）
A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．
【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选：C．
3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10
【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5==5a3=5．
故选：A．
4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）
A．8cm B．6cm C．D．
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y′轴上，
可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2cm，其原来的图形如图所示，
则原图形的周长是：8cm
故选：A．
5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）
A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；
对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线
面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；
对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；
对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．
故选：C．
6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：设正方体的棱长为：1，
所以正方体的表面积为：S2=6；
正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，
所以球的表面积为：S1==3π．
所以==．
故选：D．
7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb ＞2，
把ac=b2代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，
∵B为锐角，
∴0＜cosB＜1，即0＜=﹣2＜1，
∵﹣2=﹣3=2p2﹣3，
∴0＜2p2﹣3＜1，
解得：＜p＜，
综上，p的取值范围为＜p＜，
故选：D．
8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）
A．一个点B．线段C．圆D．圆弧
【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，A（1，﹣，0），P（0，0，），设M（x，y，0）
∵，
∴（x﹣1）2+（y+）2=2（x2+y2+），
∴x2+y2+2x﹣y+=0，表示圆．
故选：C．
二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）
9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=1．
【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a﹣2+a=0，∴a=1，
故答案为：1．
10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的
表面积为．
【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其直观图如下图所示：
其底面ABC的面积为：×2×2=2，
高VA=1，
故三棱锥的体积V=，
AB=AC==，
故侧面VAB和VAC的面积均为：=，
侧面VBC的高VD==，
故侧面VBC的面积为：×=，
故三棱锥的表面积为：；
故答案为：，
11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为30°．
【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，
则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），
∴•=﹣1+0+1=0，
∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．
∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，
∴•=﹣1+t（2﹣t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），cos＜，＞==﹣，
∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．
故答案为90°，30°．
12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为3x﹣y﹣5=0．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，﹣2），圆C的半径为．
过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为y﹣1=（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．
过答案为，3x﹣y﹣5=0．
13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为
．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：
z=的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率的取值范围．
由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，
由，解得B（，），
∴BP的斜率k==，由可得A（1，1）
OP的斜率k==1，
∴﹣3≤z≤．
故答案为：．
14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为2．
【解答】解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，
故答案为：2．
15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是2．
【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，∴，
即ab=1且a＞0；
又a＞b，∴a﹣b＞0；
∴==（a﹣b）+≥2=2，
当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时“=”成立；
∴的最小值是．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．
（1）求角C的大小；
（2）a=1，b=4，求边c的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2C=cosC，可得：2sinCcosC=cosC，
因为C为锐角，所以cosC≠0，
可得sinC=，
可得角C的大小为．
（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos=13，
可得边c的长为．
17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）若，求使得不等式恒成立的实数k
的取值范围．
【解答】解：（1）由3S n=4a n﹣4可得a1=4，
∵3S n=4a n﹣4，∴3S n﹣1=4a n﹣1﹣4，∴3S n﹣3S n﹣1=4a n﹣4﹣（4a n﹣1﹣4），
∴3a n=4a n﹣4a n﹣1，即．
∴数列{a n}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴．
又b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），
∴b n=n（n+1）．
（2）=1﹣+﹣+…+﹣=，
不等式恒成立，即k≥恒成立，
设d n=，则d n+1﹣d n=，
∴当n≥2时，数列{d n}单调递减，当1≤n＜2时，数列{d n}单调递增；
即d1＜d2＞d3＞d4＞…，
∴数列最大项为，∴．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明CD⊥AE；
（2）证明PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AC⊥CD，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE；
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE；
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，
由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，
则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，
则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．
设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，
AM===，
在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，
则tan∠AME===．
19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；
（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．
【解答】解：（1）设∠AOB=θ，则
，
=8，此时O到AB的距离为，，
当时，S
△AOBmax
∴S
=8，直线AB的方程为．
△AOBmax
（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．
当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），
由得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．
∵∠BMF=∠AMF，
∴k BM+k AM=0，，
∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，
∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，
∴，
∴﹣32﹣6m=0，，
∴．
赠送初中数学几何模型【模型一】
“一线三等角”模型：
图形特征：
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值 G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。