湖北省武汉市2015届高中毕业生五月模拟考试数学(理)试题

武汉市2015届高中毕业生五月模拟考试数学（理）试题一、选择题1、已知集合A ＝{－1，i}，i 为虚数单位，则下列选项正确的是2、“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆”的 A 、充分且不必要条件 B 、必要且不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件3、若任取,[0,1]x y ∈，则点P （x ，y ）满足12y x ≤的概率为4、将函数()sin(2)()f x x ϕϕπ=+<的图象向左平移6π个单位后得到函数()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为5、公差不为0的等差数列{n a }，其前23项和等于其前10项和，340a a +=，则正整数k= A 、24 B 、25 C 、26 D 、276、64(12)(1)x y ++的展开式中2xy 项的系数为A 、45B 、72C 、60D 、1207、某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有A 、36种B 、39种C 、60种D 、78种 8、已知函数，则下列结论中正确的是9、已知过x 轴上一点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，若为定值，则的值为10、若关于x 的方程各个实根所对应的点均在直线y ＝x 的同侧，则实数m 的取值范围是A 、（－1,7）B 、（－∞，－7）U （－1，＋∞）C、（－7,1）D、（－∞，1）U（7，＋∞）二、填空题（一）必考题（11－14题）11、已知向量12、执行如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入p的取值范围是＿＿13、在半径为5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝25，平面BCD被球所截，则截面图形的面积为＿＿＿14、若实数x，y满足的最小值为＿＿＿（二）选考题15、在极坐标系中，圆上的动点P到直线的距离最小值是＿16、如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT＝2，PA＝1，∠P＝60°，则圆O的半径r＝＿＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S ＝.（1）求角B 的大小； （2)若a ＝2，且，求边c 的取值范围．18．（本小题满分12分）某校为了提高学生身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解报名学生的身体素质， 对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已 知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12. （1)求该校报名学生的总人数；(2)若从报名的学生中任选3人，设x 表示体重超过60kg 的学生人数，求x 的数学期望与方差19.（本小题满分12分） 已知等差数列为递增数列，且都在的图象上²（1)求数列的通项公式和前n 项和为Sn ；（2)设，求数列的前n 项和Tn20.（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A;B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所 在的平面，DC ／／EB ，DC ＝EB ，AB ＝4，tan(1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；(2）当三棱锥C －ADE 体积最大时，求二面角D 一AE 一B 的余弦值．21、（13分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点P （3，t ）到其焦点的距离为4。

（1）求p 的值；（2）过点Q（1,0）作两条直线与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB 和CD的中点，设直线的斜率分别为，求证：直线MN过定点。

22、已知函数为常数），且y＝f（x）在x＝1处切线方程为y＝x－1。

（1）求a，b的值；（2）设，求证：当x＞0时，理科数学参考答案（仅供参考）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A BDADCCBDB二、填空题11．32 12．(,1]-∞ 13．4 14．22(3)(43)48x y -+±=15．3816．2 三、解答题 17.（Ⅰ） 418a a =，24103a a += ∴13a = （Ⅱ）∵点()11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上， ∴sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又∵φπ<，∴34φπ=如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222412283cos 2283PM PN MNPM PNβ+-+-===-又∵πβ<<0 ∴56βπ=∴ 12πφβ-=-∴ ()tan tantan 231246πππφβ⎛⎫-=-=--=-+ ⎪⎝⎭18. （1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为23，收藏者李先生赌中的概率为0P ，且两人 赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X （单位：万元）”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“50X =”．因为032)50(P X P ==，所以027()1(50)139P A P X P =-==-=，求得013P =． （2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为1X ，都选择规则乙赌中的次数 为2X ，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为1(20)E X ，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为1(30)E X ．由已知可得，12(20,)3X B ，20(20,)X B P ，所以34)(1=X E ，022)(P X E =，从而11480(20)20()2033E X E X ==⨯=，220(30)30()60E X E X P ==．若11(20)(30)E X E X >，则080603P >，解得0409P <<； 若11(20)(30)E X E X <，则080603P <，解得0419P <<； 若11(20)(30)E X E X =，则080603P =，解得049P =． 综上所述，当0409P <<时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当0419P <<时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当049P =时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等. 19.解：（1）求得1234567891,2,,3,4,2,5,6,4a a a r a a a r a a a r ======+===+所以由123934a a a a ++++=，可得73r =.（2）1211223312124T b a b a b a b a =++++=-124n T n =-（3）12141m T m +=+， 12241m T m +=+， 12341m T m r +=-+-， 12441m T m r +=-+-，12545m T m r +=+-，12645m T m r +=+-，12741m T m r +=-+-， 12841m T m r +=-+-， 12944m T m +=+， 121044m T m +=+， 121144m T m +=--， 121244m T m +=--.⎩⎨⎧=+=-+∴1004410054m r m ,解得m=24,r=1 值为100的是T 293, T 294 T 297 T 298 20. （1）取PA 中点为H ，连结CE 、HE 、FH ， 因为H 、E 分别为PA 、PD 的中点，所以HE ∥AD,AD HE 21=, 因为ABCD 是平行四边形，且F 为线段BC 的中点 , 所以FC ∥AD,AD FC 21= 所以HE ∥FC,FC HE = 四边形FCEH 是平行四边形 ,所以EC ∥HF 又因为PAF HF PAF CE 平面平面⊂⊄, 所以CE ∥平面PAF.（2）因为四边形ABCD 为平行四边形且∠ACB ＝90°，所以CA ⊥AD ,又由平面PAD ⊥平面ABCD 可得 CA ⊥平面PAD ,所以CA ⊥PA , 由PA =AD =1，PD = 2可知，PA ⊥AD,所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz, 因为PA=BC=1，AB=2所以AC=1 . 所以)1,0,0(),0,0,1(),0,1,1(P C B -.假设BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°， 设点G 的坐标为（1，a ，0），01≤≤-a 所以)1,0,0(),0,,1(==AP a AG 设平面PAG 的法向量为),,(z y x m =，则⎩⎨⎧==+00z ay x 令0,1,=-==z y a x 所以)0,1,(-=a m ，又)1,0,1(),0,,0(-==CP b CG 设平面PCG 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=+-=00z x by 令1,0,1===z y x 所以)1,0,1(=n ，因为平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°，所以2121,cos 2=∙+=〉〈a a n m 所以1±=a 又01≤≤-a 所以1-=a , 所以线段BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°. 21. （1）依题意得，()()sin ,e cos .x f x x g x x ==⋅()00e cos01g ==，()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=，所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+ 4分 （2）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （3）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4π2πππ()()0,()042422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点.22. （1）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-， 222c =，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a-+--=22021()x a a -≥2(31)-，0a x a -≤≤，当0x a =时，131a -=-，3a =，2b =，椭圆C 的方程 22132x y +=.. 5分 （2）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而1126S x y ==，则116,12x y ==， 知ON PQ ⋅=26.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得2223()6x kx m ++=， 即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>，2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++，22212121211()4PQ k x x kx x x x =+-=++-22222632123k m k k+-=++， 21m d k=+，222112632622232POQk m S d PQ m k ∆+-=⋅⋅==+， 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=，422222912412840k k m k m m ++--+=，得到，222(322)0k m +-=，则22322k m +=，满足0∆>，由前知12322x x km +=-，2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=-， 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++， 22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+， 即2m =±时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. 10分（3）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= ， 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ），所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=， 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 所以22212222222562563223264y y y y y =++≥⋅+=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS|=4222422211111111116(8)641644y x y y y y y +=+=+=+-，因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min 85OS =， 所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8） 14分。