2015-2016学年高中数学第3章 2.3两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

合集下载

北师大版数学必修四课件：3.2.3两角和与差的正切函数

(2)出现了tanα+tanβ和tanαtanβ的形式，因此选用变
形形式求值.
【规范解答】(1)原式
1 tan75 tan45 tan75 1 tan75 1 tan45tan75 tan 45 75 tan120 3.
(2)∵ tan120 tan(70 50) tan70 tan50 3,
【例】已知△ABC中， tanB tanC 3tanBtanC 3，且
3tanA 3tanB tanAtanB 1.
试判断△ABC的形状.
【审题指导】由已知可得A+B+C=π，且已知条件与
tan(A+B),tan(B+C)有关，可先由公式tan(A+B)及条件先
求出A+B,再求出C,最后求A、B，再判断其形状.
利用公式化简、求值利用公式Tα ±β 化简求值的几点说明： (1)分析式子结构，正确选用公式形式 Tα ±β 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、
(2)tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
1 tan tan 且 tan 1 知 0＜＜ , 又由（ , ） , （ 0, ） 2 4 3 2 0＜2＜，＜＜ , 2 2 3 ＜2 ＜0, 2 . 4 tan tan 1,
公式的综合应用
公式Tα +β 与一元二次方程的联系：在两角和的正切公式Tα +β 中，有tanα +tanβ 和 tanα tanβ 这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点.因此tanα 、tanβ 可以看作一元二次方程的根，这样 tanα +tanβ 、tanα tanβ 、tanα -tanβ 就可以互相表示，

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三两角和与差的正切公式的应用
��α +��β ; 1-��α��β
��α-��β . 1+��α��β
探究一
探究二
探究三

探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
�� 60°-�� 15° 1+�� 60°�� 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它们求 tan(α± β).

数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数

第三章
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)．公式 Tα±β 的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，【错解】 π4或54π
【正解】由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13，所以 α∈(0，π4)①，又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1，而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②，故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)，又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.

2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变形 3.2.3 两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

于是 tan 70°-tan 10°-√3tan 70°tan 10°
=√3 + √3tan 70°tan 10°-√3tan 70°tan 10°=√3.
(3)证明:由
tan(A+B)=1ta-tna��n��+��ttaann
�� 可得
��
tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B),
4
答案:C
= 1+�� α = 1 =2-√3.
1-�� α 2+√3
12345
2.在△ABC中,C>90°,则tan A·tan B与1的关系适合 ( )
A.tan A·tan B>1
B.tan A·tan B<1
C.tan A·tan B=1
=
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究二两角和与差的正切公式的逆用与变形用
【例 2】 (1)求值:1√+3√-3tatann1155°°; (2)求值:tan 70°-tan 10°-√3tan 70°tan 10°; (3)在非直角三角形 ABC 中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 思路分析:(1)将√3视为 tan 60°后再逆用两角差的正切公式; (2)注意到 70°-10°=60°,且 tan 60°=√3,因此,可用两角差的正切公式的变形; (3)将等式左边任意两项结合利用两角和的正切公式变形,结合 A+B+C=π,利用诱导公式证明.
=
1-34 1+34

高中数学-3.2.3两角和与差的正切函数课件-北师大必修4

3
(4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1.
答案：1
【要点探究】
知识点正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的条件
角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z)，且tanαtanβ
≠1(或tan αtan β≠-1).
2
2.结构特征公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
【解析】(1)错误，因为tan(α±β)= tan tan . 1 tan tan
(2)错误，因为tan(α+β)= tan tan . (3)错误，tan(40°+50°)中410°+tan50°ta=n90°,不成立.
(4)错误,因为tan 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
3 3 x+4=0的两根，且＜＜，＜＜，则α+β的值为 2 22 2
()
A. 3
C. 2 或 33
B. 2 3
D.无法确定
(2)(2014·上饶高一检测)已知tan(α-β)= 且α,β∈(0,π),
1 2
,tan
β=
1 7
,
①求tan α;
②求2α-β的值.
【解题探究】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？
ta反n 映了复角化单角的思想1，即tan要求tanα± β的正 tan
切函数值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可.
(2)整体意识：公式Tα±β中有两个小团体“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”，求解时可利用整体思想代入求解.

北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数

tan tan tan( ) 记：T + 1 tan tan
得到： tan( )
理解：
tan tan 1 tan tan
T( α + β )
1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正切的积. 3.公式成立的条件是：
tan tan T : tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角正切的积. 3.公式成立的条件是：
k

学会恰当赋值、逆用公式等技能.
复习
1、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差的正弦公式
C
C
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k

2
且 k

2
且 k

2
k Z .
tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
用代替得到
tan tan tan 1 tan tan
2.3 两角和与差的正切函数
1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用；（3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决

课件-两角和与差的正切函数

通过公式的变形，可以进一步推导出其他形式的正切和差公式，如二倍角公式等。
利用三角函数的减法公式和同角三角函数的基本关系推导两角差的正切公式。
03
两角和与差的正切函数的性质
奇偶性
奇偶性
两角和与差的正切函数具有奇偶性，即对于任意实数x，有tan(x)=-tan(x)，这是正切函数的基本
性质之一。
tan(15°)
tan(30° + 45°)
习题
tan(60° - 30°) tan(180° - 45°)
已知 tanα = 2/3，求 tan(α + 45°) 的值。
习题
若 tanα = -√3，求 tan(α + 15°) 的值。若 tan2α = -√3，求 tan(α + 45°) 的值。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要计算一些特定条件下的物理量，例如振动、波动等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问题。
解决工程问题
在工程问题中，常常需要计算一些特定条件下的参数，例如机械、建筑等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问题。
05
习题与解答
习题
计算下列各式的值
推导过程
利用三角函数的加法公式和减法公式，通过代数运算推导得出。
符号表示
01
tan(α±β)表示两角和与差的正切函数，其中α和β为任意角度。
02
tanα和tanβ分别表示两个角的正切值，tan(α±β)表示这两个角的和或差的正切值。
特殊角的正切值
特殊角的正切值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角的正切值分别为0、√3/3、1、 √3、不存在等。

高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案北师大版

1.2.3 两角和与差的正切函数整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.推进新课新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?③分析观察公式Tα-β、Tα+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cos αcos β即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cos αcos β等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cos αcos β讨论如下:当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子分母同除以cos αcos β,得tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”.tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠2π+k π(k∈Z ),β≠2π+k π(k∈Z ),α±β≠2π+k π(k∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tan α,tan β都有意义.教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sin α、sin β、cos α、cos β→tan α、tan β.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tan α、tan β、tan(α±β)都有意义,且1±tan αtan β≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tan α,tan β或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T α±β处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理.讨论结果:①—④略.应用示例例1 已知tan α=2,tan β=-31,其中0＜α＜2π,2π＜β＜π. (1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.解:(1)因为已知tan α=2,tan β=-31, 所以tan(α-β)=321312tan tan 1tan tan -+=∙+-βαβα=7. (2)因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=321312+-=1, 又因为0＜α＜2π,2π＜β＜π,所以2π＜α+β＜43π. 在2π与43π之间,只有45π的正切值等于1,所以α+β=45π. 例2 计算15tan 115tan 1+-的值. 活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与T α-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为15tan 45tan 115tan 45tan +-,再逆用公式T α-β即可解得. 解:因为tan45°=1,所以 15tan 115tan 1+-=15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan(45°-15°)=tan30°=33. 点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1.不查表求tan105°的值.解:tan105°=tan(60°+45°) =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+ . 2.不查表,计算:(1)tan22°+tan23°+tan22°tan23°;(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°ta n30°.解:(1)原式=tan(22°+23°)·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=tan45°·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=1.(2)原式=tan17°tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan60°(1-tan17°tan43°)=1.例3 若tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,求tan(α+4π)的值. 活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破.解:因为α+4π=(α+β)-(β-4π), 所以tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα. 点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=-43,β∈(π,23π). 求tan(α+β). 解:由cos β=-43,β∈(π,23π),sin α=32,α∈(2π,π),∴sin β=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47, cos α=-35)32(1sin 122-=--=-a ∴tan β=37,tan α=-552. ∴tan(α+β)=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα. 4．(1)已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值.(2)已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求βαtan tan . 活动:对于问题(1),教师可与学生一起观察分析已知条件.通过分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在问题(2)中,我们欲求βαtan tan ,若利用已知条件直接求tan α,tan β的值有一定的困难,但细心观察公式S α+β、S α-β发现,它们都含有sin αcos β和cos αsin β,而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能地让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --, ∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.(2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21.① sin αcos β-cos αsin β=31.②①+②,得sin αcos β=125, ①-②,得cos αsin β=121, ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5. 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),这个变形式子对我们解题很有用处.而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,解完后留出一定的时间让学生认真总结反思,熟练掌握其变化的思想方法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能训练课本练习1、2、3、4.课堂小结本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.作业1.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tan α,tan β,求tan(α+β)的值.解:由韦达定理,得tan α+tan β=-a b ,tan αtan β=a c , ∴tan(α+β)=a c b c a b ac a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ. 2.课本习题3—1 A 组6,7.设计感想1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.备课资料备用习题1.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tan α与tan β,求tan(α+β)的取值范围. 3.求tan70°+tan50°-3tan50°tan70°的值.4.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm -+11tan α. 5.化简A B A sin )2sin(+-2cos(A+B). 6.已知5sin β=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tan α.参考答案:1.解:(1)∵A、B 、C 是斜△ABC 的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A 、B 、C 都不为2π,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC. ∴BA B A tan tan 1tan tan -+=-tanC,去分母,移项,整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. (2)∵2A +2B +2C =2π,∴2A +2B =2π-2C . ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C ). ∴2tan 12tan 2tan 12tan 2tan C B A B A =-+.去分母,移项,整理可得 tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0.①由①解得m∈(-∞,0)∪(0,81］. 根据韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++=∙,2112tan tan ,1tan tan m m m m m m βαβα则tan(α+β)=mm m m1121tan tan 1tan tan +--=-+βαβα=2m-1. ∵m∈(-∞,0)∪(0,81］,∴2m -1≤2×81-1=-43,且2m-1≠-1. ∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-43］. 3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3+3tan70°tan50°-3tan50°tan70° =-3.∴原式的值为-3.4.证明:由sin β=ｍsin(2α+β)⇒sin ［(α+β)-α］=ｍsin ［(α+β)+α］⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=ｍ［sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α］⇒(1-ｍ)·sin(α+β)cos α=(1+ｍ)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm -+11tan α. 点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.5.解:原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(])sin[(+-+=+-++ AB A A B A sin sin sin ])sin[(=-+= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］, 即5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α.∴2tan(α+β)=3tan α.点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.。

高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课件1(新版)北师大版必修4

两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ (Tα＋β) tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ (Tα－β)
第五页，共16页。
探究(tànjiū)点1
tan( ) tan tan 1- tan tan
上式中以代得
tan[ ( )] tan tan() 1 tan tan()
第七页，共16页。
探究(tànjiū)点2
正切公式的逆用及变形用 (1)注意公式的逆运用，比如： 1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝tan[(α＋β)－α]＝tan β，又如11＋－ttaann αα＝1t－anta4n5°4＋5°ttaannαα＝tan(45°＋α)．
第八页，共16页。
tan - tanቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 tan tan
tan( - ) tan - tan 1 tan tan
记T(- )
第六页，共16页。
想一想
公式的适用条件(tiáojiàn)是什么？提示：适用条件：公式 Tα±β 只有在 α≠π2＋kπ，β≠π2＋kπ， α±β≠π2＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．
tan( ) tan tan 1- tan tan
tan( - ) tan - tan 1 tan tan
变形 tan tan tan( )(1- tan tan )
(biàn
xíng) tan - tan tan( - )(1 tan tan )
第十六页，共16页。
公式(gōngshì)一：
公式二：
sin(2kπ＋α)=sinα, ( k∈Z) sin(π+α)=-sinα,

北师大必修四：3.2.3《两角和与差的正切函数》ppt课件

思考: tan15o ?
1.将正切转化为正余弦:
代入 sin15o, cos15o.
tan15o
sin15o cos15o
,
2.原式可化为:
sin(45o 30o) sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o , cos(45o 30o) cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
tan ( ) tan tan( ) tan tan .
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差与1加两角
三角函数值（如：sin A B 2 ,tan A B 1等），
2 再确定A B的范围即可.
证明:因为tan A 2,tan B 3, 所以 tan( A B) tan A tan B 2 3 1；
1 tan Atan B 1 2 3 又因为A，B都是锐角，所以 0 A B 180，所以A B 135.
注意：公式的其他变形形式：
１ tan tan tan( )(1 tantan )；２ tan tan 1 tan tan ；
tan( )
３ tan tan tan tan 1；
tan( )
４ tan( ) tan tan tan( ) tan tan ； 5 tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
1.掌握两角和与差的正切公式的推导及公式的正、逆向变形及运用.（重点） 2.正确寻找角之间的关系，恰当选用公式形式解决问题.（重点） 3.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（难点）

高中数学 323两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

解因为 α＋4π＝(α＋β)－β－π4，所以 tan α＋π4 ＝tanα＋β－β－π4 ＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－4π4π ＝1＋25－25×14 14＝232.
规律方法对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若角所在的象限没有确定，则应分类讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会通过分析“目标角”与“已知角”之间的关系，灵活拆角或拼角．
自学导引
1．两角和与差的正切公式
(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝
tan α＋tan β 1－tan α tan β
.
(2)Tα－β：tan(α－β)＝
tan α－tan β 1＋tan α tan β
.
：公式 Tα±β 适用的条件是什么？提示对于 Sα±β，Cα±β，对任意 α、β 都成立，而对 Tα±β 来讲， tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ成立的条件是 α，β，α＋β 都不等于 kπ ＋π2(k∈Z)；同理 Tα－β 成立的条件是 α，β，α－β 都不等于 kπ＋ π2(k∈Z)．
2．公式 Tα±β 应用时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不能落在 y 轴上，即角不等于 kπ＋2π(k∈Z)． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如 tan4π＝1，tanπ6＝ 33，tanπ3＝ 3等．
【训练 2】已知 sin α＝23，α∈π2，π，cos β＝－34，β∈π，32π，求 sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．

2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数课件北师大版必修420190108285

(2)tan 10° ＋tan 50° ＋ 3tan 10° · tan 50° ＝tan(10° ＋50° )(1－tan 10° · tan 50° )＋ 3tan 10° tan 50° ＝tan 60° － 3tan 10° tan 50° ＋ 3tan 10° tan 50° ＝tan 60° ＝ 3.
解
π (1)tanα＋β－4
π π ＝tanα＋12＋β－3 π π tanα＋12＋tanβ－3 ＝ π π 1－tanα＋12· tanβ－3
2＋2 2 ＝＝－ 2. 1－ 2· 2 2
tan 30° ＋tan 45° ＝tan 75° ＝tan(30° ＋45° )＝ 1－tan 30° tan 45° 3 3 ＋1 ＝＝2＋ 3； 3 1－ 3 tan 15° ＋tan 30° (2)∵tan 45° ＝＝1， 1－tan 15° tan 30° ∴tan 15° ＋tan 30° ＝1－tan 15° tan 30° ∴原式＝(1－tan 15° tan 30° )＋tan 15° tan 30° ＝1.
答案
7 5
3 1 【探究 2】已知 sin(π＋θ)＝－5， tan φ＝2，并且 θ 是第二象限角，求 tan(θ－φ)的值．
解 3 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－5，
3 ∴sin θ＝5.又∵θ 是第二象限角， 4 ∴cos θ＝－ 1－sin θ＝－5，
2
sin θ 3 ∴tan θ＝cos θ＝－4.
π 答案 4
3 5 4．在△ABC 中， tan A＝4， tan B＝13，那么 tan C 的值等于________．
解析 tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) 3 5 tan A＋tan B 4＋13 59 ＝－＝－ 3 5 ＝－37. 1－tan Atan B 1－4×13